角平分線性質

1、猜謎語（打一猜謎語（打一種水果名稱）種水果名稱）做一做做一做 不利用工具，請你將一張用紙片不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？么辦法？AOBC（對折對折）結論：折痕是 AOB的角平分線。試一試,你能獲得成功! 1 1、如右圖，是一個平分角的儀器，其中、如右圖，是一個平分角的儀器，其中AB=AD,BC=DCAB=AD,BC=DC，將點，將點A A放在角的頂點放在角的頂點, ,使使ABAB和和ADAD沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下, ,沿線段沿線段ACAC畫一條射線畫一條射線AE,AE,那么那么AEAE就是角平分線就是角平分線:A議一議

2、：議一議：為什么為什么 AEAE一定是一定是A A的角平分線的角平分線, ,你能說明你能說明它的道理嗎它的道理嗎? ?DCBE畫法：畫法：以為圓心，以任以為圓心，以任意長為半徑作弧，交于意長為半徑作弧，交于，交于，交于分別以，為圓分別以，為圓心大于心大于 1/2 的長為半的長為半徑作弧兩弧在徑作弧兩弧在的的內部交于內部交于作射線作射線射線即為所求的射線射線即為所求的射線O尺規(guī)作角的平分線尺規(guī)作角的平分線 量一量量一量:OC是是AOB的平分線，點的平分線，點P是射線是射線OC上的任意一點，上的任意一點， 1. 操作測量：取點操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點的三個不同的位置，分別過點P作

3、作PDOA，PE OB,點點D、E為垂足，為垂足，測量測量PD、PE的的長長.將三次數據填入下表：將三次數據填入下表：2. 觀察測量結果，猜想線段觀察測量結果，猜想線段PD與與PE的大小關系，的大小關系， 寫出結論：寫出結論：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE (1)實驗實驗：將：將AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊）對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？，然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？折折 一一 折折 (2)(2)結論：結論：角的平分線

4、上的點到角的兩邊角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等的距離相等. .證明：證明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定義）（垂直的定義） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 （已證）（已證） OP=OP （公共邊）（公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對應邊相（全等三角形的對應邊相等）等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如圖，已知：如圖，OCOC平分平分AOBAOB，點，點P P在在OCOC上，上，PDOA

5、PDOA于點于點DD，PEOBPEOB于點于點E E求證求證: PD=PE: PD=PE角平分線的性質的角平分線的性質的 證明：證明：角平分線的性質定理角平分線的性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等點點P是是AOB平分線上的一點平分線上的一點 且且PDOA，PEOB PD=PE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）AOBEDP P證明線段相等證明線段相等有角的平分線，有垂直距離有角的平分線，有垂直距離應用定理的前提條件是：應用定理的前提條件是：定理的作用：定理的作用：知識應用知識應用1 1 、 如 圖、 如 圖

6、, O C, O C 是是 A O BA O B 的 平 分 線的 平 分 線 , , 點點 P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,則則PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC2、如圖在、如圖在ABC中，中，C=90，BD為角平分為角平分線，線，AD=2.2cm AC=3.7cm，求點，求點D到到AB邊距邊距離離. 綜合探究、拓展提高綜合探究、拓展提高4 4、已知、已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分線是它的角平分線, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.w求證求證:EB=FC. :EB=FC. BAEDCF回味無窮回味無窮w 定理：定理： 角平分線上的點到這角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等個角的兩邊的距離相等. .l 點點P P是是AOBAOB平分線上的一點平分線上的一點l 且且PDOAPDOA，PEOBPEOBl PD=PE PD=PEl （角平分線上的點到角的兩邊的距角平分線上的點到角的兩邊的距離相等離相等）w 用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線. .總結反思總結反思 AOBEDP Pl5、如圖，在ABC中，C=90，AD是CAB的角平分線，DEAB于點E，BC=8，B