最短路徑問題歸納小結(jié)刁老師數(shù)學(xué)

1、WORD最短路徑問題（刁老師數(shù)學(xué)）問題概述最短路徑問題是圖論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問題， 旨在尋找圖（由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的）中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑算法具體的形式包括：確定起點(diǎn)的最短路徑問題 - 即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題確定終點(diǎn)的最短路徑問題 - 與確定起點(diǎn)的問題相反，該問題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題確定起點(diǎn)終點(diǎn)的最短路徑問題 - 即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑全局最短路徑問題 - 求圖中所有的最短路徑問題原型“將軍飲馬”，“造橋選址”，“費(fèi)馬點(diǎn)”涉與知識(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關(guān)系”，“軸對(duì)稱”，“平移”出題背景角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形

2、、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等解題思路找對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查十二個(gè)基本問題問題1作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最小連AB，與l交點(diǎn)即為P兩點(diǎn)之間線段最短PA+PB最小值為AB問題2“將軍飲馬”作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最小作B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B連A B，與l交點(diǎn)即為P兩點(diǎn)之間線段最短PA+PB最小值為A B問題3作法圖形原理在直線、上分別求點(diǎn)M、N，使PMN的周長(zhǎng)最小分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)P和P，連PP，與兩直線交點(diǎn)即為M，N兩點(diǎn)之間線段最短PM+MN+PN的最小值為線段PP的長(zhǎng)問題4作法圖形原理在直線、上分別求點(diǎn)

3、M、N，使四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小分別作點(diǎn)Q 、P關(guān)于直線、的對(duì)稱點(diǎn)Q和P連QP，與兩直線交點(diǎn)即為M，N兩點(diǎn)之間線段最短四邊形PQMN周長(zhǎng)的最小值為線段PP的長(zhǎng)問題5“造橋選址”作法圖形原理直線，在、，上分別求點(diǎn)M、N，使MN，且AM+MN+BN的值最小將點(diǎn)A向下平移MN的長(zhǎng)度單位得A，連AB，交于點(diǎn)N，過N作NM于M兩點(diǎn)之間線段最短AM+MN+BN的最小值為AB+MN問題6作法圖形原理在直線上求兩點(diǎn)M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小將點(diǎn)A向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位得A，作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)A， 連AB，交直線于點(diǎn)N，將N點(diǎn)向左平移個(gè)單位得M兩點(diǎn)之間線段最短AM+MN+BN的最小值為AB+

4、MN問題7作法圖形原理在上求點(diǎn)A，在上求點(diǎn)B，使PA+AB值最小作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P，作PB于B，交于A點(diǎn)到直線，垂線段最短PA+AB的最小值為線段PB的長(zhǎng)問題8作法圖形原理A為上一定點(diǎn)，B為上一定點(diǎn)，在上求點(diǎn)M，在上求點(diǎn)N，使AM+MN+NB的值最小作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)A，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)B，連AB交于M，交于N兩點(diǎn)之間線段最短AM+MN+NB的最小值為線段AB的長(zhǎng)問題9作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最小連AB，作AB的中垂線與直線l的交點(diǎn)即為P垂直平分上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等0問題10作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最大作直線AB，與直線l的交點(diǎn)即為P三角形任意兩邊之差小

5、于第三邊AB的最大值A(chǔ)B問題11作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最大作B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B作直線A B，與l交點(diǎn)即為P三角形任意兩邊之差小于第三邊AB最大值A(chǔ)B問題12“費(fèi)馬點(diǎn)”作法圖形原理ABC中每一角都小于120，在ABC求一點(diǎn)P，使PA+PB+PC值最小所求點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”，即滿足APBBPCAPC120以AB、AC為邊向外作等邊ABD、ACE，連CD、BE相交于P，點(diǎn)P即為所求兩點(diǎn)之間線段最短PA+PB+PC最小值CD精品練習(xí)ADEPBC1如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（ ）

6、 ABC3 D2如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，ABC60，若將ACD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AC、AD分別與BC、CD交于點(diǎn)E、F，則CEF的周長(zhǎng)的最小值為（ ）A2BCD43四邊形ABCD中，BD90，C70，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，AMN+ANM的度數(shù)為（ ）A120 B130 C110 D1404如圖，在銳角ABC中，AB4，BAC45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是5如圖，RtABC中，C90，B30，AB6，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)D在BC邊上（不與點(diǎn)B、C重合），且EDAE，則線段AE的取值圍是6如圖，AOB30

7、，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM1，ON3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MPPQQN的最小值是_（注“勾股定理”：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即RtABC中，C90，則有）7如圖，三角形ABC中，OABAOB15，點(diǎn)B在x軸的正半軸，坐標(biāo)為B(，0)OC平分AOB，點(diǎn)M在OC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N為邊OA上的點(diǎn)，則MAMN的最小值是_8已知A（2，4）、B（4，2）C在軸上，D在軸上，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小值為，此時(shí) C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為9已知A（1，1）、B（4，2）（1）P為軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）P為軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的值最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）CD為軸上一條動(dòng)線段，D在C點(diǎn)右邊且CD1，求當(dāng)AC+CD+DB的最小值和此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)；10點(diǎn)C為AOB一點(diǎn)（1）在OA求作點(diǎn)D，OB上求作點(diǎn)E，使CDE的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫出圖形； （2）在（1）的條件下，若AOB30，OC10，求CDE周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)DCE的度數(shù)11（1）如圖，ABD和ACE均為等邊三角形，BE、CE交于F，連AF，求證：AF+BF+CFCD；（2）在ABC中，ABC30，AB6，BC8，A，C均小于120