大學(xué)物理學(xué)(第三版)課后習(xí)題含答案

1、1-1Ir丨與習(xí)題解答習(xí)題一r有無(wú)不同?d；和dt有無(wú)不同?解：（1）r是位移的模，(2)dr是速度的模，即drdtdt試舉例說(shuō)明.r是位矢的模的增量，即dsdt空和空有無(wú)不同？其不同在哪里？dt|dt|ri;dr巴只是速度在徑向上的分量dt有rr?（式中?叫做單位矢），則drdld?r-dt式中空就是速度徑向上的分量,dt乜與dtdr竺不同如題1-1圖所示.dt題1-1圖dv表示加速度的模,即|advdt,色是加速度a在切向上的分量.dt有vv（表軌道節(jié)線方向單位矢），所以dvdtdvdtdv-dt式中屯就是加速度的切向分量dt（必與芒的運(yùn)算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定,dtdt故不予討論）1-2設(shè)

2、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=x（t）,y=y（t），在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求u*2出r=x2y2，然后根據(jù)v=一，及a=2而求得結(jié)果；又有人先計(jì)算速度和加速度dtdt2的分量，再合成求得結(jié)果，即2dy及a=dtd2x2d2y2dt2dt2你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？為什么？?jī)烧卟顒e何在?解：后一種方法正確.因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)系中，有rxiyj,drdxv一idtdt.2.2drdxa2dt2dt2dt故它們的模即為22d2x2dt22dydtd2ydt2d2rdt2其二，可能是將dr與d2rdtdt2誤作速度與加速度的模。在dr1-1題中已說(shuō)明不是速度的模,dt而只是速

3、度在徑向上的分量，同樣,d2rdt2也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分a徑d2rdt2d2rd?；蛘吒爬ㄐ缘卣f(shuō)，前一種方法只考慮了位矢dtr在徑向（即而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作drvdt量值）方面隨時(shí)間的變化率，而沒(méi)有考慮位矢r及速度v的方向隨間的變化率對(duì)速度、加速度的貢獻(xiàn)。1-3一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為x=3t+5,y=-t2+3t-4.2式中t以s計(jì)，x,y以m十.（1）以時(shí)間t為變量，寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；（2）求出t=1s時(shí)刻和t=2s時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；（3）計(jì)算t=0s時(shí)刻到t=4s

4、時(shí)刻內(nèi)的平均速度；（4）求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算t=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；（5）計(jì)算t=0s到t=4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；（6）求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算t=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度（請(qǐng)把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量式）.r(3t5)i3t4)jm將t1,t2代入上式即有r18i0.5jmr211j4jmrr2ri3j4.5jmr05j4j,r417i16jvr4r12i20j3i5jmst404drv3i(t3)jm1sdt則v43i7j1msvo3i3j,v43i7jvv4v041j2a-mst44dv21jamsdt這說(shuō)明該點(diǎn)只有y

5、方向的加速度，且為恒量。解：設(shè)人到船之間繩的長(zhǎng)度為I，此時(shí)繩與水面成1-4在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示當(dāng)人以角，由圖可知I2h2s22衛(wèi)2sdSdtdt題1-4圖將上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得根據(jù)速度的定義，并注意到I,s是隨t減少的，dlV繩v0,V船dtdsdtdsldllv0v船dtsdtv0scos22、1/2Ivo(hs)Vov船ss將V船再對(duì)t求導(dǎo)，即得船的加速度dv船dtdldssI-dtdtv2vosvSIv船voh2v：s3(s)v2s2s1-5質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為a=2+6x2,a的單位為ms2,x的單位為m.質(zhì)點(diǎn)在x=

6、0處，速度為10ms,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值.解：/dvdvdxdvav-dtdxdtdx分離變量：dadx(26x2)dx兩邊積分得123v2x2xc2由題知，x0時(shí)，v010,c50v2x3x25ms1-6已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為a=4+31ms2，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，x=5mv=0,求該質(zhì)點(diǎn)在t=10s時(shí)的速度和位置.解：dvadt43t分離變量，得dv(43t)dt積分，得v4t3+2tG2由題知，t0,v00,c104t32v-t22dx4t32v-t2dt23t2)dt2x2t21t3C22故又因?yàn)榉蛛x變量，dx(4t積分得由題知t0,x05,c5故所以t10s時(shí)213x2t

7、2-t352321v1041010190ms21 3x10210-105705m3=2+3t，式中以弧度計(jì)2t以秒計(jì),45角時(shí)，1-7一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1m的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為求：(1)t=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；(2)當(dāng)加速度的方向和半徑成其角位移是多少？解：d9t2,d18tdtdt(1)t2s時(shí)，aR118236m2sanR20,1(9222)1296ms當(dāng)加速度方向與半徑成45角時(shí),有tan45乞1an即R2R亦即(9t2)218t則解得t329于是角位移為23t3232-2.67rad9121-8質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按s=vt-bt的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中s為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧2長(zhǎng),

8、vo，b都是常量，求：（1）t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；（2）t為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于b.解:(1)Vdsbtdtdvvobadtanv2(Vobt)2RRJ1(Vobt)4則12aa2anb2R2加速度與半徑的夾角為丄aRbarctan2an(Vobt)由題意應(yīng)有b2b2(Vobt)4R24(Vobt)R2(vobt)40當(dāng)tVo時(shí)，abb1-9半徑為R的輪子，以勻速Vo沿水平線向前滾動(dòng)：（1）證明輪緣上任意點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)方程為x=R（tsint）,y=R（1cost），式中vo/R是輪子滾動(dòng)的角速度，當(dāng)B與水平線接觸的瞬間開(kāi)始計(jì)時(shí)此時(shí)B所在的位置為原點(diǎn)，輪子前進(jìn)方向?yàn)閤軸正方向；（2）求B點(diǎn)速度

9、和加速度的分量表示式.解：依題意作出下圖，由圖可知題1-9圖(1)xvot2Rsincos22VotRsinR(tRsint)精品文檔2Rsinsin22R(1cos)R(1cost)VxVydxdtdydtR(1Rsincost)t)ax2.sinay2cosdVxdTdVydt1-10以初速度Vo120ms拋岀一小球，拋岀方向與水平面成幔60的夾角,求：(1)球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑R1；(2)落地處的曲率半徑R2.1-10圖所示.(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系)題1-10圖(1)在最咼點(diǎn)，ViVxv0cos60an110m又(20cos60)2an11010m11精品文檔在落地

10、點(diǎn),20msagcos60ov22(2o)22an210cos6080m1-11飛輪半徑為0.4m，自靜止啟動(dòng)，其角加速度為3=0.2rads2，求t=2s時(shí)邊緣上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.解：當(dāng)t2s時(shí),t0.220.4rads則vR6manR20.4(0.4)0.068m22ana,(0.064)2(0.08)20.102m-1解：（1）大船看小艇，則有v21v2v1，依題意作速度矢量圖如題1-13圖1-12如題1-12圖，物體A以相對(duì)B的速度V=2gy沿斜面滑動(dòng)，y為縱坐標(biāo)，開(kāi)始時(shí)A在斜面頂端高為h處，B物體以u(píng)勻速向右運(yùn)動(dòng)，求A

11、物滑到地面時(shí)的速度.解：當(dāng)滑至斜面底時(shí)，yh，則vA2gh,A物運(yùn)動(dòng)過(guò)程中又受到B的牽連運(yùn)動(dòng)影響,因此，A對(duì)地的速度為Uva(u2ghcos)i(2ghsin)j1-13一船以速率v1=30km-h-1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率v2=40kmh沿直線向北行駛，問(wèn)在船上看小艇的速度為何？在艇上看船的速度又為何精品文檔題1-13圖由圖可知v2iv1V50kmh1v3方向北偏西arctanarctan36.87v24小船看大船，則有V12ViV2，依題意作出速度矢量圖如題1-13圖(b)，同上法，得1v1250kmh方向南偏東36.871-14當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，它的雨篷遮著篷的垂直投

12、影后2m的甲板上，篷高4m但當(dāng)輪船停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3m，如雨滴的速度大小為8ms-1，求輪船的速率.解：依題意作出矢量圖如題1-14所示.題1-14圖v雨船v雨v船v雨v雨船v船由圖中比例關(guān)系可知v船v雨8m1s習(xí)題二2-1一細(xì)繩跨過(guò)一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為m1的物體，另一邊穿在質(zhì)量為m2的圓柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng).今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子以勻加速度a下滑，求m,m2相對(duì)于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì)).解：因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均為a1，其對(duì)于m2則為

13、牽連加速度，又知m2對(duì)繩子的相對(duì)加速度為a，故m2對(duì)地加速度，由圖（b）可知，為又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力f在數(shù)值上等于繩的張力T,由牛頓定律,m1gTm1a1Tm2gm2a2聯(lián)立、式，得(mim)gmaaimim2a2(m1m2)gm1amim2gm2(2ga)mim2討論（1）若a0,則a1a2表示柱體與繩之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng).若a2g，則Tf0，表示柱體與繩之間無(wú)任何作用力，此時(shí)落體運(yùn)動(dòng).mh,m2均作自由題2-1圖2-2一個(gè)質(zhì)量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度V。運(yùn)動(dòng)，V。的方向與斜面底邊的水平線AB平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道.解：物體置于斜面上受到重力

14、mg，斜面支持力N.建立坐標(biāo)：取v0方向?yàn)閄軸，平行斜面與X軸垂直方向?yàn)閅軸.如圖2-2.題2-2圖X方向：Fx0xVot丫方向：Fymgsinmayt0時(shí)y0vy01.y尹|nt2由、式消去t,得1.y2gsin2v2X2-3質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為fx=6N,fy=_1-7N，當(dāng)t=0時(shí)，Xy0,vx=_2ms,vy=0.求當(dāng)t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位矢；（2）速度.解：ax3msm168ay7m16(1)2351vx0naxdt22ms0842771vy0naydt2ms0168kv（k為常數(shù)）作用，t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的由0到t的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的距離為于是質(zhì)點(diǎn)在2s

15、時(shí)的速度r(vt1+2axt)i21a2上2ytJ1317(224)i(-)4j2821613.7.ijm482-4質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力k、（）t速度為v0，證明（1）t時(shí)刻的速度為v=v0em;（2）mv()tx=(0):1-em;(3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過(guò)的距離為kv(m);(4)證明當(dāng)tmk時(shí)速k度減至v0的1，式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量.答：kvamdvdt分離變量，得dvkdtvvdvv0mtkdt0mInvoktlnemtvemxvdttit0vemdtmvo-tk(1em(3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即tis.故有0v0emtdtmvo(4)當(dāng)t=-時(shí)，其速度為k1vv

16、ee1即速度減至v0的-.e2-5升降機(jī)內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為,m2，且m2=2m!.用細(xì)繩連接，跨過(guò)滑輪，繩子a=!g上升時(shí)，求：2不可伸長(zhǎng)，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計(jì)，當(dāng)升降機(jī)以勻加速mi和m2相對(duì)升降機(jī)的加速度.(2)在地面上觀察mi,m2的加速度各為多少？解：分別以m!,m2為研究對(duì)象，其受力圖如圖(b)所示.(1)設(shè)m2相對(duì)滑輪(即升降機(jī))的加速度為a，則m2對(duì)地加速度a?aa;因繩不可伸長(zhǎng)，故m1對(duì)滑輪的加速度亦為a，又m1在水平方向上沒(méi)有受牽連運(yùn)動(dòng)的影響，所以m1在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁閍，由牛頓定律，有m2gTm2(aa)Tm1a11T1LN01題2-5圖聯(lián)立，解得ag方向向

17、下(2)m2對(duì)地加速度為9299g方向向上mi在水面方向有相對(duì)加速度，豎直方向有牽連加速度，即9絕9相9牽91.92929rct9n99rct9n26.6，左偏上.92v0從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)2-6一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角=30的初速點(diǎn)落地時(shí)相對(duì)拋射時(shí)的動(dòng)量的增量.在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下而拋物線具有對(duì)y軸對(duì)稱(chēng)性，故末速度與x軸夾角亦為30，則動(dòng)量的增量為pmvmv0由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為mv0,方向豎直向下.2-7一質(zhì)量為m的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞并在拋出1s，跳回到原高度，速度仍是水平

18、方向，速度大小也與拋出時(shí)相等.求小球與桌面碰撞過(guò)程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向.并回答在碰撞過(guò)程中，小球的動(dòng)量是否守恒解：由題知，小球落地時(shí)間為0.5s.因小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大小為Vigt0.5g，小球上跳速度的大小亦為vo.5g.設(shè)向上為y軸正向，則動(dòng)量的增量pmV?mvi方向豎直向上，大小pmv?(mvi)mg碰撞過(guò)程中動(dòng)量不守恒.這是因?yàn)樵谂鲎策^(guò)程中，小球受到地面給予的沖力作用.另外，碰撞前初動(dòng)量方向斜向下，碰后末動(dòng)量方向斜向上，這也說(shuō)明動(dòng)量不守恒.2-8作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為F(102t)iN,式中t的單位是s,(1)求4s后，這物體的動(dòng)量和速

19、度的變化，以及力給予物體的沖量.(2)為了使這力的沖量為200Ns,該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來(lái)靜止的物體和一個(gè)具有初速度6jm-s-1的物體,回答這兩個(gè)問(wèn)題.解：(1)若物體原來(lái)靜止，則P1tFdt040(102t)idt56kgm1si,沿x軸正向,V1P15.6ms1imI1P1156kgmsi若物體原來(lái)具有6ms1初速，則tFtP0mv0,pm(V0dt)0mmv0Fdt于是0P2ppt00FdtP1同理，V2V1,1211這說(shuō)明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無(wú)初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大,那么物體獲得的動(dòng)量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動(dòng)量定理.同上理，兩種

20、情況中的作用時(shí)間相同，即t2Io(102t)dt10tt2亦即t210t2000解得t10s,(t20s舍去)2-9一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為racostibsintj證明：設(shè)一塊為m1，則另一塊為m2,求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及t=0到t時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量.2解：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為pmvm(asintibcostj)將t0和t分別代入上式，得2p1mbj，P2mai,則動(dòng)量的增量亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為IPP2P1m(aibj)2-10一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為voms1，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為F=(abt)N(a,b為常數(shù))，其中t以秒為單位：

21、(1)假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零,試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；解：(1)由題意，子彈到槍口時(shí)，有F(2)子彈所受的沖量I將t旦代入，得b(2)求子彈所受的沖量.(3)求子彈的質(zhì)量.(abt)0,得tab12(abt)dtatbt22b(3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量2a2bvo2-11一炮彈質(zhì)量為m，以速率v飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動(dòng)能為T(mén)，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的k倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為v+嚴(yán)m(xù)v-葉km2及m1m2m于是得kmk2又設(shè)mi的速度為Vi,m2的速度為V2，則有2m2v222mv2mvm1v1m2v2聯(lián)立、解

22、得將代入，并整理得于是有將其代入式，有V22Tkm(k1)vkv1(2kTv2vm又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取viv2Tkm2kT,v2m證畢.2-12設(shè)F合7i6jN.(1)當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到r3i4j16km時(shí)，求F所作的功.(2)如果質(zhì)點(diǎn)到r處時(shí)需0.6s,試求平均功率.如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg,試求動(dòng)能的變化.解：(1)由題知，F(xiàn)合為恒力，A合Fr(7i6j)(3i4j16k)212445JA45”P(pán)75wt0.6(3)由動(dòng)能定理，EkA45J2-13以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在鐵錘擊第一次時(shí)，能將小釘擊入木板內(nèi)1cm,問(wèn)

23、擊第二次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時(shí)的速度相同.解：以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向內(nèi)為y坐標(biāo)正向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為ky第一錘外力的功為aAifdysfdy1kydy-o2式中f是鐵錘作用于釘上的力,f是木板作用于釘上的力，在dt0時(shí)，f設(shè)第二錘外力的功為A2，則同理，有A2y21kydy1mv2)2ky；由題意，有即所以，于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為yy2y1.210.414cm2-14設(shè)已知一質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量為m)在其保守力場(chǎng)中位矢為r點(diǎn)的勢(shì)能為Ep(r)k/rn，試求質(zhì)點(diǎn)所受保守力的大小和方向.解:F(r)讐器drr方向與位矢r的方向相反，即指向力心.2-15一根勁度系數(shù)為k

24、1的輕彈簧A的下端，掛一根勁度系數(shù)為k2的輕彈簧B,B的下端一重物C,C的質(zhì)量為M，如題2-15圖求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比和彈性勢(shì)能之比.解：彈簧A、B及重物C受力如題2-15圖所示平衡時(shí)，有題2-15圖FaFbMg所以靜止時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)量之比為FaFbXiX2kiXik2X2k2k1彈性勢(shì)能之比為h1 k2x2k122-16(1)試計(jì)算月球和地球?qū)物體的引力相抵消的一點(diǎn)P，距月球表面的距離是多少？地EP1EP22X1k23.84X108m月球質(zhì)量7.35X1022kg，月球質(zhì)量5.98X1024kg,地球中心到月球中心的距離球半徑1.74X106m(2)如果一個(gè)1kg的物體在距月球

25、和地球均為無(wú)限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零，那么它在P點(diǎn)的勢(shì)能為多少？解：(1)設(shè)在距月球中心為r處F月引F地引，由萬(wàn)有引力定律,mM月Gr經(jīng)整理，得Jm月M地VM月7.3510225.981024227.35103.4810838.32106m則P點(diǎn)處至月球表面的距離為(38.321.74)1063.66107m質(zhì)量為1kg的物體在P點(diǎn)的引力勢(shì)能為EpGMrRr6.6710117.3510223.831076.6710115.98102438.43.8310761.2810J2-17由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長(zhǎng)的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為m1和m2的滑塊組成如題2-17圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)

26、為k，自然長(zhǎng)度等于水平距離BC,m2與桌面間的摩擦系數(shù)為，最初m1靜止于A點(diǎn)，AB=BC=h，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下m求它下落到B處時(shí)的速率.解:取B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則由功能原理，有1212m?gh(耳m2)vmh?k(I)式中I為彈簧在A點(diǎn)時(shí)比原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量，則lACBC1)h聯(lián)立上述兩式，得V廠)2m1m2ghkh2-18如題2-18圖所示，一物體質(zhì)量為2kg，以初速度Vo=3m-s-從斜面A點(diǎn)處下滑，它與斜面的摩擦力為8N,到達(dá)B點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度.解：取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原

27、丘120m2長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)。則由功能原理，有frskx22mv2mgssin372mv2mgssin371kx式中s4.80.25m,x0.2m，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得k1390NmfrSmgssin372kx2代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得s1.4m,則木塊彈回高度ssin370.84m題2-19圖解：m從M上下滑的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，以能零點(diǎn)，則有2-19質(zhì)量為M的大木塊具有半徑為R的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示質(zhì)量為m的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從靜止開(kāi)始，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度.m,M，地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)mgR1mv212-M

28、V22又下滑過(guò)程，動(dòng)量守恒，以m,M為系統(tǒng)則在m脫離M瞬間，水平方向有mvMV0聯(lián)立，以上兩式，得2-20一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對(duì)心彈性碰撞,試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向互相垂直.證：兩小球碰撞過(guò)程中，機(jī)械能守恒，有1212mv222即222V。V!V題2-20圖(a)題2-20圖(b)又碰撞過(guò)程中，動(dòng)量守恒，即有亦即mv0mv!mv2VoV!V2由可作出矢量三角形如圖(b)，又由式可知三矢量之間滿(mǎn)足勾股定理，且以v0為斜邊,故知w與v2是互相垂直的.2-21一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于(Xi,yj處，速度為vvxivyj,質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿x負(fù)方向的力f的作用，求相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用

29、于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩.解：由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為rx1iyij作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為ffi所以，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為L(zhǎng)0rmv(xiiyii)m(VxiVyj)(Ximvyyimvx)k作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為Morf(xiiyij)(fi)yifk2-22哈雷彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓.它離太陽(yáng)最近距離為ri=8.75X1010m時(shí)的速精品文檔率是V|=5.46x104m-s-1,它離太陽(yáng)最遠(yuǎn)時(shí)的速率是v2=9.08x102m-s-1這時(shí)它離太陽(yáng)的距離2多少?（太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。）所以角動(dòng)量守恒；又由于解：哈雷彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽(yáng)的引力一一即有心力的作用,哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速

30、度都與軌道半徑垂直，故有r1mv1r2mv2AW站510105461045.26V29.081021012m2-23物體質(zhì)量為3kg,t=0時(shí)位于r4im,vi6jms1，如一恒力f5jN作用在物體上，求3秒后,（1）物體動(dòng)量的變化；（2）相對(duì)z軸角動(dòng)量的變化.：5jdt15jkgms1fdt解（一）X0V0xtL2解（二）dzdtL1Vyt313322禍r1Vy4i,D7i25.5jVxV0xV0yat6j,V2r1mv1mv2(7iL2L14i3(i25.5j)82.5kdtt0(r31111j6j)72k3(i11j)154.5kkgm2F)dt30(4t)i152(6t2)3t2)j5

31、jdt305(4t)kdt82.5kkgm20精品文檔題2-24圖2-24平板中央開(kāi)一小孔，質(zhì)量為m的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過(guò)小孔后掛一質(zhì)量為Mi的和半徑r為多少？重物小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為ro時(shí)重物達(dá)到平衡.今在Mi的下方再掛一質(zhì)量為M2的物體，如題2-24圖試問(wèn)這時(shí)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度解：在只掛重物時(shí)Mi，小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為Mig，即Mig2mroo掛上M2后，則有(MiM2)gmr重力對(duì)圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒.romvormv22roor聯(lián)立、得02-25飛輪的質(zhì)量m=60kg，半徑R=0.25m，繞其水平中心軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900revmin-i現(xiàn)利

32、用一制動(dòng)的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力F，可使飛輪減速.已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤(pán)計(jì)算.試求：(1)設(shè)F=100N，問(wèn)可使飛輪在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)？在這段時(shí)間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)？如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力F?解:(1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)圖中N、N是正壓力，F(xiàn)r、Fr是摩擦力，F(xiàn)x和Fy是桿在A點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力，R是輪的重力，P是輪在O軸處所受支承力.上一麻卜&4尸題2-25圖(b)桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對(duì)A點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，則有11|2F(l1l2)Nl10N-Fli對(duì)

33、飛輪，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有FrR/l，式中負(fù)號(hào)表示與角速度方向相反.FrNNNFrNl1l2l1F又ImR2,2FrRI2(l1mRl1以F100N等代入上式，得20.40(0.500.75)“402100rads600.250.503由此可算出自施加制動(dòng)閘開(kāi)始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t09002360407.06s這段時(shí)間內(nèi)飛輪的角位移為丄1丄29002914092ott()260423453.12rad可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了53.1轉(zhuǎn).0900rads1,60要求飛輪轉(zhuǎn)速在t2s內(nèi)減少一半，可知020015.2rads2t2t用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動(dòng)力為mRh2(hI2)600

34、.250.501520.40(0.500.75)200轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)大小圓柱體177N2-26固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱(chēng)軸的半徑分別為R和r,質(zhì)量分別為M和m.繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體m1和m2相連,mi和m2則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題2-26圖所示.設(shè)R=0.20m,r=0.10m,m=4kg,M=10kg,m1=m2=2kg，且開(kāi)始時(shí)m1,m2離地均為h=2m求:(1) 柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；(2) 兩側(cè)細(xì)繩的張力.解：設(shè)a1,a2和B分別為m1,m2和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b).題2-26(a)圖題2-26(b)圖(1)m1,m2和柱體的運(yùn)動(dòng)方程如下:

35、T2m2gm2a2T1RrI精品文檔式屮T1T1,T2T2,電r,a1R而|12MR212mr22由上式求得Rm1|rm2c22gIm1Rm2r12-100.20226.13rads21 420.10220.20220.102(2)由式T2m2rm?g20.106.1329.820.8N由式T1mym1R29.8317.1N2-27計(jì)算題2-27圖所示系統(tǒng)中物體的加速度設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為M，半徑為r，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)mi=50kg,m2=200kg,M=15kg,r=0.1m解：分別以mi,m2滑

36、輪為研究對(duì)象，受力圖如圖(b)所示對(duì)mi,m?運(yùn)用牛頓定律，有T1m1a對(duì)滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有12T2rT1r(?Mr2)又，ar聯(lián)立以上4個(gè)方程，得m2gT2m2a2009.8m1m2m?gM52007.6222精品文檔題2-27(a)圖題2-27(b)圖題2-28圖2-28如題2-28圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為I，可繞過(guò)一端0的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),桿于水平位置由靜止開(kāi)始擺下求：(1) 初始時(shí)刻的角加速度；(2) 桿轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)的角速度.解：(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有mg2(fml2)3g2I(2)由機(jī)械能守恒定律，有1 |2、2mgsin(ml)2 233gsin.I題2-29圖2-29如題2-2

37、9圖所示，質(zhì)量為M，長(zhǎng)為I的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸0無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來(lái)靜止在平衡位置上現(xiàn)有一質(zhì)量為m的彈性小球飛來(lái)，正好在棒的下端與棒垂直地相撞.相撞后，使棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度30處.(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速v0的值;精品文檔(2)相撞時(shí)小球受到多大的沖量？解：(1)設(shè)小球的初速度為v0，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為，而小球的速度變?yōu)閂,按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式：mV0IImVl121,2122mV0I2mV21上兩式中13Ml2，碰撞過(guò)程極為短暫，可認(rèn)為棒沒(méi)有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺

38、到最大角度30o，按機(jī)械能守恒定律可列式：12I寸IMg專(zhuān)(1cos30)1由式得12cos30)IvVoml由式由式22VVo所以求得Iml2VoImp)I2(1T(1-6(2i33mM12gi6(2)相碰時(shí)小球受到的沖量為由式求得FdtmVmVmV0FdtmVmV0I15MlI3.6(2v3)M精品文檔負(fù)號(hào)說(shuō)明所受沖量的方向與初速度方向相反.題2-30圖2-30個(gè)質(zhì)量為M半徑為R并以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪(可看作勻質(zhì)圓盤(pán))，在某一瞬時(shí)突然有一片質(zhì)量為m的碎片從輪的邊緣上飛出，見(jiàn)題2-30圖.假定碎片脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上.(1) 問(wèn)它能升高多少？(2) 求余下部分的角速度、角動(dòng)量

39、和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.解：(1)碎片離盤(pán)瞬時(shí)的線速度即是它上升的初速度VoR設(shè)碎片上升高度h時(shí)的速度為v,則有22VV02gh令v0，可求出上升最大高度為v01r222g亦11(2)圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IMR2，碎片拋出后圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IMR2mR2，碎片脫22離前，盤(pán)的角動(dòng)量為I，碎片剛脫離后，碎片與破盤(pán)之間的內(nèi)力變?yōu)榱?，但?nèi)力不影響系統(tǒng)的總角動(dòng)量，碎片與破盤(pán)的總角動(dòng)量應(yīng)守恒，即IImv0R式中為破盤(pán)的角速度.于是12122-MR2(?MR2mR2)mv0R122122(5MR2mR2)(?MR2mR2)得(角速度不變)圓盤(pán)余下部分的角動(dòng)量為(1mR2mR2)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為題2-31圖11222Ek-MR2mR

40、2)22-31一質(zhì)量為m、半徑為R的自行車(chē)輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng).另一質(zhì)量為m0的子彈以速度v0射入輪緣(如題2-31圖所示方向).(1)開(kāi)始時(shí)輪是靜止的，在質(zhì)點(diǎn)打入后的角速度為何值？(2)用m,m。和表示系統(tǒng)(包括輪和質(zhì)點(diǎn))最后動(dòng)能和初始動(dòng)能之比.解：(1)射入的過(guò)程對(duì)0軸的角動(dòng)量守恒2Rsinm0v0(mm0)Rm0v0sin(mm)R(2)EkEk012m0v0sin22(mm0)R(rn.2m0sin12mV02mm012-32圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0N-m；定滑輪的okfi2-32彈簧、定滑輪和物體的連接如題轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.5kg-吊，半徑為0.30m，問(wèn)當(dāng)

41、6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時(shí)，它的速率為多大？假設(shè)開(kāi)始時(shí)物體靜止而彈簧無(wú)伸長(zhǎng).解:以重物、滑輪、彈簧、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，重物下落的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則有mgh-mv2-12-kh2222v/R故有(2mghkh2)k2mR2I(26.00.42)0.326.00.320.52.0ms1題2-33圖題2-32圖點(diǎn)，則有聯(lián)立、兩式，得mgR1(IomR2)2Vb2gR22I。R10mR22-33空心圓環(huán)可繞豎直軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如題2-33圖所示，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，環(huán)半徑為R,初始角速度為0質(zhì)量為m的小球，原來(lái)靜置于A點(diǎn)，由于微

42、小的干擾，小球向下滑動(dòng).設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁是光滑的，問(wèn)小球滑到B點(diǎn)與C點(diǎn)時(shí)，小球相對(duì)于環(huán)的速率各為多少解：(1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒，當(dāng)小球滑至2I00(I0mR)B點(diǎn)時(shí)，有Vb，以B點(diǎn)為重力勢(shì)能零該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，設(shè)小球相對(duì)于圓環(huán)的速率為(2)當(dāng)小球滑至C點(diǎn)時(shí)，T|故由機(jī)械能守恒，有mg(2R)2mv2Vc2、gR請(qǐng)讀者求出上述兩種情況下，小球?qū)Φ厮俣?習(xí)題三3-1慣性系S相對(duì)慣性系S以速度U運(yùn)動(dòng).當(dāng)它們的坐標(biāo)原點(diǎn)0與0重合時(shí)，t=t=0,發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測(cè)者觀測(cè)該光波的波陣面形狀如何？用直角坐標(biāo)系寫(xiě)出各自觀測(cè)的波陣面的方程.解：由于時(shí)間和空間都是均勻的，根據(jù)

43、光速不變?cè)?，光訊?hào)為球面波.波陣面方程為：2222xyz(ct)2222xyz(ct)*H3-2設(shè)圖3-4中車(chē)廂上觀測(cè)者測(cè)得前后門(mén)距離為21試用洛侖茲變換計(jì)算地面上的觀測(cè)者測(cè)到同一光信號(hào)到達(dá)前、后門(mén)的時(shí)間差.解：設(shè)光訊號(hào)到達(dá)前門(mén)為事件1，在車(chē)廂(S)系時(shí)空坐標(biāo)為(為占)(I丄)，在車(chē)站(S)系:ct1(t12X1)(2l)(1)ccccc光信號(hào)到達(dá)后門(mén)為事件2，則在車(chē)廂(S)系坐標(biāo)為(x2,t2)(I,-)，在車(chē)站(S)系：t2(t2牡)丄(1ccluc%c于是t2t12-yc或者t0,tt1t2,xx1x22It(tu2x)(弓21)cc3-3慣性系S相對(duì)另一慣性系S沿x軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，

44、取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn).在S系中測(cè)得兩事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為x1=6x104m,t1=2x10-4s，以及x2=12x104m,t2=1x10-4s.已知在S系中測(cè)得該兩事件同時(shí)發(fā)生.試問(wèn)：(1)S系相對(duì)S系的速度是多少？(2)S系中測(cè)得的兩事件的空間間隔是多少？解：設(shè)(S)相對(duì)S的速度為V,(1)t1(t1Jct2(t2：X2)c由題意t2t10則t2t1V2c區(qū)xj故2t2bc1.5108msVcX2X12精品文檔(2)由洛侖茲變換X1(X1vt1),x2(x2vt2)代入數(shù)值，x2x15.2104m3-4長(zhǎng)度|。=1m的米尺靜止于S系中，與x軸的夾角=30,S系相對(duì)S系沿x軸運(yùn)動(dòng)

45、，在S系中觀測(cè)者測(cè)得米尺與x軸夾角為45.試求：(1)S系和S系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度.(2)S系中測(cè)得的米尺長(zhǎng)度.LxL0COS0.866m，LyLsin0.5m米尺相對(duì)S沿x方向運(yùn)動(dòng),設(shè)速度為v，對(duì)S系中的觀察者測(cè)得米尺在x方向收縮，而y方解：(1)米尺相對(duì)S靜止，它在x,y軸上的投影分別為:則a1。：1(；)2向的長(zhǎng)度不變，即LxtanLy匚LxLy2v2c把45及Lx,Ly代入則得2v2c0.50.8660.816c(2)在S系中測(cè)得米尺長(zhǎng)度為L(zhǎng)ysin450.707m3-5一門(mén)寬為a，今有一固有長(zhǎng)度丨0(1。a)的水平細(xì)桿，在門(mén)外貼近門(mén)的平面內(nèi)沿其長(zhǎng)度方向勻速運(yùn)動(dòng).若站在門(mén)外的觀察者認(rèn)為此桿的兩端可同時(shí)被拉進(jìn)此門(mén)，則該桿相對(duì)于門(mén)的運(yùn)動(dòng)速率u至少為多少？解：門(mén)外觀測(cè)者測(cè)得桿長(zhǎng)為運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度，I|0、：1(-u)2，當(dāng)1a時(shí)，可認(rèn)為能被拉進(jìn)門(mén)，Vc精品文檔解得桿的運(yùn)動(dòng)速率至少為：uc1(J2題3-6圖3-6兩個(gè)慣性系中的觀察者O