S1-非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)介

1、非線性系統(tǒng)理論非線性系統(tǒng)理論參考書：參考書：非線性系統(tǒng)理論及應(yīng)用 曹建福編著 2001 非線性系統(tǒng)理論 方勇純 編著 2005 非線性系統(tǒng)理論 康惠駿 編著 2010 教材：教材：非線性系統(tǒng)（第三版）Hassan K.Khalil 著 2011北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院授課教師：授課教師：郜志英機(jī)械工程研究生學(xué)科前沿課程機(jī)械工程研究生學(xué)科前沿課程課程考核：課程考核：平時(shí)作業(yè)（40分）+考試成績(jī)（60分）“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”Xt+1= f (Xt)X : 系統(tǒng)狀態(tài)t : 離散時(shí)間f : 函數(shù)關(guān)系式線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”穩(wěn)態(tài)(stea

2、dy-state)行為周期(periodic)行為“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”衰減(decay)行為成長(zhǎng)(growth)行為“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”穩(wěn)態(tài)(steady-state)行為“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”穩(wěn)態(tài)(steady-state)行為“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”周期(periodic)行為Two points attractorFour points attractor“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”非周期(non-periodic)行為混沌（chaos）“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”分岔（bifurcation）“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”初值敏感性差之毫厘，謬以千里差之毫厘，謬以千里n 假定某種昆蟲，在不

3、存在世代交疊的情況下（即每年夏天成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個(gè)蟲卵孵化成蟲），很顯然，若產(chǎn)卵數(shù)大于1，蟲口就會(huì)迅速增加，“蟲滿為患”。n 事實(shí)上，在蟲口數(shù)目增大的同時(shí)又由于爭(zhēng)奪有限的食物和生存空間而不斷發(fā)生咬斗事件，也可能因接觸感染而導(dǎo)致疾病蔓延，這樣又會(huì)使蟲口減少。綜合考慮正增長(zhǎng)和負(fù)增長(zhǎng)兩種因素的作用)1 (1nnnxxx“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”蝴蝶扇動(dòng)翅膀的時(shí)候誰(shuí)知道蝴蝶扇動(dòng)翅膀的時(shí)候誰(shuí)知道會(huì)發(fā)生什么？會(huì)發(fā)生什么？ Lorenz：美國(guó)數(shù)學(xué)家與氣象學(xué)家“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”- 蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)電影：蝴蝶效應(yīng) THE BUTTERFLY EFFECTChange one thing, c

4、hange everything?！皶r(shí)光日記本”“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”- 蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)20世紀(jì)物理學(xué)三大理論：u相對(duì)論：否定了時(shí)間和空間的絕對(duì)性；（高速運(yùn)動(dòng)）u量子論：否定了粒子與波的絕對(duì)性；（微觀運(yùn)動(dòng)）u混沌論：否定了可預(yù)見的絕對(duì)性；（非線性運(yùn)動(dòng)）決定論決定論隨機(jī)論混沌論“隨時(shí)間而發(fā)生某種變化，其變化并非隨機(jī)而貌似隨機(jī)”Lorenz The Essence of Chaos “認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”- 混沌論混沌論“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”-工程振動(dòng)工程振動(dòng)非線性非線性學(xué)科學(xué)科物理物理控制控制力學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)新理論新原理新模型新方法新問題新應(yīng)用機(jī)械系統(tǒng) 工程非線性振動(dòng)問題“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)

5、非線性”-工程振動(dòng)工程振動(dòng) 材料非線性材料非線性：當(dāng)彈性元件的材料應(yīng)力超過比例極限，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不再是線性關(guān)系，彈性元件的恢復(fù)力與變形不再是線性關(guān)系，彈性力是位移的非線性函數(shù)。xF硬彈簧軟彈簧線性彈簧3( )F xkxx“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”-工程振動(dòng)工程振動(dòng) 車輛懸架的主彈簧和副彈簧 振動(dòng)機(jī)械的分組彈簧0 xxF0 xF1001020010200()( )()()()()k xxxxF xk xkxxxxk xkxxxx 分段線性分段線性：彈性力是位移的分段線性函數(shù)?！罢J(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”-工程振動(dòng)工程振動(dòng) 分段線性分段線性：彈性力是位移的分段線性函數(shù)。 連接彈簧存在間隙 彈簧有預(yù)緊力

6、 0000000()( )()()()()xxxF xk xxxxk xxxx 0 xxF0 xxF0F0000()( )()FkxxxF xFkxxx“認(rèn)識(shí)非線性認(rèn)識(shí)非線性”-工程振動(dòng)工程振動(dòng) 幾何非線性幾何非線性：材料本身仍屬于彈性范圍，由于幾何原因?qū)е挛灰戚^大，在建立運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)必須考慮這種位移，使得恢復(fù)力與位移的關(guān)系成為非線性函數(shù)。 張緊的弦 單擺 TxFT0 xmxF3002()xTxFxEATll通常彈性材料：硬特性非線性超彈性材料：軟特性非線性lmsin0gl316xgFl單擺：軟特性非線性 Section 1 Section 1 非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)介非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)介 返回首頁(yè)無阻尼自

7、由動(dòng)微分方程無阻尼自由動(dòng)微分方程 2n0 xx00nnncossinxxxttnsin()xAt2200nn00()arctan()xAxxx初相位角 振 幅 返回首頁(yè)有阻尼自由振動(dòng)微分方程有阻尼自由振動(dòng)微分方程 2nn20 xxx012345678910-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2ndesin()txAt有阻尼受迫振動(dòng)微分方程有阻尼受迫振動(dòng)微分方程 22nnn2sinxxxAt2( )sinx tXt22211222arctan105101520253035404550-1-0.500.511.5 返回首頁(yè)線性有阻尼受迫振動(dòng)：共振特性線性有阻尼受迫振動(dòng)：共振特性

8、 0123012345( ) 01 . 025. 0375. 05 . 0122211(2)XA由由“線性線性”到到“非線性非線性” 返回首頁(yè) Section 1 Section 1 非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)介非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)介目 錄fspmyFFFfFcy 22sp(1)Fka yy0cosFFt230cosmycykyka yFt具有周期激勵(lì)的非線性系統(tǒng)：具有周期激勵(lì)的非線性系統(tǒng)：達(dá)芬（達(dá)芬（DuffingDuffing）方程）方程 mxcxkxf t非線性振動(dòng)模型：非線性振動(dòng)模型：( , , )( , , )( , , ), , ,mckfx x xfx x xfx x xfx x x t 慣性力阻尼力

9、彈性力激勵(lì)力( , )( , )( )ckmxfx xfx xf t對(duì)于多數(shù)機(jī)械系統(tǒng)將二階常微分方程降階為一階常微分方程：將二階常微分方程降階為一階常微分方程：1221212( )( ,)( ,) /ckxxxf tfx xfx xm( , )( , )( )ckmxfx xfx xf t任意的高維非線性振動(dòng)系統(tǒng)可表示為：任意的高維非線性振動(dòng)系統(tǒng)可表示為：1112211( ,)( ,)( ,)nnnnnxf t xxxf t xxxf t xx( , )txfx狀態(tài)方程狀態(tài)方程狀態(tài)方程狀態(tài)方程：( , )txfx自治系統(tǒng)（時(shí)不變系統(tǒng)）自治系統(tǒng)（時(shí)不變系統(tǒng)）( )xf x特例情況特例情況非自治系

10、統(tǒng)（時(shí)變系統(tǒng)）非自治系統(tǒng)（時(shí)變系統(tǒng)）( )0f xxx平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)： 返回首頁(yè) Section 1 Section 1 非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)介非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)介目 錄小車小車單擺單擺F 小車倒立擺系統(tǒng)小車倒立擺系統(tǒng) 小車倒立擺系統(tǒng)小車倒立擺系統(tǒng)單擺重心在水平和豎直方向上的牛頓定律：?jiǎn)螖[重心在水平和豎直方向上的牛頓定律：22dsindmyLHt22dcosdmLVmgt取對(duì)重心的力矩可得到轉(zhuǎn)矩方程：取對(duì)重心的力矩可得到轉(zhuǎn)矩方程：sincosIVLHL小車在水平方向上的牛頓定律：小車在水平方向上的牛頓定律：MyFHky 小車倒立擺系統(tǒng)小車倒立擺系統(tǒng)22sincos(cossin )ImgLmLmLyMyFm

11、yLLky22cossin1cossin( )mMmLmgLmLImLFmLkyy 2222( )()()cosImLmMm L 帶旋轉(zhuǎn)制動(dòng)的平移振蕩器帶旋轉(zhuǎn)制動(dòng)的平移振蕩器22dsindcxmxLFt22dcosdymLFmgtsincosyxIuF LF LcxccMxFkxcx 簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)方程？簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)方程？狀態(tài)方程？狀態(tài)方程？ Section 1 Section 1 非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)介非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)介習(xí) 題一個(gè)與無限長(zhǎng)總線連接的同步發(fā)電機(jī)：123sincosqqqFDMPDEEEE (a) 用角位移、角速度和電壓作為狀態(tài)變量，寫出狀態(tài)方程；(b) 設(shè)1230.815,1.22,2.0,2.7,1.76.6,0.