3.4基本不等式學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)13.4基本不等式基本不等式2a bab第1頁/共39頁第2頁/共39頁2abab第3頁/共39頁線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問題的解題思路：線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問題的解題思路： （1 1）應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，）應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)。確定線性目標(biāo)函數(shù)。 （2 2）用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，）用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解.(.(一般最優(yōu)解一般最優(yōu)解在直線或直線的交點(diǎn)上，要注意斜率的比較在直線或直線的交點(diǎn)上，要注意斜率的比較. .） （

2、3 3）要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際）要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解。問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解。 二、新課引入，任務(wù)驅(qū)動第4頁/共39頁二、新課引入，任務(wù)驅(qū)動第5頁/共39頁第6頁/共39頁 這是這是2002年在北京召開的第年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)會標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)家大會會標(biāo)會標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。人民熱情好客。三、新知建構(gòu)，典例分析 第7頁/共39頁20022002年國際數(shù)學(xué)

3、家大會會標(biāo)年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)三國時期三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽吳國的數(shù)學(xué)家趙爽三、新知建構(gòu)，典例分析 第8頁/共39頁思考：這會標(biāo)中含有怎思考：這會標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？樣的幾何圖形？思考：你能否在這個思考：你能否在這個圖案中找出一些相等圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？關(guān)系或不等關(guān)系？探究探究1 1三、新知建構(gòu)，典例分析 第9頁/共39頁問問2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE是全等三角形，是全等三角形，它們的面積總和是它們的面積總和是S=S=問問1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,設(shè)設(shè)AF=a,BF=b,AF=

4、a,BF=b,則則AB=AB=則正方形的面積為則正方形的面積為S=S=。問問3 3：觀察圖形：觀察圖形S S與與SS有什么樣的大小有什么樣的大小關(guān)系？關(guān)系？ 22ab2ab222abab易得，易得，s s,s s,即即ADCBc22abHGFEab問問4 4：那么它們有相等的情況嗎？那么它們有相等的情況嗎？何時相等？何時相等？22ba 第10頁/共39頁問題問題4 4：s,s, S有相等的情況嗎？何時相等？有相等的情況嗎？何時相等？ 圖片說明：當(dāng)直角三角形變圖片說明：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即為等腰直角三角形，即a=ba=b時，時，正方形正方形EFGHEFGH縮為一個點(diǎn)，這時縮為一個點(diǎn)

5、，這時有有 22=2ababu形的角度形的角度u數(shù)的角度數(shù)的角度 當(dāng)當(dāng)a=b時時a2+b22ab=(ab)2=0第11頁/共39頁結(jié)論：結(jié)論：一般地，對于任意實(shí)數(shù)一般地，對于任意實(shí)數(shù)a a、b b，我們有，我們有 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時，等號成立時，等號成立222aba b問問5 5：當(dāng)當(dāng)a,ba,b為任意實(shí)數(shù)時，為任意實(shí)數(shù)時， 還成立嗎？還成立嗎？此不等式稱為此不等式稱為重要不等式重要不等式222aba b第12頁/共39頁0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結(jié)論？22()()2abab2abab替換后得到：替換后得到： 即：即：)0, 0(ba2abab 即：即：

6、你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個不等式嗎？你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個不等式嗎？三、新知建構(gòu)，典例分析 第13頁/共39頁2abab證明：要證證明：要證 只要證只要證_ab 要證，只要證要證，只要證_0ab要證，只要證要證，只要證2(_)0顯然顯然, 是成立的是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時時, 中的等號成立中的等號成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba證明不等式：證明不等式：2 ab2 abba第14頁/共39頁特別地，若特別地，若a0，b0，則，則_2abab通常我們把上式寫作：通常我們把上式寫作：(0,0)2ababab當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)

7、a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.在數(shù)學(xué)中，我們把在數(shù)學(xué)中，我們把 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；的幾何平均數(shù)；2abab文字?jǐn)⑹鰹椋何淖謹(jǐn)⑹鰹椋簝蓚€正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：適用范圍：a0,b0第15頁/共39頁你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓

8、心，點(diǎn)點(diǎn)C是是AB上一點(diǎn)上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過點(diǎn)過點(diǎn)C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab第16頁/共39頁你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD與與CD的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? OD_CD如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)為圓心，點(diǎn)C是是AB上一點(diǎn)上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過點(diǎn)過點(diǎn)C

9、作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.2abab幾何意義：半徑不小于弦長的一半幾何意義：半徑不小于弦長的一半ADBEOCab第17頁/共39頁適用范圍適用范圍文字?jǐn)⑹鑫淖謹(jǐn)⑹觥?”成立條件成立條件222abab2ababa=ba=b兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小兩數(shù)的平方和不小于它們積的于它們積的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比較：填表比較：注意從不同角度認(rèn)識基本不等式注意從不同角度認(rèn)識基本不等式三、新知建構(gòu)，典例分析 第18頁/共39頁 重要變形：重要變形：2220,0,22abababababa

10、bab若則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。（由小到大）（由小到大）三、新知建構(gòu)，典例分析 第19頁/共39頁三、新知建構(gòu)，典例分析第20頁/共39頁11(1)0,;xxx例 . 已知求的最值. 21xx1x2121:時時原原式式有有最最小小值值即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)解解 xxxx;1, 0)2(的的最最值值求求已已知知xxx 有有最最值值，并并求求其其最最值值。為為何何值值時時，函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)若若xxxyx,31, 3)3( 結(jié)論結(jié)論1 1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值第21頁/共39頁5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3 xxxx、解解。最最大大值值為為

11、時時，函函數(shù)數(shù)有有最最大大值值，即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)54,313 xxx. 21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2 時時有有最最大大值值即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)、解解xxxx第22頁/共39頁配湊系數(shù)配湊系數(shù)分析分析: x+(1- -2x) 不是不是 常數(shù)常數(shù).2=1為為 解解: 0 x0.12y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 12 22x+(1- -2x) 21218= . 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時時, 取取“=”號號.2x=(1- -2x), 即即 x= 14當(dāng)當(dāng) x = 時時, 函數(shù)函數(shù) y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 .1418例例2. 若若 0 x0， 0

12、，若，若 是是 與與 的等比中項(xiàng)，則的等比中項(xiàng)，則ab3a3b3ba11得最小值為（得最小值為（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（2009年天津理年天津理6）B因此，這個矩形的長為因此，這個矩形的長為12m、寬為、寬為6m時，時，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2因此，這個矩形的長為因此，這個矩形的長為12m、寬為、寬為6m時，時，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2四、當(dāng)堂訓(xùn)練，針對點(diǎn)評第31頁/共39頁a2.（2009山東理山東理12T)設(shè)設(shè) 滿足約束條件滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)若目標(biāo)函數(shù)yx, , 0y, 0 x, 02yx, 06y

13、x3byaxz （ 0， 0）的最大值為的最大值為12，則，則 的最小值為（的最小值為（ ）bb3a2 A. B. C. D. 4 62538311略解略解：xy02-2202yx063 yxbyaxz(4,6)點(diǎn)選把把（4 4，6 6）代代入入z z= = a ax x+ +b by y得得4 4a a+ +6 6b b = =1 12 2, ,2 23 32 23 3 2 2a a+ +3 3b b即即2 2a a+ +3 3b b = = 6 6, ,而而+ += =+ +a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5= =+ +( (+ +) )+ +2

14、 2 = =, ,故故A A6 6a ab b6 66 6A第32頁/共39頁2.如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊靠墻的矩的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？的面積最大，最大面積是多少？四、當(dāng)堂訓(xùn)練，針對點(diǎn)評第33頁/共39頁2.如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊靠墻的矩的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)解：設(shè)AB=x ，BC=242x ， 矩形花園的面積為矩形花園的面積為x(242x) m2(242 )yxx令因此，這個矩形的長為因此，這個矩形的長為12m、寬為、寬為6m時，時，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2當(dāng)當(dāng)x=6時，函數(shù)時，函數(shù)y取得最小值為取得最小值為72222422(6)72yxxx 則(012)x第34頁/共39頁第35頁/共39頁221R,2( ) ,a bababab那那么么當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時時, ,等等號號成成立立(2)( 0, 0)2abababab，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。求最值時注意把握