函數(shù)極限及連續(xù)性 - 2.2 函數(shù)的極限(下)

1、第二章第二章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限2.2函數(shù)的極限（下）二、二、夾逼準(zhǔn)則、夾逼準(zhǔn)則、兩個重要極限兩個重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系三、三、無窮小、無窮大無窮小、無窮大一、一、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理定理1. (海涅定理海涅定理)0lim( )f xAxx:nx0,nxx有定義,0(),nxxn lim()nnf xA為確定起見 , 僅討論的情形.0 xx有()nf xxnx定理定理1.0lim( )xxf xA :nx0,()nnxxf x有定義,0() ,nxxn 且設(shè)0lim( ),xxf xA即0,0,當(dāng)00,xx時有(

2、).f xA:nx0,()nnxxf x有定義 , 且0() ,nxxn 對上述 ,nN時, 有00,nxx于是當(dāng)nN時().nf xA故lim()nnf xA可用反證法證明. (略)lim().nnf xA有證：證：當(dāng) xyA,N“ ”“ ”0 xO定理定理1.0lim( )xxf xA :nx0,()nnxxf x有定義0() ,nxxn 且lim().nnf xA有說明說明: 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個數(shù)列:nx0,nxx0() ,nxxn 且不存在 .lim()nnf x使法法2 找兩個趨于0 x的不同數(shù)列nx及,nx使lim()nnf xlim()nnf x()

3、x ()nx 例例1. 證明01lim sinxx不存在 .證證: 取兩個趨于 0 的數(shù)列12nxn及122nxn 有1limsinnnx1limsinnnx由定理 1 知不存在 .(1, 2,)n limsin20nnlimsin(2)12nn01limsinxx二、二、 夾逼準(zhǔn)則、兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則、兩個重要極限1. 函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理定理2.0(,),xU x當(dāng)時00lim( )lim ( )xxxxg xh xA( )( ) ,g xh x( )f x0lim( )xxf xA(0)xX()x ()x ()x 且( 利用定理1及數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則可證 )2. 兩個重要極限sinc

4、os1xxx圓扇形AOB的面積0sinlim1xxx證證: 當(dāng)即1sin2x 12x1tan2x亦即sintan(0)2xxxx(0,)2x時，(0)2x0limcos1,xx0sinlim1xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積11sincosxxx故有OBAx1DC(1)例例2. 求0tanlim.xxx解解: 0tanlimxxx0sin1limcosxxxx0sinlimxxx01limcosxx1例例3. 求0arcsinlim.xxx解解: 令arcsin ,tx則sin ,xt因此原式0limsinttt01lim tsintt120sinlimx2x2x122sinlimcos

5、nnRnRn例例4. 求201coslim.xxx解解: 原式 =2202sin2limxxx211212例例5. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明: 2lim.nnAR證證: limnnA/ n2sincosnAnRnn2R說明說明: 計(jì)算中注意利用( )0sin ( )lim1( )xxx(2)1lim(1)xxex證證: 當(dāng)0 x 時, 設(shè)1,nxn則1(1)xx11(1)nn1(1)1nn1lim(1)1nnn limn11(1)1nn111ne11lim(1)nnn11lim(1) 1nnnn（）e1lim(1)xxex(P10-11)當(dāng)x (1),xt 則,t 從而有1lim (1

6、)xxx (1)1lim(1)1ttt(1)lim()1tttt11lim(1)ttt11lim(1) (1)tttte故1lim(1)xxex說明說明: 此極限也可寫為10lim(1)zzze時, 令例例6. 求1lim(1) .xxx解解: 令,tx 則1lim(1)xxx1lim(1)ttt1lim t1(1)tt1e說明說明 ：若利用( )( )1lim (1),( )xxex則 原式111lim(1)xxex limx例例7. 求11lim(sincos ) .xxxx解解: 原式 =2211lim(sincos ) xxxx22lim(1sin)xxx2(1sin)xe2sin2x

7、x12sinx總結(jié)：兩個重要極限0sin(1)lim11(2)lim(1)e或10lim(1)e注注: 代表相同的表達(dá)式思考與練習(xí)思考與練習(xí)填空題填空題 ( 14 )sin1.lim_ ;xxx12.lim sin_ ;xxx013.limsin_ ;xxx14.lim(1)_;nnn0101e三、三、 無窮小、無窮大無窮小、無窮大1. 無窮小無窮小當(dāng)定義定義1 . 若0 xx時, 函數(shù)( )0 ,f x 則稱函數(shù)( )f x0 xx例如 :1lim(1)0,xx函數(shù) 1x 當(dāng)1x 時為無窮小;1lim0,xx函數(shù) 1xx 時為無窮小;1lim0,1xx 函數(shù) 11x當(dāng)x )x (為時的無窮小

8、無窮小 .時為無窮小.)x (說明說明: 除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小 ! 因?yàn)?lim( )0 xxf x0,0,當(dāng)00 xx時, ( )0f x顯然 C 只能是 0 !CC0 xx時, 函數(shù)( )0 ,f x 則稱函數(shù)( )f x為0 xx定義定義1. 若則 時的無窮小無窮小 .其中 為0 xx時的無窮小量 . 定理定理 2 . ( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系) (P56 Th9 )0lim( )xxf xA( )f xA,證證:0lim( )xxf xA0,0,當(dāng)00 xx時,有( )f xA( )f xA0lim0 xx對自變量的其他變化過程類似可證 .2. 無窮大無窮大( )f

9、 xM定義定義2 . 若任給 M 0 ,一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數(shù)( )f x當(dāng)時為無窮大, 使對0lim ( )xxf x若在定義中將 式改為( )f xM則記作0()lim( )xxxf x 0()( lim( )xxxf x ()xX()x (lim( ).xf x (正數(shù)正數(shù) X ) ,記作( ( ),f xM 總存在00 xx00 |-|x x注意注意:1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !例如例如, 函數(shù)( )cos ,(,)f xxx x (2 )fn()n 當(dāng)2n但()02fn,x 所以時( )f x

10、不是無窮大 !cosy xxOxy例例 8. 證明11lim1xx 證證: 任給正數(shù) M , 要使1,1Mx即11,xM只要取1,M則對滿足01x的一切 x , 有11Mx所以11lim.1xx 11yx若 0lim( ),xxf x 則直線0 xx為曲線( )yf x的鉛直漸近線 .鉛直漸近線說明說明:xyO13. 無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系若( )f x為無窮大,1( )f x為無窮小 ;若( )f x為無窮小, 且( )0,f x 則1( )f x為無窮大.則(自證)據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.定理定理3. 在自變量的同一變化過程中,說明說明:4

11、. 無窮小的運(yùn)算法則無窮小的運(yùn)算法則時, 有12min,定理定理4. 有限個無窮小的和還是無窮小 .證證: 考慮兩個無窮小的和 . 設(shè)0,10,當(dāng)010 xx時 , 有20,當(dāng)020 xx時 , 有取則當(dāng)00 xx22因此0lim()0.xx這說明當(dāng)0 xx時,為無窮小量 .0lim0,xx0lim0,xx|/ 2|/ 2說明說明: 無限個無限個無窮小之和不一定不一定是無窮小 !例如，例如，222111lim2nnnnnn1類似可證: 有限個有限個無窮小之和仍為無窮小 . 定理定理5. 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證證: 設(shè)01(,),xU x uM又設(shè)0lim0,xx即0,當(dāng)02(,

12、)xU x時, 有M取12min,則當(dāng)0(,)xU x時 , 就有uuMM故0lim0,xxu即u是0 xx時的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小 .20,例例9. 求sinlim.xxx解解: sin1x 1lim0 xx利用定理 5 可知sinlim0.xxx說明說明 : y = 0 是sin xyx的漸近線 .Oxysin xyx5. 無窮小比較無窮小比較0,x 時23 , sinx xx都是無窮小,引例引例 .20lim3xxx0,20sinlimxxx, 0sinlim3xxx1,3但 可見無窮小趨于 0 的速度是多

13、樣的 . lim0,kC定義定義3.lim0,若則稱 是比 高階高階的無窮小,( )olim, 若若若lim1,若lim0,C或, 設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階低階的無窮小;則稱 是 的同階同階無窮小;則稱 是關(guān)于 的 k 階階無窮小;則稱 是 的等價等價無窮小, 記作例如例如 , 當(dāng)()o0 x 時3x26x;sin xx;tan xxarcsin xx201coslimxxx202sin2limxx又如又如 ，24( )2x12故0 x 時1cosx是關(guān)于 x 的二階無窮小,1cosx212x且例例10. 證明: 當(dāng)0 x 時,11nx1.xn證證:0 limx1

14、1nx1xn0limx11nnx1xn11nnx21nnx10,x當(dāng)時11nx1xnnnab ()ab1(na2nab1)nb1x分子例例11. 證明: 1 .xex證證:1,xye令ln(1),xy0,0,xy01limxxxe0limln(1)yyy1/01limln(1)yyy1lne11xexln(1) xx因此 即有等價關(guān)系: 說明說明: 上述證明過程也給出了等價關(guān)系: 101limln(1)yyy0,x 當(dāng)時sinxtanxarcsinx,x,x,x1cosx21,2x11nx1, xn常用等價無窮?。≒59） :ln(1) x1xe , xx注: 可以改為0 x ( )0 x性質(zhì)性質(zhì)1.( )o性質(zhì)性質(zhì)2 . 設(shè),且lim存在 , 則limlim等價無窮小的性質(zhì) （P58）設(shè)對同一變化過程 , , 為無窮小 ,說明說明:無窮小的性質(zhì), (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則. 若 = o() , (2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: , 且若與不等價,則例如,30sinlim3xxxx0lim3xxx31則limlim.且注意時此結(jié)論未必成立！例如,0tan2sinlim11xxxx02lim12xxxx2(見下頁例子