數(shù)學物理方法積分變換法求解定解問題學習教案

1、會計學1數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法(fngf)積分變換法求解定積分變換法求解定解問題解問題第一頁，共35頁。2 特別是對于無界或半無界的定界問題，用積分特別是對于無界或半無界的定界問題，用積分(jfn)(jfn)變換來變換來 求解，最合適不過了（注明：無界或半無界的定界問題求解，最合適不過了（注明：無界或半無界的定界問題也可以用行波法求解）也可以用行波法求解）用積分變換用積分變換(binhun)求解定解問題的步驟為：求解定解問題的步驟為： 第一：根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件第一：根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件(tiojin)(tiojin)確確定選擇適當?shù)姆e分變換；定選擇適當?shù)姆e分變換；對于自

2、變量在對于自變量在 (,) 內(nèi)變化的定解問題內(nèi)變化的定解問題（如無界域（如無界域的坐標變量）常采用的坐標變量）常采用傅氏變換傅氏變換，而自變量在，而自變量在 (0,)內(nèi)變化內(nèi)變化的定解問題（如時間變量）常采用的定解問題（如時間變量）常采用拉氏變換拉氏變換 第2頁/共35頁第二頁，共35頁。3 第二：對方程第二：對方程(fngchng)取積分變換，將一個含兩個自變?nèi)》e分變換，將一個含兩個自變量的偏微分方程量的偏微分方程(fngchng)化為一個含參量的常微分方程化為一個含參量的常微分方程(fngchng)； 第三：對定解條件第三：對定解條件(tiojin)取相應(yīng)的變換，導出常微分方程的定解取相應(yīng)

3、的變換，導出常微分方程的定解條件條件(tiojin)； 第四：求解常微分方程第四：求解常微分方程(wi fn fn chn)的解，即為原定解問題的變換；的解，即為原定解問題的變換； 第五第五：對所得解?。簩λ媒馊∧孀儞Q逆變換，最后得，最后得原定解問題的解原定解問題的解第3頁/共35頁第三頁，共35頁。4 用分離變量法求解有限空間的定解問題時，所得到用分離變量法求解有限空間的定解問題時，所得到 的本征的本征值譜是分立的，所求的解可表為對分立本征值求和的傅里葉級數(shù)值譜是分立的，所求的解可表為對分立本征值求和的傅里葉級數(shù)對于無限空間，用分離變量法求解定解問題時，所得到的本征對于無限空間，用分離變量

4、法求解定解問題時，所得到的本征值譜一般是連續(xù)值譜一般是連續(xù)(linx)(linx)的，所求的解可表為對連續(xù)的，所求的解可表為對連續(xù)(linx)(linx)本征值求積分的傅里葉積分本征值求積分的傅里葉積分 因此，對于無限空間的定解問題，傅里葉變換是一種很因此，對于無限空間的定解問題，傅里葉變換是一種很適用的求解方法本節(jié)將通過幾個例子說明運用傅里葉變換求解適用的求解方法本節(jié)將通過幾個例子說明運用傅里葉變換求解無界空間（含一維半無界空間）的定界問題的基本方法，并給出無界空間（含一維半無界空間）的定界問題的基本方法，并給出幾個重要的解的公式幾個重要的解的公式 第4頁/共35頁第四頁，共35頁。5下面的

5、討論下面的討論(toln)(toln)我們假設(shè)待求解的函數(shù)我們假設(shè)待求解的函數(shù) u及其一階導數(shù)及其一階導數(shù)(do sh)(do sh)是有限的是有限的 . .弦振動弦振動(zhndng)(zhndng)問題問題例例1 求解無限長弦的自由振動定解問題求解無限長弦的自由振動定解問題（假定假定：函數(shù)：函數(shù) u及其及其一階導數(shù)是有限一階導數(shù)是有限的的) ) 2000,()|( ) |( )ttxxtttua uxuxux 第5頁/共35頁第五頁，共35頁。6ii( , )( , )d1( , )( , )d2xxUtu x t exu x tUt e簡化簡化(jinhu)(jinhu)表示為表示為 (

6、 , )( , )u x tUtF對其它函數(shù)對其它函數(shù)(hnsh)也作傅氏變換，即為也作傅氏變換，即為( )( ) ( )( )xxFF解解 應(yīng)用應(yīng)用(yngyng)(yngyng)傅里葉變換，即用傅里葉變換，即用 i xe遍乘定解問題中的各式，遍乘定解問題中的各式，并對并對空間變量空間變量x積分積分（這里把時間變量看成參數(shù)），按照傅里葉變換（這里把時間變量看成參數(shù)），按照傅里葉變換的定義，我們采用如下的的定義，我們采用如下的傅氏變換對傅氏變換對： 第6頁/共35頁第六頁，共35頁。7于是原定解問題變換于是原定解問題變換(binhun)為下列常微分方程的定解問題為下列常微分方程的定解問題222

7、200( , )0( , )|( , )(|)tttUaUttUtUt上述上述(shngsh)常微分方程的通解為常微分方程的通解為ii( , )( )( )atatUtAeBe代入初始條件可以代入初始條件可以(ky)定出定出11 1( )( )( )22 i11 1( )( )( )22 iAaBa第7頁/共35頁第七頁，共35頁。8這樣這樣(zhyng)iiii1111( , )( )( )( )( )22i22i( ) ( )cos()sin()atatatatUteeeeaaatata 最后最后(zuhu)，上式乘以，上式乘以 12 并作逆傅氏變換應(yīng)用并作逆傅氏變換應(yīng)用(yngyng)延

8、遲定理延遲定理和積分定理得到和積分定理得到11( , ) ()()( )d22x atx atu x tx atx ata 這正是前面學過的的達朗貝爾公式這正是前面學過的的達朗貝爾公式. .第8頁/共35頁第八頁，共35頁。9 為了說明傅氏變換法解非齊次方程特別簡便，我們特舉一強迫弦振動問題(wnt)： 求解無限長弦的強迫振動方程的初值問題(wnt)200( , ), ()|( ) |( )ttxxtttua uf x txuxux 解解根據(jù)與例根據(jù)與例1 1 相同的方法相同的方法(fngf)(fngf)，作傅氏變換，作傅氏變換例例2 2 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )

9、( ), ( )( )u x tUtf x tFtxx FFFF第9頁/共35頁第九頁，共35頁。10我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}(wnt)可變換為下列常微分方程的問題可變換為下列常微分方程的問題(wnt)222200( , )( , )( , )|( ),( , )|( ),tttUaUtFttUtUt 上述上述(shngsh)問題的解為問題的解為 01( )( , )( , )sin()d( )cos()sin()tUtFa tata taa 利用利用(lyng)傅氏變換的性質(zhì)有傅氏變換的性質(zhì)有01 1 ( , )( , )1( , )( , )dixxFtf x tFf

10、FF第10頁/共35頁第十頁，共35頁。11i()i()1sin()2ia ta ta tee代入得到代入得到(d do)00()()01( , )( , )d( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a txxx atx atu x tffax atx ata 即得即得()0()1( , )( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a tx atx atu x tfaxatxata 故得到故得到(d do)0()1i()1( , )( , )dix a ta txeFtf F第11頁/共35頁第十一頁，共35頁。12熱傳導問題熱傳導問題例例 3 3 求解無

11、限求解無限(wxin)(wxin)長細桿的熱傳導（無熱源）問題長細桿的熱傳導（無熱源）問題200, (,0)|( ) txxtua uxtux 解解 作傅氏變換作傅氏變換(binhun) (binhun) ( , )( , )u x tUtF ( )( )x F定解問題定解問題(wnt)(wnt)變換為變換為22( , )0( ,0)( )Ua UtU 第12頁/共35頁第十二頁，共35頁。13常微分方程常微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的初值問題的解是的初值問題的解是 22( , )( )a tUte 再進行再進行(jnxng)(jnxng)逆傅里葉變換，逆傅

12、里葉變換，2 22 21iii1( , ) ( , )( )d21 ( )d d2a txa txu x tUteeeee F交換積分交換積分(jfn)(jfn)次序次序22i()1( , )( )d d2a txu x tee 第13頁/共35頁第十三頁，共35頁。14引用引用(ynyng)(ynyng)積分公式積分公式22224d()aeee且令且令 ,i()a tx以便以便(ybin)(ybin)利用積分公式，即得到利用積分公式，即得到22()41( , )( )d2xa tu x teat 第14頁/共35頁第十四頁，共35頁。15例例4 求解求解(qi ji)無限長細桿的有源熱傳導方

13、程定解問題無限長細桿的有源熱傳導方程定解問題20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux 解解 利用利用(lyng) (lyng) ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( )u xtUtf xtFtxFFF對定解問題作傅氏變換對定解問題作傅氏變換(binhun)(binhun)，得到常微分方程的定解問題，得到常微分方程的定解問題 22( , )( , )( ,0)( ) Ua UtFtU 上述問題的解為上述問題的解為2222()0( , )( )( , )dtatatUteFe 第15頁/共35頁第十五頁，共35頁。16為了求出上式的逆變換，利用下面

14、為了求出上式的逆變換，利用下面(xi mian)(xi mian)傅氏變換的卷積公式，即傅氏變換的卷積公式，即 若若 11 ( )( ), ( )( ),Gg xFf xFF則則 1 ( ) ( )() ( )dFGf xgF而積分而積分(jfn)(jfn) 222i211dexp242atxxea tat即為即為 222121exp42atxea tatF最后最后(zuhu)得到定解問題的解為得到定解問題的解為2222()()t4()4011( , )( , )( )ddd22xxa ta tfu xteeatat 第16頁/共35頁第十六頁，共35頁。17穩(wěn)定穩(wěn)定(wndng)(wndng

15、)場問題場問題 我們(w men)先給出求半平面內(nèi) (0)y 拉普拉斯方程拉普拉斯方程(fngchng)(fngchng)的第一的第一邊值問題的傅氏變換邊值問題的傅氏變換系統(tǒng)解法（讀者可以與格林函數(shù)解法進系統(tǒng)解法（讀者可以與格林函數(shù)解法進行比較）行比較）例例 5 5 定解問題定解問題x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyuuxyu xf xu x y 解解 對于變量對于變量 x作作傅氏變換傅氏變換，有，有1 ( , )( , ), ( )( )u x yUyf xFFF第17頁/共35頁第十七頁，共35頁。18定解問題定解問題(wnt)(wnt)變換為常微分方程變換為常

16、微分方程 222( , ) 0,( ,0)( )lim ( , ) 0UUyyUFUy因為因為(yn wi) (yn wi) 可取可取(kq)(kq)正、負值，所以常微分定解問題的通解為正、負值，所以常微分定解問題的通解為 | | |( , )( )( )yyU x yCeDe因為因為 lim( , )0Uy，故得到，故得到( )0, ( )( )CDF常微分方程的解為常微分方程的解為| |( , )( )yUyFe設(shè)設(shè) | |( , )yGye第18頁/共35頁第十八頁，共35頁。19根據(jù)根據(jù)(gnj)(gnj)傅氏變換定義，傅氏變換定義， | |ye的的傅氏逆變換傅氏逆變換為為0| |ii

17、i22011111ddd 222ii()yxyxyxyeeeey x y xxy再利用再利用(lyng)(lyng)卷積公式卷積公式 1( )( )( ) ()dFGfg xF最后得到最后得到(d do)(d do)原定解問題的解為原定解問題的解為22( )( , )d()yfu x yxy容易看出與格林函數(shù)解出的結(jié)果具有相同的表示式容易看出與格林函數(shù)解出的結(jié)果具有相同的表示式第19頁/共35頁第十九頁，共35頁。20例例6 6 如果定解問題為下列如果定解問題為下列(xili)(xili)第二邊值問題第二邊值問題x0 (,0)( ,0)( ) lim( , )0 xxyyyuuxyuxf xu

18、 x y 解解 令令 ( , )( , ),yx yux yv即即 0( , )( , )dyyu x yxv容易容易(rngy)(rngy)得到得到 ( , )x yv滿足滿足(mnz)(mnz)定解問題為定解問題為x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyxyxf xx y vvvv第20頁/共35頁第二十頁，共35頁。21則根據(jù)上述穩(wěn)定則根據(jù)上述穩(wěn)定(wndng)(wndng)場第一邊值問題公式場第一邊值問題公式22( )( , )d()yfx yxyv故得到故得到(d do)(d do)0002222221( )( , )( , )ddd()1d( )d()1( )

19、ln()d( )yyyyyyfu x yxxfxfxyx v第21頁/共35頁第二十一頁，共35頁。22第22頁/共35頁第二十二頁，共35頁。23 本節(jié)介紹另一種變換本節(jié)介紹另一種變換(binhun)(binhun)法：拉普拉斯變換法：拉普拉斯變換(binhun)(binhun)法求解定解問題法求解定解問題 無界區(qū)域無界區(qū)域(qy)(qy)的問題的問題例求解例求解(qi ji)(qi ji)無限長細桿的熱傳導（無熱源）問題無限長細桿的熱傳導（無熱源）問題20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux 12.2 拉普拉斯變換解數(shù)學物理定解問題拉普拉斯變換解數(shù)學物理定解問

20、題由于要作由于要作傅氏變換的函數(shù)傅氏變換的函數(shù)必須定義在必須定義在 ),(上，故當上，故當我們討論我們討論 半無界問題半無界問題時，就不能對變量時，就不能對變量x作傅氏變換了作傅氏變換了 第23頁/共35頁第二十三頁，共35頁。24 ( , )( , ), ( , )( , )u x tU x pf x tF x pLL ( , )( , )( ,0) (12.2.2)tu xtpU x pu xL由此原定解問題由此原定解問題(wnt)(wnt)中的泛定方程變?yōu)橹械姆憾ǚ匠套優(yōu)?22222d11( )( , )0 (12.2.3)dUpUxF x pxaaa對方程對方程(fngchng)(fn

21、gchng)實施傅氏逆變換來進行求解實施傅氏逆變換來進行求解. .利用傅氏逆變換公式利用傅氏逆變換公式1222b xbebF【解】【解】 先對時間先對時間(shjin) (shjin) t作作拉氏變換拉氏變換 第24頁/共35頁第二十四頁，共35頁。25以及以及(yj)(yj)卷積定理卷積定理-1( ) ( )() ( )dFGf xgF得方程得方程(fngchng)(fngchng)的解為的解為11( , )( )d( , )d22ppxxaaU x peFpea pa p 式作拉氏逆變換式作拉氏逆變換, ,并查閱并查閱(chyu)(chyu)拉氏變換表，拉氏變換表， 得得原定解問題的解原定

22、解問題的解為為222201()( , )( )expd421() ( , )expd d (12.2.5)4()2()txu x ta tatxfa tat 第25頁/共35頁第二十五頁，共35頁。262 (0,0)( ,0)0 , (0, )( )( , ) (0,0)txxxua uxtu xutq tu x tMxt 解首先解首先(shuxin)(shuxin)作變量作變量 t的拉氏變換的拉氏變換(binhun) (binhun) ( , )( , ), ( , )( , )( ,0) (12.2.7) ()( ) tu xtU x pu xtpU x pu xqtQ pLLL原定解問題

23、原定解問題(wnt)(wnt)即為即為半無界區(qū)域的問題半無界區(qū)域的問題例例 2 求定解問題求定解問題第26頁/共35頁第二十六頁，共35頁。27222d( , ) 0 d(0, )( ) , ( , ) (12.2.8)xUpU x pxaUpQ pU x pM易得到易得到(d do)(d do)式的解為式的解為( , )( )( ) (12.2.9)ppxxaaU x pC peD pe( , ) (0)u x pMx ( )0 (12.2.10)D p 第27頁/共35頁第二十七頁，共35頁。28又又 (0, )( ) (12.2.11)xUpQ p故故( , )( ) (12.2.12)

24、pxaaU x pQ p ep 由于由于(yuy)(yuy)221411 (12.2.13)xpxaa teeptL及拉氏變換及拉氏變換(binhun)(binhun)的卷積定理的卷積定理10 ( ) ( )( ) ()d (12.2.14)tF p G pfg tL最后最后(zuhu),(zuhu),得原定解問題的解為得原定解問題的解為224()0( , )( )d (12.2.15)()xtatau x tqet第28頁/共35頁第二十八頁，共35頁。292 (0,0)( ,0)0 , (0, )( )( , ) (0,0)txxxua uxtu xutq tu x tMxt 【解】首先(

25、shuxin)作變量 t的拉氏變換的拉氏變換(binhun)(binhun) ( , )( , ), ( , )( , )( ,0) (12.2.7) ( )( ) tu x tU x pu x tpU x pu xq tQ pLLL原定解問題原定解問題(wnt)(wnt)即為即為222d( , )0 d(0, )( ) , ( , ) (12.2.8)xUpU x pxaUpQ pU x pM半無界區(qū)域的問題半無界區(qū)域的問題例例 2 求定解問題求定解問題第29頁/共35頁第二十九頁，共35頁。30易得到易得到(d do)(d do)式的解為式的解為( , )( )( ) (12.2.9)pp

26、xxaaU x pC p eD p e因為因為(yn wi) (yn wi) ( , ) (0)u x pMx 所以所以(suy)(suy)( ) 0 (12.2.10)Dp 又又 (0, )( ) (12.2.11)xUpQ p故故( , )( ) (12.2.12)pxaaU x pQ p ep 第30頁/共35頁第三十頁，共35頁。31利用利用(lyng)(lyng)221411 (12.2.13)xpxaa teeptL及拉氏變換及拉氏變換(binhun)(binhun)的卷積定理的卷積定理10 ( ) ( )( ) ()d (12.2.14)tF p G pfg tL最后最后(zuhu),(zu