高等數(shù)學(xué)課件：w-10-1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

1、高等數(shù)學(xué) 第第 十十 章章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一一. . 問題的提出問題的提出二二. . 定義與性質(zhì)定義與性質(zhì)三三. . 計(jì)算方法計(jì)算方法四四. . 幾何與物理意義幾何與物理意義重點(diǎn)：弧長(zhǎng)積分的計(jì)算重點(diǎn)：弧長(zhǎng)積分的計(jì)算難點(diǎn)：理解弧長(zhǎng)積分難點(diǎn)：理解弧長(zhǎng)積分高等數(shù)學(xué)一、問題的提出一、問題的提出實(shí)例實(shí)例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取

2、極限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精確值精確值高等數(shù)學(xué)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義與性質(zhì),),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并作和并作和作乘積作乘積點(diǎn)點(diǎn)個(gè)小段上任意取定的一個(gè)小段上任意取定的一為第為第又又個(gè)小段的長(zhǎng)度為個(gè)小段的長(zhǎng)度為設(shè)第設(shè)第個(gè)小段個(gè)小段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設(shè)設(shè)1.定義定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L高等數(shù)學(xué).),(lim),(,),(,),(,010 ni

3、iiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即記記作作線線積積分分第第一一類類曲曲上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分或或在在曲曲線線弧弧則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)這這和和的的極極限限存存在在時(shí)時(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的最最大大值值如如果果當(dāng)當(dāng)各各小小弧弧段段的的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的曲線形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量.),( LdsyxM 高等數(shù)學(xué)2.存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對(duì)弧長(zhǎng)的上對(duì)弧長(zhǎng)的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù)

4、 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 高等數(shù)學(xué)注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(.2 LdsyxfLyxf曲曲線線積積分分記記為為上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的在在閉閉曲曲線線函函數(shù)數(shù)高等數(shù)學(xué)4.性質(zhì)性質(zhì) .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為常數(shù)為常數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 高等數(shù)學(xué)三、對(duì)弧長(zhǎng)曲

5、線積分的計(jì)算三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在其其中中的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為上上有有定定義義且且連連續(xù)續(xù)在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè)高等數(shù)學(xué)注意注意: :;),(. 1 一一定定要要小小于于上上限限化化為為定定積積分分時(shí)時(shí)的的下下限限 Ldsyxf.,),(. 2而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的不不彼彼此此獨(dú)獨(dú)立立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba ?高等數(shù)學(xué)推

6、廣推廣:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.,)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 高等數(shù)學(xué)例例1).(,sin,cos:,象限象限第第橢圓橢圓求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 高等數(shù)學(xué)例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到從從

7、其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I高等數(shù)學(xué)例例4 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解解 由由對(duì)稱性對(duì)稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長(zhǎng)球面大圓周長(zhǎng) dsa高等數(shù)學(xué)四、幾何與四、幾何與物理意義物理意義,),()1(的線密度時(shí)的線密度時(shí)表示表示當(dāng)當(dāng)Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),(),()3(處的高時(shí)處的高時(shí)柱面在點(diǎn)柱面在點(diǎn)上的上的表示立于表示立于當(dāng)當(dāng)yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面積柱面面積sL),(yxfz 高等數(shù)學(xué),)4(軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量軸軸及及曲曲線線弧弧對(duì)對(duì)yx.,22 LyLxdsxIdsyI曲線弧的重心坐標(biāo)曲線弧的重心坐標(biāo))5(., LLLLdsdsyydsdsxx 高等數(shù)學(xué)五、小結(jié)五、小結(jié)1 1、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念2 2、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算3 3、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的應(yīng)用、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的