matlab第四章

1、1/22小行星軌道計算小行星軌道計算特征值問題及應(yīng)用特征值問題及應(yīng)用離散數(shù)據(jù)的多項式擬合離散數(shù)據(jù)的多項式擬合 人口預(yù)測問題人口預(yù)測問題 線性代數(shù)應(yīng)用實驗線性代數(shù)應(yīng)用實驗2/22約翰約翰開普勒開普勒( (1571年年1630) )以數(shù)學的和諧性探索以數(shù)學的和諧性探索宇宙宇宙, ,繼哥白尼之后第一個站出來捍衛(wèi)太陽中心說。繼哥白尼之后第一個站出來捍衛(wèi)太陽中心說。因創(chuàng)立行星運動定律因創(chuàng)立行星運動定律, ,被稱為被稱為“天上的立法者天上的立法者”。開普勒和行星運動定律開普勒和行星運動定律第三定律：太陽系內(nèi)所有行星公轉(zhuǎn)周期的平方同第三定律：太陽系內(nèi)所有行星公轉(zhuǎn)周期的平方同行星軌道半長徑的立方之比為一常數(shù)。

2、行星軌道半長徑的立方之比為一常數(shù)。第二定律：在橢圓軌道上運行的行星速度不是常第二定律：在橢圓軌道上運行的行星速度不是常數(shù)，而是在相等時間內(nèi)，行星與太陽的連線所掃數(shù)，而是在相等時間內(nèi)，行星與太陽的連線所掃過的面積相等。過的面積相等。第一定律：行星在通過太陽的平面內(nèi)沿橢圓軌道第一定律：行星在通過太陽的平面內(nèi)沿橢圓軌道運行運行, ,太陽位于橢圓的一個焦點上。太陽位于橢圓的一個焦點上。3/22例例4.2 小行星軌道問題小行星軌道問題以太陽為坐標原點觀察小行星以太陽為坐標原點觀察小行星, ,測得坐標數(shù)據(jù)測得坐標數(shù)據(jù)x 4.5596 5.08165.5546 5.96366.2756y 0.8145 1.

3、36851.9895 2.69253.5265a1x12 + 2a2x1y1 + a3 y12 +2a4 x1 + 2a5 y1 = 1a1x22 + 2a2x2y2 + a3 y22 +2a4 x2 + 2a5 y2 = 1a1x32 + 2a2x3y3 + a3 y32 +2a4 x3 + 2a5 y3 = 1a1x42 + 2a2x4y4 + a3 y42 +2a4 x4 + 2a5 y4 = 1a1x52 + 2a2x5y5 + a3 y52 +2a4 x5 + 2a5 y5 = 1橢圓二次曲線方程橢圓二次曲線方程a1x2 + 2a2xy + a3 y2 +2a4 x + 2a5 y

4、+ 1 = 04/22 111112222254321555552544244424332333232222222211211121aaaaayxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxxbAz1 Az = b MATLAB 求解方程組方法：求解方程組方法：Ab創(chuàng)建方程組系數(shù)矩陣方法：創(chuàng)建方程組系數(shù)矩陣方法：A=X.2, 2*X.*Y, Y.2, X, Y 54321xxxxxX 54321yyyyyY5/22X=4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756;Y=0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265;A=X.*X,2*X.*

5、Y,Y.*Y,2*X,2*Y;b=-1;-1;-1;-1;-1;z=Ab;a1=z(1);a2=z(2);a3=z(3);a4=z(4);a5=z(5);syms x yF=a1*x2+2*a2*x*y+a3*y2+2*a4*x+2*a5*y+1;ezplot(F,-1,6.5,-1.5,6)hold on,plot(X,Y,ro)程序文件程序文件 mlab42.m6/22MATLAB解算特征值問題方法解算特征值問題方法lamda=eig(A) 計算計算A的特征值的特征值,這里這里lamda是是A的全部特征值構(gòu)成的列向量。的全部特征值構(gòu)成的列向量。P,D=eig(A) 計算出計算出A的全部特征

6、值和對應(yīng)的特的全部特征值和對應(yīng)的特征向量征向量. 其中其中, D是對角矩陣是對角矩陣,保存矩陣保存矩陣A的全部特征的全部特征值值; P是滿陣是滿陣, P的列向量構(gòu)成對應(yīng)于的列向量構(gòu)成對應(yīng)于D的特征向量組。的特征向量組。矩陣特征值問題矩陣特征值問題A是是n階方陣階方陣,求非零向量求非零向量 和數(shù)和數(shù) 使得使得 A 稱稱 為特征向量為特征向量,稱稱 為特征值為特征值.7/22例例. 簡單遷移模型簡單遷移模型:每年每年A鎮(zhèn)的人口鎮(zhèn)的人口10%遷往遷往B鎮(zhèn)鎮(zhèn);B鎮(zhèn)的鎮(zhèn)的人口人口15%遷往遷往A鎮(zhèn)鎮(zhèn). 假設(shè)某年假設(shè)某年A、B兩鎮(zhèn)人口各有兩鎮(zhèn)人口各有120人人和和80人人.問兩年后兩鎮(zhèn)人口數(shù)量分布如何問兩

7、年后兩鎮(zhèn)人口數(shù)量分布如何? )(2)(1)1(2)1(185. 01 . 015. 09 . 0kkkkxxxx設(shè)兩鎮(zhèn)總?cè)丝诓蛔冊O(shè)兩鎮(zhèn)總?cè)丝诓蛔?人口流動只限于兩鎮(zhèn)之間人口流動只限于兩鎮(zhèn)之間.引入變量引入變量: x1(k) 表示表示 A 鎮(zhèn)第鎮(zhèn)第 k 年人口數(shù)量年人口數(shù)量; x2(k) 表示表示 B 鎮(zhèn)第鎮(zhèn)第 k 年人口數(shù)量年人口數(shù)量. 由第由第 k 年到第年到第 k+1 年兩鎮(zhèn)人口數(shù)量變化規(guī)律如下年兩鎮(zhèn)人口數(shù)量變化規(guī)律如下)(2)(1)1(115. 09 . 0kkkxxx )(2)(1)1(285. 01 . 0kkkxxx X(k+1) = A X(k)8/22A=0.9,0.15;0.

8、1,0.85; X0=120;80;X2=A2*X0D=eig(A) 100100)0(XX(2) =AX(1) =A(AX(0) = A2X(0)120 80X2 =1.000.75D=若若1111 A則則11 15 . 115 . 185. 01 . 015. 09 . 0 x1 + x2 =200 x1 : x2=1.5:1x1 =120 x2= 80 80120)0(X9/22例例4.5 出租汽車問題出租汽車問題。 出租汽車公司在僅有出租汽車公司在僅有A城和城和B城的海島上城的海島上, ,設(shè)了設(shè)了A,B兩兩營營業(yè)部。如果周一業(yè)部。如果周一A城有城有120輛可出租汽車，而輛可出租汽車，而

9、B城有城有150輛。統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，平均每天輛。統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，平均每天A城營業(yè)部汽車的城營業(yè)部汽車的10%被顧客租用開到被顧客租用開到B城城 , ,B城營業(yè)部汽車的城營業(yè)部汽車的12%被被開到了開到了A城。假設(shè)所有汽車正常，試計算一周后兩城的汽車城。假設(shè)所有汽車正常，試計算一周后兩城的汽車數(shù)量。尋找方案使每天汽車正常流動而數(shù)量。尋找方案使每天汽車正常流動而A城和城和B城的汽城的汽車數(shù)量不增不減。車數(shù)量不增不減。 設(shè)第設(shè)第n天天A城營業(yè)部汽車數(shù)為城營業(yè)部汽車數(shù)為x1(n)，B城營業(yè)部汽車數(shù)城營業(yè)部汽車數(shù)為為x2(n)。 則有則有 )(2)(1)1(2)1(188. 01 . 012. 09 . 0

10、nnnnxxxx10/22兩營業(yè)部汽車總數(shù)量兩營業(yè)部汽車總數(shù)量為：為：270 88. 01 . 012. 09 . 0A矩陣矩陣特征值特征值11 特征向量特征向量 1 . 012. 01 x1 + x2 =270 x1 : x2=1.2:1x1 =147x2= 123近似解近似解Cars =147.00 147.06 147.1068 147.1433 147.1718 147.1940 147.2113123.00 122.94 122.8932 122.8567 122.8282 122.8060 122.788711/22X=147;123;A=0.9,0.12;0.1,0.88;Car

11、s=X;for k=1:6 X=A*X; Cars=Cars,X;endCarsfigure(1),bar(Cars(1,:)figure(2),bar(Cars(2,:)1234567050100150123456705010015012/22超定方程組的最小二乘解超定方程組的最小二乘解 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111當方程數(shù)超過未知數(shù)個數(shù)時當方程數(shù)超過未知數(shù)個數(shù)時, ,稱為超定方程組稱為超定方程組超定方程組最小二乘解是使殘差平方和最小的解超定方程組最小二乘解是使殘差平方和最小的解 minjjijinxabxxS1211

12、),(MATLAB求解超定方程組方法和求解一般線性方求解超定方程組方法和求解一般線性方程組方法相同程組方法相同: : x = Ab13/22例例4.9 求超定方程組最小二乘解求超定方程組最小二乘解 1424623531142yxyxyxyxA=2,4;3,-5;1,2;4,2;b=11;3;6;14;X=AbR=b-A*X;S=R*RX = 2.9774 1.2259S = 0.5154 14/22離散數(shù)據(jù)的多項式擬合方法離散數(shù)據(jù)的多項式擬合方法 xx1x2 xm f(x)y1y2 ym求求 n 次多項式次多項式 ( n m ) P(x) = a1xn + a2 xn-1 + + an x +

13、 an+1 使得使得 mjjjnxPyaaS1211)(),(MATLAB求解多項式擬合方法如下求解多項式擬合方法如下: :P =polyfit(x，y，n) 輸出變量輸出變量P是一個具有是一個具有(n+1) 個數(shù)的一維數(shù)組，表示個數(shù)的一維數(shù)組，表示擬合多項式擬合多項式P(x)的系數(shù)的系數(shù)( (多項式降冪排列多項式降冪排列 ) )。 15/22汽車緊急剎車問題數(shù)據(jù)擬合實驗汽車緊急剎車問題數(shù)據(jù)擬合實驗 V表示剎車時汽車行駛速度表示剎車時汽車行駛速度( (英里英里/ /小時小時),),T表示剎車表示剎車后汽車滑行距離后汽車滑行距離( (英尺英尺) ) V 20 25 30 35 40 45 50

14、55 60 65 70 T 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266v=20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70*1.609;T=20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266*.3048;P2=polyfit(v,T,2);T2=polyval(P2,v);R2=sum(T-T2).2)figure(2),plot(v,T,*,v,T2)P3=polyfit(v,T,3);T3=polyval(P3,v);R3=sum(T-T3).2)figure(3),plot(v,T,*,v,T3)R3 = 0.408

15、0R2 = 1.963416/22人口預(yù)測問題人口預(yù)測問題據(jù)統(tǒng)計，上世紀六十年代世界人口數(shù)據(jù)如下?lián)y(tǒng)計，上世紀六十年代世界人口數(shù)據(jù)如下 年年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968(億億) 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.2 34.83分析：根據(jù)馬爾薩斯人口理論分析：根據(jù)馬爾薩斯人口理論 , ,人口增長率與人口人口增長率與人口數(shù)量數(shù)量N成正比，用微分方程描述為成正比，用微分方程描述為aNdtdN N(t) = exp( a t + b ) ln N = a t + b (1)對數(shù)變換：對

16、數(shù)變換：y=log(N)(2)線性擬合線性擬合： E=polyfit(T,y,1)(3)計算函數(shù)計算函數(shù):PE=exp(polyval(E,T)17/22中國人口數(shù)據(jù)資料中國人口數(shù)據(jù)資料(單位單位:億億)T 1991 1992 1993 1994 1995 1996N 11.58 11.72 11.85 11.98 12.11 12.24線性函數(shù)擬合線性函數(shù)擬合N(t) = a1 t + a2(3) 求殘差平方和求殘差平方和 r2=sum(N-LT).2)(1) 求求 L= a1 , a2 L= polyfit(T,N,1)(2) 求線性函數(shù)值求線性函數(shù)值 LT=polyval(L,T)199

17、11992199319941995199611.51212.518/22T=1991:1996;N=11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24;figure(1),bar(T,N)L=polyfit(T,N,1)LT=polyval(L,T);figure(2),plot(T,N,o,T,LT)r2=sum(N-LT).2)L2009=polyval(L,2009)中國人口數(shù)據(jù)的線性擬合實驗中國人口數(shù)據(jù)的線性擬合實驗r2 = 4.7619e-005L2009 = 13.950519911992199319941995199605101519/22中國人口數(shù)

18、據(jù)的指數(shù)函數(shù)擬合實驗中國人口數(shù)據(jù)的指數(shù)函數(shù)擬合實驗T=1991:1996;N=11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24;y=log(N);E=polyfit(T,y,1);PE=exp(polyval(E,T);figure(1),plot(T,N,o,T,PE)R2=sum(N-PE).2)Te=1990:4:2011PE1=exp(polyval(E,Te)figure(2),bar(Te,PE1)19911992199319941995199611.51212.51990199419982002 20062010051015PE1 =11.4599 11.9771 12.5177 13.0827 13.6731 14.290220/22思考題與練習題思考題與練習題1.對于指數(shù)函數(shù)的人口模型，如果不采用對數(shù)變換，對于指數(shù)函數(shù)的人口模型，如果不采用對數(shù)變換，是否可以求解數(shù)據(jù)擬合問題是否可以求解數(shù)據(jù)擬合問題?2. 用線性函數(shù)與指數(shù)函數(shù)兩種模型對中國人口數(shù)據(jù)用線性函數(shù)與指數(shù)函數(shù)兩種模型對中國人口數(shù)據(jù)進行擬合的結(jié)果差異是否很大？哪一種模型的殘差進行擬合的結(jié)果差異是否很大？哪一種模型的殘差平方和更小平方和更小？ 3.用馬爾薩斯模型預(yù)測中國人口達到用馬爾薩斯模型預(yù)測中國人口達到20億，將會在多億，將會在多少年以后發(fā)生？少年以后發(fā)生？以