2直角三角形存在性問題

1、直角三角形存在性問題【問題描述】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點彳坐標(biāo)為(1.1),點8坐標(biāo)為(5,3),在4軸上找一點C使得48C是直角三角形，求點C坐標(biāo).(1)若N4為直角，過點力作四的垂線，與x軸的交點即為所求點C;(2)若N8為直角，過點8作四的垂線，與x軸的交點即為所求點C；(3)若NC為直角，以48為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C.(直徑所對的圓周角為直角)重點還是如何求得點坐標(biāo)，G求法相同，以G為例:【構(gòu)造三垂直】易證AMMB而二而由A、B坐標(biāo)得AM-2,8M=4,NC2-33代入得：BN=-213故。2坐標(biāo)為("7，0)C3、c求法相同，以G為例:AMMC3易證AMg

2、-agN從C3/VlD由A、B坐標(biāo)得AM=1,BNf設(shè)MC3F，6心1a代入得：丁=一，即。=3,又。+/=4,故。=1或3b3故g坐標(biāo)為(2,0),C4坐標(biāo)為(4,0)構(gòu)造三垂直步驟：第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似.【代數(shù)法】表示線段構(gòu)勾股還剩下C1待求，不妨來求下C1：(1)表示點：設(shè)G坐標(biāo)為(/0)，又4(1,1)、6(5,3)；(2)表示線段：AB=2SAC1=+F,BC1=(/n-5)：+3:;(3)分類討論：當(dāng)/BAG為直角時，AB2+AC：=BC；(4)代入得方程：20+(m-l)：+l2=(/n-5)：+3:,解得

3、：=(還有個需要用到一個教材上并沒有出現(xiàn)但是大家都知道的算法：互相垂直的兩直線斜率之積為7.考慮到直線AG與48互相垂直，心g心8=-1，可得：口q=-2,又直線AC；過點力(1.1),可得解析式為：*-2/3,所以與*軸交點坐標(biāo)為弓,0),即C1坐標(biāo)為6,0卜確實很簡便，但問題是這個公式出現(xiàn)在高中的教材上【小結(jié)】幾何法：(1)“兩線一圓”作出點；(2)構(gòu)造三垂直相似，利用對應(yīng)邊成比例求線段，必要時可設(shè)未知數(shù).代數(shù)法：G)表示點48、C坐標(biāo)；(2)表示線段彳8、AC.8C；(3)分類討論彳環(huán)+力色:BG、A0t+BG、A68+BG=A©；(4)代入列方程，求解.如果問題變?yōu)榈妊苯侨?/p>

4、角形存在性，則同樣可采取上述方法，只不過三垂直得到的不是相似，而是全等.(三垂直構(gòu)造等腰直角三角形】【2019蘭州中考(刪減)】通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問題.【模型呈現(xiàn)】如圖，在RtAABC、/ACF90。、將斜邊48繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到47,過點。作續(xù)L4c千點、E,可以推理得到后進而得到BC=AE.我們把這個數(shù)學(xué)模型成為“外型”.推理過程如下：【模型遷移】二次函數(shù)=01'+氐+2的圖像交上軸于點/(T,0),B(4,0)兩點，交y軸于點C.動點M從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，過點M作MV_Lx軸交直線BC干息N,交拋物線于點。，連接AC,設(shè)運動的時

5、間為/秒.(1)求二次函數(shù)y=a.P+尿+2的表達式；(2)在直線上存在一點P,當(dāng)APBC是以ZBPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點。的坐標(biāo).【分析】(1)y=-x2+-X+2;22(2)本題直角頂點P并不確定，以8c為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點即為"點，再過點"作水平線，得三垂直全等.設(shè)Hka,P午b,貝Ij83a,Wb,由圖可知：之;解得：:故。點坐標(biāo)為(1,3).思路2：等腰直角的一半還是等腰直角.如圖，取8c中點點，以翻為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個頂點即為夕點.根據(jù)8點和附點坐標(biāo)，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2,故夕點坐標(biāo)易求.P點橫坐標(biāo)同。

6、點，故可求得。點坐標(biāo).【2017本溪中考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=與工軸交于A8兩點，點8(3.0),經(jīng)過點彳的直線4C與拋物線的另一交點為C(4.1),與y軸交點為。點P是直線4C下方的拋物線上的一個動點(不與點4C重合).(1)求該拋物線的解析式.(2)點0在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)AOP。是以。尸為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出符合條件的點P的坐標(biāo).【分析】(1)=-X-；22(2)當(dāng)NQ00為直角時，考慮。點在對稱軸上，故過點。向y軸作垂線.垂線段長為1,可知過點P向*軸作垂線，長度必為1,故P的縱坐標(biāo)為土1.如下圖，不難求出夕點坐標(biāo).設(shè)戶點坐標(biāo)為一次一，1 、3口J

7、得：一”一”1=1.2 2解得：/%=1+y/l9叫=1-y/l9l）13=1+娓9Hl4=1-娓（舍）.如下圖，對應(yīng)p點坐標(biāo)分別為(1+應(yīng),-1)、(1-71-1)、(i+V6j).當(dāng)N8。為直角時，如圖構(gòu)造伊烏物,可得：P忙QN.一/2)則PM=0-(-nr-m-22)1.3=一一廠+m+22=lt1-1|.1,3-nr+m+22若一+7+g=7-1,解得：（=后，叫=一百（舍）.若一/+葉=一/+1,解得：nt.=2-5/5,九=2+百（舍）.22.如下圖，對應(yīng)P點坐標(biāo)分別為（2-6,1-6）.對于構(gòu)造三垂直來說，直角頂點已知的和直角頂點的未知的完全就是兩個題目！也許能畫出大概位置，但如

8、何能畫出所有情況，才是問題的關(guān)鍵.其實只要再明確一點，構(gòu)造出三垂直后，表示出一組對應(yīng)邊，根據(jù)相等關(guān)系列方程求解即可.【2019阜新中考】如圖，拋物線丁=辦二+區(qū)+2交/軸于點A(-3,O)和點BQO),交，軸于點C.(1)求這個拋物線的函數(shù)表達式.(2)點。的坐標(biāo)為(-1,0),點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值.(3)點M為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點N,使AWVO為等腰直角三角形，且NA/NO為直角？若存在，清直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.備用圖【分析】(1)v=-x:-x+2;33(2)連接4Q將四邊形面積拆為和面積,考慮面積為定

9、值，故只需4%面積最大即可.鉛垂法可解；(3)過點作底_Lx軸交x軸于£點，如圖1,過點都向悵作垂線交斜延長線于廠點,易證MV且可得：NFFM.FM=|/h+1|,設(shè)及點坐標(biāo)為（叫一2加1一3?+2,則NE=-in2-w?+2I33）33二加-3+233=m+1|（圖1）,，-7一歷（圖4）-4二府川+2r+l,解得：-7+比3314對應(yīng)M點坐標(biāo)分別為-7-歷-3-歷'-nr-m+2=-ni-l,解得：比（圖2）、-1-5（圖3）333444對應(yīng)M點坐標(biāo)分別為-1+V73-3-4-，一-1-V73-3+V73"-4，4-當(dāng)直角頂點不確定時，問題的一大難點是找出所有情

10、況，而事實上，所有的情況都可以歸結(jié)為同一個方程：NdFM.故只需在用點坐標(biāo)表示線段時加上絕對值，便可計算出可能存在的其他情況.一般直角三角形存在性，同樣構(gòu)造三垂直，區(qū)別于等腰直角構(gòu)造的三垂直全等，沒了等腰的條件只能得到三垂直相似.而題型的變化在于動點或許在某條直線上，也可能在拋物線上等.【對稱軸上尋找點】(2018安順中考)如圖，已知拋物線y=的對稱軸為直線工=-1,且拋物線與一'軸交于A、8兩點，與)軸交于。點，其中A(1,O),C(O,3).(1)若直線,，=”十經(jīng)過3、C兩點，求直線8C和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸工=-1上找一點使點用到點A的距離與到點C的距離之和最

11、小，求出點”的坐標(biāo)；(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸式二-1上的一個動點，求使例C為直角三角形的點P坐標(biāo).【分析】(1)直線8C：v=x+3拋物線：y=-x2-2x+3；(2)將軍飲馬問題，考慮到加點在對稱軸上，且點A關(guān)于對稱軸的對稱點為點8,故的妗的竹，.當(dāng)8、M、C三點共線時，加到4和C的距離之后最小，此時也點坐標(biāo)為(-1,2)；(3)兩圓一線作點P：以4為例，構(gòu)造。的做?，考慮到8陸妗3,8佗咻2,故R點坐標(biāo)為（7,-2）.P八/求法類似，下求R：已知用忙1,續(xù)2,設(shè)。忙a,B2b,由相似得：即口尻2,由圖可知；卜平3,h2故可解：4=匯/，4=上乎（舍），對應(yīng)2坐標(biāo)為1-1，三嚴(yán)【拋物線上

12、尋找點】(2018懷化中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+2x+c與八軸交于A(-1,0),8(3.0)兩點，與軸交于點。，點。是該拋物線的頂點.(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式；(2)請在)，軸上找一點Af,使的周長最小，求出點"的坐標(biāo)；(3)試探究：在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【分析】（1）拋物線：y=-x:+2x+3,直線4C：*3/3；（2）看圖，M點坐標(biāo)為（0,3）與C點重合了.（3）考慮到4c為直角邊，故分別過4C作4c的垂餞，與拋物線交點即

13、為所求夕點,有如下兩種情況，先求過A點所作垂線得到的點P：設(shè)P點坐標(biāo)為（”/+2/+3）,則P的/',心0-（-/H2+2w4-3）=nr-2m-3,易讓XPMAsXANC、且冊3,.士解得：n，（舍）,3113故第1個點坐標(biāo)為39J再求過點c所作垂線得到的點P：PM=3-（/n:+2nl+3）=m2-2m,Ctm,二=-,解得：fi=-,m、=0（舍），W-2/n113故第2個夕點坐標(biāo)為f2,空.U9J綜上所述，0點坐標(biāo)為患或Rg；【動點還可能在)(2019鄂爾多斯中考)如圖，拋物線，=+尻-2("0)與x軸交于A(-3,O),8(1,0)兩點，與)軸交于點C,直線y=-x與該拋物線交于E,F兩點、.(1)求拋物線的解析式.(2)。是直線EF下方拋物線上的一個動點，作PH上EF于點、H,求7的最大值.(3)以點。為圓心，1為半徑作圓，OC上是否存在點A/,使得是以CM為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出"點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【分析】(2)過點戶作x軸的垂線交配于點。，所謂方最大，即00最大，易解.(3)納為直角邊，故點。可能為直角頂點，點”也可能為直角頂點.當(dāng)ZBCM為直角時，如圖：出不難求得折1,止2,*.EM1:EC=1:2,又CM1=1,故M：坐標(biāo)為空,一2.叵5可得：EM=q,EC=同理可求M,坐標(biāo)為*當(dāng)N8MC為直角時，如圖