數(shù)值分析6數(shù)值積分PPT學習教案

1、數(shù)值分析數(shù)值分析6數(shù)值積分數(shù)值積分第1頁/共45頁依據(jù)積分中值定理，對于連續(xù)函數(shù)依據(jù)積分中值定理，對于連續(xù)函數(shù) f（x），在），在a，b內(nèi)存在一點內(nèi)存在一點，成立，成立 就是說，底為就是說，底為 b- a 而高為而高為 f（）的矩形面積恰等于所求曲邊梯形的面積）的矩形面積恰等于所求曲邊梯形的面積 I.問題在于點問題在于點 的具體位置一般是不知道的，因而難以準確地算出的具體位置一般是不知道的，因而難以準確地算出 f（）的值）的值.我們稱我們稱 f（ ）為區(qū)間）為區(qū)間 a，b上的平均高度上的平均高度.這樣，只要對平均高度這樣，只要對平均高度 f（）提供一種算法，相應地便獲得一種數(shù)值求積方法）提供一

2、種算法，相應地便獲得一種數(shù)值求積方法. bafabdxxf)()()( 第2頁/共45頁 分別用分別用 f (a)，f (b) 和和 近似近似 f ( ) 可得可得2)(baf)()(d)(afabxxfba)()(d)(bfabxxfbababafabxxf2)(d)(左矩形公式左矩形公式右矩形公式右矩形公式中中矩形公式矩形公式第3頁/共45頁 若用若用 f (a) 和和 f (b) 的算術(shù)平均值近似的算術(shù)平均值近似 f ( )，則可則可得得)()(2)(d)(bfafabxxfba 梯形公式梯形公式 若用若用 f (a) , f (a+b/2)和和 f (b) 的加權(quán)平均值近似的加權(quán)平均值

3、近似 f ( )， 則可得則可得)()2(4)(6)(d)(bfbafafabxxfba 辛甫生公式辛甫生公式第4頁/共45頁q 更一般地，可以用更一般地，可以用 f (x) 在在 a, b 上的一些離散點上的一些離散點上的值上的值加權(quán)平均加權(quán)平均作為作為 f ( ) 的近似值，從而構(gòu)造出的近似值，從而構(gòu)造出nkkkbaxfAxxf0)(d)(求積節(jié)點求積節(jié)點求積系數(shù)求積系數(shù)機械求積法機械求積法：求積系數(shù)僅僅與結(jié)點求積系數(shù)僅僅與結(jié)點xk的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)f(x)的具體形式的具體形式第5頁/共45頁第6頁/共45頁定義定義如果對于所有次數(shù)不超過如果對于所

4、有次數(shù)不超過 m 的多項式的多項式 f (x) ，公式，公式精確成立，但對于某一次數(shù)為精確成立，但對于某一次數(shù)為 m+1 的多項式不精確成的多項式不精確成立，則稱該求積公式的代數(shù)精度為立，則稱該求積公式的代數(shù)精度為 m 次。次。 nkkkbaxfAxxf0)(d)(q 要要驗證一個求積公式具有驗證一個求積公式具有 m 次代數(shù)精度，只需驗證次代數(shù)精度，只需驗證對對 f (x)1, x, x2, , xm 精確成立，但對精確成立，但對 f (x)xm+1 不不精確成立即可，即：精確成立即可，即： 2d 1d 22101110mabxxxAkabxxxAmmbamnkmkkkkbaknkkkk( k

5、 = 0, 1, , m )第7頁/共45頁已知：求積公式對于已知：求積公式對于xk（k=0，1，m）均能準確成立）均能準確成立求證：求積公式對于對于次數(shù)不超過求證：求積公式對于對于次數(shù)不超過m的多項式均能準確成立的多項式均能準確成立證明：證明： 由已知條件知由已知條件知 njkjjnjjjbakbaxAxfAdxxdxxf00)()(（k=0，1，m）證明兩種說法的等價性證明兩種說法的等價性第8頁/共45頁則njjjnjmjmjjnjmjjmnjjjnjjbammbababammxfAxaxaaAxAaxAaAadxxaxdxadxadxxaxaa0010001001010)()(11)(即

6、：求積公式對于對于次數(shù)不超過即：求積公式對于對于次數(shù)不超過m的多項式均能準確成立的多項式均能準確成立第9頁/共45頁q 例：例：試確定系數(shù)試確定系數(shù) i ，使得下面的求積公式具有盡可能，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。 )1()0()1( d)(21011fffxxf 解：解：將將 f (x)1, x, x2 代入求積公式，使其精確成立得代入求積公式，使其精確成立得 3/23/ )( 02/ )( 21/ )( 3320222011210ababab 解得解得 0 =1/3, 1 =4/3, 2 =1/3，所以求積

7、公式為，所以求積公式為3 )1()0(4)1( d)(11fffxxf 易驗證該公式對易驗證該公式對 f (x)x3 也精確成立，但對也精確成立，但對f (x)x4 不精確成立，所以此求積公式具有不精確成立，所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。第10頁/共45頁q 容易容易驗證：驗證：左矩形公式左矩形公式 和和 右矩形公式右矩形公式 具有具有 零次零次 代數(shù)精度代數(shù)精度中矩形公式中矩形公式 和和 梯形公式梯形公式 具有具有 一次一次 代數(shù)精度代數(shù)精度q 特別地，特別地，具有具有 m ( 0 ) 次代數(shù)精度的次代數(shù)精度的求積公式滿足求積公式滿足： ,0 niiabA辛甫生公式辛甫生公

8、式具有具有 三次三次 代數(shù)精度代數(shù)精度第11頁/共45頁我們可以用代數(shù)精度作為標準來構(gòu)造求積公式我們可以用代數(shù)精度作為標準來構(gòu)造求積公式.譬如兩點公式譬如兩點公式式中含有兩個待定參數(shù)式中含有兩個待定參數(shù) A0，A1，令它對于令它對于 f（ x）=1，f（ x）= x 準確成立，有準確成立，有)5()()()(10 babfAafAdxxf第12頁/共45頁解之得解之得 A0=A1=（b-a）/2.這說明，形如（這說明，形如（5）且）且具有一次代數(shù)精度的求積公式必為梯形公式具有一次代數(shù)精度的求積公式必為梯形公式（1）.這一論斷從幾何角度來看是十分明顯的這一論斷從幾何角度來看是十分明顯的.如何求解

9、求積公式如何求解求積公式 )(21221010abbAaAabAA第13頁/共45頁如何求解求積公式如何求解求積公式第14頁/共45頁如果求積節(jié)點并沒有確定，則待定參數(shù)有幾個如果求積節(jié)點并沒有確定，則待定參數(shù)有幾個？有2n+2個能夠達到的代數(shù)精度是多少能夠達到的代數(shù)精度是多少？2n+1個此時的方程為非線性方程此時的方程為非線性方程思考題思考題第15頁/共45頁基本思想基本思想由已知的n+1個點以及在這n+1個點上的函數(shù)值，作拉格朗日插值，得到pn(x)則 nkbakknkbakkbaknkkbanbadxxlydxxlydxyxldxxpdxxf000)()()()()(第16頁/共45頁q

10、設設 f (x) 在節(jié)點在節(jié)點 上的函數(shù)上的函數(shù)值為值為 f (xi)，作，作 n 次拉格朗日插值多項式次拉格朗日插值多項式 niiinxfxlxP0)()()(于是有于是有 niniiibaiibanbaxfAxxlxfxxPxxf00)(d)()(d)(d)(其中其中 。 baiixxlAd)(插值型求積公式插值型求積公式q 誤差：誤差： xxPxffRband )()( xxxnfniiband )( )!1()(0)1( 第17頁/共45頁由于由于 n 次拉格朗日插值對次拉格朗日插值對 f (x)1, x, x2, , xn 精確成精確成立，所以立，所以 n 次插值型求積公式的代數(shù)精度

11、至少為次插值型求積公式的代數(shù)精度至少為 n 次。次。q 代數(shù)精度：代數(shù)精度：反之，如果求積公式反之，如果求積公式 的代數(shù)精度至的代數(shù)精度至少為少為 n 次，則它必定是插值型的。次，則它必定是插值型的。 niiibaxfAxxf0)(d)(簡證簡證：求積公式對拉格朗日插值基函數(shù)：求積公式對拉格朗日插值基函數(shù) lk (x)精確成立，精確成立，即有即有 niikibakxlAxxl0)(d)(kiikxl )( bakkxxlAd)(定理定理 求積公式求積公式 至少具有至少具有 n 次代次代數(shù)精度的充要條件是：它是插值型的。數(shù)精度的充要條件是：它是插值型的。 niiibaxfxxf0)(d)( 第1

12、8頁/共45頁定理 1 形如（4）的求積公式至少具有 n 次代數(shù)精度的充分必要條件是，它是插值型的.問題：問題：（1）如何判定一個求積公式是插值型的？）如何判定一個求積公式是插值型的？（2）如何求作一個插值型的求積公式？）如何求作一個插值型的求積公式？第19頁/共45頁試檢查下列求積公式的代數(shù)精度： 10)43(32)21(31)41(32)(fffdxxf解 直接檢查易知，原式對于 準確成立，但當 時其左端=1/5，而32, 1xxxf 4xf 444)43(32)21(31)41(32右端= 左右兩端不相等，故所給求積公式僅有三階精度。第20頁/共45頁試構(gòu)造下列求積公式，使其代數(shù)精度盡量

13、高，并證明所構(gòu)造出的求積公式是插值型的：1010)43()41()(fAfAdxxf第21頁/共45頁解 令原式對于 f=1,f=x 準確，可列出方程 110 AA 21434110AA 解之得 2110 AA 例題2第22頁/共45頁這樣構(gòu)造出的求積公式是 10)43(21)41(21)(ffdxxf 注意到節(jié)點43,4110 xx的拉格朗日插值基函數(shù) 212)(,232)(10 xxlxxl 直接計算知 10110021)()(dxxldxxl 故所構(gòu)造出的求積公式是插值型的。 第23頁/共45頁構(gòu)造下列形式的插值型求積公式，并指明該求積公式所具有的代數(shù)精度： 10210)43()21()

14、41()(fAfAfAdxxf第24頁/共45頁解 按題設原式是插值型的，故有 10032)4341)(2141()43)(21(dxxxA 10131)4321)(4121()43)(41(dxxxA 第25頁/共45頁考慮到對稱性，顯然有20AA ，于是有求積公式 10)21(31)43()41(32)(fffdxxf 由于原式含有 3 個節(jié)點， 按定理 1 它至少有 2 階精度。 考慮到其對稱性，可以猜到它可能有 3 階精度。事實上， 對于3xf 原始左右兩端相等。此外，容易原式對于 4xf 不準確，故所構(gòu)造出的求積公式確實有 3 階精度。 第26頁/共45頁 試設計求積公式 10210

15、)43()21()41()(fAfAfAdxxf第27頁/共45頁解 令原式對于2, 1xxf 準確成立，可列出方程組 3116941161214321411210210210AAAAAAAAA 第28頁/共45頁考慮到對稱性，令20AA，則下列前兩個方程是同解方程： 314185212112101010AAAAAA 解之得 31,32120AAA 第29頁/共45頁這樣所構(gòu)造的插值公式是 )43(32)21(31)41(32)(10fffdxxf 當4xf時上式左端=1/5，而 右端=444)43(32)21(31)41(32 其左右兩端不相等， 故所構(gòu)造出的求積公式具有 3 階精度。 第3

16、0頁/共45頁試設計求積公式 )()0()()(22101hhhfAfAhfAhdxxf 第31頁/共45頁解 不妨令 h=1,否則作變換 x=ht,原式化為 22101) 1 ()0() 1()(fAfAfAdxxf 考慮到求積公式內(nèi)在的對稱性，顯然有11AA ，這時對奇函數(shù)的3, xxf 自然準確；令對2, 1 xf 準確成立，可列出方程 316242101AAA 第32頁/共45頁因之有 34,38011AAA 這樣構(gòu)造出的求積公式是 )(38)0(34)(38)(22hhhffhfhdxxf 易知它對于4xf 不準確， 故所構(gòu)造出的求積公式具有 3 階精度。 第33頁/共45頁 試設計

17、求積公式10210)0() 1 ()0()(fBfAfAdxxf第34頁/共45頁解 令對2, 1xxf 準確，可列出方程 3121110110ABAAA 第35頁/共45頁解之有 61,31,32010BAA 于是有求積公式 10)0(61) 1 (31)0(32)(fffdxxf 易知它對于3xf 不準確，故該求積公式僅有 2 階精度。 第36頁/共45頁試設計求積公式)()2()()2()()(212210bfBbafBafBbfAbafAafAdxxfba）（第37頁/共45頁解 引進變換tabbax22將求積區(qū)間a,b變到0，1，則原式化為如下形式 ) 1 () 0 () 1(1) 0 () 1()(21112210fBfBfBfAfAfAdxxf）（ 第38頁/共45頁這一求積公式含有 6 個待定系數(shù)， 考慮到對稱性有0,12020BBBAA這時對53,xxxf自然準確；再令對于42, 1xxf 準確，可列出方程組 5282324222000010BABAAA 第39頁/共45頁解之得 0,151,1516,157120120BBBAAA 于是這樣設計出的求積公式是 )()(60)(7)2(16)(7 30)(2bfafabbfbafafabdxxfba）（ 易知它對于6xf 不準確，故所設計的求積公式有5 階精度。 第40頁/共45頁試設計求積公式