彈性力學(xué)部分習(xí)題

1、將下面各式展開將下面各式展開（ ,()( ,)iji jj iuui j11 2 32（ （ )3 , 2 , 1,(210jiUijijeuuGnFiji , jj , iiie 為體積應(yīng)變?yōu)轶w積應(yīng)變利用指標(biāo)符號(hào)推導(dǎo)位移法基本方程利用指標(biāo)符號(hào)推導(dǎo)位移法基本方程上在VFuGuGbijiji0,2（ （若若 利用指標(biāo)符號(hào)推導(dǎo)位移法基本方程利用指標(biāo)符號(hào)推導(dǎo)位移法基本方程上在VFuGuGbijiji0,2位移法基本方程為用位移表示的平衡微分方程位移法基本方程為用位移表示的平衡微分方程) 3 , 2 , 1,(0,jiFbijji),j , i ()e()(Eijijij321211kke),j ,

2、i ()e()(Eijijij321211kke),j , i ()()(Eijj ,kkj ,jij ,ji321211而而),j , i ()uu(i , jj , iij32121則則ijkj,kjj, iij , jj ,jiuuu)(E21211ki,kjj, iij , jj ,jiuuu)(E21211注意啞標(biāo)可換標(biāo)注意啞標(biāo)可換標(biāo)ji, jjj, iij , jj ,jiuuu)(E21211jj, iji, jj ,jiuu)(E2121211代入代入jj, iji, jj ,jiuu)(E2121211jj, iji, jGuuG) 3 , 2 , 1,(0,jiFbijji

3、得得上在VFuGuGbijiji0,2試求位移。試求位移。xzlx ygFbz 其中其中 k 為待定常數(shù)，為待定常數(shù)， (xy)為待定函數(shù)為待定函數(shù)，試寫出應(yīng)力分量的表達(dá)式和位移法方程。試寫出應(yīng)力分量的表達(dá)式和位移法方程。ukyz vkxz,wkx y半空間體在自重半空間體在自重 g 和表面均布?jí)毫捅砻婢級(jí)毫?q 作用下的位移解作用下的位移解22221zhgzhqGw試求試求 ( (應(yīng)力比應(yīng)力比). ). hy xOhABCDqx yq o A x yo450lh00byyxybxyxxFyxFyx0bybxF,aFx yo450lhYllXllyxyyxx212100Y ,XhxaY ,

4、axX2x yo450lhYllXllyxyyxx212100Y ,XxyxyxyyyxxGEE1)(1 )(1式中式中 E、 為彈性模量和泊松系數(shù)。試求為彈性模量和泊松系數(shù)。試求（1）應(yīng)力分量和體積力分量；）應(yīng)力分量和體積力分量； （2）確定各邊界上的面力。）確定各邊界上的面力。lhyxOh() ,ggulxxyvlx yEE 2222)xl (Egyv,xlEgxuyxlhyxOh)xl (Egyv,xlEgxuyx0 xvyuxy2 2、求應(yīng)力（平面應(yīng)力問(wèn)題）、求應(yīng)力（平面應(yīng)力問(wèn)題）xyxyyxyyxxGEE )(1 )(122)(xlgx 00 xyy,lhyxOh4 4、求、求力力0

5、0byyxybxyxxFyxFyx0bybxF,gF左右邊界和下邊界無(wú)面力；左右邊界和下邊界無(wú)面力；上邊界面力為均勻拉力上邊界面力為均勻拉力 g gl 。)xl (gx00 xyy,設(shè)有一無(wú)限長(zhǎng)的薄板，上下兩端固設(shè)有一無(wú)限長(zhǎng)的薄板，上下兩端固定，僅受豎向重力作用。求其位移解答。定，僅受豎向重力作用。求其位移解答。設(shè)：設(shè)： u = 0、 v = v(y) xyb go位移解為位移解為byyE)(gv ,u2102yVY,xVXyxVxVyxyyx22222,2232343yqcxyxycF2coxyl將將 代入代入 4 =0 滿足滿足, , 為應(yīng)力函數(shù)。為應(yīng)力函數(shù)。 2 2、求應(yīng)力（無(wú)體力）、求

6、應(yīng)力（無(wú)體力）2232343yqcxyxycF2coxyl3 3、求邊界力、求邊界力22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyx2coxyl22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyxYllXllyxyyxx212100Y ,X00Y ,X2coxyl22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyxYllXllyxyyxx212122143cycFY ,qXFdyYcc2coxyl22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyxYllXllyxyyxx2121,cFlyqX32322143cycFY

7、,cFlyqX32322143cycFYoxylqcdyXcc2FdyYccFlydyXccFlqqFF3223eycxyybxaxyxqo 將將 代入代入 4 =0 滿足滿足, , 為應(yīng)力函數(shù)。為應(yīng)力函數(shù)。 3223eycxyybxaxyxqo 2 2、求應(yīng)力（有常體積力）、求應(yīng)力（有常體積力）qF,Fbybx 0cybxyx,qybyaxyFx,eycxyxybyyx22 266222222yxqo 3 3、由邊界條件確定待定系數(shù)、由邊界條件確定待定系數(shù)00Y ,X 06 02 ,ax,bxyxycybxyx,qybyaxyFx,eycxyxybyyx22 26 6222222yxqo 0

8、0Y ,Xcybxyx,qybyaxyFx,eycxyxybyyx22 26 6222222020262(cosqy)sin(cycoscy)sin)(eycxyxqo ctgqsincosqc22 23 ctgqeqyctg,qy,qyctgqxctgxyyx 22sin ,Pr sin ,Pr 由邊界條件確定由邊界條件確定 C1 和和 C2 圓環(huán)勻速（圓環(huán)勻速（ ）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤密度為圓盤密度為 ，ur 表達(dá)式為表達(dá)式為22321(1)8rCuC rrrEx yb ra邊界條件為：邊界條件為： ( r）r=a=0, ( r）r=b=0 )(12rudrduErrr應(yīng)力應(yīng)力 r（平面（平面應(yīng)力

9、問(wèn)題）應(yīng)力問(wèn)題）：由邊界條件確定由邊界條件確定 C1 和和 C2 ：x yb ra應(yīng)力應(yīng)力 ：2221813baEC2222813baEC2222222r83 rrbaba222222233183 rrbaba無(wú)體力的矩形薄板，薄板內(nèi)有無(wú)體力的矩形薄板，薄板內(nèi)有一個(gè)小圓孔（圓孔半徑一個(gè)小圓孔（圓孔半徑a 很小），且薄板受很小），且薄板受純剪切作用，純剪切作用，。qx yqabq為單連域，為單連域，為多連域；為多連域；abq r= =2C1 ，ur= 2C1 r (1- 1)/E1 r= A2 /r 2+ 2C2 ， = - A2 /r 2+ 2C2 ，ur= - (1+ 2)A2 /r + 2

10、C2 r (1- 2)/E2abq邊界條件：邊界條件： ( r）r=b= -q 條件：條件：r = a 時(shí)時(shí) ur1 = ur2 ， r1 = r2 A2 /b2+ 2C2 = - q (1)abqr = a 時(shí)時(shí) ur1 = ur2 ， r1 = r2 A2 /b2+ 2C2 = - q (1)2C1a (1- 1)/E1 =- (1+ 2)A2 /a + 2C2 a (1- 2)/E2 (2)2C1 = A2 /a2+ 2C2 (3) (r, )= r2(Asin2 + B )/2 半無(wú)限平面薄板不計(jì)體力。已半無(wú)限平面薄板不計(jì)體力。已知在邊界上有平行邊界的面力知在邊界上有平行邊界的面力q

11、q 作用。應(yīng)作用。應(yīng)力函數(shù)取為力函數(shù)取為試（試（1 1）列出求解待定系數(shù)）列出求解待定系數(shù) A、B 的方程式，的方程式，（2 2）寫出應(yīng)力分量表達(dá)式。）寫出應(yīng)力分量表達(dá)式。oxyrq (r, )= Acos2 + Bsin2 + C 無(wú)體力的楔形體無(wú)體力的楔形體，作用，應(yīng)力函數(shù)取為作用，應(yīng)力函數(shù)取為A、B、Cox yM /2 /2。lPCBAx ylC利用虛位移原理、最小勢(shì)能原利用虛位移原理、最小勢(shì)能原理、虛應(yīng)力原理和最小余能原理求解圖示理、虛應(yīng)力原理和最小余能原理求解圖示桁架的內(nèi)力。已知桁架各桿桁架的內(nèi)力。已知桁架各桿 EA 相同，材相同，材料的彈性關(guān)系為料的彈性關(guān)系為 = E 。虛位移虛位

12、移原理求原理求解圖示桁架的內(nèi)力解圖示桁架的內(nèi)力 桁架在荷載作用桁架在荷載作用 下，各下，各桿產(chǎn)生內(nèi)力桿產(chǎn)生內(nèi)力NAC 、NBC 、NDC和變形，引起和變形，引起C點(diǎn)位移：點(diǎn)位移：uc 和 vc （內(nèi)力、變形和位移（內(nèi)力、變形和位移是真實(shí)的）。是真實(shí)的）。lPCBAx ylDlPCBAx ylD設(shè)桁架有虛位移，桁架有虛位移， C點(diǎn)虛位移點(diǎn)虛位移 uc 和 vcACACBCBCDCDCNNNCSiivPdSuX cACu()BCccuv22lPCBAx ylDcACcDCcP vNuNvBCccNuv22,ACBCDCBCNNPNN220022lPCBAx ylD,ACBCDCBCNNPNN220

13、022,ACcDCcEAEANuNvll BCccEANuvl222,ccPlPluvEAEA1222 122 12,ACcDCcEAEANuPNvPll 212322BCccEANuvPl222222虛應(yīng)力虛應(yīng)力原理求圖示桁架的內(nèi)力原理求圖示桁架的內(nèi)力lPCBAx ylD 桁架在荷載作用桁架在荷載作用 下，各下，各桿產(chǎn)生內(nèi)力桿產(chǎn)生內(nèi)力NAC 、NBC 、NDC和變形，引起和變形，引起C點(diǎn)位移：點(diǎn)位移：uc 和 vc （內(nèi)力、變形和位移（內(nèi)力、變形和位移是真實(shí)的）。是真實(shí)的）。設(shè)桁架有虛內(nèi)力，對(duì)應(yīng)于桁架有虛內(nèi)力，對(duì)應(yīng)于無(wú)荷載情況，無(wú)荷載情況，NAC 、 NBC 、 NDClCBAx ylD虛應(yīng)

14、力方程虛應(yīng)力方程lPCBAx ylD即NAC AC+ NBC BC+ NDC DC=0lCBAx ylDiijVijiSieWdVdSuXWuEAlNEAlN,EAlNBCBCDCDCACAC2NAC + NBC cos450 =0 , NDC + NBC cos450 =0NBC =（ NAC + NDC ）/2 （1）lPCBAx ylDNBC cos450 +NAC =0 （2）NBC cos450 +NDC + P =0 （3）lPCBAx ylDPN,PN,PNDCACBC232212222利用最小余能利用最小余能原理求原理求圖示梁的彎圖示梁的彎矩。矩。圖示梁受荷載圖示梁受荷載作用，

15、試?yán)锰撐灰圃饔?，試?yán)锰撐灰圃砝?或最小勢(shì)能原理導(dǎo)出或最小勢(shì)能原理導(dǎo)出梁的平衡微分方程和力梁的平衡微分方程和力的邊界條件。的邊界條件。 y qEI x l M y qEI x l（1 1）懸臂梁受兩個(gè)）懸臂梁受兩個(gè)集中力集中力 P 作用。作用。（2 2）簡(jiǎn)支梁受均布荷）簡(jiǎn)支梁受均布荷載載 q 作用作用, ,設(shè)：設(shè)：v =B1x(x-l)+B2x2(x-l) 。利用虛位移原理的近似法或利用虛位移原理的近似法或Ritz 法法求解圖示梁的撓曲線。求解圖示梁的撓曲線。x yPEIl/2l/2P qEI y x l（1 1）懸臂梁受兩個(gè)）懸臂梁受兩個(gè)集中力集中力 P 作用。作用。利用虛位移原理的近

16、似法或利用虛位移原理的近似法或Ritz 法法求解圖示梁的撓曲線。求解圖示梁的撓曲線。x yPEIl/2l/2P利用利用Ritz 法求解圖示梁的撓曲線。法求解圖示梁的撓曲線。設(shè)撓曲線為設(shè)撓曲線為3221xbxbv滿足位移邊界條件：滿足位移邊界條件：0)( )( , 0)(000 xxxdxdvxvv梁的應(yīng)變能梁的應(yīng)變能:x yPEIl/2l/2P3221xbxbv外力勢(shì)能外力勢(shì)能:確定確定b1 , b2)lblbblb(EIdx)x(EIUl32222121023322lx/ lx)v(P)v(PV2梁的總勢(shì)能梁的總勢(shì)能:x yPEIl/2l/2P3221xbxbv外力勢(shì)能外力勢(shì)能:lx/ lx

17、)v(P)v(PV2 =U +V 由總勢(shì)能由總勢(shì)能 的變分的變分 = 0 ，得得x yPEIl/2l/2P解得解得 045322 022211Pl)lblb(EI:b)VU( 089632 0332212Pl)lblb(EI:b)VU( 41611 21EIPb,EIPlb梁的撓曲線梁的撓曲線3241611xEIPxEIPlvu=0, v = B1 y(y-b)，求其位移解答。求其位移解答。設(shè)有一無(wú)限長(zhǎng)的薄板，上下兩端固設(shè)有一無(wú)限長(zhǎng)的薄板，上下兩端固定，僅受豎向重力作用。定，僅受豎向重力作用。利用利用Ritz 法法求求其位移解答。設(shè)位移的近似解為其位移解答。設(shè)位移的近似解為 xyb gogF,Fbybx 0將將 u=0, v = B1 y(y-b) 代入代入xyb go薄板薄板的總勢(shì)能的總勢(shì)能 =U +V dxdyxvyuyvxuyvxuEUA2222212123123212bBE取取y軸兩側(cè)各軸兩側(cè)各1/21/2單單位長(zhǎng)度計(jì)算位長(zhǎng)度計(jì)算將將 u=0, v = B1 y(y-b) 代入代入xyb go薄板薄板