第2章_資金時間價值及等值計算

1、第第2 2章章 資金的時間價值及等值計算資金的時間價值及等值計算2.1 2.1 資金的時間價值資金的時間價值2.2 2.2 資金等值計算資金等值計算 2.1 2.1 資金的時間價值資金的時間價值 （Time Value of MoneyTime Value of Money） 一、資金的時間價值概念 資金的價值既體現(xiàn)在額度上，同時也資金的價值既體現(xiàn)在額度上，同時也體現(xiàn)在發(fā)生的時間上。體現(xiàn)在發(fā)生的時間上。 例例：有一個公司面臨兩個投資方案：有一個公司面臨兩個投資方案A，B，壽命期都，壽命期都是是4年，初始投資也相同，均為年，初始投資也相同，均為10000元。實現(xiàn)利潤的元。實現(xiàn)利潤的總額也相同，但

2、每年數(shù)額不同，具體數(shù)據(jù)見下表：總額也相同，但每年數(shù)額不同，具體數(shù)據(jù)見下表：年末年末A方案方案B方案方案0-10000-10000170001000250003000330005000410007000資金的時間價值：資金的時間價值： 資金在周轉使用過程中由于資金在周轉使用過程中由于時間因素而形成的價值時間因素而形成的價值差額差額。資金時間價值如何度量？資金時間價值如何度量？例如：社會總體資金例如：社會總體資金 具體資金具體資金二、現(xiàn)金流量圖（cash flow diagram）現(xiàn)金流出量現(xiàn)金流出量：項目所需的項目所需的各種費用各種費用，例如投資、成本等例如投資、成本等現(xiàn)金流量現(xiàn)金流量（cash

3、 flowcash flow）：）：由許多次投入（支出）和產由許多次投入（支出）和產出（收入）按時間順序構成的動態(tài)序量出（收入）按時間順序構成的動態(tài)序量 現(xiàn)金流入量：項目帶來的各種收入，例如銷售收入、利潤等收 支disbursement receiptsP01234n-1n年例例：現(xiàn)金流量圖現(xiàn)金流量圖：現(xiàn)金流量圖的觀點：現(xiàn)金流量圖的觀點：1262010001 234借款人 收入支出支出100012624貸款人 0123收入例：2.2 2.2 資金等值（Equivalent Value）計算 一、一、折現(xiàn)的概念現(xiàn)在值（現(xiàn)在值（Present Value 現(xiàn)值）：現(xiàn)值）： 未來時點上的資金折現(xiàn)到現(xiàn)

4、在時點的資金價值。 將來值（將來值（Future Value 終值）：終值）：與現(xiàn)值等價的未來某時點的資金價值。折現(xiàn)（折現(xiàn)（Discount 貼現(xiàn)）：貼現(xiàn)）： 把將來某一時點上的資金換算成與現(xiàn)在時點相等值的金額的換算過程例：定期一年存款100元，月息9.45厘，一年后本利和111.34元。這100元就是現(xiàn)值，111.34元是其一年后的終值。終值與現(xiàn)值可以相互等價交換，把一年后的111.34元換算成現(xiàn)在的值100元的折算過程就是折現(xiàn)： 1=+=1PFni=+111.3412 0.00945100利率利率（Interest Rate）：一定時間（年、月）所得到的利息額與原資金額（本金）之比，通常用

5、百分數(shù)表示計息周期計息周期（Interest Period）：計算利息的時間單位 付息周期付息周期：在計息的基礎上支付利息的時間單位 二、二、利息的概念利息利息（Interest）：資金通過一定時間的生產經營活 動以后的增值部分或投資的收益額 三、單三、單利和復利單利單利（Simple Interest）：只計本金利息，而利息 不計利息。 P本金 n計息期數(shù) i利率 I利息總額 F本利和 ()FPniPI=+=+1IP=ni例：第0年末存入1000元，年利率6，4年末可取多少錢？ 124010006%=60118010006%=60112010006%=60106010006%=6010000

6、43210年末本利和年末本利和年末利息年末利息年年末末I100046240 F10002401240 復利（Compound interest）：除本金以外，利息也計算下個計息期的利息，即利滾利。 1262.481191.026%=71.461191.021123.606%=67.421123.6010606%=63.60106010006%=601000043210年末本利和年末本利和年末利息年末利息年年末末本金越大，利率越高，年數(shù)越多時，兩者差距就越大。 我國銀行對儲蓄存款實行級差單利計算我國銀行對儲蓄存款實行級差單利計算例：某年某月定期存款利率例：某年某月定期存款利率存款種類存款種類3

7、3個月個月6 6個月個月一年一年二年二年三年三年五年五年年利率年利率% %1.981.982.162.162.252.252.432.432.702.702.882.88我國銀行對貸款實行復利計算我國銀行對貸款實行復利計算例：年利率例：年利率2.25%2.25%復利計算，存兩年復利計算，存兩年1000010000元本金到期可得本利和為元本金到期可得本利和為 1000010000（1+0.0225)1+0.0225)2 2 = 10455.06 = 10455.06 若按兩年單利若按兩年單利2.43%2.43%計算計算, ,存兩年定期本利和為存兩年定期本利和為 1000010000（1+21+2

8、0.0243) = 104860.0243) = 10486一次支付終值公式；一次支付終值公式；一次支付現(xiàn)值公式；一次支付現(xiàn)值公式；等額支付系列終值公式；等額支付系列終值公式；等額支付系列償債基金公式；等額支付系列償債基金公式；等額支付系列資金回收公式；等額支付系列資金回收公式；等額支付系列現(xiàn)值公式；等額支付系列現(xiàn)值公式；等差支付系列終值公式；等差支付系列終值公式；等差支付系列現(xiàn)值公式；等差支付系列現(xiàn)值公式；等差支付系列年值公式；等差支付系列年值公式；等比支付系列現(xiàn)值與復利等比支付系列現(xiàn)值與復利公式公式 符號定義符號定義： P 現(xiàn)值 F 將來值 i 年利率 n 計息期數(shù) A 年金（年值）Ann

9、uity計息期末等額發(fā)生的 現(xiàn)金流量 G 等差支付系列中的等差變量值Arithmetic Gradient g 等比系列中的增減率Geometric 0 1 2 3 . n-1 n年F=?P公式推導： 設年利率i 年年 末末 年末利息年末利息 年末本利和年末本利和 0123n()iiP+1()Pii12+()Piin11+()iPPiP+=+1()()()PiPi iPi1112+=+()Pi13+()Pin1 +0PPi F = P(1+i)n(1+i)n =（F/P，i，n）_一次支付終值系數(shù)（Compound amount factor , single payment）即n年后的將來值

10、為： = P（F/P，i，n）例例： 某工程現(xiàn)向銀行借款某工程現(xiàn)向銀行借款100100萬元，年利率為萬元，年利率為10%10%，借期借期5 5年，一次還清。問第五年末一次還銀行本利年，一次還清。問第五年末一次還銀行本利和是多少和是多少? ?或 F = P（F/P，i，n） F = P(1+i)n=（1+10%）5 100=161.05（萬元）解：= 100（F/P，10%，5）(查復利表）= 100 1.6105= 161.05（萬元）P = F(1+i)-n0 1 2 3 . n-1 n 年FP =？(1+i)-n =（P/F，i，n） 一次支付現(xiàn)值系數(shù)（Present Worth Fact

11、or, Single Payment） = F（P/F，i，n）例：例： 某企業(yè)擬在今后第某企業(yè)擬在今后第5 5年末能從銀行取出年末能從銀行取出2020萬萬元購置一臺設備，如年利率元購置一臺設備，如年利率10%10%，那么現(xiàn)應存入，那么現(xiàn)應存入銀行多少錢？銀行多少錢？ 解解:P = 20 0 .6209 = 12.418（萬元）= 20 （1+10%）-5 A A A . . A A 0 1 2 3 . n-1 n年F=?FAAAA=+)(i+1)(i+1()i+1n2n1L()()()()()FiAiAiAiAinn1111121+=+L()()niAAFiF+=+11()FiAin=+11

12、(1+i)n -1i即即=（F/A，i，n） 等額支付系列終值系數(shù)（compound amount factor,uniform series） = AF(1+i)n -1i= A（F/A，i，n） 某廠連續(xù)某廠連續(xù)3 3年，每年末向銀行存款年，每年末向銀行存款10001000萬元，萬元，利率利率10%10%，問，問3 3年末本利和是多少？年末本利和是多少？例：解解: F(1+0.1)3 -10.1= 1000= 3310（萬元）(1+i)n -1iA A A . A A=？0 1 2 3 . n-1 n年F =（A/F，i，n） 等額支付系列償債基金系數(shù) （Sinking Fund Fact

13、or） =(1+i)n -1iA= F（A/F，i，n）F 某工廠計劃自籌資金于某工廠計劃自籌資金于5 5年后新建一個基年后新建一個基本生產車間，預計需要投資本生產車間，預計需要投資50005000萬元。年利率萬元。年利率5%5%，從現(xiàn)在起每年年末應等額存入銀行多少錢，從現(xiàn)在起每年年末應等額存入銀行多少錢? ?例：解解: A= F (1+i)n -1i= 5000(1+5%)5 -15%= 50000.181= 905（萬元）等額支付系列資金回收現(xiàn)金流量圖等額支付系列資金回收現(xiàn)金流量圖0 1 2 3 . n-1 n 年PA A A . ？=A AF=（A/P，i，n）_資金回收系數(shù) （capi

14、tal recovery factor） (1+i)n -1i (1+i)n ()AFiin=+11()FPin=+1而于是= P（A/P，i，n）i=(1+i)n -1A(1+i)n P 某工程項目一次投資某工程項目一次投資3000030000元，年利率元，年利率8%8%，分分5 5年每年年末等額回收，問每年至少回收多少年每年年末等額回收，問每年至少回收多少才能收回全部投資才能收回全部投資? ?例：解：解：A=P(1+i)n 1 i (1+i)n =(1+0.08)5 -10.08(1+0.08)530000 = 7514（元） 某新工程項目欲投資某新工程項目欲投資200萬元，工程萬元，工程

15、1年建成，生產經營年建成，生產經營期為期為9年，期末不計算余值。期望投資收益率為年，期末不計算余值。期望投資收益率為12，問每年，問每年至少應等額回收多少金額？至少應等額回收多少金額？例例：023456789101PA041.421)12.01 ()12.01 (12.0)12.01 (200)9%,12,/)(1%,12,/(200991=+=PAPFA萬元萬元 P(1+i)n -1i (1+i)n 0 1 2 3 . n-1 n年P=？A A A . A A= A（P/A，i，n）=（P/A，i，n） 等額支付系列現(xiàn)值系數(shù) （Present Worth Factor,Uniform Ser

16、ies） =(1+i)n -1i (1+i)n A 某項目投資，要求連續(xù)某項目投資，要求連續(xù)1010年內連本帶利全年內連本帶利全部收回，且每年末等額收回本利和為部收回，且每年末等額收回本利和為2 2萬元，萬元，年利率年利率10%10%，問開始時的期初投資是多少？，問開始時的期初投資是多少？例：解：解： P = 2 （10%，10P/A，）= 12.2892（萬元）0 1 2 3 4 5 n-1 nF (n-1)G (n-2)G 4G 3G G 2G 年P()1,/niAF()2,/niAFF=G+G+LG()2 ,/iAF+G()1 ,/iAF=()()()()+iiGiiGiiGiiGnn1

17、1111111221L()+niiiGn11=()FG i n/, , 為等差支付系列復利系數(shù)（compound amount factor, arithmetic gradient） ()+niiin111=記()niPF+=1()()+=+niiiGiPnn111()()PGiiniinn=+1112即 ()PG i n/, ,等差支付系列現(xiàn)值系數(shù)(arithmetic gradient to present worth )()niGP,/()()+nniiini1112= G=已知某機床售價40000元，可使用10年，不計算殘值。據(jù)估算第一年維修費為1000元，以后每年按300元遞增，i

18、15，求該機床所耗費的全部費用的現(xiàn)值。 例： 0 1 2 3 8 9 10 年 1300 1600 3100 3400 370040000()()PPPP AP G=+=+=+=1240000 100015%,1030015%,1040000 1000 5019 300 169850113/,/,. 該公式是把等差支付系列換算成等額支付系列 () AP A P i n=/, ,()PG P G i n=/, ,()()()()()()+=111111 ,/,/2nnnniiiiiiniGniPAniGPGA()()+=1111nniiiniG()()1111+nniiini()niGA,/=記

19、等差支付系列年值系數(shù)（arithmetic gradient conversion factor） 即()()GniPAniGPGA=,/,/()niGA,/某廠第一年年末銷售利潤額為50萬元，預測在以后4年每年將遞增10萬元，年利率為10，如果換算成5年的等額支付系列，其年值是多少？ 例：解： ()()101.685%,10,/1050,/1=+=+=GAniGAGAA（萬元）0 1 2 3 4 n-1 n A A(1+g) A(1+g)2A(1+g)3 A(1+g)n-2 A(1+g)n-1現(xiàn)金流公式： ()11+=ttgAA t=1,n 其中g為現(xiàn)金流周期增減率。經推導，現(xiàn)值公式為： (

20、) ()+=giigAPnn111gi gi =PnAi=+1() ()+giignn111記()nigAP,/=等比支付系列現(xiàn)值系數(shù)（geometric gradient to present worth ）復利公式： ()()() ()+=+=giigiAiPFnnnn11111()() ()+giiginnn1111=記()nigAF,/某廠投入某廠投入32000元增添一套生產設備，預計第一年產品銷售額元增添一套生產設備，預計第一年產品銷售額可增加可增加20000元，以后逐年年收入增加率為元，以后逐年年收入增加率為7，計劃將每年，計劃將每年收入的收入的10按年利率按年利率5存入銀行，問存

21、入銀行，問10年后這筆存款可否換年后這筆存款可否換回一套新設備？回一套新設備？解： 例例：0 1 2 3 10 年2000 2000 (1+0.07) 2000(1+0.07)9()() ()02.2076607. 005. 005. 0107. 011200010%,5%,7 ,/20001010=+=APP()FFP=20766025%,103382566./,.32000元 （元）（元）所以10年后可以換一臺新設備。 五、五、資金等值計算資金等值：資金等值：在同一系統(tǒng)中不同時點發(fā)生的相關資金，數(shù)額不等但價值相等，這一現(xiàn)象即資金等值。決定資金等值的因素有三個：決定資金等值的因素有三個： 資

22、金的金額大小資金的金額大小 資金金額發(fā)生的時間資金金額發(fā)生的時間 利率的大小利率的大小性質性質：如果兩個現(xiàn)金流量等值，則它們在任何時間如果兩個現(xiàn)金流量等值，則它們在任何時間折算的相應價值必定相等。折算的相應價值必定相等。 m（一年內的）計息期數(shù) 定義：名義利率定義：名義利率mirc=iciFPP=定義：定義：實際利率實際利率其中實際計息期利率按復利計算一年內的利息額與原始本金的比值，即六、名義利率、實際利率與連續(xù)利率六、名義利率、實際利率與連續(xù)利率按單利計算，相當于只計息不付息，r i mc=1% 12 12%例：存款100元，每月計息一次，月利率為1，求一年后的本利和。解： 按復利計算，相當

23、于計息且付息，()（元）11212. 01100=+=F()()（元）68.11201. 0110011001212=+=+=ciF%1=cim =12i = 12.68% （實際利率） （名義利率）如何根據(jù)名義利率計算實際利率呢？ () FPicm=+1()() =+=+iPiPPicmcm111irmc= =+irmm11又當 時m當m = 1時當m 1時即為按連續(xù)復利計息計算 i = ri r七、（復利）資金等值計算的幾種情況七、（復利）資金等值計算的幾種情況在工程經濟分析的實踐中，有時計息周期是小于一年的，如季、半年、月、周、日等，這時根據(jù)支付周期與計息周期的關系可分為三種情況來進行分

24、析。 計息周期：計息周期：某某時間計息一次，表明計息且付息，即按復利計算某某時間計息一次，表明計息且付息，即按復利計算支付周期：支付周期：指現(xiàn)金流量的發(fā)生周期，亦稱支付期。指現(xiàn)金流量的發(fā)生周期，亦稱支付期。(一一)計息周期等于支付期的情況計息周期等于支付期的情況設年利率12，每季計息一次，從現(xiàn)在起三年內以每季末200元的等額值支出，問與其等值的終值是多少。例：解：irm=0124003.（次）1234=n計息周期利率計息期數(shù)()()4 .283812,03. 0 ,/200,/=AFniAFAF0 1 2 3 4 8 12（季度） 1年 2年 3年200有人目前借入有人目前借入2000元，在今

25、后元，在今后2年中分年中分24次償還。每次償還次償還。每次償還99.80元元，復利按月計算，試求月實際利率、年名義利率和年實際利率。，復利按月計算，試求月實際利率、年名義利率和年實際利率。()99 80200024./, ,=AP i()AP i/, ,.2499 8020000 0499=例例：即 解：年實際利率 ic= 1 5 %.ric=1218%irmm=+=+=1110181211956%12.查表可得 月實際利率年名義利率(二二)計息期小于支付期的情況計息期小于支付期的情況例：某人每半年存入銀行500元，共三年，年利率8，每季復利一次，試問3年底他的帳戶總額。0 1 2 3 4 5 6（