S1-非線性系統(tǒng)簡介

1、非線性系統(tǒng)理論非線性系統(tǒng)理論參考書：參考書：非線性系統(tǒng)理論及應用 曹建福編著 2001 非線性系統(tǒng)理論 方勇純 編著 2005 非線性系統(tǒng)理論 康惠駿 編著 2010 教材：教材：非線性系統(tǒng)（第三版）Hassan K.Khalil 著 2011北京科技大學機械工程學院北京科技大學機械工程學院授課教師：授課教師：郜志英機械工程研究生學科前沿課程機械工程研究生學科前沿課程課程考核：課程考核：平時作業(yè)（40分）+考試成績（60分）“認識非線性認識非線性”Xt+1= f (Xt)X : 系統(tǒng)狀態(tài)t : 離散時間f : 函數(shù)關系式線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)“認識非線性認識非線性”穩(wěn)態(tài)(stea

2、dy-state)行為周期(periodic)行為“認識非線性認識非線性”衰減(decay)行為成長(growth)行為“認識非線性認識非線性”穩(wěn)態(tài)(steady-state)行為“認識非線性認識非線性”穩(wěn)態(tài)(steady-state)行為“認識非線性認識非線性”周期(periodic)行為Two points attractorFour points attractor“認識非線性認識非線性”非周期(non-periodic)行為混沌（chaos）“認識非線性認識非線性”分岔（bifurcation）“認識非線性認識非線性”初值敏感性差之毫厘，謬以千里差之毫厘，謬以千里n 假定某種昆蟲，在不

3、存在世代交疊的情況下（即每年夏天成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化成蟲），很顯然，若產(chǎn)卵數(shù)大于1，蟲口就會迅速增加，“蟲滿為患”。n 事實上，在蟲口數(shù)目增大的同時又由于爭奪有限的食物和生存空間而不斷發(fā)生咬斗事件，也可能因接觸感染而導致疾病蔓延，這樣又會使蟲口減少。綜合考慮正增長和負增長兩種因素的作用)1 (1nnnxxx“認識非線性認識非線性”蝴蝶扇動翅膀的時候誰知道蝴蝶扇動翅膀的時候誰知道會發(fā)生什么？會發(fā)生什么？ Lorenz：美國數(shù)學家與氣象學家“認識非線性認識非線性”- 蝴蝶效應蝴蝶效應電影：蝴蝶效應 THE BUTTERFLY EFFECTChange one thing, c

4、hange everything?！皶r光日記本”“認識非線性認識非線性”- 蝴蝶效應蝴蝶效應20世紀物理學三大理論：u相對論：否定了時間和空間的絕對性；（高速運動）u量子論：否定了粒子與波的絕對性；（微觀運動）u混沌論：否定了可預見的絕對性；（非線性運動）決定論決定論隨機論混沌論“隨時間而發(fā)生某種變化，其變化并非隨機而貌似隨機”Lorenz The Essence of Chaos “認識非線性認識非線性”- 混沌論混沌論“認識非線性認識非線性”-工程振動工程振動非線性非線性學科學科物理物理控制控制力學力學數(shù)學數(shù)學新理論新原理新模型新方法新問題新應用機械系統(tǒng) 工程非線性振動問題“認識非線性認識

5、非線性”-工程振動工程振動 材料非線性材料非線性：當彈性元件的材料應力超過比例極限，應力-應變關系不再是線性關系，彈性元件的恢復力與變形不再是線性關系，彈性力是位移的非線性函數(shù)。xF硬彈簧軟彈簧線性彈簧3( )F xkxx“認識非線性認識非線性”-工程振動工程振動 車輛懸架的主彈簧和副彈簧 振動機械的分組彈簧0 xxF0 xF1001020010200()( )()()()()k xxxxF xk xkxxxxk xkxxxx 分段線性分段線性：彈性力是位移的分段線性函數(shù)。“認識非線性認識非線性”-工程振動工程振動 分段線性分段線性：彈性力是位移的分段線性函數(shù)。 連接彈簧存在間隙 彈簧有預緊力

6、 0000000()( )()()()()xxxF xk xxxxk xxxx 0 xxF0 xxF0F0000()( )()FkxxxF xFkxxx“認識非線性認識非線性”-工程振動工程振動 幾何非線性幾何非線性：材料本身仍屬于彈性范圍，由于幾何原因?qū)е挛灰戚^大，在建立運動微分方程時必須考慮這種位移，使得恢復力與位移的關系成為非線性函數(shù)。 張緊的弦 單擺 TxFT0 xmxF3002()xTxFxEATll通常彈性材料：硬特性非線性超彈性材料：軟特性非線性lmsin0gl316xgFl單擺：軟特性非線性 Section 1 Section 1 非線性系統(tǒng)簡介非線性系統(tǒng)簡介 返回首頁無阻尼自

7、由動微分方程無阻尼自由動微分方程 2n0 xx00nnncossinxxxttnsin()xAt2200nn00()arctan()xAxxx初相位角 振 幅 返回首頁有阻尼自由振動微分方程有阻尼自由振動微分方程 2nn20 xxx012345678910-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2ndesin()txAt有阻尼受迫振動微分方程有阻尼受迫振動微分方程 22nnn2sinxxxAt2( )sinx tXt22211222arctan105101520253035404550-1-0.500.511.5 返回首頁線性有阻尼受迫振動：共振特性線性有阻尼受迫振動：共振特性

8、 0123012345( ) 01 . 025. 0375. 05 . 0122211(2)XA由由“線性線性”到到“非線性非線性” 返回首頁 Section 1 Section 1 非線性系統(tǒng)簡介非線性系統(tǒng)簡介目 錄fspmyFFFfFcy 22sp(1)Fka yy0cosFFt230cosmycykyka yFt具有周期激勵的非線性系統(tǒng)：具有周期激勵的非線性系統(tǒng)：達芬（達芬（DuffingDuffing）方程）方程 mxcxkxf t非線性振動模型：非線性振動模型：( , , )( , , )( , , ), , ,mckfx x xfx x xfx x xfx x x t 慣性力阻尼力

9、彈性力激勵力( , )( , )( )ckmxfx xfx xf t對于多數(shù)機械系統(tǒng)將二階常微分方程降階為一階常微分方程：將二階常微分方程降階為一階常微分方程：1221212( )( ,)( ,) /ckxxxf tfx xfx xm( , )( , )( )ckmxfx xfx xf t任意的高維非線性振動系統(tǒng)可表示為：任意的高維非線性振動系統(tǒng)可表示為：1112211( ,)( ,)( ,)nnnnnxf t xxxf t xxxf t xx( , )txfx狀態(tài)方程狀態(tài)方程狀態(tài)方程狀態(tài)方程：( , )txfx自治系統(tǒng)（時不變系統(tǒng)）自治系統(tǒng)（時不變系統(tǒng)）( )xf x特例情況特例情況非自治系

10、統(tǒng)（時變系統(tǒng)）非自治系統(tǒng)（時變系統(tǒng)）( )0f xxx平衡點平衡點： 返回首頁 Section 1 Section 1 非線性系統(tǒng)簡介非線性系統(tǒng)簡介目 錄小車小車單擺單擺F 小車倒立擺系統(tǒng)小車倒立擺系統(tǒng) 小車倒立擺系統(tǒng)小車倒立擺系統(tǒng)單擺重心在水平和豎直方向上的牛頓定律：單擺重心在水平和豎直方向上的牛頓定律：22dsindmyLHt22dcosdmLVmgt取對重心的力矩可得到轉(zhuǎn)矩方程：取對重心的力矩可得到轉(zhuǎn)矩方程：sincosIVLHL小車在水平方向上的牛頓定律：小車在水平方向上的牛頓定律：MyFHky 小車倒立擺系統(tǒng)小車倒立擺系統(tǒng)22sincos(cossin )ImgLmLmLyMyFm

11、yLLky22cossin1cossin( )mMmLmgLmLImLFmLkyy 2222( )()()cosImLmMm L 帶旋轉(zhuǎn)制動的平移振蕩器帶旋轉(zhuǎn)制動的平移振蕩器22dsindcxmxLFt22dcosdymLFmgtsincosyxIuF LF LcxccMxFkxcx 簡化的動力學方程？簡化的動力學方程？狀態(tài)方程？狀態(tài)方程？ Section 1 Section 1 非線性系統(tǒng)簡介非線性系統(tǒng)簡介習 題一個與無限長總線連接的同步發(fā)電機：123sincosqqqFDMPDEEEE (a) 用角位移、角速度和電壓作為狀態(tài)變量，寫出狀態(tài)方程；(b) 設1230.815,1.22,2.0,2.7,1.76.6,0.