變形及剛度計(jì)算(改)ppt課件

1、第八章第八章 變形及剛度計(jì)算變形及剛度計(jì)算第八章第八章變形及剛度計(jì)算變形及剛度計(jì)算主講教師：余茜主講教師：余茜8 1 8 1 軸向拉伸桿的變形軸向拉伸桿的變形8 2 8 2 圓軸改動(dòng)時(shí)的變形和剛度計(jì)算圓軸改動(dòng)時(shí)的變形和剛度計(jì)算8 3 8 3 梁的變形及剛度計(jì)算梁的變形及剛度計(jì)算8 4 8 4 簡(jiǎn)單超靜定問題簡(jiǎn)單超靜定問題目目 錄錄第二章第二章 軸向拉伸和緊縮軸向拉伸和緊縮 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形FF一、軸向拉壓的變形分析一、軸向拉壓的變形分析FFl0 lll1 1ll1ld1dd1d軸向拉伸：軸向拉伸：縱向伸長(zhǎng)、橫向縮

2、短縱向伸長(zhǎng)、橫向縮短縱向伸長(zhǎng)量：縱向伸長(zhǎng)量：橫向縮短量：橫向縮短量：0 ddd1 0 lll1軸向緊縮：軸向緊縮：縱向縮短、橫向伸長(zhǎng)縱向縮短、橫向伸長(zhǎng)縱向縮短量：縱向縮短量：橫向伸長(zhǎng)量：橫向伸長(zhǎng)量：0 ddd1注：絕對(duì)變形量缺乏以描畫變形的程度，尤其對(duì)于長(zhǎng)度不一注：絕對(duì)變形量缺乏以描畫變形的程度，尤其對(duì)于長(zhǎng)度不一的桿件，因此引入應(yīng)變的概念。的桿件，因此引入應(yīng)變的概念。FFFFl1ll1ld1dd1d lll11、縱軸向變形量：、縱軸向變形量：2、橫向變形量：、橫向變形量： ddd1二、線應(yīng)變二、線應(yīng)變軸向線應(yīng)變：軸向線應(yīng)變：線應(yīng)變：將絕對(duì)伸長(zhǎng)量除以桿件的初始尺寸，即得單位伸長(zhǎng)，線應(yīng)變：將絕對(duì)伸

3、長(zhǎng)量除以桿件的初始尺寸，即得單位伸長(zhǎng)，稱之為線應(yīng)變。稱之為線應(yīng)變。ll 橫向線應(yīng)變：橫向線應(yīng)變：dd 3、線應(yīng)變的符號(hào)商定：、線應(yīng)變的符號(hào)商定： 與變形量的正負(fù)號(hào)一致，即拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?fù)。與變形量的正負(fù)號(hào)一致，即拉應(yīng)變?yōu)檎瑝簯?yīng)變?yōu)樨?fù)。 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 上式闡明，在線彈性范圍內(nèi)軸向拉、壓桿件的上式闡明，在線彈性范圍內(nèi)軸向拉、壓桿件的伸長(zhǎng)或縮短量伸長(zhǎng)或縮短量 l ，與軸力，與軸力 FN和桿長(zhǎng)和桿長(zhǎng) l 成正比成正比,與與EA 成反比。成反比。lEAFlEllNEA抗拉壓剛度抗拉壓剛度 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形AFNE 由胡克定律由胡

4、克定律且且軸向線應(yīng)變：軸向線應(yīng)變：ll EAlFlNEAlFlNE彈性模量彈性模量EAEA抗拉壓剛度抗拉壓剛度 l 表示長(zhǎng)為表示長(zhǎng)為 l的桿件在軸力的桿件在軸力 FN的作用下的伸長(zhǎng)量或縮短量的作用下的伸長(zhǎng)量或縮短量條件：桿件在條件：桿件在 l長(zhǎng)范圍內(nèi)長(zhǎng)范圍內(nèi)EA和和FN均為常數(shù)。均為常數(shù)。EA(x)(x)dxF(dx)NlNlEA(x)(x)dxF(dx)Ln1iiiiNEAlFL 當(dāng)當(dāng)EAEA和和FNFN在桿長(zhǎng)范圍內(nèi)分段為常數(shù)時(shí)在桿長(zhǎng)范圍內(nèi)分段為常數(shù)時(shí)N（x）xd x(x)FN+FN圖圖 當(dāng)當(dāng)EAEA和和FNFN在桿長(zhǎng)范圍內(nèi)為位置的函數(shù)時(shí)在桿長(zhǎng)范圍內(nèi)為位置的函數(shù)時(shí) 8-1 8-1 軸向拉壓桿

5、的變形軸向拉壓桿的變形三、泊松比三、泊松比 當(dāng)桿件受拉伸沿縱向伸長(zhǎng)時(shí)，橫向那么縮短；當(dāng)桿件當(dāng)桿件受拉伸沿縱向伸長(zhǎng)時(shí)，橫向那么縮短；當(dāng)桿件受緊縮沿縱向縮短時(shí)，橫向那么伸長(zhǎng)。受緊縮沿縱向縮短時(shí)，橫向那么伸長(zhǎng)。FFb1h1bh橫向線應(yīng)變：橫向線應(yīng)變：bbbbbhhhhh11ll 縱向線應(yīng)變：縱向線應(yīng)變：實(shí)驗(yàn)闡明，對(duì)于同一種線彈性資料，存在如下關(guān)系：實(shí)驗(yàn)闡明，對(duì)于同一種線彈性資料，存在如下關(guān)系： 稱為泊松比，量綱為一稱為泊松比，量綱為一負(fù)號(hào)表示縱向與橫負(fù)號(hào)表示縱向與橫向變形的方向總是相反向變形的方向總是相反l1l 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形40KN20KN10KN+50kN20k

6、N30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3m1m。求桿的總變形求桿的總變形。彈性模量彈性模量材料的材料的積，受力如圖。積，受力如圖。已知桿的長(zhǎng)度、截面面已知桿的長(zhǎng)度、截面面例例MPa10125 .EEAlFLLLLLLNDECDBCABiAE分析：多力作用下，分析：多力作用下，整個(gè)桿長(zhǎng)范圍內(nèi)軸力整個(gè)桿長(zhǎng)范圍內(nèi)軸力分段為常數(shù)，只能分分段為常數(shù)，只能分段求變形，再求和。段求變形，再求和。 又由于又由于BD段內(nèi)雖然軸力段內(nèi)雖然軸力為常數(shù)，但截面面積又分兩為常數(shù)，但截面面積又分兩段，所以要分段，所以要分4段求變形。段求變形。FN圖圖 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形40K

7、N20KN10KN+50kN20kN30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3m1m。求桿的總變形求桿的總變形。彈性模量彈性模量材料的材料的積，受力如圖。積，受力如圖。已知桿的長(zhǎng)度、截面面已知桿的長(zhǎng)度、截面面例例MPa10125 .EEAlFLLLLLLNDECDBCABiAEFN圖圖0.762mm250102.11011040L533AB0.381mm250102.11021010L533BC0.238mm200102.11011010L533CD 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形40KN20KN10KN+50kN20kN30kN21250mmA 22200mmA

8、 1m2m3m1m。求桿的總變形求桿的總變形。彈性模量彈性模量材料的材料的積，受力如圖。積，受力如圖。已知桿的長(zhǎng)度、截面面已知桿的長(zhǎng)度、截面面例例MPa10125 .EEAlFLLLLLLNDECDBCABiAEFN圖圖1.572mm1.4290.2380.3810.762LAE1.429mm200102.11031020L533DE即桿被壓短了即桿被壓短了1.572mm1.572mm 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形下下的的伸伸長(zhǎng)長(zhǎng)量量。求求自自重重作作用用長(zhǎng)長(zhǎng)抗抗拉拉剛剛度度等等直直桿桿容容重重為為例例lEA, ayqy(y)FNyqLqEA11 GAlql b c解：解：

9、把自重簡(jiǎn)化為沿著軸線均勻分布的線荷載，集度把自重簡(jiǎn)化為沿著軸線均勻分布的線荷載，集度qA恣意取一個(gè)截面恣意取一個(gè)截面11，畫受力圖。軸力，畫受力圖。軸力qy(y)FN在在11截面處取出一微段截面處取出一微段dy作為研討對(duì)象，受力如圖。作為研討對(duì)象，受力如圖。由于取的是微段，由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，以為在微段可以忽略，以為在微段dy上軸上軸力均勻分布常數(shù)力均勻分布常數(shù)dy(y)dF(y)FNNqy(y)FN 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形下下的的伸伸長(zhǎng)長(zhǎng)量量。求求自自重重作作用用長(zhǎng)長(zhǎng)抗抗拉拉剛剛度度等等直直桿桿容容重重為為例例lEA, ayqy(y)FNyqLqE

10、A11dy c2EAGL2EALAL2EAALL2(y)dF(y)FNNqy(y)FNEA(y)dyFLdN2EAAL2EAqLEAqydyEA(y)dyFLdL22L0LNL 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 ayqy(y)FNyqLqEA11dy c2EAGL2EALAL2EAALL2(y)dF(y)FNNqy(y)FN結(jié)論：等直桿由自重引起的變形量等于把自重當(dāng)作集結(jié)論：等直桿由自重引起的變形量等于把自重當(dāng)作集中力作用在桿端所引起的變形量的一半。中力作用在桿端所引起的變形量的一半。LEAG令取一根一樣的桿件，把它的自重作為一個(gè)集中力作令取一根一樣的桿件，把它的自重作為一個(gè)集

11、中力作用在自在端，此時(shí)桿件的伸長(zhǎng)量為用在自在端，此時(shí)桿件的伸長(zhǎng)量為EAGLLL21L 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 8 2 8 2 圓桿改動(dòng)時(shí)的變形和剛度計(jì)算圓桿改動(dòng)時(shí)的變形和剛度計(jì)算一、改動(dòng)變形一、改動(dòng)變形改動(dòng)角改動(dòng)角抗扭剛度抗扭剛度扭率：扭率：pTGIM 單位長(zhǎng)度改動(dòng)角扭率描畫單位長(zhǎng)度改動(dòng)角扭率描畫了改動(dòng)變形的猛烈程度了改動(dòng)變形的猛烈程度pGI改動(dòng)角：改動(dòng)角：dxGIMdxl0pTl單位：?jiǎn)挝唬簉adradpTGIlM一、改動(dòng)變形一、改動(dòng)變形改動(dòng)角改動(dòng)角改動(dòng)角：改動(dòng)角：dxGIMdxl0pTl當(dāng)在桿長(zhǎng)當(dāng)在桿長(zhǎng)l l內(nèi)扭率為常數(shù)時(shí)內(nèi)扭率為常數(shù)時(shí)單位：?jiǎn)挝唬簉adrad當(dāng)在

12、桿長(zhǎng)當(dāng)在桿長(zhǎng)l l內(nèi)扭率分段為常內(nèi)扭率分段為常數(shù)時(shí)，用求和公式數(shù)時(shí)，用求和公式piiiTiIGlM 8 2 8 2 圓桿改動(dòng)時(shí)的變形和剛度計(jì)算圓桿改動(dòng)時(shí)的變形和剛度計(jì)算二、剛度條件二、剛度條件 GITp以度每米為單位時(shí)以度每米為單位時(shí)以弧度每米為單位時(shí)以弧度每米為單位時(shí) 180GITp許用單位長(zhǎng)度改動(dòng)角許用單位長(zhǎng)度改動(dòng)角三、剛度條件的運(yùn)用三、剛度條件的運(yùn)用1 1校核剛度校核剛度2 2設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面3 3確定荷載確定荷載 rad/m/m 8 2 8 2 圓桿改動(dòng)時(shí)的變形和剛度計(jì)算圓桿改動(dòng)時(shí)的變形和剛度計(jì)算 例題：圓軸如下圖。知例題：圓軸如下圖。知d1=75mm，d2=110mm。資料。資料的許

13、用切應(yīng)力的許用切應(yīng)力 =40MPa，軸的許用單位改動(dòng)角，軸的許用單位改動(dòng)角 =0. 8/m，剪切彈性模量，剪切彈性模量G=80GPa。試校核該軸。試校核該軸的改動(dòng)強(qiáng)度和剛度。的改動(dòng)強(qiáng)度和剛度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.md2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m解：強(qiáng)度校核解：強(qiáng)度校核MPaWMpT6 .301611010836222T T圖圖1 12 2MPaWMpT2 .36167510336111 MPa2361.max滿足強(qiáng)度條件滿足強(qiáng)度條件分析：雖然分析：雖然MTABMTBCMTAB0M 0 , M 0 , M 0曲線向下凸曲線向下凸 時(shí)時(shí) ：

14、 y 0 y 0因此因此, M , M 與與 y y的正負(fù)號(hào)相反的正負(fù)號(hào)相反oxy推導(dǎo)公式推導(dǎo)公式 zEIxM)(2321)( yyzEIxMyy)()( 2321二、二、 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程zEIxMy)(此式稱為此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程近似緣由近似緣由 : (1) : (1) 略去了剪力的影響略去了剪力的影響 ; (2) ; (2) 略去了略去了 y 2 y 2 項(xiàng)。項(xiàng)。2y與與 1 1 相比非常微小而可以忽略不計(jì)相比非常微小而可以忽略不計(jì), , 故上式可近似為故上式可近似為推導(dǎo)公式推導(dǎo)公式zEIxMyy)()( 2321二、二、 撓曲線

15、的近似微分方程撓曲線的近似微分方程三、三、 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形zEIxMy)(梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)再積分一次再積分一次, , 得撓度方程得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程CM(x)dxyEIEIZZDCxM(x)dxyEI2z式中式中C C 、D D稱為積分常數(shù)，可經(jīng)過梁撓曲線的位移邊境條件稱為積分常數(shù)，可經(jīng)過梁撓曲線的位移邊境條件和變形延續(xù)光滑條件來確定。和變形延續(xù)光滑條件來確定。AB0yA0yB0yA0 AAB在簡(jiǎn)支梁中，在簡(jiǎn)支梁中， 左右兩鉸支座處的撓度左右兩鉸支座處的撓度 yA yA 和和 yB yB

16、 都應(yīng)等于零邊境；都應(yīng)等于零邊境；C C左、左、C C右截右截面的饒度、轉(zhuǎn)角相等變形延續(xù)光滑。面的饒度、轉(zhuǎn)角相等變形延續(xù)光滑。在懸臂梁在懸臂梁 中，固定端處的撓度中，固定端處的撓度 yAyA和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 A A 都應(yīng)等于零。都應(yīng)等于零。二、位移邊境條件和變形延續(xù)條件二、位移邊境條件和變形延續(xù)條件位移邊境條件：位移邊境條件：yA yA 0 0 ，yB yB 0 0位移邊境條件：位移邊境條件：yA yA 0 0 ， A A 0 0留意：位移邊境條件在支座處留意：位移邊境條件在支座處 變形延續(xù)條件中間在分段點(diǎn)變形延續(xù)條件中間在分段點(diǎn)變形延續(xù)條件：變形延續(xù)條件：CyyCC2121CCyC1 yC1 y

17、C2 yC2 ， C1 C1 C2C2三、三、 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形注注 意意 當(dāng)梁上的外力將梁分為數(shù)段時(shí)，由于各段梁當(dāng)梁上的外力將梁分為數(shù)段時(shí)，由于各段梁的彎矩方程不同，因此梁的撓曲線近似微分方程的彎矩方程不同，因此梁的撓曲線近似微分方程需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程也隨之而異。方程也隨之而異。ABFDabl三、三、 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形1 1、正確分段，分別列彎矩方程；、正確分段，分別列彎矩方程；2 2、分段列近似微分方程，一次積分得轉(zhuǎn)角方程，再此積、分段列近似微分方程，一次積分得轉(zhuǎn)角方程，再此積分得

18、撓度方程；分得撓度方程；3 3、由位移邊境條件和變形延續(xù)條件求得積分常數(shù)。、由位移邊境條件和變形延續(xù)條件求得積分常數(shù)。步步 驟驟留意：留意：1、位移邊境條件在支座處，變形延續(xù)條件在中間分段、位移邊境條件在支座處，變形延續(xù)條件在中間分段點(diǎn)處；點(diǎn)處；2、分、分n段，就要列段，就要列n個(gè)彎矩方程，就有個(gè)彎矩方程，就有n個(gè)轉(zhuǎn)角方程和個(gè)轉(zhuǎn)角方程和n個(gè)撓度方程，因此就有個(gè)撓度方程，因此就有2n個(gè)積分常數(shù)，就必需列出個(gè)積分常數(shù)，就必需列出2n個(gè)補(bǔ)充方程邊境條件和變形延續(xù)條件個(gè)補(bǔ)充方程邊境條件和變形延續(xù)條件三、三、 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形CDAFB例題例題 ：用積分法求位移時(shí)，：用積分法求位移時(shí)

19、，圖示梁應(yīng)分幾段來列撓曲線圖示梁應(yīng)分幾段來列撓曲線的近似微分方程？試分別列的近似微分方程？試分別列出確定積分常數(shù)時(shí)需用的邊出確定積分常數(shù)時(shí)需用的邊境條件和變形延續(xù)條件。境條件和變形延續(xù)條件。3m3m2mq解：分解：分ACAC、CBCB、BDBD三段三段1位移邊境條件：位移邊境條件：變形延續(xù)條件：變形延續(xù)條件：yA yA 0 0yC1 yC1 yC2 yC2 ， C1 C1 C2C223應(yīng)該列應(yīng)該列6 6個(gè)補(bǔ)充方程個(gè)補(bǔ)充方程yB2 yB2 yB3 yB3 ， B2 B2 B3B3A A截面：截面：x1=0 x1=0時(shí)，時(shí)，C C截面：截面：x1=x2=3mx1=x2=3m時(shí)，時(shí)，B B截面：截面

20、：x2=x3=6mx2=x3=6m時(shí)，時(shí)，B B截面：截面：x2=x3=6mx2=x3=6m時(shí)，時(shí)， yB yB 0 0 x例題例題 ：圖示一抗彎剛度為：圖示一抗彎剛度為 EI EI 的懸臂梁的懸臂梁, , 在自在端受一在自在端受一集中力集中力 P P 作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, , 并并確定其最大撓度確定其最大撓度 ymax ymax 和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角 max max 。 lyABxP P(1) )()(xlPxM彎矩方程為彎矩方程為解：解：撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為(2) )( PxPlxMEIyx)(xMyEI lyABx

21、P P(3) 212CPxPlxEIy對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)展積分對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)展積分)4(622132CxCPxPlxEIy0,00,0yxyx邊境條件為邊境條件為 ：C1=0 C2=0C1=0 C2=0將邊境條件代入將邊境條件代入(3) (4)(3) (4)兩式中兩式中, ,可得可得(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIyxlyABxP PC1=0 C2=0C1=0 C2=0(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIy梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為EIPxEIPlxy22EIPxEIPlxy6

22、232xlyABxP P max max 及及 ymaxymax都發(fā)生在自在端截面處都發(fā)生在自在端截面處 EIPlyylx33|maxlyABxP PfmaxmaxEIPlEIPlEIPllx22222|max ymax例題例題 ：圖示一抗彎剛度為：圖示一抗彎剛度為EI EI的簡(jiǎn)支梁的簡(jiǎn)支梁, , 在在D D點(diǎn)處受一點(diǎn)處受一集中力集中力P P的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求并求D D截面的撓度和截面的撓度和A A、B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角ABPDabllbPFRAlaPFRB解：梁的兩個(gè)支反力為解：梁的兩個(gè)支反力為ABPDablRARBFR

23、AFRB)(axxlbPxFMRA0112)()(lxaaxPxlbPM2xx1 1、分兩段分別列彎矩方程、分兩段分別列彎矩方程2、兩段梁的撓曲線方程分別為、兩段梁的撓曲線方程分別為xlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(2DxCaxPxlbPEIy223326)(612撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程( 0 x a)( a x )l)(axxlbPxFMRA01)()(lxaaxPxlbPM2可見，梁分兩段，就有可見，梁分兩段，就有4個(gè)積分常數(shù)個(gè)積分常數(shù)D D點(diǎn)的延續(xù)條件：

24、點(diǎn)的延續(xù)條件：在在 x1x2 = a 處處21yyyy21邊境條件邊境條件在在處，處，在在 X = 0 X = 0 處，處，01ylx 02yABPDabl12RARBFRAFRB3 3、邊境條件和變形延續(xù)條件、邊境條件和變形延續(xù)條件代入方程可解得：代入方程可解得：021DD)(62221bllPbCCxlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(212撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程( 0 x a)( a x )lDxCaxPxlbPEIy223326)(6在在處，處，在在 X

25、= 0 X = 0 處，處，01ylx 02y在在 x1x2 = a 處處21yyyy21021DD)(62221bllPbCCxlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(212撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程( 0 x a)( a x )lDxCaxPxlbPEIy223326)(6)(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332)(

26、31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332lEIblPabxA601)(|將將 x = 0 x = 0 和和 x = l x = l 分別代入轉(zhuǎn)角方程，左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別代入轉(zhuǎn)角方程，左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角lEIalPabB6)(max當(dāng)當(dāng) a b a b 時(shí)時(shí), , 右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大lEIalPablxB62)(|ABPDabl12RARBFRAFRB)(31222211xbllEIPby1)(

27、ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332ABPDabl12RARBFRAFRBD截面的撓度：截面的撓度：把把x=a代入代入y1或者或者y2，得，得)(2226abllEIPaby|ax四、四、 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形力的獨(dú)立作用原理力的獨(dú)立作用原理在線彈性及小變形條件下，在線彈性及小變形條件下，梁的變形撓度梁的變形撓度y y和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角與荷載一直堅(jiān)持線性關(guān)與荷載一直堅(jiān)持線性關(guān)系，而且每個(gè)荷載引起的變形與其他同時(shí)作用的荷系，而且每個(gè)荷載引起的變形與其他同時(shí)作用的荷載無關(guān)。載

28、無關(guān)。疊加法的分類疊加法的分類直接疊加直接疊加梁上荷載可以化成假設(shè)干個(gè)典型荷梁上荷載可以化成假設(shè)干個(gè)典型荷載，每個(gè)典型荷載都可以直接查表求出位移，然載，每個(gè)典型荷載都可以直接查表求出位移，然后直接疊加；后直接疊加；間接疊加間接疊加梁上荷載不能化成直接查表的假設(shè)梁上荷載不能化成直接查表的假設(shè)干個(gè)典型荷載，需將梁進(jìn)展適當(dāng)轉(zhuǎn)換后才干利用干個(gè)典型荷載，需將梁進(jìn)展適當(dāng)轉(zhuǎn)換后才干利用表中結(jié)果進(jìn)展疊加計(jì)算。表中結(jié)果進(jìn)展疊加計(jì)算。四、四、 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形例題：一抗彎剛度為例題：一抗彎剛度為 EI EI 的簡(jiǎn)支梁受荷載如下圖。的簡(jiǎn)支梁受荷載如下圖。試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度試按疊加原理求

29、梁跨中點(diǎn)的撓度 yC yC 和支座處橫截和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角面的轉(zhuǎn)角 A A 、 B B 。A AB BmlC Cq解：將梁上荷載分為兩項(xiàng)解：將梁上荷載分為兩項(xiàng)簡(jiǎn)單的荷載，如圖簡(jiǎn)單的荷載，如圖b b、c c 所所示示(b)(b)A AB BmlC CqB BA AC CqB BA AmC C(C)yyyCmCqCAmAqABmBqB)(16384524EImlEIqlycqycmAqAmBqBmA AB BmlC CqA AC CqA AmC CEImlEIql3243( )EImlEIql6243( )查表，得查表，得例題：試?yán)茂B加法，求圖所示抗彎剛度為例題：試?yán)茂B加法，求圖所示抗彎剛度

30、為 EI EI 的簡(jiǎn)的簡(jiǎn)支梁跨中點(diǎn)的撓度支梁跨中點(diǎn)的撓度 yC yC 和兩端截面的轉(zhuǎn)角和兩端截面的轉(zhuǎn)角 A , A , B B 。l2lABC Cq解：解： 可視為正對(duì)稱可視為正對(duì)稱荷載與反對(duì)稱荷載荷載與反對(duì)稱荷載兩種情況的疊加。兩種情況的疊加。l2lABC CqABC Cq/2C CA AB B2q2qEIqlEIlqyC768538425441)(1 1正對(duì)稱荷載作用下正對(duì)稱荷載作用下EIqlEIlqBA482423311)(ABC Cq/22 2反對(duì)稱荷載作用下反對(duì)稱荷載作用下可將可將ACAC段和段和BCBC段分別視為受均布線荷載作用且長(zhǎng)度段分別視為受均布線荷載作用且長(zhǎng)度為為 l /2

31、l /2 的簡(jiǎn)支梁的簡(jiǎn)支梁在跨中在跨中C C截面處，撓度截面處，撓度 yc yc 等于零等于零 ，但，但 轉(zhuǎn)角不等于零轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的且該截面的 彎矩也等于零彎矩也等于零C CA AB B2q2qEIqlBA2422322)()(02yCC CA AB B2q2qEIql3843C CA AB B2q2q2 2反對(duì)稱荷載作用下反對(duì)稱荷載作用下將相應(yīng)的位移進(jìn)展疊將相應(yīng)的位移進(jìn)展疊加加, , 即得即得EIqlEIqlEIqlBBB38473844833321)(EIqlyyyCCC7685421EIEIEIqlqlqlAAA12838448333321l2lABC Cq例例7.6 7.6 等

32、截面外伸梁受力如圖等截面外伸梁受力如圖7.87.8a a所示，其抗彎剛所示，其抗彎剛度度EI EI為常數(shù)。試求自在端處的撓度為常數(shù)。試求自在端處的撓度 yCyC。BCEIAB(a)(b)CC1ylaFFaAB為根本部分為根本部分BC為附屬部分為附屬部分 根本部分根本部分ABAB的變形使附屬的變形使附屬部分部分BCBC產(chǎn)生的剛體位移，稱產(chǎn)生的剛體位移，稱為牽連位移為牽連位移 附屬部分附屬部分BCBC本身變形引起本身變形引起的位移，稱為附加位移的位移，稱為附加位移圖7.8BAC(c)alFMe=FaBCE IAB(a)(b)CCylaFFaBCEIAB(a)(b)CC1yCylaFFaBCE IA

33、B(a)(b)CCylaFFaC1y圖7.8BAC(c)al直線C2B2yFMe=Fa12CCCyyy例例7.6 7.6 等截面外伸梁受力如圖等截面外伸梁受力如圖7.87.8a a所示，其抗彎剛所示，其抗彎剛度度EI EI為常數(shù)。試求自在端處的撓度為常數(shù)。試求自在端處的撓度 yCyC。BCEIAB(a)(b)CC1ylaFFa牽連位移牽連位移 附加位移附加位移圖7.8BAC(c)alFMe=FaBCE IAB(a)(b)CCylaFFaBCEIAB(a)(b)CC1yCylaFFaBCE IAB(a)(b)CCylaFFaC1y圖7.8BAC(c)al直線C2B2yFMe=Fa313CFayE

34、I222tanCBByaae233BM lFlaEIEI2223CBFlayaEI12322()333CCCyyyFaFlaFalaEIEIEI例例7.7 7.7 變截面梁受力如圖變截面梁受力如圖7.97.9a a所示，試求自在端處所示，試求自在端處的撓度的撓度 yByB。(b)(a)l/2 FByE IB 1F2E IE IBCAl/2 l/2 C(c)l/2 l/2 yCCC直線Me=Fl/2F2EIB 2EIyA圖7.9BAC為根本部分為根本部分CB為附屬部分為附屬部分 (b)(a)l/2 FByE IB 1F2E IE IBCAl/2 l/2 C例題：一抗彎剛度為例題：一抗彎剛度為 E

35、I EI 的外伸梁受荷載如下圖的外伸梁受荷載如下圖, , 試按疊加原理并利用附表試按疊加原理并利用附表, , 求截面求截面 B B 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 B B 以及以及 A A 端和端和BC BC 中點(diǎn)中點(diǎn) D D 的撓度的撓度 y A y A 和和 yD yD 。 A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q解：將外伸梁沿解：將外伸梁沿 B B 截面截成兩段，將截面截成兩段，將AB AB 段看成段看成 B B 端固定的懸臂梁，端固定的懸臂梁，BC BC 段看成簡(jiǎn)支梁。段看成簡(jiǎn)支梁。A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2q2qA AB BB B 截面兩側(cè)的相互截面

36、兩側(cè)的相互作用力為：作用力為：qaMB2 2qa2qaqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq qA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁 BC BC 的受力情的受力情況與外伸梁況與外伸梁 AC AC 的的 BC BC 段的受力情況一樣段的受力情況一樣由簡(jiǎn)支梁由簡(jiǎn)支梁 BC BC 求得的求得的B B ，yDyD，就是外伸，就是外伸梁梁 AC AC 的的 B B ，yDyDA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁

37、BC BC 的變形就的變形就是是MB MB 和均布荷載和均布荷載 q q 分別引起變形的疊加。分別引起變形的疊加。q qB BC CD DB BC CD DqaMB2 (1)(1)求求 B B ，yDyDfDqBqq qB BC CD DfMBDMBBB BC CD DqaMB2 EIqaEIqlBq32433EIqaEIlMBBMB3233EIEIqaqlyDq243845544EIEIMqalMyBDB41642EIqaMBBBqB33EIMqayyyBDDqD244由疊加原理得由疊加原理得2q2qA AB B(2) (2) 求求 yAyA由于簡(jiǎn)支梁上由于簡(jiǎn)支梁上 B B 截面的轉(zhuǎn)動(dòng)，代動(dòng)

38、截面的轉(zhuǎn)動(dòng)，代動(dòng) AB AB 段一同作剛體運(yùn)段一同作剛體運(yùn)動(dòng)，使動(dòng)，使 A A 端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度 y1 y1 懸臂梁懸臂梁 AB AB 本身的彎曲變形，使本身的彎曲變形，使 A A 端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度 y2 y2y2y1qaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qBA AB BC CD Dq qByyyyaBA221EIqay8242)(EIEIEIqaqaqayA12437444因此，因此，A A端的總撓度應(yīng)為端的總撓度應(yīng)為查表，得查表，得2q2qA AB BqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qA AB BC

39、CD Dq qBBy2y1EIqaB33lflymax式中：式中：ymax ymax 為梁上最大的撓度；為梁上最大的撓度；l l 為梁的跨長(zhǎng)；為梁的跨長(zhǎng)； f / l f / l 為為 梁的答應(yīng)撓度與的跨長(zhǎng)比值。梁的答應(yīng)撓度與的跨長(zhǎng)比值。五、五、 梁的剛度校核梁的剛度校核剛度條件普通只校核撓度剛度條件普通只校核撓度留意：留意：1、建筑構(gòu)造即要滿足強(qiáng)度條件，同時(shí)也要滿足剛度條件；、建筑構(gòu)造即要滿足強(qiáng)度條件，同時(shí)也要滿足剛度條件；2、普通情況下，強(qiáng)度條件起控制造用，所以，在設(shè)計(jì)梁的、普通情況下，強(qiáng)度條件起控制造用，所以，在設(shè)計(jì)梁的截面時(shí)，用強(qiáng)度條件選擇梁的截面，選好后再代入剛度條件截面時(shí)，用強(qiáng)度條

40、件選擇梁的截面，選好后再代入剛度條件進(jìn)展校核。進(jìn)展校核。 梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI EI、梁的跨、梁的跨度、荷載、約束等要素有關(guān)。度、荷載、約束等要素有關(guān)。提高梁彎曲剛度的措施提高梁彎曲剛度的措施措施：措施：1、選用合理的截面外形，增大梁的抗彎剛度、選用合理的截面外形，增大梁的抗彎剛度EI ；2、改善構(gòu)造方式，調(diào)整跨長(zhǎng)；、改善構(gòu)造方式，調(diào)整跨長(zhǎng)；3、改動(dòng)加載方式；、改動(dòng)加載方式；4、添加約束，采用超靜定構(gòu)造；、添加約束，采用超靜定構(gòu)造；一、超靜定的概念一、超靜定的概念 8-4 8-4 簡(jiǎn)單超靜定問題簡(jiǎn)單超靜定問題 8-4 8-4 簡(jiǎn)單超靜定問題簡(jiǎn)單超靜定問題

41、靜定問題：?jiǎn)蝹€(gè)物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的靜定問題：?jiǎn)蝹€(gè)物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目，全部未知量均可求出，這樣的問獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目，全部未知量均可求出，這樣的問題稱為靜定問題，相應(yīng)的構(gòu)造稱為靜定構(gòu)造。題稱為靜定問題，相應(yīng)的構(gòu)造稱為靜定構(gòu)造。 超靜定或靜不定超靜定或靜不定 ：未知量的數(shù)目多于獨(dú)立的平衡方程的數(shù)：未知量的數(shù)目多于獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目，未知量不可全部求出，這樣的問題稱為超靜定問題，目，未知量不可全部求出，這樣的問題稱為超靜定問題，相應(yīng)的構(gòu)造稱為超靜定構(gòu)造。相應(yīng)的構(gòu)造稱為超靜定構(gòu)造。超出幾個(gè)未知量，就是幾次超靜定問題。超出幾個(gè)未知量，就是幾次超靜

42、定問題。通常超靜定問題需求建立補(bǔ)充方程，方可求解。通常超靜定問題需求建立補(bǔ)充方程，方可求解。在超靜定構(gòu)造中，假設(shè)不思索強(qiáng)度和剛度而僅針對(duì)維持構(gòu)在超靜定構(gòu)造中，假設(shè)不思索強(qiáng)度和剛度而僅針對(duì)維持構(gòu)造的平衡而言，有些約束是可以去掉的，這些約束稱為多造的平衡而言，有些約束是可以去掉的，這些約束稱為多余約束，與其相應(yīng)的支座反力稱為多余支反力。余約束，與其相應(yīng)的支座反力稱為多余支反力。獨(dú)立的平衡方程數(shù)：獨(dú)立的平衡方程數(shù)：2 23 36 6未知力數(shù)：未知力數(shù)：2+1+2+12+1+2+16 6獨(dú)立的平衡方程數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)= =未知力數(shù)未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)：獨(dú)立的平衡方程數(shù)：2 23 36 6未知力數(shù)

43、：未知力數(shù)：3+1+2+13+1+2+17 7未知力數(shù)未知力數(shù) 獨(dú)立的平衡方程數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜定問題靜定問題超靜定問題超靜定問題 8-4 8-4 簡(jiǎn)單超靜定問題簡(jiǎn)單超靜定問題 例題：兩端固定的等直桿例題：兩端固定的等直桿ABAB橫截面積為橫截面積為A A，彈性模量，彈性模量為為E E，在，在C C點(diǎn)處接受軸力點(diǎn)處接受軸力P P的作用，如圖的作用，如圖 所示所示 。計(jì)算。計(jì)算A A、B B的約束反力。的約束反力。 PblBACa 8-4 8-4 簡(jiǎn)單超靜定問題簡(jiǎn)單超靜定問題FRByPBFRAAC判別超靜定次數(shù)：這是一次超靜定問題。判別超靜定次數(shù)：這是一次超靜定問題。解：解：PblBAC1平衡方程為平衡方程為0PFFRBRAa 8-4 8-4 簡(jiǎn)單超靜定問題簡(jiǎn)單