高等數學課件：w-10-6高斯公式 通量與散度

1、高等數學 第第 六六 節(jié)節(jié) 高斯公式高斯公式 通量與散度通量與散度一一. . 高斯公式高斯公式二二. . 應應 用用三三. . 物理意義物理意義四四. . 小小 結結重點重點：高斯公式的應用：高斯公式的應用難點難點：高斯公式的應用高斯公式的應用高等數學一、高一、高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或高高 斯斯 (Gauss, K,F), 1777-1855, 德國德國高等數學這這里里 是是 的的整整個個邊邊界界曲曲面面的的外外側側， cos,cos,cos是是 上上點點),(zyx處處的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. .證明證明xyzo 由由1 ,

2、 ,2 和和3 三三部部分分組組成成, ,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyD高等數學根據三重積分的計算法根據三重積分的計算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(2),(1.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根據曲面積分的計算法根據曲面積分的計算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR( (1 取取下下側側, , 2 取取上上側側, , 3 取取外外側側) )高等數學,),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR dxd

3、yzyxR),(于是于是. 0),(3 dxdyzyxR.),( dxdyzyxRdvzR高等數學,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得：高等數學GaussGauss公式的實質公式的實質 表達了表達了空間閉區(qū)域上的三重積分空間閉區(qū)域上的三重積分與與其其邊界曲面上的曲面積分邊界曲面上的曲面積分之間的關系之間的關系.)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由兩類曲面積分之間的關系知由兩類曲面積分之間的關系知高等數學高斯高斯(1777-1855),

4、 德國數學家、天文學家和物理德國數學家、天文學家和物理學家，被譽為歷史上最偉大的數學家之一，和阿學家，被譽為歷史上最偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名?；椎?、牛頓并列，同享盛名。高等數學 高斯高斯1777年年4月月30日生于不倫瑞克的一個工匠家庭，日生于不倫瑞克的一個工匠家庭，1855年年2月月23日卒于格丁根。幼時家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資日卒于格丁根。幼時家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進學校受教育。助才進學校受教育。17951798年在格丁根大學學習年在格丁根大學學習798年轉入年轉入黑爾姆施泰特大學，翌年因證明代數基本定理獲博士學位。從黑爾姆施泰特大學，翌年因

5、證明代數基本定理獲博士學位。從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世。年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世。 高斯的成就遍及數學的各個領域，在數論、非歐幾何、高斯的成就遍及數學的各個領域，在數論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級數、復變函數論以及橢圓函數論等方面均微分幾何、超幾何級數、復變函數論以及橢圓函數論等方面均有開創(chuàng)性貢獻。他十分注重數學的應用，并且在對天文學、大有開創(chuàng)性貢獻。他十分注重數學的應用，并且在對天文學、大地測量學和磁學的研究中也偏重于用數學方法進行研究。地測量學和磁學的研究中也偏重于用數學方法進行研究。高等數學二、應用二、應用 計計算算曲曲面面積積分

6、分 xdydzzydxdyyx)()( 其其中中為為柱柱面面122 yx及及平平 面面3, 0 zz所所圍圍成成的的空空間間閉閉 區(qū)區(qū)域域 的的整整個個邊邊界界曲曲面面的的外外側側. . xozy解解, 0,)(yxRQxzyP 例例1 1311高等數學, 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr )sin(.29 (利用柱面坐標得利用柱面坐標得)xozy311高等數學使用使用Guass公式時應注意公式時應注意:1.1.RQP,是對什么變量求偏導數是對什么變量求偏導數; ;2 2. .是是否否滿滿足足高高斯斯公公式式的的條條件件; ;3 3. .是是否否取取

7、閉閉曲曲面面的的外外側側. .高等數學xyzoh 例例2 2高等數學xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域為面上的投影域為xoyxyD)(:2221hyxhz 補充補充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取上側，取上側，1 構成封閉曲面，構成封閉曲面，1 .1 圍成空間區(qū)域圍成空間區(qū)域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 高等數學 dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.| ),(222hyxyxDxy 其中其中 xyDhyxdzyxdxdy22, 0)( xyDdxdyyxhdSz

8、yx)()coscoscos(2222221 .214h 高等數學 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 高等數學例例3 3 dxdyazaxdydzaI)(12化化簡簡得得解解3 3).0(,()(222222212) ayxazzyxdxdyazaxdydzI的的上上側側半半球球面面為為其其中中求求 : S補補一一塊塊有有向向平平面面 0222zayx取下側取下側,1 ssaI則則高等數學 advzdv32,232cossin24420320aadrrdda

9、.2)(231344aaaaI 1 ssaI則則 dvazaSS)(2,公公式式所所圍圍，取取內內側側，由由高高斯斯與與由由設設.:,)(2224222ayxDadxdyadxdyadxdyazaxdydzxyDSSxy 其其中中高等數學 計計算算曲曲面面積積分分 yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , 其其中中 是是由由曲曲線線)31(01 yxyz繞繞 y 軸軸旋旋轉轉一一周周 所所成成的的曲曲面面, ,它它的的法法向向量量與與 y 軸軸正正向向的的夾夾角角恒恒大大于于2 . . 解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉轉面面方方程程為為繞繞( (如下圖如下圖)

10、)例例4 4高等數學xyzo132 * *I且有且有dvzRyQxP)(* dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzDxzdydxdz3122 3120202rdyrdrd高等數學 203)2(2drrr,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 高等數學例例4 4解解.1,)2(2223222的的外外側側球球面面為為其其中中求求 zyxzyxdxdyzydzdxxdydzI. 0,)2()2(,)2(322232223222 zRyQxPzyxzRzyxyQzyxxP 由于函數由于函數P, Q, R在原點處的偏導數

11、不存在在原點處的偏導數不存在, ,因此因此不能直接應用高斯公式不能直接應用高斯公式. ., 1,2:2222取取內內側側記記有有向向曲曲面面 rrzyxS.,21所所圍圍與與為為則則 SIIssI高等數學.,21所所圍圍與與為為則則 SIIssI;00,1 dvI由由高高斯斯公公式式 SSdxdyzydzdxxdydzrzyxdxdyzydzdxxdydzI3322221)2( 1313dvr.22)22(0 I所所圍圍為為 S1.22223433 rrrr高等數學三、物理意義三、物理意義-通量與散度通量與散度設設有有向向量量場場kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(

12、沿沿場場中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二類類曲曲面面積積分分為為1. 1. 通量的定義通量的定義: : RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA0稱稱為為向向量量場場),(zyxA向向正正側側穿穿過過曲曲面面的的通通量量. .高等數學設設有有向向量量場場),(zyxA, ,在在場場內內作作包包圍圍點點 M 的的閉閉曲曲面面 , , 包包圍圍的的區(qū)區(qū)域域為為 V, ,記記體體積積為為 V. .若若 當當V收收縮縮成成點點M時時, , 極限極限VSdAMV lim存在存在, ,則則稱稱此此極極限限值值為為A在在點點M處處的的散散度度, , 記記為為Adiv. .2. 2. 散度的定義散度的定義: :高等數學散度在直角坐標系下的形式散度在直角坐標系下的形式 dSvdvzRyQxPn)( dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRyQxPn1)(),( dSvVzRyQxPnM1lim積分中值定理積分中值定理,兩邊取極限兩邊取極限,zRyQxPAdiv 高等數學高斯公式可寫成高斯公式可寫成 dSAdvAdivn)coscoscos(0 RQPnAAn 的邊界曲面，的邊界曲面，是空間閉區(qū)域是空間閉區(qū)域其中其中 .的外側法向量上的投影的外側法向量上的投影在曲面在曲面是向量是向量 AAn高等數學四、小結四、小結 dSAdvAdivn（1）