平面任意力系 簡化與平衡

1、力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不完全力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不完全交于一點也不完全相互平行分布交于一點也不完全相互平行分布平面任意力系：平面任意力系：本章討論平面任意力系的簡化（合成）與平衡問題本章討論平面任意力系的簡化（合成）與平衡問題平面任意力系實例平面任意力系實例FBAdFFFBdAFMBA BMFdMF第一節(jié)第一節(jié) 平面任意力系向一點的簡化平面任意力系向一點的簡化 作用于剛體上的力可等效地平移至任一指定點，但必須附加一力作用于剛體上的力可等效地平移至任一指定點，但必須附加一力一、力的平移定理一、力的平移定理偶，附加力偶的矩就等于原力對指定點的矩偶，附加力偶的矩就等于原力對

2、指定點的矩反之：同一平面內(nèi)的一個力和一個力偶可以合成為一個力反之：同一平面內(nèi)的一個力和一個力偶可以合成為一個力 FF2FnF1F3FOO二、平面任意力系向一點的簡化二、平面任意力系向一點的簡化 ORFOM1F2FnF1M2MnM11OMMF22OMMFOnnMMF11FF22FFnnFF3F3M33OMMF33FFO1F2FnF11FF22FFnnFF3F33FFO1M2MnM11OMMF22OMMFOnnMMF3M33OMMFORFOOMRiiFFF OiOiMMMF2FnF1F3FOO平面任意力系向其作用面內(nèi)任一點平面任意力系向其作用面內(nèi)任一點 O 簡化，結(jié)果一般為一個力和簡化，結(jié)果一般為

3、一個力和一個力偶。一個力偶。矢；矢；稱為原力系的主矩。稱為原力系的主矩。RiFF 主矢：主矢： 主矩：主矩： OOiMMF2）主矩與簡化中心的選擇有關(guān)）主矩與簡化中心的選擇有關(guān)說明：說明：1）主矢與簡化中心的選擇無關(guān)）主矢與簡化中心的選擇無關(guān)ORFOM1F2FnF1M2MnM11OMMF22OMMFOnnMMF該力矢等于原力系中各力的矢量和，稱為原力系的主該力矢等于原力系中各力的矢量和，稱為原力系的主該力偶的矩等于原力系中各力對簡化中心該力偶的矩等于原力系中各力對簡化中心 O 的矩的代數(shù)和，的矩的代數(shù)和，11FF22FFnnFF3F3M33OMMF33FFyxO1O2F2F1F4F3例 如圖中

4、所示一個平面任意力系，其中F1=F， F2=22F，F(xiàn)3=2F，F(xiàn)4=3F，圖中每格距離為，圖中每格距離為a，求：1）力系分別向O1和O2的簡化結(jié)果。三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論 R0F 1）但但 MO 0 ：原力系合成為一個合力偶原力系合成為一個合力偶2FnF1F3FOOMRF三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論 ORFR0F 2）但但 MO = 0 ：的合力的合力原力系合成為一個作用線通過簡化中心原力系合成為一個作用線通過簡化中心 OOM2FnF1F3F3）R0F 且且 MO 0 ：O 的合力的合力原力系合成為一個作用線不通過簡化中心

5、原力系合成為一個作用線不通過簡化中心ORFRFRFRFMdOd三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論 2FnF1F3FOOMRF三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論 R0F 4）且且 MO = 0 yxO1O2F2F1F4F3補充例1 如圖中所示一個平面任意力系，其中F1=F， F2=22F，F(xiàn)3=2F，F(xiàn)4=3F，圖中每格距離為，圖中每格距離為a，求：1）力系分別向O1和O2的簡化結(jié)果；2）力系簡化的最終結(jié)果。yxO1O2FR補充例2 在正方形木板上作用三個大小均為F的力，此三力首尾連接構(gòu)成一邊長為a的等邊三角形， 求此力系合力。1F2F3FAB

6、CMlqAB2. 分布載荷的合成結(jié)果分布載荷的合成結(jié)果四、若干重要結(jié)論四、若干重要結(jié)論1. 平面固定端的約束力平面固定端的約束力平面固定端的約束力可表達為一對正交約束力和一個約束力偶平面固定端的約束力可表達為一對正交約束力和一個約束力偶qqlF/2llqAB2 /3l/2qqlFAAxFAyFAMAAMAF均布載荷均布載荷線性分布載荷線性分布載荷三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論 RiiFFF OiOiMMMFR0F R0F 4）且且0OM0OMRxixixFFFRyiyiyFFF0ixF 0iyF 0OiMF第二節(jié)第二節(jié) 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程

7、 一、平面任意力系的平衡方程一、平面任意力系的平衡方程 1. 基本形式基本形式0ixF 0iyF 0OiMF1）可解）可解 3 個未知量個未知量說明：說明：兩投影一矩式兩投影一矩式 2）投影軸與矩心位置均可任意選擇）投影軸與矩心位置均可任意選擇0ixF 0BiMF2. 一投影兩矩式一投影兩矩式 0AiMF其中，其中，A、B 兩點連線不垂直于兩點連線不垂直于 x 軸軸0CiMF3. 三矩式三矩式0BiMF其中，其中，A、B、C 三點不共線三點不共線0AiMF二、平面平行力系的平衡方程二、平面平行力系的平衡方程nFxyiF2F1FO1. 基本形式基本形式0iyF 0OiMF2. 兩矩式兩矩式0Bi

8、MF0AiMF其中，其中，A、B 兩點連線不平行于兩點連線不平行于 y 軸軸1）可解）可解 2 個未知量個未知量說明：說明：2）矩心位置可任意選擇）矩心位置可任意選擇一投影一矩式一投影一矩式 BAqMFAyFAxFAM例例2 如圖，懸臂梁如圖，懸臂梁 AB 上作用有矩為上作用有矩為 M 的力偶和集度為的力偶和集度為 q 的均的均布載荷，在梁的自由端還受一集中力布載荷，在梁的自由端還受一集中力 F 的作用，梁長為的作用，梁長為 l ，試求，試求固定端固定端 A 處的約束力。處的約束力。 解：解：2）受力分析）受力分析BqlAMFa1）選取梁）選取梁 AB 為研究對象為研究對象3）選取坐標軸，列平

9、衡方程）選取坐標軸，列平衡方程0,ixF0,i yF()0,AiMF4）求解未知量）求解未知量0AxFAyFqlF22AqlMFlMBqlAMFaBAqMFAyFAxFAMqlxyO0AxF0AyFqlF02AlMqlFlM解得固定端解得固定端 A 處的約束力處的約束力BCA例例3 外伸梁外伸梁 AB 如圖所示，沿全長有均布載荷如圖所示，沿全長有均布載荷 q = 8 kN/m 作用，兩作用，兩支座中間有一集中力支座中間有一集中力 F = 8 kN 作用。已知作用。已知 a = 1 m ，若不計梁自重，若不計梁自重，試求鉸支座試求鉸支座 C、B 的約束力。的約束力。解：解：1）選?。┻x取外伸梁外

10、伸梁 AB 為研究對象為研究對象2）受力分析）受力分析CFqFBF3）選取坐標軸，列平衡方程）選取坐標軸，列平衡方程y()0,CiMF0,iyF2302BaFaF aqa30CBFFqaF4）求解未知量）求解未知量解得解得鉸支座鉸支座 C、B 的約束力的約束力分別為分別為10kNBF 22kNCF 3qaaqFaaCBAAB解：解：例例2-4 如圖，重如圖，重 P = 5 kN 的電動機放在水平梁的電動機放在水平梁 AB 的中央，梁的的中央，梁的 A 端受固定鉸支座的約束，端受固定鉸支座的約束，B 端以撐桿端以撐桿BC 支持。若不計梁與撐桿自重，支持。若不計梁與撐桿自重，試求鉸支座試求鉸支座

11、A 處的約束力以及撐桿處的約束力以及撐桿 BC 所受的力。所受的力。Pl/2lBAC30PAFBCFD2）受力分析）受力分析1）選取）選取 AB 梁梁（包括電動機）（包括電動機）為研究對象為研究對象ABPAFBCFD300,iyF 0,ixF 4）求解未知量）求解未知量5kNBCF解得解得FBC 為正值，表示其假設(shè)方向與實際方向相同，即桿為正值，表示其假設(shè)方向與實際方向相同，即桿 BC 受壓；受壓；而而 FA 為負值，則表明其假設(shè)方向與實際方向相反。為負值，則表明其假設(shè)方向與實際方向相反。3）選）選取坐標取坐標軸軸，列平衡方程列平衡方程yxcos30cos300ABCFFsin30sin300

12、ABCFFP5kNAF AB解：解：例例2-4 如圖，重如圖，重 P = 5 kN 的電動機放在水平梁的電動機放在水平梁 AB 的中央，梁的的中央，梁的 A 端受固定鉸支座的約束，端受固定鉸支座的約束，B 端以撐桿端以撐桿BC 支持。若不計梁與撐桿自重，支持。若不計梁與撐桿自重，試求鉸支座試求鉸支座 A 處的約束力以及撐桿處的約束力以及撐桿 BC 所受的力。所受的力。Pl/2lBAC30PBCF2）受力分析）受力分析1）選取）選取 AB 梁梁（包括電動機）（包括電動機）為研究對象為研究對象AxFAyF0,iyF 0,ixF 4）求解未知量）求解未知量5kNBCF解得解得3）選）選取坐標取坐標軸

13、軸，列平衡方程列平衡方程yxcos300AxBCFFsin300AyBCFFP5 3kN2AxF ABPBCFAxFAyF0,AMsin3002BCABFABP5kN2AyFDADB例例4 一重一重 P = 1.8 kN 的物塊懸掛在圖示構(gòu)架上。已知的物塊懸掛在圖示構(gòu)架上。已知 = 45，若，若不計構(gòu)架自重，試求支座不計構(gòu)架自重，試求支座 A 處的約束力以及桿處的約束力以及桿 BC 所受的力。所受的力。 解：解：2）受力分析）受力分析PAxFAyFBFTFrBADCP1m2m3m1）選取滑輪、桿）選取滑輪、桿 AB 與物塊組成的系統(tǒng)為研究對象與物塊組成的系統(tǒng)為研究對象ADBPAxFAyFBFT

14、F1m2m3m()0,AiMFTsin456310BFPF ()0,BiMFT6310AyFPF 0,ixFTcos450AxBFFF4）求解未知量）求解未知量2.4 kNAxF1.2 kNAyF0.85 kNBF 桿桿 BC 所受的力與所受的力與 FB 是作用力與反作用力的關(guān)系，即桿是作用力與反作用力的關(guān)系，即桿 BC 所受的所受的力為力為 0.85 kN，是拉力，是拉力3）選取坐標軸，列平衡方程）選取坐標軸，列平衡方程xy解得解得AB302m3m2m3m45BMA123F30例例5 橫梁橫梁 AB 用三根桿支撐，受圖示載荷。已知用三根桿支撐，受圖示載荷。已知 F = 10 kN， M =

15、50 kNm，若不計構(gòu)件自重，試求三桿，若不計構(gòu)件自重，試求三桿 所受的力。所受的力。 FM451F2F3F解：解：2）受力分析）受力分析1）選取橫梁）選取橫梁 AB 為研究對象為研究對象xy3）選取坐標軸，列平衡方程）選取坐標軸，列平衡方程()0,CiMF37sin302cos3050FFFM 0,ixF2cos45sin300FF0,iyF123sin45cos300FFFF4）求解未知量）求解未知量解得三桿所受的力分別為解得三桿所受的力分別為1()5.33kNF 壓2()7.07 kNF 拉3()8.33kNF 壓說明：說明：F30M45ABCD1F2F3F還可利用平衡方程還可利用平衡方

16、程MD ( Fi ) = 0 校核上述計算結(jié)果校核上述計算結(jié)果例例6 圖示塔式起重機，已知機架自重為圖示塔式起重機，已知機架自重為 G，作用線距右軌，作用線距右軌 B為為 e ；滿載時荷重為滿載時荷重為 P ，距右軌，距右軌 B 為為 l ；平衡塊重為；平衡塊重為 W ，距左軌，距左軌 A 為為 a ；軌道軌道 A、B 的間距為的間距為 b 。要保證起重機在空載和滿載時都不翻倒，試。要保證起重機在空載和滿載時都不翻倒，試問平衡塊重問平衡塊重 W 應為多少？應為多少？解：解：1）確定空載時平衡塊的重量）確定空載時平衡塊的重量當空載時，當空載時，P = 0。為使起重機不。為使起重機不繞點繞點 A 翻倒，必須滿足翻倒，必須滿足FB 0()0,AiMF0BFbG ebW a 解得解得1BFG ebW ab列平衡方程列平衡方程 BFeGCalPWABb選取起重機整體為研究對象選取起重機整體為研究對象受力分析受力分析AF WG eba0,iBMF0AFb W abG eP l 解得解得1AFW abG eP lb 將其代入條件將其代入條件 FB 0，即，即得空載時平衡塊的重量應滿足得空載時平衡塊的重量應滿足2