ARCH模型專題PPT課件

1、第1頁/共15頁考察嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列yt, 且Eyt. 記其均值Eyt=,協(xié)方差函數(shù)k=E(yt-)(yt+k-). 其條件期望(或條件均值): E(ytyt-1,yt-2,)(yt-1,yt-2,) (1.1)依條件期望的性質(zhì)有E(yt-1,yt-2,)=EE(ytyt-1,yt-2,)= Eyt =. (1.2)記誤差(或殘差): et yt -(yt-1,yt-2,). (1.3)第2頁/共15頁隨機(jī)序列的條件均值E(etyt-1,yt-2,)=Eyt-( yt-1,yt-2,) yt-1,yt-2,=E(yt yt-1,yt-2,)- E( yt-1,yt-2,) yt-1,yt-2,=

2、 ( yt-1,yt-2,)- ( yt-1,yt-2,)=0. (1.4) 隨機(jī)序列的條件方差Var(etyt-1,yt-2,)=Eet- E(etyt-1,yt-2,1)2 yt-1,yt-2,= Eet2 yt-1,yt-2, S2(yt-1,yt-2,). (1.5)此處S2(yt-1,yt-2,)為條件方差函數(shù). 注意, et的條件均值是零, 條件方差是非負(fù)的函數(shù)S2(yt-1,yt-2,), 它不一定是常數(shù)。第3頁/共15頁 自回歸函數(shù)依(0.3)式, 平穩(wěn)隨機(jī)序列yt總有如下表達(dá)式:yt = ( yt-1,yt-2,)+et, (1.6)其中(yt-1,yt-2,)被稱為自回歸函

3、數(shù), 不一定是線性的. et為鞅差序列（因?yàn)閷λ那蠛褪请x散的鞅序列. 由于yt是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列, 且Eyt0, i0, i=1,2,p. 其中t為.的序列, tN(0, 1), 且t與yt-1, yt-2, 獨(dú) 立, 為了簡化記號, 記ht=S2(yt-1, yt-2, ). 此模型被稱為自回歸條件異方差模型, 簡記ARCH(p),其中p表示模型的階數(shù). 第7頁/共15頁其一, 限定t為.序列，這是很強(qiáng)的限制, 這是由于現(xiàn)有理論的基楚所限. 其二, 限定條件方差有式的簡單形式, 即ht=S2(yt-1, yt-2, )=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2,是為了統(tǒng)計分析方便. 其三

4、, 限定t服從正態(tài)分布, 是為了求極大似然估計方便. 限制 tN(0, 1), 而不用 tN(0, 2), 是因?yàn)閠滿足標(biāo)準(zhǔn)化的模型式.其四, 限制 00, i0, i=1,2,p, 是為了保證條件方差函數(shù)ht=S2(yt-1, yt-2, )0. 限制 00, 而不是00, 這是為了保證模型(1.5)(1.6)有平穩(wěn)解.第8頁/共15頁在對ARCH模型的理論研究和應(yīng)用中, 人們自然會發(fā)問:在式中, yt的條件方差S2(yt-1, yt-2, ) ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2, 只依賴于p個歷史值, 能否考慮依賴全部歷史值的情況? Bollerslev(1986)給出了回

5、答, 他提出了如下的更廣的模型, 即GARCH模型: yt=S(yt-1, yt-2, )t ht1/2 t, (2.3) ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+1ht-1+qht-q, (2.4)00, i0, i=1,2,p; j0, j=1,2,q. (2.5)其中t為.的N(0,1)分布, 且t與 yt-1, yt-2, 獨(dú)立.第9頁/共15頁 其一, 利用(1.12)式反復(fù)迭代可得知, ht= S2(yt-1, yt-2, )確實(shí)依賴序列的全部歷史值, 但是, ht僅依賴有限個參數(shù). 其二, 在1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎, 被兩位研究期權(quán)定價理論的Black-Schole

6、s方程的學(xué)者獲得. 從理論上人們發(fā)現(xiàn), Black-Scholes方程的解是連續(xù)時間變化的隨機(jī)過程, 對它進(jìn)行等間隔離散化采樣, 所得到的序列, 恰好滿足GARCH模型. 于是, GARCH模型更被認(rèn)可, 而且, 金融界特別偏愛GARCH模型. 其三, 如前所述, (1.13)式的條件 00, 仍不能放寬為 00. 而且, (1.13)式中的條件 i0, i=1,2,p, 還應(yīng)附加一個限制: 1+2+ p0,第10頁/共15頁你擁有序列觀測值y1,y2,yn , 如果要為它們建立ARCH（GARCH)模型, 將面對著下列問題: （1）為什么要建立GARCH模型? （2）用多少階數(shù)的模型? （3

7、）怎樣獲得模型的參數(shù)值? 回答了這些問題, 就解決了為GARCH模型建模的問題.第11頁/共15頁 最小二乘法估計 極大似然估計第12頁/共15頁根據(jù)觀測數(shù)據(jù)y1,y2,yn , 判斷所要擬合的模型是否適用, 稱為模型檢驗(yàn). 模型檢驗(yàn), 有在建立模型前進(jìn)行的, 有在之后進(jìn)行的. 對于GARCH模型來說, 在為數(shù)據(jù)y1,y2,yn建立GARCH模型前, 首先應(yīng)當(dāng)判斷有沒有必要. 如前言所說到, 平穩(wěn)序列的條件方差S(yt,yt-1,)可能是常數(shù)值, 此時就不必建立GARCH模型. 于是判斷條件方差S(yt,yt-1,)是否為常數(shù), 就應(yīng)當(dāng)在建模前完成. 即使經(jīng)判斷后, 條件方差不是常數(shù), 它也未必滿足GARCH模型. 然而目前GARCH模型是比較熟知的條件異方差模型, 所以常用它來近似擬合觀測數(shù)據(jù). 那么, 在建模后還應(yīng)當(dāng)對所得到的模型進(jìn)行檢驗(yàn), 以判斷其是否可接受. 在建模前和后所進(jìn)行的