矩陣的特征值和特征向量

1、第五章第五章1.1.概念的引入概念的引入2.2.特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的求法3.3.特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的性質(zhì)4.4.矩陣的對角化矩陣的對角化5.5.小結(jié)小結(jié)6.6.思考與練習(xí)思考與練習(xí)7.7.背景材料背景材料介紹性實例介紹性實例動力系統(tǒng)與斑點貓頭鷹動力系統(tǒng)與斑點貓頭鷹- 2 - 1990 1990年年, ,在利用或濫用太平洋西北部大面積森林在利用或濫用太平洋西北部大面積森林問題上問題上, ,北方的斑點貓頭鷹稱為一個爭論的焦點。如北方的斑點貓頭鷹稱為一個爭論的焦點。如果采伐原始森林的行為得不到制止的話果采伐原始森林的行為得不到制止的話, ,貓頭鷹將瀕貓頭鷹將瀕

2、臨滅絕的危險。臨滅絕的危險。 數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家加快了對斑點貓頭鷹種群的動力學(xué)數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家加快了對斑點貓頭鷹種群的動力學(xué)研究研究, ,并建立了種群模型形如并建立了種群模型形如kkAxx1的差分方程。的差分方程。這種方程被稱為離散動力系統(tǒng)。描述系統(tǒng)隨時間推移這種方程被稱為離散動力系統(tǒng)。描述系統(tǒng)隨時間推移變化。特征值與特征向量是剖析動力系統(tǒng)演變的關(guān)鍵變化。特征值與特征向量是剖析動力系統(tǒng)演變的關(guān)鍵. . 雖然討論的是離散動力系統(tǒng)雖然討論的是離散動力系統(tǒng), ,但特征值和特征向量但特征值和特征向量出現(xiàn)的背景要廣泛的多出現(xiàn)的背景要廣泛的多, ,還被用來研究連續(xù)動力系統(tǒng)還被用來研究連續(xù)動力系統(tǒng), ,為工程設(shè)計提供

3、關(guān)鍵知識為工程設(shè)計提供關(guān)鍵知識. .另外還出現(xiàn)在物理、化學(xué)另外還出現(xiàn)在物理、化學(xué)等領(lǐng)域。等領(lǐng)域。1. 1. 相似關(guān)系相似關(guān)系定義定義: :,相相似似與與則則稱稱BAAA- 3 -,nnCBA 設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì): :( (反身性反身性) )( (對稱性對稱性) )( (傳遞性傳遞性) )BAPP 1記作記作AB(1)(1)AAABBBC(2)(2)(3)(3),BAC., 0,tsPCPnn 若若一、特征值與特征向量的定義一、特征值與特征向量的定義引入引入. .P11PPAn 線性無關(guān)。線性無關(guān)。且且n,1假設(shè)假設(shè)A),(1ndiag 即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣，使得：，使得：nPAP 1),()

4、,(111),(1nnnPAn 按按列列分分塊塊.), 2 , 1(niAiii 定義定義. .,nnCA A- 5 - 特征值和特征向量的定義讓人很驚訝，因為一個諾大的矩陣的效應(yīng)，竟然不過相當(dāng)于一個小小的數(shù)，確實有點奇妙！. 0 注意注意. .特征向量特征向量特征值問題僅對方陣而言。特征值問題僅對方陣而言。, 0 若存在若存在.,tsC 設(shè)設(shè) 則稱則稱A為為的特征值的特征值, , 為為A的屬于特征值的屬于特征值 的特征向量。的特征向量。- 6 -二階方陣特征值的幾何意義二階方陣特征值的幾何意義 二階矩陣的特征值表示該變換在原圖形的特征向量二階矩陣的特征值表示該變換在原圖形的特征向量的方向上的

5、放大量。的方向上的放大量。把方程把方程yAx 例如例如, ,1001A中的中的x看成輸入變量看成輸入變量, ,y看成輸出變量看成輸出變量, ,則這個矩陣方程就代表了一種線性變換則這個矩陣方程就代表了一種線性變換. .特征值為特征值為. 1, 121 對應(yīng)的特征向量為對應(yīng)的特征向量為.10,0121 由由.,2211 AA知橫軸方向部分變換到負(fù)方向知橫軸方向部分變換到負(fù)方向, ,縱軸方向尺度不變?？v軸方向尺度不變。- 7 -vAvuAu ,4所以所以u是對應(yīng)于特征值是對應(yīng)于特征值-4-4的特征向量。的特征向量。易證給定的向量是否是矩陣的特征向量易證給定的向量是否是矩陣的特征向量, ,也易證判也易

6、證判斷給出的數(shù)是否是特征值。斷給出的數(shù)是否是特征值。例例1. 1. 設(shè)設(shè) ,2561A.23,56vu判斷判斷 vu,是否是是否是 A的特征向量？的特征向量？ 解：解： 容易驗證容易驗證 v不是不是A A的特征向量的特征向量.(.(也可從圖看出也可從圖看出) )xyuvAuAv例例2.2.,的的特特征征向向量量屬屬于于是是的的特特征征值值是是設(shè)設(shè) AA. A,)(22 AAA, 0)(2 , 0 而而. 02 . 0, 1 或或- 8 -設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A滿足：滿足：,2AA 求求的特征值的特征值.A解：解：注注2.2.- 9 -注注1.1. 可類似證明可類似證明, A的特征值只能是零。的特

7、征值只能是零。),(0為為正正整整數(shù)數(shù)kAk 則則(1) 若若,2IA 則則(2) 若若A的特征值只能是的特征值只能是1或或-1。(1) 設(shè)設(shè)0 是是)(0 gA的特征值的特征值,)(xg為任一多項式為任一多項式, 則則是是)(Ag的特征值。的特征值。(2) 設(shè)設(shè)0 是是A的特征值的特征值,mA)(0為正整數(shù)為正整數(shù)mm 必為必為的特征值。的特征值。(3) 設(shè)設(shè)0 是是A的特征值的特征值, 且且A非奇異非奇異, 則則01 為為1 A的特征值。的特征值。0, 0)( AI,nnCA 設(shè)設(shè)0)(XAI 0 AI - 10 -二、特征值、特征向量的求法二、特征值、特征向量的求法0, A(1 1)定義

8、定義. .AI 0nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211.,)(的的特特征征多多項項式式稱稱為為次次多多項項式式的的是是AnAIf (2 2)的非零解的非零解. . 是是即特征向量即特征向量0)(AIfA 稱稱為為A的特征方程的特征方程, , 其根為其根為A的的特征值特征值. .0)(,)2(的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系求出求出對每一個特征值對每一個特征值XAI - 11 -特征值與特征向量的求法：特征值與特征向量的求法： 0)1(AIfA從從即對應(yīng)于特征值即對應(yīng)于特征值 的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量. .例例3.3.求矩陣求矩陣111111111AAIfA )(- 12

9、 -的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量。的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量。解解: :(1)(1)求求A的特征值：的特征值：的特征方程為的特征方程為A111111111 1112023231 rrrr. 2, 1, 2321 的特征值為的特征值為A,21時時 0111131111321xxx- 13 - 221121列列展展開開按按第第)24()2(22 4423 )2)(2)(1( (2)(2)求求A的特征向量：的特征向量： 當(dāng)當(dāng)即即, 0)(1XAI 0202321xxxx,12時時 0011121110321xxx- 14 - 當(dāng)當(dāng)即即, 0)(2XAI 同解方程組為同解方程組為

10、得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為.1011 即為即為21 時的線性無關(guān)的特征向量時的線性無關(guān)的特征向量. .002132xxxx同解方程組為同解方程組為23 - 15 -得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：1112 即為即為12 時的線性無關(guān)的特征向量。時的線性無關(guān)的特征向量。同理得對應(yīng)于同理得對應(yīng)于時的線性無關(guān)的特征向量為：時的線性無關(guān)的特征向量為：.1213 例例4.4.533242111AAIfA )(- 16 -求矩陣求矩陣的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量。的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量。解解: :(1)(1)求求A的特征值：的特征值：的特征方程為的特征方程為A533242111 0)6

11、()2(2 . 6),(221 二二重重的的特特征征值值為為A,21時時 0333222111321xxx- 17 -(2)(2)求求A的特征向量：的特征向量： 當(dāng)當(dāng)即即, 0)2(XAI0321xxx同解方程組為：同解方程組為：對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為：對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為：.101,01121 ,62時時 0133222115321xxx- 18 - 當(dāng)當(dāng)即即, 0)6(XAI023032321xxxxx同解方程組為同解方程組為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為.3213 則則階階矩矩陣陣為為設(shè)設(shè),)(1)naAijnnnnAaaaaAIf 1111)(Aanni

12、iin)1(11 AtrAnnn)1()(1 三、特征值與特征向量的性質(zhì)三、特征值與特征向量的性質(zhì)- 19 -證證: :,.,1APPBtsP 可可逆逆陣陣APPIBIfB1)( PAIPPAIP 11)(- 20 -于是于是, ,)( AfAIA)()( BAffBAB(2)從而，從而，A與與B的特征值也相同的特征值也相同. .,)(由由代代數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)基基本本定定理理知知次次多多項項式式為為nfA 重特征值。重特征值。的的為為也稱也稱iinA可可作作如如下下因因式式分分解解：在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域上上)( Afnnnnk 21,的的重重數(shù)數(shù)稱稱為為iin knnnAf)()()()(212 ,)(,

13、21的的互互異異零零點點為為其其中中 Akf.,的的互互異異特特征征值值是是從從而而A., 2 , 1ki- 21 -,nAn個個特特征征值值有有且且僅僅有有階階矩矩陣陣(3)重重特特其其中中m.個個計計征征值值以以m注注1.1.0有有零零特特征征值值A(chǔ)A 注注2.2. 用處在于已知用處在于已知n-1個特征值個特征值, 求最后一個特征值。求最后一個特征值。), 2 , 1(00niAi - 22 -),(,(4)21未未必必互互異異個個特特征征值值的的為為設(shè)設(shè)innA 則則.,111ininniiAtrA 定義定義. .00)(,00 VXAIA的的解解空空間間稱稱的的特特征征值值為為設(shè)設(shè).0

14、的特征子空間的特征子空間的屬于的屬于為為 AmVmA0dim,(5)0 則則重重特特征征值值的的為為設(shè)設(shè).,1線線性性無無關(guān)關(guān)則則特特征征向向量量s 為為對對應(yīng)應(yīng)的的的的互互異異特特征征值值為為設(shè)設(shè)ssA ,(6)11.,11111也也線線性性無無關(guān)關(guān)則則sslsl ,A,s的的互互異異特特征征值值為為設(shè)設(shè) 1(7)分分別別為為ilii ,1的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量屬屬于于i ), 2 , 1(si- 23 -.個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有可可對對角角化化nAA.,可可對對角角化化則則相相似似于于對對角角矩矩陣陣若若AA四、矩陣的對角化四、矩陣的對角化定義定義.

15、 .定理定理1.1.11 PPAn),(1ndiag A nPAP1證證: :),(),(111nnnA .,), 1( ,1線線性性無無關(guān)關(guān)且且niiiniA 即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣,P使得使得由特征值與特征向量的引入知由特征值與特征向量的引入知, ,假設(shè)假設(shè)- 24 -inVAi dim可可對對角角化化定理定理2.2.可可對對角角化化個個互互異異特特征征值值有有階階矩矩陣陣AnAn推論推論. .可可對對角角化化的的步步驟驟：階階方方陣陣判判定定An計計算算的的特特征征值值對對于于重重數(shù)數(shù)大大于于,1)2(i .的階數(shù)的階數(shù)為為其中其中An.2,dim)3(得得出出結(jié)結(jié)論論并并由由定定

16、理理是是否否成成立立判判斷斷inVi ;,)1(11kknnA及及其其重重數(shù)數(shù)的的互互異異特特征征值值求求出出 ,dimAIiirnV - 25 -定義定義. . 設(shè)設(shè)n ,21是是A的特征值的特征值, ,對應(yīng)的線性無關(guān)對應(yīng)的線性無關(guān)若令若令的特征向量分別為的特征向量分別為.,21n ),(21nP n ,21線性無關(guān)線性無關(guān), ,.可可逆逆P且有且有),(211ndiagAPP 稱稱P為將矩陣為將矩陣A對角化的變換矩陣。對角化的變換矩陣。它的每一列是它的每一列是A的特征向量。的特征向量。- 26 -例例5.5.（對于例（對于例3 3中的矩陣中的矩陣) ) 111111111A. 2, 1,

17、2321 的的特特征征值值為為A的特征向量為的特征向量為對應(yīng)于對應(yīng)于321, .121,111,101321 判別是否可對角化判別是否可對角化, ,若可以若可以, ,求出變換矩陣求出變換矩陣. .解解: : 由例由例3 3知知, ,- 27 - 2121APP111210111),(21 P所以，所以，A可對角化?？蓪腔?。且且變換矩陣為變換矩陣為- 28 - 533242111A解解: :. 6),(221 二重二重的特征值為的特征值為A的的特特征征向向量量為為對對應(yīng)應(yīng)于于21, .321,101,011321 例例6.6.（對于例（對于例4 4中的矩陣中的矩陣) )判別是否可對角化判別是否

18、可對角化, ,若可以若可以, ,求出變換矩陣求出變換矩陣. .由例由例4 4知知, ,- 29 -310201111),(321 P 6221APP),(21二重二重對于對于 的的重重數(shù)數(shù)12213dim1 AIrnV所以所以A可對角化可對角化, , 且變換矩陣為且變換矩陣為且且- 30 -100,110,221321 例例7.7., 0,33211AAA三階方陣三階方陣A滿足：滿足：求求.,nAA已知向量已知向量: :解：解：. 1, 0, 13321 個個互互異異特特征征值值有有A由題設(shè)知由題設(shè)知, ,所以對應(yīng)的特征向量為所以對應(yīng)的特征向量為,321 且線性無關(guān)，且線性無關(guān)，所以所以A可對

19、角化可對角化, ,故相似于對角陣故相似于對角陣. .,112012001),(321 P令令,101 - 31 - APP1則有則有故故1PPA 1112012001101112012001116002001)()(111PPPPPPAn 111)()(PPPPPP 1PPn - 32 -注：注：114012001)1(01112012001nnnn)1()1()1(420020011這是常用的求方陣冪的方法這是常用的求方陣冪的方法. .- 33 - 34 -特征值與特征向量的應(yīng)用特征值與特征向量的應(yīng)用Axx 例如例如, ,求解常系數(shù)線性方程組的初值問題：求解常系數(shù)線性方程組的初值問題：0)0

20、(,xxAxx其中，其中，11,32220 xA解：解：步驟步驟(1)(1)求求A A的特征值的特征值 1 1，-2;-2; (2) (2)特征向量特征向量; ; (3) (3)寫出解寫出解, ,從而在平面上畫出軌跡從而在平面上畫出軌跡. .- 35 - 36 -1.1.- 37 -解：解：特特征征值值 0)(AIfA分析：分析：00 AAAI若若3 3階矩陣階矩陣A使得使得, 03 AIAIA所以，所以，A的全部特征值為的全部特征值為0,3,-10,3,-1。則則A的全部特征值為的全部特征值為_._.03 AI0)( AIAIAI綜合題綜合題. .考查矩陣特征值概念及行列式的簡單性質(zhì)?？疾榫?/p>

21、陣特征值概念及行列式的簡單性質(zhì)。- 38 -因為因為A與與B相似相似, ,而相似矩陣有相同的特征值而相似矩陣有相同的特征值, ,2.2.已知已知3 3階矩陣階矩陣A與與B相似相似, A的特征值為的特征值為1,1/2,1/3,則則._1 IB行列式行列式解：解：1 B又因為又因為A的特征值為的特征值為1,1/2,1/3,1,1/2,1/3,所以所以B的特征值為的特征值為1,1/2,1/31,1/2,1/3。的特征值為的特征值為1, 2, 31, 2, 3。IB 1的特征值為的特征值為2, 3, 42, 3, 4。241 IB122212221A3.3.的的特特征征方方程程為為：A12221222

22、1)( AIfA100010111)5( - 39 -解：解：(1)(1)求求A的特征值：的特征值：的全部特征值與對應(yīng)的的全部特征值與對應(yīng)的求矩陣求矩陣線性無關(guān)的特征向量。線性無關(guān)的特征向量。0)1)(5(2 .( 1, 521二重根）二重根） 即即時時當(dāng)當(dāng), 0)( ,511XAI 042202420224321321321xxxxxxxxx 4222422241AI 000110211- 40 -(2)(2)求求A的特征向量：的特征向量： 00232321xxxxx同解方程組為：同解方程組為：:, 13得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系取取x 1111 022202220222321321321xxxx

23、xxxxx- 41 -即為屬于即為屬于51 時的線性無關(guān)的特征向量。時的線性無關(guān)的特征向量。即即時時當(dāng)當(dāng), 0)( ,122XAI 同解方程組為同解方程組為: :0321 xxx:, 1, 0; 0, 13232得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系依次取依次取xxxx 101,01132 - 42 -即為屬于即為屬于12 時的線性無關(guān)的特征向量。時的線性無關(guān)的特征向量。凱萊（凱萊（ Arthur Cayley, 18211895) 英國純粹數(shù)學(xué)的近代學(xué)派帶頭人。英國純粹數(shù)學(xué)的近代學(xué)派帶頭人。18211821年年8 8月月1616日生于薩里郡里士滿，日生于薩里郡里士滿，18951895年年1 1月月2626日卒于劍橋。日卒于劍橋。 1839 1839年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí)，年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí)，18421842年畢業(yè)，后在三一學(xué)院任聘年畢業(yè)，后在三一學(xué)院任聘3 3年，開始了畢生從年，開始了畢生從事的數(shù)學(xué)研究。因未繼續(xù)受聘事的數(shù)學(xué)研究。因未繼續(xù)受聘, ,又不愿擔(dān)任圣職（這又不愿擔(dān)任圣職