高等數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)

1、-第一章 函數(shù)與極限一、教材分析函數(shù)是微積分的主要研究對(duì)象，同時(shí)又是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與微積分的紐帶。在初等數(shù)學(xué)中，是用初等數(shù)學(xué)的方法研究函數(shù)。在微積分中，則用導(dǎo)數(shù)、微分等一些高等方法來研究函數(shù)及函數(shù)中一些新的問題，因此，函數(shù)的概念也是微積分中的根本概念。極限是研究函數(shù)的一種重要手段之一，同時(shí)也是整個(gè)微積分的根底，后繼容：連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、偏導(dǎo)數(shù)、重積分、曲線積分、曲面積分及無窮級(jí)數(shù)均建立在極限定義的根底之上，所以極限的概念顯得非常重要。然而由于極限是提醒“無限的概念，所以從思維的角度看，極限的概念又是一道不易跨越的“鴻溝，尤其是極限準(zhǔn)確定義和語言，更是讓初學(xué)者感到“迷霧重重。學(xué)生在高中階段雖學(xué)習(xí)

2、了數(shù)列極限、函數(shù)極限，但并未涉及極限的準(zhǔn)確定義，因此，在教學(xué)中要注意幫助學(xué)生在由形象到抽象、由描述定義到準(zhǔn)確定義的過程中逐步理解。二、教學(xué)容及課時(shí)劃分§11映射與函數(shù) 2課時(shí)§12數(shù)列的極限 2課時(shí)§13函數(shù)的極限 2課時(shí)§14無窮小與無窮大 1課時(shí)§15極限運(yùn)算法則 2課時(shí)§16極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限 2課時(shí)§17無窮小比擬 1課時(shí)§18函數(shù)的連續(xù)與連續(xù) 2課時(shí)§19連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 2課時(shí)§110閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 2課時(shí)習(xí)題課 2課時(shí)合計(jì) 20課時(shí)三、教學(xué)要求1、

3、理解映射與函數(shù)的概念；2、初步理解極限的定義，掌握極限的性質(zhì)；3、了解無窮小與無窮大的概念及其關(guān)系；4、掌握極限的運(yùn)算法則；5、了解極限存在準(zhǔn)則，掌握兩個(gè)重要極限；6、掌握無窮小的比擬；7、掌握函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)點(diǎn)的概念；8、掌握初等函數(shù)的連續(xù)性；9、掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：求極限的方法，零點(diǎn)定理、介值定理的應(yīng)用難點(diǎn)：極限的定義五、教學(xué)建議1、映射與函數(shù)這節(jié)容，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接容，要注意幫助學(xué)生復(fù)習(xí)五種根本初等函數(shù)的解析式、定義域、值域、性質(zhì)、圖像，這對(duì)于以后各章的學(xué)習(xí)是非常重要的；2、對(duì)極限概念，力求闡述清楚，假設(shè)學(xué)生一時(shí)難以理解，可以暫且放下，待在以后

4、學(xué)習(xí)中逐步理解；3、對(duì)于求極限的方法，重點(diǎn)放在極限的運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限，無窮小比擬；4、對(duì)于連續(xù)性，強(qiáng)調(diào)連續(xù)定義的不同形式，對(duì)于連續(xù)點(diǎn)則強(qiáng)調(diào)連續(xù)點(diǎn)類型；5、對(duì)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)放在零點(diǎn)定理、介值定理在證明中的應(yīng)用。定義六、本章知識(shí)構(gòu)造圖性質(zhì)函數(shù)反函數(shù)函數(shù)與極限復(fù)合函數(shù)數(shù)列極限函數(shù)極限定義性質(zhì)定義階的分類無窮大量極限利用極限運(yùn)算法則及連續(xù)性利用極限存在準(zhǔn)則利用兩個(gè)重要極限求極限方法利用無窮小比擬利用無窮小量乘有界變量第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、教材分析微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成局部,作為研究分析函數(shù)的工具和方法,其主要包含導(dǎo)數(shù)與微分兩個(gè)重要的根本概念,其中導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對(duì)于自變量的變

5、化的快慢程度,即變化率問題,而微分刻畫了當(dāng)自變量有微小變化時(shí),函數(shù)變化量的近似值。物理和其他學(xué)科如經(jīng)濟(jì)的許多重要問題都涉及到研究函數(shù)變化率和增量問題，因此本章的導(dǎo)數(shù)與微分問題，是學(xué)習(xí)后繼課程和工程技術(shù)中不可缺少的工具。同時(shí)，許多重要的應(yīng)用問題都涉及到導(dǎo)數(shù)概念，因此在教學(xué)中要注意導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。求導(dǎo)數(shù)、微分是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)必備的根本功，要加強(qiáng)訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握。由于學(xué)生在高中階段已學(xué)習(xí)了一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的容，包括概念、求導(dǎo)運(yùn)算法則和幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，因此，對(duì)第一、二兩節(jié)，重點(diǎn)在于幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和熟練掌握，而對(duì)學(xué)生未曾接觸過的容應(yīng)有所側(cè)重。二、教學(xué)容及課時(shí)劃分§21 導(dǎo)數(shù)概

6、念 2學(xué)時(shí)§22 函數(shù)的求導(dǎo)法則 3學(xué)時(shí)§23 高階導(dǎo)數(shù) 1學(xué)時(shí)§24 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 2學(xué)時(shí)§25 函數(shù)的微分 2學(xué)時(shí)習(xí)題課 2學(xué)時(shí)合計(jì) 12學(xué)時(shí)三、教學(xué)要求1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量。2、掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握根本初等函數(shù)、雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式不變性。3、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。4、掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。5、會(huì)求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 6

7、、掌握微分的定義和運(yùn)算法則，會(huì)計(jì)算函數(shù)的微分，會(huì)利用微分作近似計(jì)算。四、本章重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與根本求導(dǎo)公式；微分的概念與微分的運(yùn)算法則； 難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，一階微分形式不變性，隱函數(shù)求導(dǎo)五、教學(xué)建議1、通過物理、幾何問題的分析討論，作兩方面的概括：1局部圍的不變代變均勻代非均勻2數(shù)學(xué)構(gòu)造為平均變化率的極限，以此抽象出導(dǎo)數(shù)的定義。 2、對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意分析函數(shù)構(gòu)造，“由表及里，逐層求導(dǎo)，教學(xué)中可采取兩步走：第一步，寫出中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解為根本初等函數(shù)或由根本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算所得到的關(guān)系式，再應(yīng)用法則求導(dǎo)。第二步，中間變量在每一步求導(dǎo)過程中表達(dá)，由表及里

8、，逐層求導(dǎo)。 3、在隱函數(shù)的求導(dǎo)及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法中要以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法為依據(jù)展開，要提醒學(xué)生對(duì)中間變量求導(dǎo)后，還要乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。4、微分概念中要突出線性代替的思想，把握微分定義中函數(shù)增量等于函數(shù)微分與自變量高階無窮小之和的構(gòu)造特征；形象解釋用函數(shù)微分近似代替函數(shù)增量的幾何意義，建立“以直代曲的思想；強(qiáng)調(diào)利用微分進(jìn)展近似計(jì)算的理論依據(jù)是：在函數(shù)導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，函數(shù)的增量近似等于函數(shù)微分。對(duì)微分形式不變性要強(qiáng)調(diào)：在函數(shù)微分表達(dá)式中把自變量換成中間變量后，函數(shù)微分表達(dá)式的形式不變。要通過利用微分形式不變性求導(dǎo)例題加深對(duì)微分形式不變性的理解。六、本章知識(shí)構(gòu)造圖定義導(dǎo)數(shù)存在的充要條件左、右導(dǎo)數(shù)幾何

9、意義導(dǎo)數(shù)與連續(xù)關(guān)系導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與微 分定義左、右導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算根本公式復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo)數(shù)的方法參數(shù)方程求導(dǎo)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法萊布尼茨公式求高階導(dǎo)數(shù)方法導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系 微分高階微分第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、教材分析本章容是上一章的延續(xù)，主要是利用導(dǎo)數(shù)與微分來分析和研究函數(shù)的性態(tài)，其理論根底即為在微分學(xué)中占有重要地位的微分中值定理。微分中值定理建立了導(dǎo)數(shù)通向應(yīng)用的橋梁。中值定理無論是在理論研究中還是在實(shí)際應(yīng)用中都具有十分重要的作用，中值定理證明中的方法稱為構(gòu)造輔助函數(shù)法，此方法是一個(gè)十分常用的數(shù)學(xué)方法，在不等式的證明，方程根的存在性等證明中都具有廣泛的應(yīng)用。洛比達(dá)法則提供了求未定型的極限的一

10、種重要方法，一定要將前面所介紹過的求極限的方法與之結(jié)合起來，融會(huì)貫穿，真正掌握和靈活使用洛必達(dá)法則。泰勒公式是將一些函數(shù)近似地轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)表達(dá)的橋梁，在函數(shù)的近似研究中具有重要的理論價(jià)值，特別是在近似計(jì)算方面。從教學(xué)實(shí)踐看，學(xué)生對(duì)這一節(jié)容難以理解，要注意幫助學(xué)生理解這種近似表達(dá)的意義與作用。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，主要是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值，曲線的凹凸性和拐點(diǎn)等，對(duì)它們的研究，最根本的方法是利用定義和判定定理，這是很重要的。要注意所研究的問題與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，并加以比擬。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)，其求法比擬規(guī)，步驟明確，并且學(xué)生在高中階段已學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，因此，這里的教

11、學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步研究曲線的凹凸性和拐點(diǎn)上。二、教學(xué)容及其課時(shí)的劃分§31微分中值定理2課時(shí)§32洛必達(dá)法則2課時(shí)§33泰勒公式2課時(shí)§34函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性2課時(shí)§35函數(shù)的極值與最大值最小值2課時(shí)§36函數(shù)圖形的描述2課時(shí)§37曲率1課時(shí)§38方程的近似解1課時(shí)習(xí)題課2課時(shí)合計(jì)16課時(shí)三、教學(xué)要求1、掌握并會(huì)應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理；2、會(huì)用洛必達(dá)法則求未定式的極限；3、理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值

12、的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；4、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形；5、了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑；6、了解方程近似解的二分法及切線法。四、本章重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：羅爾定理、拉格朗日中值定理、洛必達(dá)法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)難點(diǎn)：羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理的證明，泰勒公式的證明與應(yīng)用五、教學(xué)建議1、對(duì)中值定理的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生比擬幾個(gè)中值定理?xiàng)l件與結(jié)論中的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，弄清它們之間的關(guān)系：羅爾定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西中值定理的特例；注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的中值定理的中值點(diǎn)是開區(qū)間的*一點(diǎn)，而

13、非區(qū)間的任意點(diǎn)或指定一點(diǎn)，換言之，這三個(gè)中值定理都僅“定性地指出了中值點(diǎn)的存在性，而非“定量地指明的具體數(shù)值；結(jié)合這三個(gè)中值定理在本節(jié)中的應(yīng)用以及在以后各章節(jié)的應(yīng)用，反復(fù)體會(huì)這些定理在微積分學(xué)的意義與作用，可要求較好學(xué)生掌握通過設(shè)輔助函數(shù)來運(yùn)用微分中值定理。2、要讓學(xué)生懂得洛必達(dá)法則是求0/0型與/型未定式極限的一種比擬有效的方法，但也有一定的使用圍；另外要強(qiáng)調(diào)洛必達(dá)法則不是求0/0型或與/型未定式的唯一方法，在計(jì)算時(shí)應(yīng)該結(jié)合使用等價(jià)無窮小的替換、帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式等方法，以使計(jì)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確。3、重點(diǎn)講解帶佩亞諾余項(xiàng)和帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式、麥克勞林公式要求學(xué)生理解并熟記幾個(gè)重要函數(shù)的

14、麥克勞林公式。4、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)是本章的一個(gè)重點(diǎn)，要在例題教學(xué)的根底上，讓學(xué)生總結(jié)研究的步驟。由于教材中例題未使用列表法，所以在教學(xué)中要特別強(qiáng)調(diào)列表法的優(yōu)越性。5、曲率和曲率半徑在實(shí)際生活中具有廣泛的應(yīng)用，在教學(xué)中不僅要求學(xué)生會(huì)計(jì)算曲率半徑，更要讓學(xué)生了解在實(shí)際生活中的應(yīng)用。6、在利用二分法和切線法計(jì)算方程的近似解及其近似計(jì)算的教學(xué)中，要注意表達(dá)逐步逼近的思想和方法。六、本章知識(shí)構(gòu)造圖羅爾定理柯西定理拉格朗日定理兩個(gè)重要推論洛必達(dá)法則：用于求 、 、 、 、 、 、 型極限極值與最值利用微分中值定理證明不等式個(gè)數(shù)函數(shù)單調(diào)性單調(diào)性及極值存在性凹凸性及判別法方程根的討論第一、二判別法駐點(diǎn)定

15、義羅爾定理凹凸性連續(xù)函數(shù)的介值定理中值定理利用函數(shù)單調(diào)性利用極最值區(qū)別最值與極值中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章 不定積分一、教材分析本章中不定積分的概念是從求函數(shù)的原函數(shù)引入的，是求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的逆運(yùn)算，這種運(yùn)算雖然本質(zhì)上屬于微分學(xué)的疇，但它的引入是為了定積分的計(jì)算及微分方程的求解，因此，本章在教材中起到了承上啟下的作用，占有重要地位。本章主要容是不定積分的計(jì)算，在由根本微分公式導(dǎo)出根本積分公式的根底上，介紹了第一類、第二類換元積分法、分部積分法，以及有理函數(shù)的積分。不定積分的計(jì)算方法靈活，有些題還可以一題多解，需要學(xué)生做一定量的題，以到達(dá)熟練程度。對(duì)于一些有規(guī)律性的方法，應(yīng)讓學(xué)生在做題的根底上加

16、以總結(jié)。從本章起的不定積分、定積分容是學(xué)生未曾接觸過的，從教學(xué)實(shí)踐看，學(xué)生對(duì)這些容的理解上還是有些困難的，因此，要注意新概念的引入應(yīng)建立在學(xué)生已有知識(shí)根底之上，同時(shí)要注意教學(xué)節(jié)奏的控制。二、教學(xué)容及課時(shí)劃分§41 不定積分的概念與性質(zhì) 2課時(shí)§42 換元積分法3課時(shí)§43 分部積分法 2課時(shí)§44 有理函數(shù)的積分 2課時(shí)§45 積分表的使用 1課時(shí)習(xí)題課 2課時(shí)合計(jì)12課時(shí)三、教學(xué)要求1、理解不定積分的概念及性質(zhì)。2、熟悉不定積分的根本公式。熟練掌握換元積分法和分部積分法。掌握較簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：不定積分的根本公式，

17、不定積分的換元積分法和分部積分法。難點(diǎn)：第二類換元積分法、簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分。五、教學(xué)建議1、不定積分的概念與性質(zhì)在原函數(shù)概念的根底上，引入不定積分的概念，要突出不定積分與求導(dǎo)、微分間的關(guān)系，并在理解曲線簇的根底上，強(qiáng)調(diào)不定積分結(jié)果中的任意常數(shù)項(xiàng)。對(duì)于根本積分公式，要求學(xué)生在聯(lián)系求導(dǎo)公式的根底上并在運(yùn)用中熟記。不定積分的性質(zhì)可結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)展教學(xué)。2、換元積分法1第一類換元積分法湊微分法：主要強(qiáng)調(diào)如何將所給不定積分湊成根本公式形式。2第二類換元積分法：要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同形式的被積函數(shù)的換元方法的總結(jié)，同時(shí)要強(qiáng)調(diào)換元后的積分變量的回代。特別要注意在用三角代換進(jìn)展換元時(shí)，利用輔助三角形求相應(yīng)的三

18、角函數(shù)值是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。另外，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展兩類換元積分法的比擬。3、分部積分法分部積分公式是在兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式根底上得到的，要引導(dǎo)學(xué)生在理解的根底上記憶。分部積分法的應(yīng)用主要強(qiáng)調(diào)1在什么情況下適用2u和dv如何選取，要讓學(xué)生概括總結(jié)對(duì)被積函數(shù)是幾種特殊形式時(shí)u和dv的選取方法。4、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分主要強(qiáng)調(diào)將有理函數(shù)局部分式的方法。對(duì)可化為有理函數(shù)的積分主要強(qiáng)調(diào)針對(duì)不同形式的被積函數(shù)進(jìn)展相應(yīng)的換元。5、關(guān)于本章的習(xí)題對(duì)不定積分的熟練程度如何，將直接影響后面積分學(xué)容的學(xué)習(xí)，因此，要使學(xué)生對(duì)不定積分的計(jì)算到達(dá)熟練程度，就要適當(dāng)增加習(xí)題量每次課10小題左右。同時(shí)，對(duì)于本章習(xí)題，

19、還要強(qiáng)調(diào)方法的靈活性，并注意展示學(xué)生作業(yè)中的不同解法。六、本章知識(shí)構(gòu)造圖不定積分根本概念根本性質(zhì)積分公式積分法換元法第一類換元法湊微分法第二換元法分部積分法有理函數(shù)的積分三角函數(shù)有理式的積分*些無理函數(shù)的積分與導(dǎo)數(shù)、微分的關(guān)系第五、六章定積分及其應(yīng)用一、教材分析定積分起源于求圖形的面積和體積等實(shí)際問題。古希臘阿基米德用“窮竭法，我國古代徽用“割圓術(shù)，都曾解決過一些面積和體積問題，這些都是定積分的雛形。直到17世紀(jì)中葉，牛頓和萊布尼茲先后提出了定積分的概念，并發(fā)現(xiàn)了積分與微分之間的在聯(lián)系，給出了計(jì)算定積分的NL公式，從而才使定積分成為解決有關(guān)實(shí)際問題的有力工具。定積分是積分學(xué)的一個(gè)根本概念，后續(xù)

20、的重積分、曲線積分和曲面積分都是在定積分根底上的推廣。因此，本章在積分學(xué)中占有重要的根底地位。定積分概念的形成反映了微積分的重要思想，定積分的計(jì)算則依賴于NL公式。二、教學(xué)容及課時(shí)劃分§51 定積分的概念與性質(zhì) 3課時(shí)§52 微積分根本公式 2課時(shí)§53 定積分的換元法和分部積分法 3課時(shí)§54 反常積分 2課時(shí) 習(xí)題課2課時(shí)§61 定積分的元素法 1課時(shí)§62 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 3課時(shí)§63 定積分在物理上的應(yīng)用 2課時(shí) 總計(jì)18課時(shí)三、教學(xué)要求1、理解定積分的概念及性質(zhì)2、熟練掌握定積分的換元法和分部積分法。3、理

21、解積分上限函數(shù)及其求導(dǎo)定理。熟悉牛頓Newton-萊布尼茲Leibniz公式。4、了解反常積分的概念5、知道定積分的近似計(jì)算法梯形法和拋物線法6、熟練掌握用定積分來表達(dá)一些幾何量和物理量面積、體積、弧長(zhǎng)和功等的方法四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：定積分的概念及性質(zhì)、NL公式、定積分的換元法和分部積分法、元素法、定積分在幾何上的應(yīng)用。難點(diǎn)：積分上限函數(shù)及其求導(dǎo)定理、反常積分。五、教學(xué)建議1、定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念是由求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程兩個(gè)實(shí)際問題引入并抽象而成，定積分的概念的形成中反映了微積分的重要思想。在教學(xué)中要讓學(xué)生感受到分割近似求和取極限這一過程的必要性，逐步認(rèn)識(shí)其中的重

22、要數(shù)學(xué)思想。定積分性質(zhì)的教學(xué)可結(jié)合定積分的幾何意義進(jìn)展，便于學(xué)生的理解。同時(shí)要注意閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的復(fù)習(xí)。2、NL公式NL公式是定積分理論的核心，它提醒了積分與微分之間的聯(lián)系，反映了定積分的值與被積函數(shù)的原函數(shù)在積分區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值之間的關(guān)系，在教學(xué)中重點(diǎn)要強(qiáng)調(diào)“F*是f*的原函數(shù)。3、積分上限函數(shù)及其求導(dǎo)定理積分上限函數(shù)是一類重要的函數(shù)形式，是NL公式證明的根底，而且由于這類函數(shù)的良好性質(zhì)連續(xù)性、可導(dǎo)性和應(yīng)用背景表示變動(dòng)面積、變動(dòng)弧長(zhǎng)等，常見于一些習(xí)題中，但這一容是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)中應(yīng)著重幫助學(xué)生理解：1是一個(gè)原函數(shù)，即2是關(guān)于*的復(fù)合函數(shù)，另外，教學(xué)中要注意對(duì)含有積分上限函

23、數(shù)習(xí)題類型的概括和總結(jié)，如求極限問題、求導(dǎo)問題、積分問題、求表達(dá)式的問題等。4、定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法是定積分計(jì)算的根本方法。定積分的換元法的教學(xué)要注意強(qiáng)調(diào)換元后積分限的相應(yīng)改變，并引導(dǎo)學(xué)生找出定積分的換元法與不定積分換元法之間的聯(lián)系和區(qū)別。對(duì)定積分分部積分法，與不定積分分部積分法類似，只需在最后應(yīng)用NL公式即可。5、反常積分反常積分是積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)為無界函數(shù)的積分，是常規(guī)定積分的極限形式。在教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)把握其定義以及與定積分的聯(lián)系。6、元素法、用微元法求幾何量和物理量元素法，又稱微元法，是對(duì)定積分定義的進(jìn)一步的抽象與簡(jiǎn)化，本節(jié)容的教學(xué)主要強(qiáng)調(diào)元

24、素法的步驟：1建立坐標(biāo)系，選積分變量，確定積分區(qū)間2取微段，表示微元3用定積分表示所求量。對(duì)于幾何量平面圖形面積、體積、平面曲線弧長(zhǎng)和物理量功、水壓力、引力的計(jì)算，首先要注意根本幾何量和物理量表示，然后再應(yīng)用微元法進(jìn)展計(jì)算。六、本章知識(shí)構(gòu)造圖定義分割、近似、求和、取極限幾何意義可積函數(shù)類性質(zhì)積分上限函數(shù)定積分的計(jì)算定義NL公式換元法分部積分法利用函數(shù)的周期性、奇偶性廣義積分定義無窮積分與瑕積分的計(jì)算、收斂性判別定積分的應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)閉區(qū)間上至多有有限個(gè)第一類連續(xù)點(diǎn)單調(diào)有界函數(shù)用定積分求和式的極限證明不等式、等式幾何應(yīng)用面積直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、參數(shù)方程弧長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)體體積定積分及其應(yīng)用物理應(yīng)用功、

25、水壓力、引力等第七章 微分方程一、 教材分析 微分方程分為常微分方程和偏微分方程.本章只介紹了常微分方程的一局部而不涉及多元微積分.因而在實(shí)際教學(xué)中可以結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)適當(dāng)提前.分類研究構(gòu)成了全章的主導(dǎo)思想,與不定積分類似,許多微分方程,求解思路較難想,很難求解。探索著研究,先易后難,一類一類地解決問題,因而盡快地識(shí)別微分方程的類型是重要的突破口.而識(shí)別微分方程類型的關(guān)鍵是對(duì)每一類微分方程特征的把握。微分方程在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，因此在教學(xué)中，對(duì)其概念的引入，各種類型微分方程求解的應(yīng)用要落實(shí)到實(shí)際問題的解決上。 二、 教學(xué)容及課時(shí)劃分§121微分方程的概念 1課時(shí)§122可別離

26、變量微分方程 1課時(shí)§123齊次方程 1課時(shí)§124一階線性微分方程 2課時(shí)§125全微分方程 1課時(shí)§126可降階的高階微分方程2課時(shí)§127高階線性微分方程 1課時(shí)§128常系數(shù)齊次線性方程1課時(shí)§129常系數(shù)非齊次線性方程2課時(shí)習(xí)題課 2課時(shí) 合計(jì) 14課時(shí)三 、教學(xué)要求1、了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念;2、會(huì)識(shí)別以下幾種一階微分方程：變量可別離的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利Bernoulli方程和全微分方程;3、熟練掌握變量可別離的方程及一階線性方程的解法;4、會(huì)解齊次方程和伯努利方程，從中領(lǐng)

27、會(huì)用變量代換求解方程的思想;5、會(huì)解較簡(jiǎn)單的全微分方程;6、知道以下幾種特殊的高階方程;，和的降階法7、了解二階線性微分方程解的構(gòu)造;8、熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并知道高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法;9、了解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與乘積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法.四 、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：可別離變量的方程、一階線性微分方程、二階常系數(shù)齊次線性微分方程難點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程關(guān)鍵：微分方程類型的識(shí)別五、教學(xué)建議1、在第一節(jié)課，要把微分方程的概念交待清楚，建議補(bǔ)充微分方程是否線性的定義。2、可別離變量的微分方程的求解，其關(guān)鍵

28、是把變量別離到方程兩邊。3、齊次方程的求解，一方面要注意進(jìn)展齊次方程的判斷,另一方面，還要對(duì)齊次方程進(jìn)展變量代換變方程為可別離變量的形式。4、一階線性微分方程. (a)方程的判別.特別注意*,y地位的對(duì)等，都可以作為未知函數(shù)或自變量,要注意引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察方程，準(zhǔn)確判斷方程的類型。 (b)常數(shù)變易法.例如，非齊次線性方程求解,它對(duì)應(yīng)齊次方程的解為，把常數(shù)替換成待定函數(shù)，即，再把它代入非齊次方程，可確定一個(gè).常數(shù)變易法的本質(zhì)也是變量代換,它將非齊次形式的方程變?yōu)榭蓜e離變量方程。c可以讓學(xué)生記住一階線性非齊次方程的階的公式，但要注意其中的在原方程中代表什么。d伯努利方程的求解思想是將其轉(zhuǎn)化為一階

29、線性微分方程，學(xué)生對(duì)于所做的變量代換不易理解，在教學(xué)中要把為什么作此變換說清楚。5、線性方程解的構(gòu)造與?線性代數(shù)?中線性方程組的解的構(gòu)造完全類似： 非齊次方程通解=齊次方程通解+非齊次方程一特解.6、可降階的高階微分方程的求解思想，就是降階。以二階為例,主要是不顯含*(或y)的形式,建立與*(或y)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一階微分方程,到達(dá)降階的目的.7、二階常系數(shù)線性方程分為線性齊次方程和線性非齊次方程，這局部容理論難度較大,要注意分析清楚。對(duì)線性齊次方程，重點(diǎn)分析怎樣將方程與其特征方程聯(lián)系起來，怎樣將微分方程的解的形式與特征方程根的情況聯(lián)系起來；對(duì)線性非齊次方程，重點(diǎn)要解決特解問題，要根據(jù)自由項(xiàng)的不

30、同形式，確定特解的不同設(shè)法，再利用待定系數(shù)法，求出特解，這局部容比擬繁瑣，要注意分情況討論。六、 本章知識(shí)構(gòu)造圖微分方程的解根本概念微分方程的通解初始條件和特解可用初等積分解的方程類型可別離變量的方程齊次方程微分方程一階線性方程全微分方程貝努利方程可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的方程可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的構(gòu)造定理二階常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)非齊次線性微分方程歐拉方程*微分方程的冪級(jí)數(shù)解法*微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題注:圖中打*號(hào)容僅作了解.第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)一、教材分析 本章是中學(xué)數(shù)學(xué)中的平面向量和空間向量的一個(gè)延伸。本章的容將直接效勞于多元微積分

31、的各章第八、九、十章，對(duì)后續(xù)容的學(xué)習(xí)具有很大的影響，是學(xué)習(xí)后續(xù)容重要的知識(shí)根底。通過本章的學(xué)習(xí)要進(jìn)一步開展學(xué)生的空間想象能力。本章主要包括向量的運(yùn)算，空間曲面、曲線方程，平面、空間直線方程三大局部。由于學(xué)生已有相應(yīng)的知識(shí)根底，因此要充分利用這些根底進(jìn)展教學(xué)。二、教學(xué)容及課時(shí)劃分§71向量及其線性運(yùn)算 2課時(shí)§72數(shù)量積向量積混合積 2課時(shí)§73曲面及其方程 1課時(shí)§74空間曲線及其方程 1課時(shí)§75平面及其方程 2課時(shí)§76空間直線及其方程 2課時(shí)習(xí)題課 2課時(shí) 合計(jì) 12課時(shí)三、教學(xué)要求1、掌握向量的概念，線性運(yùn)算，數(shù)量積、向量積運(yùn)

32、算；2、了解混合積的運(yùn)算形式和幾何意義；3、掌握常見幾種曲線曲面方程，熟悉投影方法；4、熟練掌握平面的點(diǎn)法式方程的建立，熟悉平面方程的各種形式；5、熟練掌握空間直線的對(duì)稱方程，熟悉直線方程的各種形式；6、理解曲面方程的概念。掌握常用二次曲面的方程及其圖形。掌握以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；7、知道空間曲線的參數(shù)方程和一般方程.四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：平面方程、直線方程、常見空間曲線、曲面方程難點(diǎn)：曲面方程、投影方法關(guān)鍵點(diǎn)：平面的法向量直線的方向向量五、教學(xué)建議1、本章和高中知識(shí)聯(lián)系嚴(yán)密，對(duì)第一節(jié)和第二節(jié)的數(shù)量積可作簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)，其中投影局部可重點(diǎn)闡述；2、在高中根底上，著

33、重在數(shù)量積的應(yīng)用，并將向量的乘法深化，引入向量積。引導(dǎo)學(xué)生建立向量平行，垂直等關(guān)系下數(shù)量積和向量積的形式，特別地，可以總結(jié)出“一垂一，找點(diǎn)積；一垂二，找叉積，這對(duì)于解決后面的平面、直線問題很有效。對(duì)于向量積的運(yùn)算，要提前介紹二階、三階行列式的計(jì)算方法見附錄。3、對(duì)于旋轉(zhuǎn)曲面(這里主要討論繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所成曲面)，其方程的建立主要依賴于動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化，要引導(dǎo)學(xué)生觀察或想象旋轉(zhuǎn)曲面的形成過程并發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化情況及存在的關(guān)系。對(duì)于曲面，還要會(huì)利用截痕法來研究曲面性質(zhì)，形狀。4、平面的點(diǎn)法式方程是以向量的垂直關(guān)系為根底來建立的，因此抓住法向量是建立平面方程的關(guān)鍵。在點(diǎn)法式根底上，可以讓學(xué)生自己推出三

34、點(diǎn)式平面方程。5、空間直線方程的建立是以向量的平行關(guān)系為根底的，因此抓住方向向量是建立空間直線方程的關(guān)鍵。將空間直線的一般方程化為對(duì)稱式方程是學(xué)生感到困難的地方，一定要讓學(xué)抓住直線的方向向量與兩相交平面的法向量之間的關(guān)系，以及直線上一點(diǎn)確實(shí)定方法。6、本章中很多平面、直線問題都與面面、線面、線線間的關(guān)系嚴(yán)密相聯(lián)，因此，引導(dǎo)學(xué)生研究這些關(guān)系是非常重要的。另外，求過*直線一般方程的平面方程，用平面束很有效。本章中的很多問題可以一題多解，要鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法解決問題。7、本章習(xí)題7-6的16題，總習(xí)題七的21題是學(xué)生感到困難的地方，一定要引導(dǎo)學(xué)生逐一畫出圖形，這對(duì)后面多元函數(shù)微積分的學(xué)習(xí)有很大影響。

35、六、本章知識(shí)構(gòu)造圖向量的加減法向量與數(shù)的乘法向量的運(yùn)算和向量代數(shù)空間解析幾何夾角空間曲線和曲面二次曲面的分類曲線和曲面的表示平面法向量平面和直線距離直線方向向量向量的數(shù)量積向量的混合積向量的向量積第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、教材分析上冊(cè)研究了一元函數(shù)微分法，利用這些知識(shí)，我們可以求直線上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度，求曲線的切線的斜率，也可以判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值等，但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因?yàn)橐辉瘮?shù)只是研究了由一個(gè)因素確定的事物。一般地說，研究自然現(xiàn)象總離不開時(shí)間和空間，確定空間的點(diǎn)需要三個(gè)坐標(biāo)，所以一般的物理量常常依賴于四個(gè)變量，在有些問題中還需要考慮更多的變量，這樣就有必要研究多元函數(shù)的微

36、分學(xué)。多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)的微分學(xué)根底上的進(jìn)一步的研究，多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)有許多相似的地方，但也有許多不同的地方，但在容體系上是與一元函數(shù)微分學(xué)是對(duì)應(yīng)的，因此，在教與學(xué)中都要注意運(yùn)用類比和比擬的方法。二、教學(xué)容及其課時(shí)的劃分§81 多元函數(shù)的根本概念 2課時(shí) §82 偏導(dǎo)數(shù) 2課時(shí)§83 全微分 2課時(shí)§84 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 2課時(shí)§85 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 2課時(shí)§86 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 2課時(shí)§87 方向?qū)?shù)與梯度 2課時(shí)§88 多元函數(shù)的極值及其求法 2課時(shí)習(xí)題課2課時(shí)總計(jì)18課

37、時(shí)三、教學(xué)要求1、理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義；2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；3、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性，了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；4、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法；5、掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；6、會(huì)求隱函數(shù)包括由方程組確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程；8、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格

38、朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。四、本章重、難點(diǎn)重點(diǎn)：1、偏導(dǎo)數(shù)的求法；全微分的求法；2、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；難點(diǎn)：1、多元函數(shù)極限的存在性、多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性、全微分的存在性、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系；2、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，抽象函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；3、由方程組確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；4、梯度的模及方向的意義；5、條件極值的求法。五、教學(xué)建議盡管多元微分學(xué)中許多根本概念是從一元微分學(xué)的根底上建立起來的，但也產(chǎn)生了許多本質(zhì)上不同的東西，不過從二元到三元以上則是自然的推廣，因此本章討論以二元函數(shù)為主。本章主要

39、介紹了二元函數(shù)極限，連續(xù)及偏導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算方法以及多元函數(shù)的極值和最值的概念與計(jì)算方法。在教學(xué)方法上，在一元函數(shù)微分學(xué)根底上，通過類比方法引入新的問題、概念、理論和方法，并注意比擬它們的異同。1、多元函數(shù)、極限、連續(xù)在介紹平面點(diǎn)集的幾個(gè)根本概念根底上，引入二元函數(shù)，再到多元函數(shù)。多元函數(shù)極限，要講清它的概念，特別要強(qiáng)調(diào)點(diǎn)方式的任意性。在理解極限概念之根底上，不難得到判別一個(gè)二元函數(shù)極限不存在的方法。對(duì)極限的計(jì)算，可補(bǔ)充一些簡(jiǎn)單例題給出二元函數(shù)求極限的一些常用方法，如通過換元化為一元函數(shù)的極限。二元函數(shù)的連續(xù)概念可以類比一元函數(shù)連續(xù)概念給出。2、偏導(dǎo)數(shù)與全微分1在一元函數(shù)增量概念根底上引入偏增

40、量概念，類比一元函數(shù)，引入偏導(dǎo)數(shù)。通過例題說明偏導(dǎo)與連續(xù)之關(guān)系。在偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算中，注意講清分段函數(shù)分界點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)；2可由測(cè)量矩形相鄰邊長(zhǎng)計(jì)算面積實(shí)例，類比一元函數(shù)的微分，引入全微分的定義，并指出用定義判斷可微，即求極限是否為 。3講清教材中全微分存在的必要條件和充分條件，重點(diǎn)指出可微與偏導(dǎo)之關(guān)系，讓學(xué)生理解關(guān)系式之意義，最后可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)存在、可微間的相互關(guān)系。3、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)1先證明中間變量為一元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)公式，分析函數(shù)間的關(guān)系，畫出函數(shù)關(guān)系圖，概括出關(guān)系圖中口訣“分線相加，連線相乘，再將鏈?zhǔn)椒▌t推廣至中間變量為多元的各種情形并讓學(xué)生從中進(jìn)一步理解口訣的含義。準(zhǔn)確畫出

41、函數(shù)間的關(guān)系圖是準(zhǔn)確運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t的關(guān)鍵；2通過例題說明各種公式，具體方法及符號(hào)的正確運(yùn)用。對(duì)鏈?zhǔn)椒▌t中終究用導(dǎo)數(shù)符號(hào)，還是偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)，學(xué)生很容易混淆，這里要強(qiáng)調(diào)：無論對(duì)整個(gè)函數(shù)而言，還是對(duì)中間變量，如果是多元函數(shù)，則用偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)，否則，用導(dǎo)數(shù)符號(hào)。3復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的求法，是個(gè)難點(diǎn)，要注意不作過高要求講清符號(hào)，如對(duì)而言，、，等所代表的涵義。4、隱函數(shù)求偏導(dǎo)1可先選用一個(gè)由二元方程所確定的一元隱函數(shù)的求導(dǎo)問題，給學(xué)生一個(gè)感性認(rèn)識(shí)后再引入定理；2對(duì)于確定的隱函數(shù)存在定理，講清三個(gè)條件和三個(gè)結(jié)論，再推廣到定理2、3，只給出偏導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)過程，對(duì)定理不作證明；3用例題說明隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)之三種方法，公

42、式法、復(fù)合函數(shù)法直接法、微分法，但要讓學(xué)生理解三種方法中各個(gè)變量的地位及相互關(guān)系。4對(duì)定理3，重點(diǎn)通過公式的推導(dǎo)過程講清Jacobi式的含義，不要求學(xué)生記該公式，實(shí)際求解中直接用推導(dǎo)公式的方法更方便。5、多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用1幾何應(yīng)用：(a)切線是割線的極限位置，通過割線方程的建立取其極限形式即得到切線方程；(b)曲面上任一點(diǎn)處的任何曲線，假設(shè)處切線均在一個(gè)平面上，從而引入切平面與法線概念，并導(dǎo)出切平面與法線方程，舉例說明它們的應(yīng)用；(c)本節(jié)容依賴于平面方程和直線方程的建立，可讓學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)第七章有關(guān)容。2極值： 與一元函數(shù)類比，講述二元函數(shù)極值的必要和充分條件； 求極值問題一般分為兩種情況：

43、a無條件極值； b條件極值。從無條件極值到條件極值，自然地引入到“拉格朗日乘數(shù)法，講解時(shí)注意此方法的根本思想、方法及步驟，另外還可優(yōu)化結(jié)合起來講解。6、方向?qū)?shù)與梯度從偏導(dǎo)數(shù)的概念拓廣到方向?qū)?shù)概念，并指出與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其次可通過具體應(yīng)用實(shí)例引入梯度的概念，可畫圖指出梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系，此外，順便介紹等高線、梯度場(chǎng)、勢(shì)場(chǎng)等知識(shí)加深對(duì)梯度概念的理解。六、本章知識(shí)構(gòu)造圖根本概念偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、梯度極限連續(xù)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用全微分變化域、多元函數(shù)、圖形距離、鄰域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開/閉集、區(qū)域、有界閉區(qū)域性質(zhì)極限與累次極限的關(guān)系方程組閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)微分法連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)與全微分之間的關(guān)

44、系定義復(fù)合函數(shù)的微分隱函數(shù)一個(gè)方程幾何應(yīng)用曲線的切線與法平面極值空間曲線的切平面與法線充分條件拉格朗日乘數(shù)法定義法泰勒公式條件極值應(yīng)用必要條件第十章 重積分一、教材分析本章和下一章是多元函數(shù)積分學(xué)的容，類似多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣，多元函數(shù)積分學(xué)也是一元函數(shù)積分學(xué)的推廣。重積分即是由定積分的積分區(qū)間推廣到積分區(qū)域而得到的。重積分是多元函數(shù)積分學(xué)的重要容，它不僅是學(xué)習(xí)下一章的重要根底，而且在幾何、物理方面有著重要應(yīng)用。重積分的學(xué)習(xí)比定積分的學(xué)習(xí)要困難，一方面要把重積分化為累次積分，另一方面又要注意積分簡(jiǎn)捷，前者是關(guān)鍵，后者是難點(diǎn)。二、教學(xué)容及課時(shí)劃分§91 二重積分的概念與

45、性質(zhì) 1課時(shí)§92 二重積分的計(jì)算法 3課時(shí)§93 三重積分 2課時(shí)§94 重積分應(yīng)用 2課時(shí)習(xí)題課 2課時(shí)合計(jì) 10課時(shí)三、教學(xué)要求1、理解二重積分的概念、幾何意義；2、了解二重積分的性質(zhì)；3、掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算；4、掌握三重積分在直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系下的計(jì)算；5、掌握重積分在幾何中應(yīng)用；6、了解重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重積分的計(jì)算難點(diǎn)：三重積分的計(jì)算及技巧關(guān)鍵點(diǎn)：二重積分的計(jì)算五、教學(xué)建議1、二重積分的概念與性質(zhì)：1概念教學(xué)重點(diǎn)突出積分思想和方法，另外，扣住與定積分的概念類比；2性質(zhì)局部也是扣住與定

46、積分性質(zhì)的類比，重在了解。2、二重積分的計(jì)算：1把“二重積分轉(zhuǎn)化為“二次積分，注意面積元素的表達(dá)；2注意積分域的類型及坐標(biāo)系的選擇；讓學(xué)生體會(huì)計(jì)算繁簡(jiǎn)不僅與坐標(biāo)系選擇有關(guān)，有時(shí)也與積分次序有關(guān)；3強(qiáng)調(diào)確定二次積分的上、下限的方法。3、三重積分：1強(qiáng)調(diào)化“三重積分為“累次積分；2注意直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系的選擇；3根據(jù)積分區(qū)域確定累次積分的上、下限及積分次序；4注意不同坐標(biāo)系下的體積元素的表達(dá)；5注意一些積分技巧。4、重積分的應(yīng)用：1突出重積分解決問題的方法微元分析法；2強(qiáng)調(diào)重積分解決問題的思路畫出積分域，選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限，計(jì)算找捷徑；3重點(diǎn)講解在幾何中的應(yīng)用。六、

47、本章知識(shí)構(gòu)造圖概念、性質(zhì)直角坐標(biāo)法二重積分計(jì)算方法極坐標(biāo)法概念、性質(zhì)重積分直角坐標(biāo)法三重積分投影法柱面坐標(biāo)法計(jì)算方法截面法球面坐標(biāo)法曲面面積幾何中應(yīng)用空間幾何體體積重積分應(yīng)用質(zhì)量、質(zhì)心物理中應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力 第十一章 曲線積分與曲面積分 本科適用一、教材分析本章是多元函數(shù)積分學(xué)的最后一章，是定積分的延伸與推廣，與重積分一起構(gòu)成多元函數(shù)積分學(xué)，是積分學(xué)的重要組成局部。曲線積分、曲面積分是在定積分根底上，將積分圍推廣為一段曲線弧或一片曲面的積分，在物理上有著重要應(yīng)用。通過本章的學(xué)習(xí)，將使學(xué)生對(duì)積分學(xué)有一個(gè)較為整體的認(rèn)識(shí)。首先是概念的統(tǒng)一性，曲線積分、曲面積分概念的形成與定積分、重積分概念的形成是統(tǒng)一的，都是從一個(gè)實(shí)際的問題引入，然后就是分割、近似、求和、取極限的方法，這也正是微積分的重要思想。其次是計(jì)算方法，曲線積分、曲面積分的計(jì)算中貫穿的一個(gè)重要思想就是通過代入曲線、曲面方程，將曲線積分、曲面積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為定積分、重積分的計(jì)算。再次是定積分、重積分、曲線積分、曲面積分間通過格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等，構(gòu)成一個(gè)比擬復(fù)雜的構(gòu)造，反映出互相間的聯(lián)系。本章是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，曲線積分、曲面積分的類型比擬復(fù)雜，同時(shí)計(jì)算比擬繁。因此，要注意幫助學(xué)生分清類型、理清解題思路、尋求較為簡(jiǎn)潔的解題方法。二、教學(xué)容及課時(shí)劃分