第二章 能力守恒定律

1、2-4-1 功和功率 功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對空間積累作用。功的定義： 在力 的作用下，物體發(fā)生了位移 ，則把力在位移方向的分力與位移 的乘積稱為功功。FrrxyzO1rrFFrFrFcosW國際單位：焦耳（J ）NmabFrd 質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中，變力變力 所作的功 。F元功：rFWddbabarFrFWddcos（恒力的功）（恒力的功）合力的功：rFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21結(jié)論：合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個(gè)分力對質(zhì)點(diǎn)作功之代數(shù)和 。在直角坐標(biāo)系Oxyz中 kFjFiFFzyxk zj yi xr zFyFxFkzj y

2、i xkFjFiFrFWzybaxbazyxbaxxddddddd功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：平均功率：tWP瞬時(shí)功率：ttWPtddWlim0瓦特（W）=（J/s）vFtrFtWPdddd功率大小等于力矢量與速度矢量的標(biāo)積。設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力F=6t（N）。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng)，在頭2（s）內(nèi)這力作了多少功？ttmFa326taddvtttad3ddvttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2 v20420249d236dttttxFW)(36J2-4-2 動(dòng)能和動(dòng)能定理 221vmEk單位：（J）設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在力的作用下沿曲線從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)s

3、FrFWdddcosrdFab1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 )(21dd212221vvvvvvmmWW1221222121kkEEmmWvvvvvdddddcosdmstmsFWtmmaFtddvcos運(yùn)用動(dòng)能定理的幾點(diǎn)說明（課本p53）2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 iFif一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，考察第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)。 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理： iiEE1k2k內(nèi)外iiWW對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外內(nèi)12kkEE外內(nèi)WW質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力作功之代數(shù)和。 內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)能。 例例2 如圖所示，用質(zhì)量為M的鐵錘把質(zhì)

4、量為m的釘子敲入木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時(shí)，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？1S2SxO設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為v0，敲打后兩者的共同速度為v。 vv)(0mMMmMM0vv鐵錘第一次敲打時(shí)，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力大小為： kxf由動(dòng)能定理， 有：2102021d2101kSxkxmSv0vv ,mMSSSxkxm11d21020v設(shè)鐵錘第二次敲打時(shí)能敲入的深度為S ，則有212121)(21kSSSk21212)(SSS112SSS化簡后第二次能敲入的深度為： cm41. 0cm

5、1) 12(211SSS2-4-3 保守力與非保守力 勢能（1）重力的功）重力的功bzazxyzOabrgm),(aaazyxa初始位置),(bbbzyxb末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力做功僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置za和zb，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的具體路徑無關(guān)。 （2） 萬有引力作功萬有引力作功 設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在M 的引力場中從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。rerMmGF20barrrrerMmGWd20rrrerdcosddrrdrrdcrdMabarbrbarrrrMmGrrMmGWba11d020 萬有引力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置

6、有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。 （3）彈性力的功）彈性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與彈性變形的過程無關(guān)。作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。0drFabcdadbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWW物體在保守力場中a、b兩點(diǎn)的勢能Epa與 Epb之差，等于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)過程中保守力所做的功Wab。abbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(由物體的相對位置所

7、確定的系統(tǒng)能量稱為勢能（Ep）（1）勢能是一個(gè)系統(tǒng)的屬性。（2）（3）勢能的零點(diǎn)可以任意選取。 設(shè)空間r0點(diǎn)為勢能的零點(diǎn)，則空間任意一點(diǎn) r的勢能為：orropprFrErErEd)()()( 空間某點(diǎn)的勢能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動(dòng)到勢能零點(diǎn)時(shí)保守力做的功。xE p0保守力保守力重力重力彈力彈力引力引力勢能（勢能（E p ）勢能零點(diǎn)勢能零點(diǎn)勢能曲線勢能曲線mgh221kxrmMG h = 0 x = 0r = hE p0rE p0保守力做功與勢能的積分關(guān)系：pEW保守力與勢能的微分關(guān)系：pEWddzFyFxFrFdWzyxddddzzEyyExxEEzyppdddd勢能作為空間位置的函數(shù)

8、，其微分形式可以表示為：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式： 保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向指向勢能降低的方向。 結(jié)論：2-4-4 機(jī)械能守恒定律12ppEEW保內(nèi)12kkEE外內(nèi)WW質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：非保內(nèi)保內(nèi)內(nèi)WWW其中12kkEEWWW非保內(nèi)保內(nèi)外 1p1k2p2kEEEEWW非保內(nèi)外pkEEE機(jī)械能12EEWW非保內(nèi)外 質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。 質(zhì)點(diǎn)系的功能原理0外W如果0非保內(nèi)W，pkEEE恒量 當(dāng)系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能保持不變。機(jī)械

9、能守恒定律 注意：（1）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非慣性系。這是因?yàn)閼T性力可能作功。（2）在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系中機(jī)械能不一定守恒。這是因?yàn)橥饬Φ墓εc參考系的選擇有關(guān)。對一個(gè)參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。注意：注意：動(dòng)量、角動(dòng)量、能量守恒定律動(dòng)量、角動(dòng)量、能量守恒定律彼此獨(dú)立彼此獨(dú)立. . 0cpF外 0cLM 外外0非保內(nèi)外WWE = c例例3 3 傳送帶沿斜面向上運(yùn)行速度為v = 1m/s，設(shè)物料無初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為M = 50kg/s，并被輸送到高度h = 5m處，求配置的電動(dòng)機(jī)所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能

10、量損失）hv解：解：在t時(shí)間內(nèi)，質(zhì)量為Mt的物料落到皮帶上，并獲得速度v 。t內(nèi)系統(tǒng)動(dòng)能的增量：0212vtMEki重力做功：ghtMW電動(dòng)機(jī)對系統(tǒng)做的功：tP由動(dòng)能定理：221vtMghtMtPW247558 . 92150222ghMPv例4 一長度為2l的均質(zhì)鏈條，平衡地懸掛在一光滑圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動(dòng)，求當(dāng)鏈條離開木釘時(shí)的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕┙庠O(shè)單位長度的質(zhì)量為l 2lOOcc始末兩態(tài)的中心分別為c和c機(jī)械能守恒： 2221222vlglllg l解得lgv例例5 5、計(jì)算第一，第二宇宙速度計(jì)算第一，第二宇宙速度已知：地球半徑為R，質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使衛(wèi)星在距

11、地面h高度繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求其發(fā)射速度。解：解：設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運(yùn)動(dòng)速度為v。機(jī)械能守恒：hRMmGmRMmGm2212121vvRMm由萬有引力定律和牛頓定律：hRmhRMmG22v解方程組，得：hRGMRGM21v2RmMGmg gRRGM代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131109 . 7smgRv宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度（1）脫離地球引力時(shí)，飛船的動(dòng)能必須大于或至少 等于零。由機(jī)械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：解得：1312102 .11222smgRRGMvv（2）脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。2-4-5 碰撞 兩個(gè)或兩

12、個(gè)以上的物體在運(yùn)動(dòng)中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱為碰撞碰撞。 1m1m2m2m1m10v20v1v2vxO動(dòng)量守恒2211202101vvvvmmmm完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能沒有損失。 非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失。 完全非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失，且碰撞后物體以同一速度運(yùn)動(dòng)。 1. 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1) 如果m1= m2 ，則v1

13、 = v20 ，v2 = v10，即兩物體在碰撞時(shí)速度發(fā)生了交換。 (2) 如果v20 =0 , 且 m2 m1, 則v1 = - v10, v2 = 02完全完全非非彈性碰撞彈性碰撞 21202101mmmmvvv由動(dòng)量守恒定律完全非彈性碰撞中動(dòng)能的損失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvv牛頓的碰撞定律：在一維對心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度 v2- v1 與碰撞前兩物體的接近速度 v10- v20 成正比，比值由兩物體的材料性質(zhì)決定。 3非非彈性碰撞彈性碰撞201012vvvve e 為恢復(fù)系數(shù) e = 0，則v2 = v1

14、，為完全非彈性碰撞。 e =1，則分離速度等于接近速度，為完全彈性碰撞。 一般非彈性碰撞碰撞：0 e 1 例例 如圖所示的裝置稱為沖擊擺如圖所示的裝置稱為沖擊擺, , 可用它來測定子彈的速度。可用它來測定子彈的速度。質(zhì)量為質(zhì)量為M M的木塊被懸掛在長度為的木塊被懸掛在長度為l l的細(xì)繩下端的細(xì)繩下端, , 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m的子的子彈沿水平方向以速度彈沿水平方向以速度v v射中木塊射中木塊, , 并停留在其中。木塊受到?jīng)_并停留在其中。木塊受到?jīng)_擊而向斜上方擺動(dòng)擊而向斜上方擺動(dòng), , 當(dāng)?shù)竭_(dá)最高位置時(shí)當(dāng)?shù)竭_(dá)最高位置時(shí), , 木塊的水平位移為木塊的水平位移為s s。試確定子彈的速度。試確定子彈

15、的速度。 sMlvmsMlvm解：根據(jù)動(dòng)量守恒定律得解：根據(jù)動(dòng)量守恒定律得uMmmv)( 根據(jù)機(jī)械能守恒定律得根據(jù)機(jī)械能守恒定律得ghMmuMm)()(212 22sllh- 由圖知由圖知解以上三方程的聯(lián)立方程組得解以上三方程的聯(lián)立方程組得)(222sllgmMmv- 總結(jié)動(dòng)量動(dòng)量 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律能量能量 能量守恒定律能量守恒定律運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)（第一章（第一章 運(yùn)動(dòng)的描述）運(yùn)動(dòng)的描述）動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué) 第二章第二章（運(yùn)動(dòng)的度量運(yùn)動(dòng)的度量）特點(diǎn)：特點(diǎn)：以守恒量和守恒定律為中心。以守恒量和守恒定律為中心。牛頓定律牛頓定律碰撞碰撞牛頓定律牛頓定律1、牛頓

16、三定律2、牛頓三定律的應(yīng)用 解題步驟：（1）確定研究對象。對于物體系，畫出隔離圖。（2）進(jìn)行受力分析，畫出示力圖。（3）建立坐標(biāo)系（4）對各隔離體建立牛頓運(yùn)動(dòng)方程（分量式）（5）解方程。進(jìn)行文字運(yùn)算，然后代入數(shù)據(jù)質(zhì)量質(zhì)量速度速度動(dòng)量的時(shí)動(dòng)量的時(shí)間變化率間變化率動(dòng)量動(dòng)量定理定理動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒定律定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律動(dòng)量動(dòng)量動(dòng)量動(dòng)量 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的時(shí)間變化率 )cv(Famtvmtvmtp dddddd質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的合力質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的合力牛頓第二定律的一般形式牛頓第二定律的一般形式amF 特特 例例常常量量

17、mcv,tpFdd 角動(dòng)量角動(dòng)量角動(dòng)量時(shí)角動(dòng)量時(shí)間變化率間變化率力矩力矩角動(dòng)量角動(dòng)量定理定理角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律時(shí)時(shí)，得得：當(dāng)當(dāng)外外0 M L恒矢量恒矢量由角動(dòng)量定理：由角動(dòng)量定理：tLMdd 外外對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體：當(dāng)對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體：當(dāng)0ZM時(shí)，時(shí)，恒量ZL重點(diǎn)重點(diǎn):概念：概念：動(dòng)能，功，保守力，勢能，動(dòng)能，功，保守力，勢能，規(guī)律：規(guī)律：動(dòng)能定理，功能原理，機(jī)械能守恒定律動(dòng)能定理，功能原理，機(jī)械能守恒定律能量能量 能量守恒定律能量守恒定律動(dòng)動(dòng)能能動(dòng)能動(dòng)能定理定理功能功能原理原理機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒定律定律 能量守恒定律能量守恒定律動(dòng)動(dòng) 能能 變化

18、變化 功功 勢勢 能能保守力保守力 機(jī)械功機(jī)械功 例例1：一長為：一長為l，密度均勻的柔軟鏈條，其單位長度的質(zhì)量，密度均勻的柔軟鏈條，其單位長度的質(zhì)量為為 ，將其卷成一堆放在地面上，如圖所示。若用手握住，將其卷成一堆放在地面上，如圖所示。若用手握住鏈條的一端，以加速度鏈條的一端，以加速度a從靜止勻加速上提。當(dāng)鏈條端點(diǎn)從靜止勻加速上提。當(dāng)鏈條端點(diǎn)離地面的高度為離地面的高度為x時(shí)，求手提力的大小。時(shí)，求手提力的大小。解：解：以鏈條為系統(tǒng)，向上為以鏈條為系統(tǒng)，向上為X X正向，地面為原點(diǎn)建立正向，地面為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。t時(shí)刻，系統(tǒng)總動(dòng)量時(shí)刻，系統(tǒng)總動(dòng)量xvPtxvtPd)(dddtvxtxv

19、ddddaxv2Fg)(xlaOxXgxNFaxaxtP 2ddax3 t t時(shí)刻，系統(tǒng)受合外力時(shí)刻，系統(tǒng)受合外力g)(xlgxlNxgF)( xgFtPxgFdd aOxXgxN系統(tǒng)動(dòng)量對時(shí)間的變化率為：系統(tǒng)動(dòng)量對時(shí)間的變化率為：根據(jù)動(dòng)量定理，得到根據(jù)動(dòng)量定理，得到ax3 xaxgF3 例題例題2-28 一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m及及的的M物體物體A和和B， M大于大于m。B靜止在地面上，當(dāng)靜止在地面上，當(dāng)A自由下自由下落距離落距離h后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時(shí)兩物體后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度，以及能上升的最大高度。的

20、速度，以及能上升的最大高度。MmBAh解：以物體解：以物體A和和B為系統(tǒng)作為為系統(tǒng)作為研究對象，采用隔離法分析受研究對象，采用隔離法分析受力，作出繩拉緊時(shí)的受力圖：力，作出繩拉緊時(shí)的受力圖：Agm1TBgM2T 繩子剛好拉緊前的瞬間，繩子剛好拉緊前的瞬間，物體物體A的速度為：的速度為：ghv2 取豎直向上為正方向。取豎直向上為正方向。 繩子拉緊后，經(jīng)過短暫時(shí)間的作用，兩繩子拉緊后，經(jīng)過短暫時(shí)間的作用，兩物體速率相等，對兩個(gè)物體分別應(yīng)用動(dòng)量物體速率相等，對兩個(gè)物體分別應(yīng)用動(dòng)量定理，得到：定理，得到：)()(1mvmVtmgT 0)(2MVtMgT忽略重力，考慮到繩不可伸長，有：忽略重力，考慮到繩

21、不可伸長，有：21TT 解得：解得：mMghmV 2當(dāng)物體當(dāng)物體B上升速度為零時(shí)，達(dá)到最大高度上升速度為零時(shí)，達(dá)到最大高度022 VaHgmMmMa 222mMhmH Agm1TBgM2T圖 3-19切線m0pEsddcABrFgmvo水平BAsdFW解：方法一方法一按功定義在任一點(diǎn)c處，切線方向的牛頓第二定律方程為dtdvmmaFmgtrcoscosmgdtdvmFrmvR槽半徑為求從AB過程中如圖示，質(zhì)量為的物體， 從四分之一圓槽由A點(diǎn)靜止開始下滑到B，在B處速率為摩擦力做的功。，。例2cossdFsdFWBArBAr BABArdsdtdvmcosmgdsFBABAdsmgdsdtdvm

22、cos200cosRdmgvdvmvmgRmv 221圖 3-19切線m0pEsddcABrFgmvo水平方法二方法二用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理mNrFgm受三個(gè)力，2122mv21mv21W合由0mv21WWW2prN得)mghEW(mv21mgRW0pp2r即 mgRmv21W2r 圖 3-19切線m0pEsddcABrFgmvo水平m0非保內(nèi)W00mgRmv210W2rmgRmv21W2r方法三方法三用功能原理取m、地為系統(tǒng)， 無非保守內(nèi)力 外FrWW外N的功為（不作功） 1p1k2p2kEEEEWW非保守外由圖 3-19切線m0pEsddcABrFgmvo水平例例3 3 均勻鏈均勻鏈 m , 長長

23、 l 置于光滑桌面上置于光滑桌面上,下垂部分長下垂部分長 0.2 l ,施力將其緩慢拉回桌面施力將其緩慢拉回桌面.(用兩種方法求出此過程中外力所做的功用兩種方法求出此過程中外力所做的功.)1.1.用變力做功計(jì)算用變力做功計(jì)算2. 用保守力做功與勢能變化的關(guān)系計(jì)算用保守力做功與勢能變化的關(guān)系計(jì)算0.8 l0.2 l0 mxF解一解一: :用變力做功計(jì)算用變力做功計(jì)算glmxG 50dd020mglxxlmgxFAl.G 50mglAAGF 0.8 l0.2 l0 mxF光滑平面光滑平面, ,緩慢拉回緩慢拉回, ,則拉力與則拉力與鏈下垂部分重力大小相等。鏈下垂部分重力大小相等。設(shè)下垂部分長為設(shè)下垂部分長為 , ,質(zhì)量質(zhì)量為為 ，以向下為正：，以向下為正：lxm x解二解二: :用保守力做功與勢能變用保守力做功與勢能變化的關(guān)系計(jì)算化的關(guān)系計(jì)算令桌面令桌面 初態(tài)初態(tài): :末態(tài)末態(tài): : 重力做功重力做功: :外力功外力功: : 0p E5010551pmgllmghmgEc 02p E 501p2ppmglEEEA 50mglAA 0.8 l0.2 l0 mxF例、一鏈條總長為例、一鏈條總長為L，