第14講 能量均分定理及氣體速率分布律

1、大學(xué)物理電子教案大學(xué)物理電子教案第第14講講 能量均分定理及能量均分定理及氣體速率分布律氣體速率分布律7.4 能量均分定理能量均分定理 理想氣體內(nèi)能理想氣體內(nèi)能7.5 麥克斯韋氣體速率分布律麥克斯韋氣體速率分布律7.6 玻爾茲曼能量分布律玻爾茲曼能量分布律 等溫氣壓公式等溫氣壓公式塔里木大學(xué)教學(xué)課件塔里木大學(xué)教學(xué)課件復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)氣體動理論的基本觀點氣體動理論的基本觀點理想氣體的微觀模型理想氣體的微觀模型理想氣體壓強公式理想氣體壓強公式knvmnp 3222132)( 理想氣體的溫度理想氣體的溫度kTvm23212 6.4 能量均分定理能量均分定理 理想氣體內(nèi)能理想氣體內(nèi)能一、自由度一、自由度l定

2、義：定義：確定一個物體的空間位置所需要的獨確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐標(biāo)數(shù)目立坐標(biāo)數(shù)目自由度。自由度。l質(zhì)點的自由度質(zhì)點的自由度直線運動直線運動 x 一個自由度一個自由度 i=1平面運動平面運動 x,y 兩個自由度兩個自由度 i=2空間運動空間運動 x,y,z 三個自由度三個自由度 i=3l自由剛體自由剛體i=6 3 3個平動個平動 3 3個轉(zhuǎn)動個轉(zhuǎn)動一個坐標(biāo)一個坐標(biāo)q q 決定剛體轉(zhuǎn)過的角度決定剛體轉(zhuǎn)過的角度兩個獨立的兩個獨立的a a， b b 決定轉(zhuǎn)軸空間位置決定轉(zhuǎn)軸空間位置三個獨立的坐標(biāo)三個獨立的坐標(biāo) x,y,z 決定轉(zhuǎn)軸上一點決定轉(zhuǎn)軸上一點xyzOA(x,y,z)xyza ab

3、 bq ql剛性桿：剛性桿：x,y,z, i=5l剛體定軸轉(zhuǎn)動：剛體定軸轉(zhuǎn)動： i=1l 分子的自由度分子的自由度單原子單原子 i=3 自由質(zhì)點自由質(zhì)點雙原子雙原子 i=5 剛性桿剛性桿多原子多原子 i=6 自由剛體自由剛體l說明：說明：一般來說，一般來說，n3個原子組成的分子，共有個原子組成的分子，共有3n個自由度，個自由度，其中其中3個平動自由度，個平動自由度，3個轉(zhuǎn)動自由度，個轉(zhuǎn)動自由度，(3n-6)個振動自由度。當(dāng)個振動自由度。當(dāng)氣體處于低溫狀態(tài)時，可把分子視為剛體。氣體處于低溫狀態(tài)時，可把分子視為剛體。A(x,y,z)xyza ab bq ql 一個分子的平均平動能為一個分子的平均平

4、動能為二、能量均分定理：二、能量均分定理：kTkt23 222221212121zyxkvmvmvmvm 222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 結(jié)論：結(jié)論：分子的每一個平動自由度上具有相同的平均平動動分子的每一個平動自由度上具有相同的平均平動動能，都是能，都是kT/2 ，或者說分子的平均平動動能，或者說分子的平均平動動能3kT/2是均勻地是均勻地分配在分子的每一個自由度上分配在分子的每一個自由度上平方項的平均值平方項的平均值平動自由度平動自由度能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理：說明：說明：是統(tǒng)計規(guī)律，只適用于大量分是統(tǒng)計規(guī)律，只適用于大量分子組成的

5、系統(tǒng)。子組成的系統(tǒng)。 氣體分子無規(guī)則碰撞的結(jié)果。氣體分子無規(guī)則碰撞的結(jié)果。統(tǒng)計物理可給出嚴格證明。統(tǒng)計物理可給出嚴格證明。推廣：推廣：在溫度為在溫度為T 的平衡態(tài)下，分子的每一個轉(zhuǎn)動自由度的平衡態(tài)下，分子的每一個轉(zhuǎn)動自由度上也具有相同的平均動能，大小也為上也具有相同的平均動能，大小也為kT/2。在溫度為在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每個自由度的平衡態(tài)下，氣體分子每個自由度的平均動能都相等，都等于的平均動能都相等，都等于kT/2。這就是這就是能量能量按自由度均分定理按自由度均分定理，簡稱，簡稱能量均分定理。能量均分定理。單原子分子單原子分子 i=3 k=3kT/2 雙原子分子雙原子分子 i=5

6、k=5kT/2多原子分子多原子分子 i=6 k=6kT/2kTik2 l熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能是指氣體分子各種形態(tài)的動能與勢能的總熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能是指氣體分子各種形態(tài)的動能與勢能的總和。即系統(tǒng)所包含的全部分子的能量總和稱為系統(tǒng)的內(nèi)能。和。即系統(tǒng)所包含的全部分子的能量總和稱為系統(tǒng)的內(nèi)能。三、理想氣體的內(nèi)能和摩爾熱容三、理想氣體的內(nèi)能和摩爾熱容1 1、理想氣體的內(nèi)能：、理想氣體的內(nèi)能：l理想氣體內(nèi)能公式理想氣體內(nèi)能公式理想氣體內(nèi)能是分子平動動能與轉(zhuǎn)動動能之和理想氣體內(nèi)能是分子平動動能與轉(zhuǎn)動動能之和分子的自由度為分子的自由度為i，則一個，則一個分子能量為分子能量為ikT/2

7、， 1摩爾理摩爾理想氣體，有個想氣體，有個NA分子，內(nèi)分子，內(nèi)能能RTiNkTiEA22 m/M摩爾理想氣體，內(nèi)能摩爾理想氣體，內(nèi)能RTiMmE2l說明：說明：理想氣體的內(nèi)能與溫度和分子的理想氣體的內(nèi)能與溫度和分子的自由度有關(guān)。自由度有關(guān)。內(nèi)能僅是溫度的函數(shù)，即內(nèi)能僅是溫度的函數(shù)，即E=E(T)，與與P，V無關(guān)。無關(guān)。狀態(tài)從狀態(tài)從T1T2,不論經(jīng)過什么過程，不論經(jīng)過什么過程，內(nèi)能變化為內(nèi)能變化為)(21212TTRiMmEEE 2 2、摩爾熱容、摩爾熱容定體摩爾熱容定體摩爾熱容RiCmV2, 定壓摩爾熱容定壓摩爾熱容RiCmp22, 摩爾熱容比摩爾熱容比iimVmpCC2, 氣體氣體理論值理論

8、值實驗值實驗值CV,mCP,mCV,mCP,mHe12.4720.781.6712.6120.951.66Ne12.5320.901.67H220.7820.091.4020.4728.831.41N220.5628.881.40O221.1629.611.40H2O24.9333.241.3327.836.21.31CH427.235.21.30CHCl363.772.01.13對于單原子分子與雙原子對于單原子分子與雙原子分子，理論與實驗符合得分子，理論與實驗符合得很好，而對于多原子分子，很好，而對于多原子分子，理論與實驗相差較大。理論與實驗相差較大。四、固體熱容四、固體熱容設(shè)固體由設(shè)固體由

9、N個原子組成，個原子組成，N個原子的三維振動，可以看成個原子的三維振動，可以看成是是3N個一維振動。原子作一維振動時，自由度為個一維振動。原子作一維振動時，自由度為i=2,一項一項為動能，一項為勢能。為動能，一項為勢能。N個原子振動的平均能量為個原子振動的平均能量為NkTNE33 1mol晶體的內(nèi)能為晶體的內(nèi)能為RTkTNEA33 晶體的摩爾熱容晶體的摩爾熱容111 .25 3 KmolJRdTdEdTdQCm6.5 麥克斯韋氣體速率分布律麥克斯韋氣體速率分布律引言：引言：氣體分子處于無規(guī)則的熱運動之中，由于碰撞，每個分氣體分子處于無規(guī)則的熱運動之中，由于碰撞，每個分子的速度都在不斷地改變，所

10、以在某一時刻，對某個分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時刻，對某個分子來說，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大子來說，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計規(guī)律一定的統(tǒng)計規(guī)律氣體速率分布律氣體速率分布律。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律最早是有氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律最早是有麥克斯韋麥克斯韋于于1859年年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，1877年年玻耳茲曼玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)由經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)中導(dǎo)出，中導(dǎo)出，1920年年斯特恩斯特恩從實驗中證實了麥克斯韋分子按速率

11、從實驗中證實了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。分布的統(tǒng)計規(guī)律。麥克斯韋（麥克斯韋（James Clerk Maxwell 18311879)19世紀(jì)偉大的英世紀(jì)偉大的英國物理學(xué)家、數(shù)國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電磁學(xué)家。經(jīng)典電磁理論的奠基人，理論的奠基人，氣體動理論的創(chuàng)氣體動理論的創(chuàng)始人之一。始人之一。 他提出了有旋電場和位移電流概念，建他提出了有旋電場和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。的電磁波的存在。1873年，他的年，他的電磁學(xué)通論電磁學(xué)通論問世，這問世，這是一本劃時代巨著，它與牛頓時代的是一本劃時代巨著，它與牛頓時代的自然

12、哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理并駕齊驅(qū)，它并駕齊驅(qū)，它是人類探索電磁規(guī)律的一個里程碑。是人類探索電磁規(guī)律的一個里程碑。在氣體動理論方面，他還提出氣體分子在氣體動理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。一、測定氣體分子速率的實驗一、測定氣體分子速率的實驗 1、實驗裝置、實驗裝置O蒸汽源蒸汽源 S 分子束射出方向孔分子束射出方向孔R 長為長為 l 、刻有螺旋形細槽、刻有螺旋形細槽的鋁鋼滾筒的鋁鋼滾筒D 檢測器，測定通過細槽的檢測器，測定通過細槽的分子射線強度分子射線強度2、實驗原理、實驗原理當(dāng)圓盤以角速度當(dāng)圓盤以角速度轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動時，每轉(zhuǎn)動一周，分子射線每轉(zhuǎn)動一周，

13、分子射線通過圓盤一次，由于分通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子子的速率不一樣，分子通過圓盤的時間不一樣，通過圓盤的時間不一樣，只有速率滿足下式的分只有速率滿足下式的分子才能通過子才能通過S達到達到D q q vllvq q 3、實驗結(jié)果、實驗結(jié)果分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有率與速率和速率間隔的大小有關(guān)；關(guān)；速率特別大和特別小的分子數(shù)速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常小；的比率非常?。辉谀骋凰俾矢浇姆肿訑?shù)的比在某一速率附近的分子數(shù)的比率最大；率最大；改變氣體的種類或氣體的溫度改變氣體的種類或氣體的溫度時，上述分布情況有所差別，時，上述分

14、布情況有所差別，但都具有上述特點。但都具有上述特點。二、麥克斯韋氣體分子速率分布律二、麥克斯韋氣體分子速率分布律l速率分布函數(shù)的定義：速率分布函數(shù)的定義：一定量的氣體分子總數(shù)為一定量的氣體分子總數(shù)為N，dN表示速率分布在某區(qū)表示速率分布在某區(qū)間間 vv+dv內(nèi)的分子數(shù)，內(nèi)的分子數(shù)， dN/N表示分布在此區(qū)間內(nèi)表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。實驗規(guī)律：實驗規(guī)律：dN/N 是是 v 的函數(shù)；的函數(shù)；當(dāng)速率區(qū)間足夠小時（宏觀小，微觀大）當(dāng)速率區(qū)間足夠小時（宏觀小，微觀大）， dN/N還應(yīng)與區(qū)間大小成正比。還應(yīng)與區(qū)間大小成正比。1、速率分布函數(shù)、速率分布函數(shù)dvv

15、fNdN)( NdvdNvf )(速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)l物理意義：物理意義：速率在速率在 v 附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。的概率，或概率密度。 100 dvvfNdNNNdNdvvf )(表示速率分布在表示速率分布在vv+dv內(nèi)的內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率分子數(shù)占總分子數(shù)的概率 21)(vvdvvfNdN表示速率分布在表示速率分布在v1v2內(nèi)的分內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率子數(shù)占總分子數(shù)的概率l速率分布曲線速率分布曲線歸一化條件歸一化條件2、麥克斯韋速率分布律、麥克斯韋速率分布律在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布

16、在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在任一速率區(qū)間在任一速率區(qū)間 vv+dv 的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為dvvekTmNdNkTmvv2223224 2223224vekTmvfkTmv麥克斯韋麥克斯韋速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)m分子的質(zhì)量分子的質(zhì)量T熱力學(xué)溫度熱力學(xué)溫度k玻耳茲曼常量玻耳茲曼常量vPv v+dvv面積面積= dN/Nf(v)f(vP)曲線下面寬度為曲線下面寬度為 dv 的小窄條面積等于的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間分布在此速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率子數(shù)的概率dN/N 。定義：定義：與與 f( (v) )極大值相對

17、應(yīng)的速率，稱為最概然速率。極大值相對應(yīng)的速率，稱為最概然速率。物理意義：物理意義：若把整個速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，若把整個速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在則分布在vP所在所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。區(qū)間的分子數(shù)比率最大。 vP的值：的值： 0dvvdfMRTMRTmkTvp41. 1 22 三、三種統(tǒng)計速率三、三種統(tǒng)計速率1、最可幾速率、最可幾速率2、平均速率、平均速率定義：定義：大量氣體分子速率的算術(shù)平均值叫做平均速率。大量氣體分子速率的算術(shù)平均值叫做平均速率。NvNNvNviiiii 計算：計算：NvdNv dvvNfdN)( dvvvfNdvvvNfNvdNv)()(MRT

18、MRTmkTv60. 1 8 8 3、方均根速率、方均根速率定義：定義：大量氣體分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。大量氣體分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。NvNNvNviiiii 222計算：計算： dvvfvNdvvNfvNdNvv)()(2222MRTMRTmkTvvrms 73. 1 3 32 4、討論、討論vp 隨隨 T 升高而增大，隨升高而增大，隨m 增大而減小。增大而減小。三種速率的大小順序為三種速率的大小順序為 rmspvvv MRTMRTmkTvp41. 1 22 三種速率的意義三種速率的意義討論速率分布時討論速率分布時用最概然速率用最概然速率討論分子碰撞

19、時討論分子碰撞時用平均速率用平均速率討論分子平均平動動能時討論分子平均平動動能時用方均根用方均根速率速率都含有統(tǒng)計的平均意義，反映大量分子作都含有統(tǒng)計的平均意義，反映大量分子作熱運動的統(tǒng)計規(guī)律。熱運動的統(tǒng)計規(guī)律。21mm ov)(vf1Pv2Pvm 2m 1T 112TT ov)(vf1Pv2PvT 2說明下列各量的物理意義：說明下列各量的物理意義：dvvf)(.1dvvNf)(.2dvvnf)(. 3 21)(.4vvdvvf 21)(.5vvdvvNf 0)(.6dvvf 02)(.7dvvfv 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。

20、 單位體積內(nèi)分子速率分布在速率單位體積內(nèi)分子速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v速速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。dNdvvNf )(. 2VdNNdNVNdvvnf )(. 3解：解： 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。總分子數(shù)的比率。NdNdvvf )(. 1NdvdNvf )( )()(2121)(.4vNvNvvNdNdvvf 分布在有限速率區(qū)間分布在有限速率區(qū)間v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)占總分內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。子數(shù)的比率。 )()(2121)(.5vNvNvvdNdvvNf 分布在有

21、限速率區(qū)間分布在有限速率區(qū)間 v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。1)(.60 dvvf 分布在分布在 0 速率區(qū)間速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（ 歸一化條件）歸一化條件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。的平均值。麥克斯韋速度分布函數(shù)麥克斯韋速度分布函數(shù) zyxkTvvvmvvvdvdvdvekTmNdNzyxzyx2232222 6.6 玻爾茲曼能量分布律玻爾茲曼能量分布律 等溫氣壓公式等溫氣壓公式一、玻爾茲曼能量分布律一、玻爾茲曼能量分布律 kzyxmvvvvm 2222212問題：對于更一般的情形，如在外力場中問題：對于更一般的情形，如在外

22、力場中的氣體分子的分布將如何？的氣體分子的分布將如何？其指數(shù)僅包含分子運動動能其指數(shù)僅包含分子運動動能分子按速度的分布不受分子按速度的分布不受力場的影響，按空間位力場的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場的依賴于分子所在力場的性質(zhì)。性質(zhì)。玻爾茲曼的推廣玻爾茲曼的推廣用用k+p 代替代替k，用，用x、y、z、 vx、 vy、 vz 為軸為軸構(gòu)成的六維空間中的體構(gòu)成的六維空間中的體積元積元 xdydzdvxdvydvz 代代替速度空間的體積元替速度空間的體積元dvxdvydvz 玻爾茲曼能量分布律玻爾茲曼能量分布律當(dāng)系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時，其中坐標(biāo)介于區(qū)間

23、當(dāng)系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時，其中坐標(biāo)介于區(qū)間xx+dx、yy+dy、zz+dz內(nèi)，內(nèi)，同時速度介于同時速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為內(nèi)的分子數(shù)為 zyxkTvvvzyxdvdvdxdydzdvekTmndNPKzyx 230,2單位體積分子數(shù)單位體積分子數(shù)ndxdydzendvdvdvekTmdxdydzendNkTzyxkTkTzyxPKP 0230,2kTzyxPendxdydzdNn 0,n0為在為在p=0處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。RTMghkTmghenenn 00重力場中粒子按高度的分布重力場中粒子按高度的分布( (p=mgh) )重力場中，一方面是無規(guī)則的熱運動使重力場中，一方面是無規(guī)則的熱運動使氣體分子均勻分布于它們所能夠到達的氣體分子均勻分布于它們所能夠到達的空間。另一方面是重力要使氣體分