高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題(巨有用

1、高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1求過兩點A(1,4)、B(3,2)且圓心在直線y 0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點P(2,4)與圓的關(guān)系.分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點P與圓的位置關(guān)系，只須看點P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，假設(shè)距離大于半徑，那么點在圓外；假設(shè)距離等于 半徑，那么點在圓上；假設(shè)距離小于半徑，那么點在圓內(nèi).解法一：待定系數(shù)法設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x a)2(y b)2 r2.圓心在y 0上，故b 0 .圓的方程為(x a)2 y2 r2.又該圓過 A(1,4)、B(3,2)兩點.(1 a)2 16 r2 (3 a)24 r2解之得：a

2、 1 , r220.所以所求圓的方程為(x 1)2 y2 20 .解法二：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑因為圓過 A(1,4)、B(3, 2)兩點，所以圓心C必在線段 AB的垂直平分線I上，又因為kAB1，故I的斜率為1，又AB的中點為(2,3)，故AB的垂直平分線I的方程為:y 3 x 2 即 x y 10 .又知圓心在直線 y 0上，故圓心坐標(biāo)為 C( 1,0)半徑 r AC V(1 1)2 42 V20 .故所求圓的方程為(x 1)2y2 20 .又點P(2,4)到圓心C( 1,0)的距離為d PC V(2 1)2 42 V25 r .點P在圓外.說明：此題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求

3、圓的圓心和半徑這兩個關(guān)鍵的量，然后 根據(jù)圓心與定點之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點與圓的位置關(guān)系，假設(shè)將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢?例2求半徑為4,與圓x2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直線y 0相切的圓的方程.分析：根據(jù)問題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.解：那么題意，設(shè)所求圓的方程為圓C：(x a)2 (y b)2 r2.圓C與直線y 0相切，且半徑為4,那么圓心C的坐標(biāo)為C1(a , 4)或C2(a , 4).又圓x2 y2 4x 2y 4 0的圓心A的坐標(biāo)為(2,1)，半徑為3.假設(shè)兩圓相切，那么 CA 4 37或CA 4 3 1.(1)當(dāng) Ci(a,4)時，(

4、a 2)2 (4 1)2 72 ,或(a 2)2 (4 1)2 12 (無解)，故可得 a 22.10 .所求圓方程為(X 22,10)2(y 4)242，或(x 2 2.10)2(y4)242 .(2)當(dāng) C2(a, 4)時，(a 2)2(4 1)27 ,或(a 2)( 41)212(無解)，故a 2 2 6 .所求圓的方程為(x 22.6)2(y 4)242，或(x 2 2 一 6)2(y4)242 .說明：對此題，易發(fā)生以下誤解：由題意，所求圓與直線y 0相切且半徑為4 ,那么圓心坐標(biāo)為C(a,4),且方程形如 (x a)2 (y 4)2 42 又圓 x2 y2 4x 2y 4 0，即(

5、x 2)2 (y 1)2 32，其圓心為 A(2,1)，半徑為3 .假設(shè)兩圓相切，貝U CA 4 3 .故(a 2)2(4 1)272 ,解之得a 2 2J0 . 所以欲求圓的方程為(x2 2 10)2 (y 4)2 42 , 或 (x 2 2.、10)2 (y 4)242.上述誤解只考慮了圓心在直線y 0上方的情形，而疏漏了圓心在直線y 0下方的情形另外，誤解中沒有考慮兩圓內(nèi)切的情況也是不全面的.例3求經(jīng)過點A(0,5)，且與直線x 2y 0和2x y 0都相切的圓的方程.分析：欲確定圓的方程.需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點 A，故只需確定圓心坐標(biāo).又 圓與兩直線相切，故圓心必在它們

6、的交角的平分線上.解：圓和直線x 2y 0與2x y 0相切，圓心C在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線 x 2y 0和2x y 0的距離相等. x 2y|x 2y .55兩直線交角的平分線方程是x 3y 0或3x y 0 .又圓過點A(0,5),圓心C只能在直線3x y 0 上.設(shè)圓心C(t, 3t)/ C到直線2x y 0的距離等于 AC ,2t 3t 牙V't(3t 5) 化簡整理得t2 6t 50 .解得：t 1或t 5圓心是(1,3)，半徑為5或圓心是(5,15)，半徑為5,、5 .所求圓的方程為(x 1)2 (y 3)25或(x 5)2 (y 15)2125.說明：此

7、題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到 圓的方程，這是過定點且與兩直線相切的圓的方程的常規(guī)求法.例4、設(shè)圓滿足：(1)截y軸所得弦長為2； (2)被x軸分成兩段弧，其弧長的比為3:1，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線 丨：x 2y 0的距離最小的圓的方程.分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.滿足兩個 條件的圓有無數(shù)個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，假設(shè)能求出這軌跡的方程，便可利用點到直 線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的 方程.解法一：設(shè)圓心為P(a , b)

8、，半徑為r .那么P到x軸、y軸的距離分別為b和a .由題設(shè)知：圓截 x軸所得劣弧所對的圓心角為 90，故圓截x軸所得弦長為,2r .2 2- r 2b又圓截y軸所得弦長為2.二 r2又:P(a,b)到直線x 2y 0的距離為a 2b5二 5d22b24b24ab4b22 22(a b )2b2號，此時dminab這時有2b2a2 1a1亠a 1或b1b 1又r22b22當(dāng)且僅當(dāng)b時取故所求圓的方程為(x 1)2 (y 1)22 22 或(x 1) (y 1)2.5解法二：同解法一，得da 2b a 2b 、5d .二 a2 4b24 - 5bd 5d2.將a2 2b21代入上式得:2b24

9、.5bd 5d210.上述方程有實根，故8(5d2 1)0,- d,55 .將d.5代入方程得b1.5又 2b2 a2 1 a 1 .由a 2b 1知a、b同號.故所求圓的方程為x 12 y 122或x 12 y 122 .說明：此題是求點到直線距離最小時的圓的方程，假設(shè)變換為求面積最小呢? 類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程2 2例5圓O: x y 4，求過點P 2,4與圓0相切的切線.解：點P 2,4不在圓0上，切線PT的直線方程可設(shè)為 y kx 24根據(jù)d r-4 2<1 k2解得k 34所以y 3 x 244即3x 4y 100因為過圓外一點作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條

10、直線的斜率不存在易求另一條切線為x 2 .說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解.此題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決也要注意漏2y D2X E2yF20 相交于 A、B 兩AB的方程，但是求兩圓交點坐標(biāo)的過程解還可以運用x°x y°y r2，求出切點坐標(biāo)x°、y°的值來解決，此時沒有漏解.例 6 兩圓 G： x2y2D1XE1yF10 與 C2： x2點，求它們的公共弦 AB所在直線的方程.分析：首先求A、B兩點的坐標(biāo)，再用兩點式求直線 太繁為了防止求交點，可以采用“設(shè)而不求的技巧.解:設(shè)兩圓G、

11、C2的任一交點坐標(biāo)為X。，y°，那么有:2 2x0y0D1x0 E1y0 F1 0 2 2Xy。D2X0 E2 y0F20得：(D1 D2 )x°(E1E2 ) y0F1F20 ./ A、B的坐標(biāo)滿足方程(D1D2)x(E1E2)y F1 F20.方程(D1D2)X (E1E2)yF1F20是過A、B兩點的直線方程又過A、B兩點的直線是唯一的.兩圓Ci、C2的公共弦AB所在直線的方程為(DiD2)x(EiE2)yFiF20 .說明：上述解法中，巧妙地避開了求 A、B兩點的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去 求它，而是利用曲線與方程的概念到達(dá)了目標(biāo)從解題的角度上說，這是一

12、種“設(shè)而不求的技巧， 從知識內(nèi)容的角度上說，還表達(dá)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本 質(zhì)認(rèn)識它的應(yīng)用很廣泛.例7、過圓x2 y2 1外一點M(2,3)，作這個圓的兩條切線 MA、MB，切點分別是 A、B，求 直線AB的方程。練習(xí):2 21求過點M(3,1)，且與圓(x 1) y 4相切的直線丨的方程.解：設(shè)切線方程為 y 1 k(x 3)，即kx y 3k 10 ,圓心(1,0)到切線丨的距離等于半徑 2 ,.|k 3k 1|2，解得3；(X當(dāng)過點M的直線的斜率不存在時，其方程為 故直線X 3也適合題意。所以，所求的直線l的方程是3x 4y 13切線方程為y3)，即 3

13、x 4y13 0 ,3，圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑2 ,2252、過坐標(biāo)原點且與圓 x2 y2 4x 2y 0相切的直線的方程為 2解：設(shè)直線方程為 y kx，即kx y 0.v圓方程可化為(x 2)2 (y 1)2 -，圓心為2,2-1,半徑為 山 依題意有12<k21，解得k3或k -，直線方程為33x或0相切，貝U a的值為.223、直線5x 12y a 0與圓x 2x y18.解：圓(x 1)2y2 1的圓心為1, 0，半徑為1 a I5 a 1,解得a 8或aJ52 122類型三：弦長、弧問題例&求直線l : 3x y 60被圓C : x2y2 2x 4y 0

14、截得的弦AB的長.例9、直線73x y 2(30截圓x22y4得的劣弧所對的圓心角為解：依題意得，弦心距 dy/3，故弦長AB2 r2 d 2 2，從而 OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為AOB 一.3例10、求兩圓x y xy 2 0 和 x22y5的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、直線3x y 2.,3 0和圓x2y24，判斷此直線與圓的位置關(guān)系例12、假設(shè)直線y xm與曲線y、4x2有且只有一個公共點，求實數(shù)m的取值范圍.解：曲線y.4 x2表示半圓xy24(y0)，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)m的取值范圍是 2 m2或m2 2例13圓(x 3)2 (y 3)2 9上到

15、直線3x 4y 11 0的距離為1的點有幾個？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線11、|2的方程，從代數(shù)計算中尋找解答.解法一：圓(x 3)2 (y 3)2 9的圓心為。1(3,3)，半徑r 3.3 3 4 3 11設(shè)圓心01到直線3x 4y 11 0的距離為d，那么d f1 2 3.V3242如圖，在圓心。1同側(cè)，與直線3x 4y 110平行且距離為1的直線h與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意.又 r d 3 2 1.與直線3x 4y 110平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意.所求直線為3x 4y m0,那么dm 111,符合題意的點共有3個.解法二：符合題意的點是平行于直線 3

16、x 4y 11 0,且與之距離為1的直線和圓的交點設(shè)- m 115，即 m 6，或 m 16，也即l：x 4y 60，或 l2：3x 4y 160 .設(shè)圓 O：x 3)2 (y 3)29的圓心到直線l1、J的距離為d1、d2，那么3 , d2忙3416 1,32 42 l1與Q相切，與圓。1有一個公共點；12與圓。1相交，與圓。1有兩個公共點即符合題意的 點共3個.說明：對于此題，假設(shè)不留心，那么易發(fā)生以下誤解：3 3 4 3 11設(shè)圓心。1到直線3x 4y 11 0的距離為d，那么d ._- 2 3.V3242圓01到3x 4y 110距離為1的點有兩個.顯然，上述誤解中的 d是圓心到直線3

17、x 4y 11 0的距離，d r，只能說明此直線與圓有 兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1.到一條直線的距離等于定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所 求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點求直線與圓的公共點個數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān) 系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比擬來判斷.練習(xí)1：直線x y 1與圓x2 y2 2ay0 (a 0)沒有公共點，貝U a的取值范圍是 a 1解：依題意有 ±2 a，解得2 1 a 、2 a 0，二 0 a . 2 1.練習(xí)2 :假設(shè)直線ykx 2與圓x2)2是|2k解：依題意有11，解得0 k4Jk

18、213，y 32 1有兩個不同的交點，貝yk的取值范圍4k的取值范圍是0,.33、圓 x2y2 2x 4y 30上到直線x y10的距離為. 2的點共有.A1 個B2 個C3個D4個分析：把 x2 y2 2x4y 30化為x12y 228 ,圓心為1,2，半徑為r 2 2，圓心到直線的距離為 .2，所以在圓上共有三個點到直線的距離等于2，所以選C.2 2I與圓C: x 1 y 24有公共點，如4、 過點P 3,4作直線l，當(dāng)斜率為何值時，直線下列圖.分析：觀察動畫演示，分析思路.解：設(shè)直線I的方程為y 4 k x 3即kx y 3k 4 0根據(jù)d r有k 2 3k 4； 2d k2整理得23k

19、 4k 0解得0 k類型五：圓與圓的位置關(guān)系問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定?例14、判斷圓y2 2x 6y2 2260與圓 C2 : x y 4x 2y40的位置關(guān)系,例15:圓x2x0和圓x22y 4y 0的公切線共有條。解：圓(X1)21的圓心為。1(1,0)，半徑r1 1，圓x2 (y 2)24的圓心為02 (0, 2),半徑r22、5,ri1. v r2r1O1O2r12 ,兩圓相交共有2條公切線。練習(xí)21 ：假設(shè)圓x2 2y 2mx m 420與圓x2x 4 my 4m20相切，那么實數(shù)m的取值集合是. 2 2解：V圓(x m) y4的圓心為Oi(m,0)，半徑2A 2，圓(x

20、1)2(y 2m)9的圓心為。2( 1,2m),半徑 Q兩圓相切， O1O2r1 r2或OQ12(m 1)(2m)5或.(m 1)(2m)1，解得 m或 m52，或m 0或m125實數(shù)m的取值集合是 12,5,0, 2.522：求與圓x2y25外切于點P( 1,2)，且半徑為2 5的圓的方程.2 2 解：設(shè)所求圓的圓心為 Oda,b)，那么所求圓的方程為(x a) (y b)20. v兩圓外切于點1 -1- OP 1OO1，二(1,2)(a, b) , a 3,b6，所求圓的方程為332 2(x 3) (y 6)20.類型六：圓中的對稱問題2 2例16、圓xy 2x 6y 9 0關(guān)于直線2x

21、y 5 0對稱的圓的方程是 例17自點A 3,3發(fā)出的光線|射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓C: x2 y2 4x 4y 70相切1求光線I和反射光線所在的直線方程.2光線自A到切點所經(jīng)過的路程.分析、略解：觀察動畫演示，分析思路.根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點 A的對稱點A的坐標(biāo)為3, 3，其次設(shè)過 A的圓C的切線方程為y k x 33根據(jù)d r，即求出圓C的切線的斜率為43k 或k -34進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為4x 3y 30或 3x 4y 30r，二直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于x軸對稱，求出入射光所在直線方程為4x

22、 3y 30或3x4y30光路的距離為A'M，可由勾股定理求得AM2AC2CM27 .說明：此題亦可把圓對稱到 x軸下方，再求解.類型七：圓中的最值問題例 18：圓 x2 y24x4y 100上的點到直線xy 140的最大距離與最小距離的差是解:/ 圓(x 2)2(y22)18的圓心為2 ,2,半徑r3 J2 , 圓心到直線的距離10 5 22 52(d r) (d r) 2r 6 2例19 (1)圓Oi：(x 3)2 (y 4)2 1 , P(x,y)為圓O上的動點，求d x2 y2的最大、最小值.圓O2：(x 2)2 y2 1 , P(x , y)為圓上任一點.求匚2的最大、最小值

23、，求x 2y的x 1最大、最小值.分析：(1)、兩小題都涉及到圓上點的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決.解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x 3)2 (y 4)2 1 .x 3 cos ,可設(shè)圓的參數(shù)方程為是參數(shù).y 4 sin ,那么d2 xy2 96 cos2 cos168si n.2 sin266 cos8 si n2610 cos()其中tan號所以dmax26 1036 ,dmin26 1016 .法2圓上點到原點距離的最大值di等于圓心到原點的距離 di'加上半徑1,圓上點到原點距離的最小值d2等于圓心到原點的距離 di減去半徑1.所以32 42 1 6.d232

24、42 1 4.所以 dmax 36 . dmin 16.2 2(2)(法 1)由(x 2) y1得圓的參數(shù)方程:x 2 cos ,是參數(shù).y sin ,那么 口 也一2 .令 sin2 t,x 1 cos 3 cos 3得 sin tcos 2 3t ,1 t2 sin( )2 3t所以tmax即紅二的最大值為33，最小值為x 144此時 x 2y 2 cos 2sin2. 5 cos( ).所以x 2y的最大值為25，最小值為 25 .法2設(shè)-_2 k，那么kx y k 2 0 .由于Px , y是圓上點，當(dāng)直線與圓有交點時，如x 1F圖，7#2兩條切線的斜率分別是最大、最小值.2k k 2

25、1 k21，得k3.34所以-L-2的最大值為3一3，最小值為.x 144令x 2y t，同理兩條切線在 x軸上的截距分別是最大、最小值.,2 m廠由d 1，得m 2 J5 .V'5所以x 2y的最大值為 2 .5，最小值為2 ,5 .2 2 2 2例20：A( 2,0) , B(2,0)，點P在圓(x 3) (y 4)4上運動，那么PA PB的最小值是.2解：設(shè) P(x,y)，那么 paPB2(x2)2y2 (x 2)2 y22(x2y2)82 OP28 設(shè)圓心為 C(3,4)，那么 OPmin OCr5 23， |PA2PB2的最小值為223826.練習(xí)：21：點P(x,y)在圓x

26、(y 1)21上運動.1求 乂的最大值與最小值；2求2x y的最大值與最小值.x 2解：1設(shè)k，那么k表示點P(x, y)與點2, 1連線的斜率當(dāng)該直線與圓相切時，k取得x 2最大值與最小值.由2k 1，解得k三 J的最大值為空，最小值為仝Jk213 x 2332設(shè)2x y m，那么m表示直線2x y m在y軸上的截距.當(dāng)該直線與圓相切時，m取得最大值與最小值由11，解得m 1 J5 , 2x y的最大值為1 J5，最小值為1 J5. V522y 22設(shè)點P(x, y)是圓x y1是任一點，求u的取值范圍.x 1分析一：利用圓上任一點的參數(shù)坐標(biāo)代替x、y，轉(zhuǎn)化為三角問題來解決.2 2解法一：設(shè)

27、圓x y1上任一點P(cos , sin )那么有x cos , ysin0,2 )sin2- u,ucosu sin2cos 1 u cos sin(u 2).即 u2 1si n()u 2tanu二 sin(u 2).u例22、線段AB的端點B的坐標(biāo)是4, 3，端點A在圓(x 1)2的中點M的軌跡方程1又 sin( )14分析二：u 匚2的幾何意義是過圓X2 y21上一動點和定點(1,2)的連線的斜率，利用x 122此直線與圓X y 1有公共點，可確定出u的取值范圍.y 222解法二：由u得：y 2 u(x 1)，此直線與圓x y1有公共點，故點(0,0)到x 1直線的距離d 1.u 2

28、彳 1<u2 1解得：u .42 2另外，直線y 2 u(x 1)與圓x y 1的公共點還可以這樣來處理：u(x 1消去1y 后得：(u21)x2(2u2 4u)x(u2 4u )0,此方程有實根，故 (2u24u)24(u21)(u2 4u )0,解之得：u .4說明：這里將圓上的點用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量u的范圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識來求解.或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便.2 2 23、點 A( 2, 2), B( 2,6), C(4, 2)，點 P 在圓 x2 y2 4 上運動，求 |PA PB | PC 的最大值和最小值類型八：軌跡問題1

29、例21、根底訓(xùn)練：點 M與兩個定點0(0,0), A(,0)的距離的比為 ，求點M的軌跡方程2y4上運動，求線段AB2例23如下列圖，圓O: X2y 2y r，圓內(nèi)有定點P(a,b)，圓周上有兩個動點 A、B，使PA PB ,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解.解法一：如圖，在矩形 APBQ中，連結(jié) AB , PQ交于M，顯然OM AB, AB PQ ,4與y軸的正方向交于 A點，點B在直線y 2上運動，過B做圓O的切線，切點為C，求ABC垂心H的軌跡.B$分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)H (x , y)，找x , y的關(guān)系非常難.由于 H

30、點隨B , C點運動而運動，可考慮H , B , C三點坐標(biāo)之間的關(guān)系.解:設(shè) H (x, y) , C(x , y')，連結(jié) AH , CH ,那么 AH BC , CH AB , BC 是切線 OC BC , 所以 OC/AH , CH /OA , OA OC , 所以四邊形AOCH是菱形.所以CH|OA 2，得 y y 2,x x.' ' '2 '2又 C(x , y )滿足 x y 4,所以x2 (y 2)24(x 0)即是所求軌跡方程.例24圓的方程為x2說明：題目巧妙運用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識采取代入法求軌跡方程做題時 應(yīng)注意分析

31、圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時應(yīng)注意分析與動點相關(guān)聯(lián)的點，如相關(guān)聯(lián)點軌跡方程， 可考慮代入法.在直角三角形由OMAM2OA，即y b 21222也即x2(匸)-(x a) (y b) r,y2 2r2 (a2 b2)，這便是Q的軌跡方程.解法二:2 設(shè) Q(x , y)、A(xi , yi)、B(x? , y?)，那么2yi2 2r ,X22y2又PQ2AB ，即(x a)22 2 2 2(y b)(x- X2)(y- y2)2r2( x x2y2)byi又AB與PQ的中點重合，故x a x1 x2 , y2 2 2(x a) (y b) 2r2(x-X2 y-y?)+，有 x2 y2 2r2 (a

32、2 b2).這就是所求的軌跡方程.解法三： 設(shè) A(rcos , r sin )、B(r cos , r sin )、Q(x , y),由于APBQ為矩形，故AB與PQ的中點重合，即有x a r cos r cos ,聯(lián)立、消去y b rsi n r sin ,又由PA PB有rsinbrsi nb1r cosar cosa，即可得Q點的軌跡方程為x2 y2 2r2 (a2 b2).說明：此題的條件較多且較隱含，解題時，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否那么, 將使解題陷入困境之中.此題給出三種解法.其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系.而解法二與解法三，從本質(zhì)上是

33、一樣的，都可以稱為參數(shù)方法解法二涉及到了x,、x2、y2四個參數(shù)，故需列出五個方程；而解法三中，由于借助了圓x2 y2 r2的參數(shù)方程，只涉及到兩個參數(shù) 、，故只需列出三個方程便可上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解.練習(xí)：1、由動點P向圓x2 y2 1引兩條切線PA、PB，切點分別為 A、B , APB =60°,那么動點P 的軌跡方程是.解:設(shè) P(x, y).T APB=600, OPA =30°. / OA AP , a OP 2OA 2 ,二、_y2 2 ,化簡得x2 y24，動點P的軌跡方程是x2 y24.練習(xí)穩(wěn)固：設(shè) A(

34、 c,0), B(c,0)(c0)為兩定點，動點P到A點的距離與到 B點的距離的比為定值a(a 0)，求P點的軌跡.解：設(shè)動點P的坐標(biāo)為P(x, y) 由PAPBa(a0)，得一(x c)2_y2 c)2y2(x化簡得(1 a2)x2(1a2)y22c(1 a2)x c2(1a2)0.當(dāng)a 1時，化簡得x22y2c20,整理得(xM-c)2a 1(% ；a 1當(dāng)a 1時，化簡得0.所以當(dāng)a 1時，P點的軌跡是以1 a2(打。)為圓心,2aca2 1為半徑的圓;當(dāng)a 1時，P點的軌跡是y軸.2、兩定點A( 2,0) , B(1,0)，如果動點P滿足PA 2PB，那么點P的軌跡所包圍的面積等于 解

35、：設(shè)點P的坐標(biāo)是(x, y).由PA 2PB，得J(x 2)2 y2 2卩,化簡得(x 2)2 y2 4，點P的軌跡是以2, 0為圓心，2為半徑的圓，所求面積為4 .22h 14、定點B(3,0)，點A在圓x y1上運動，M是線段AB上的一點，且 AM MB ,3問點M的軌跡是什么？解：設(shè)M (x, y), A(xyj./AM1 -MB3(x xy yj1-(3 x, y),14xX1-(3 x)3.x13x 1點22A在圓xy/ 21上運動，X11,14yy1yy1y33(4x1)242(y)1，即(3 2 x -)2y9，.點M的軌跡方程是(x -)2y2933416416例5、定點B(3

36、,0)，點A在圓x2 y2 1上運動，AOB的平分線交AB于點M，那么點M的軌跡方程是.解：設(shè) M(x, y), A(xyj. / OM 是 AOB 的平分線，. IAM|0Ai, am 1 mb .由變式|MB|0B|333 c c 91可得點M的軌跡方程是(x上)2 y2 .練習(xí)穩(wěn)固：直線 y kx 1與圓x24 16y24相交于A、B兩點，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，求點P的軌跡方程M是OP的中點，.點 M的坐標(biāo)為解：設(shè)P(x, y) , AB的中點為M . / OAPB是平行四邊形,(厶,且 OM AB .(2'2)直線y kx 1經(jīng)過定點C(0,1),OM CMO

37、M CM1)(亍)2 證 1 0，化簡得 x2 (y 1)21.點P的軌跡方程是x2 (y 1)21.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、圓x2 y2 x 6y m 0與直線x 2y 30相交于P、Q兩點，O為原點，且OP OQ，求實數(shù)m的值.分析：設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)為& ' yj、(X2 , y2)，那么由 kOP k°Q再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因為通過原點的直線的斜率為丄，由直線I與圓的方x程構(gòu)造以y為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出kOp kOQ的值，從而使問題得以解決.x0Q，得另一方面,1，即上X1業(yè) 1，也即:X-X2y2(Xi , y1)、

38、X2 , y2是方程組2y2y6y的實數(shù)解，即x1、x2是方0程 5x2 10x4m 270解法一：設(shè)點P、Q的坐標(biāo)為捲,yj、x2, y2.一方面，由0P的兩個根.X22 , NX?4m 275又P、Q在直線x2y30上,1yy尹 s將代入，得y1 y212(3mX2)125將、代入，解得m 3 , m 3.3(Xi X2)住.代入方程，檢驗0成立,解法二：由直線方程可得3 x 2y，代入圓的方程x2 y2 x 6y m 0，有221m2X y (X 2y)(x 6y) (x 2y)0,39整理，得(12 m)x24(m 3)xy (4m 27) y20.由于x 0，故可得(4 m 27)( 乂 )2 4(m 3) 12 m 0. xx-kOP , koQ是上述方程兩根.故kOP kOQ1 .得12 m4m 27經(jīng)檢驗可知1，解得m 3. m 3為所求.說明：求解此題時，應(yīng)防止去求 P、Q兩點的坐標(biāo)的具體數(shù)值.除此之外，還應(yīng)對求出的m值進(jìn)行必要的檢驗，這是因為在求解過程中并沒有確保有交點P、Q存在.解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個關(guān)于1的二次 齊次