高一函數(shù)性質(zhì)的數(shù)與形

1、 中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語為數(shù)形結(jié)合思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化幾何化，幾何問題代數(shù)化1 1、函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合（1 1）特殊點）特殊點 （2 2）符號）符號 （3 3）函數(shù)性質(zhì)）函數(shù)性質(zhì)2 2、圓錐曲線問題的數(shù)形結(jié)合、圓錐

2、曲線問題的數(shù)形結(jié)合（1 1）定義）定義 （2 2）圖形幾何性質(zhì)）圖形幾何性質(zhì) （3 3）系數(shù)的幾何意義）系數(shù)的幾何意義3 3、向量、三角問題的數(shù)形結(jié)合、向量、三角問題的數(shù)形結(jié)合（1 1）向量運算）向量運算 （2 2）解三角形）解三角形4 4、數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)形結(jié)合思想方法函數(shù)方程的數(shù)形結(jié)合（函數(shù)方程的數(shù)形結(jié)合（1 1） 函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合主函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合主要是以函數(shù)的圖像為形，函數(shù)解析式為數(shù)，要是以函數(shù)的圖像為形，函數(shù)解析式為數(shù)，通過分析圖像思考函數(shù)問題，或者將圖像問通過分析圖像思考函數(shù)問題，或者將圖像問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，主要的結(jié)

3、合點有四個題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，主要的結(jié)合點有四個（1 1）函數(shù)的性質(zhì)；（）函數(shù)的性質(zhì)；（2 2）特殊點；）特殊點；（3 3）符號；）符號； （4 4）極值、最值）極值、最值函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合1例例1 1：已知函數(shù)恒滿足：已知函數(shù)恒滿足, ,且且時，時，則則與與的圖象的交點個數(shù)為的圖象的交點個數(shù)為_解析解析: :由由是以是以為最小正周期的周期函數(shù)為最小正周期的周期函數(shù) 現(xiàn)分別在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出現(xiàn)分別在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出由圖象觀察知交點的個數(shù)應(yīng)有由圖象觀察知交點的個數(shù)應(yīng)有4 4個個) 1() 1(xfxf 11，x2)(xxf)(xfy xy5log)2()(xfxf2T) 1() 1(

4、xfxf可得：可得：所以所以)(xf與與)(xfy xy5log的圖象的圖象說明：說明：這是典型的利用函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)圖像這是典型的利用函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)圖像2|4|kx例例2 2：若不等式：若不等式的解集為的解集為31 | xx，則實數(shù)，則實數(shù)_k函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合2解析：由解析：由2|4|kx得，得，242kx即：即：62 kx解集為解集為31 | xx，則，則2k如果用數(shù)形結(jié)合，可以直接口算得出如果用數(shù)形結(jié)合，可以直接口算得出|4|)( kxxf的對稱軸為直線的對稱軸為直線kx4，解集的對稱軸為，解集的對稱軸為2x則則2k性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合例例3:3:設(shè)方程設(shè)方

5、程3lgxx310 xx21xx，21xx 21xx 函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合3與與各有一個實數(shù)根分別為各有一個實數(shù)根分別為，且，且，則，則=_=_解析：兩個方程都不能解出具體的值，只能借助圖像，分別解析：兩個方程都不能解出具體的值，只能借助圖像，分別做出函數(shù)做出函數(shù)xylg1的圖像的圖像C C1 1，函數(shù)，函數(shù)xy102的圖像的圖像C C2 2，函數(shù)，函數(shù)3y3x的圖像的圖像C C3 3， 設(shè)圖像設(shè)圖像C C1 1與圖像與圖像C C2 2交于點交于點圖像圖像C C1 1與圖像與圖像C C3 3交于點交于點)(22yxB，)(11yxA，又因為函數(shù)又因為函數(shù)xylg1與與函數(shù)函數(shù)xy1

6、02反函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于直線反函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于直線互為互為xy對稱，因為直線對稱，因為直線3yx與直線與直線xy垂直，所以點垂直，所以點)(11yxA，與與)(22yxB，關(guān)于關(guān)于直線直線xy對稱，對稱， 所以所以12yx 所以所以1121yxxx點點)(11yxA，在直線在直線3yx上上所以所以311 yx，即，即321 xx性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合( 10)(1)，(1)(01) ，(1)(1) ，( 10)(01)，( )f x(0)，(1)0f( )()0f xfxx例例5 5：設(shè)奇函數(shù)：設(shè)奇函數(shù) 在在 上為增函數(shù)，且上為增函數(shù)，且則不等式則不等式 的解集為（的解集為（

7、）A A B BC C D D( )()0f xfxx2 ( )0f xx( )f x解：依題意，可畫出解：依題意，可畫出 圖象的草圖如右下圖象的草圖如右下. .可化為可化為從而選從而選D.D.又不等式又不等式( ),f xx即即 異號，異號，函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合5符號的數(shù)形結(jié)合符號的數(shù)形結(jié)合函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合6例例6:6:設(shè)設(shè))0(4)(2aaxxxf，且，且0)2(mf則則)6(mf的值的值_0_0（填）（填） 、= =或或 ）解析：可以考慮利用圖像分析問題。二次函數(shù)解析：可以考慮利用圖像分析問題。二次函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù))(xf的開口的開口向上，對稱軸為直線向上

8、，對稱軸為直線2x，又，又0)0( af，所以，所以0)4(f又因為又因為0)2(mf，所以，所以02421xmx，可得：，可得：26m，所以，所以60 m根據(jù)圖像可得根據(jù)圖像可得0)6(mf此題還可以進(jìn)行如下分析：此題還可以進(jìn)行如下分析：通過圖像可以判斷通過圖像可以判斷4|21 xx若若0)6(mf，則，則4| )2(6|21xxmm矛盾矛盾所以所以0)6(mf符號的數(shù)形結(jié)合符號的數(shù)形結(jié)合函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合8例例8:8:已知函數(shù)已知函數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是_1| 1|2xxy交點，則實數(shù)交點，則實數(shù)2 kxy的圖像與函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恰有兩個的圖像恰有兩個解析：如果用

9、解方程的方法，非常復(fù)雜，不妨考慮應(yīng)用函數(shù)圖像解析：如果用解方程的方法，非常復(fù)雜，不妨考慮應(yīng)用函數(shù)圖像判斷交點個數(shù)的方法，由判斷交點個數(shù)的方法，由1| 1|2xxy可得：可得：11111) 1(xxxxxy或2 kxy過定點過定點(0(0，-2)-2)，作出兩個函數(shù)的圖像，作出兩個函數(shù)的圖像. .滿足條件的直線分為兩類，分別由滿足條件的直線分為兩類，分別由21aa，為代表為代表1a由由代表的直線的斜率的范圍是代表的直線的斜率的范圍是10 k2a由由代表的直線的斜率的范圍是代表的直線的斜率的范圍是41 k所以所以140|kkk，且特殊點的數(shù)形結(jié)合特殊點的數(shù)形結(jié)合小結(jié)：小結(jié)：1 1、函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)

10、合，主要考慮函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合，主要考慮函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性奇偶性、周期性、對稱性2 2、函數(shù)符號的數(shù)形結(jié)合，主要考慮函數(shù)圖像所在、函數(shù)符號的數(shù)形結(jié)合，主要考慮函數(shù)圖像所在象限象限3 3、函數(shù)特殊點的數(shù)形結(jié)合，主要考慮函數(shù)過定點，、函數(shù)特殊點的數(shù)形結(jié)合，主要考慮函數(shù)過定點，與坐標(biāo)軸的交點，或橫坐標(biāo)為整數(shù)的點與坐標(biāo)軸的交點，或橫坐標(biāo)為整數(shù)的點4 4、例、例8 8是在動態(tài)過程中考察函數(shù)方程的數(shù)形結(jié)合，是在動態(tài)過程中考察函數(shù)方程的數(shù)形結(jié)合，動態(tài)變化主要是旋轉(zhuǎn)和平移，在變化過程中尋找動態(tài)變化主要是旋轉(zhuǎn)和平移，在變化過程中尋找問題的解決途徑問題的解決途徑函數(shù)方程的數(shù)形結(jié)合（

11、函數(shù)方程的數(shù)形結(jié)合（2 2） 兩個初等函數(shù)組合成新的函數(shù)或方程，經(jīng)常兩個初等函數(shù)組合成新的函數(shù)或方程，經(jīng)常借助數(shù)形結(jié)合分析解決問題借助數(shù)形結(jié)合分析解決問題 零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點個數(shù)問題零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點個數(shù)問題 復(fù)雜的函數(shù)問題根據(jù)函數(shù)解析式特征轉(zhuǎn)化為復(fù)雜的函數(shù)問題根據(jù)函數(shù)解析式特征轉(zhuǎn)化為形的問題形的問題y yx xo o1 1114m21log04mxxm20,2x例例1 1：已知不等式：已知不等式 在在 上恒成立，上恒成立，求求 的取值范圍的取值范圍. .21log4mxx解：原不等式可化為解：原不等式可化為2121,log,4myxyx令令20,2x12yym求求 的

12、取值范圍，使的取值范圍，使 在在 上恒成立上恒成立. .22112log242m則問題轉(zhuǎn)化為則問題轉(zhuǎn)化為1422m 1m 由圖象知由圖象知函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合1pxx|42|2例例2 2：不等式：不等式對所有對所有x都成立，則實數(shù)都成立，則實數(shù) 的最大值為的最大值為_解析：構(gòu)造函數(shù)解析：構(gòu)造函數(shù)22)( |2|)(2pxxgxxf，則原問題轉(zhuǎn)化為對所有則原問題轉(zhuǎn)化為對所有x)()( xgxf，恒成立恒成立即即)(xf的圖像總在的圖像總在)(xg的圖像上方，如圖：的圖像上方，如圖：當(dāng)當(dāng))(xf的圖像與的圖像與)(xg的圖像相切時，的圖像相切時，pp有最大值有最大值3 3函數(shù)、方程、不

13、等式問題的數(shù)形結(jié)合22)2(92xkx例例3 3：若不等式：若不等式_k的解集為區(qū)間的解集為區(qū)間2 abba，則則解析：構(gòu)造函數(shù)解析：構(gòu)造函數(shù)2)2()( 9)(2xkxgxxf，在坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)的圖像，如圖在坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)的圖像，如圖)(xg的圖像是恒過點的圖像是恒過點)2 2( ，的一條的一條直線，顯然直線，顯然0k，則，則1 3ab，則則)(xg與與)(xf的交點坐標(biāo)為的交點坐標(biāo)為)22 1 ( ，所以所以2k函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合3axxaxf2|2)(例例4 4：已知：已知)(xfy a為實數(shù)，函數(shù)為實數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)，若函數(shù)有且只有兩個零點，則實數(shù)有且只有兩個

14、零點，則實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_解析：函數(shù)零點解析：函數(shù)零點方程的根方程的根函數(shù)圖像交點函數(shù)圖像交點數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合顯然顯然0a，令，令02|2 0)(axxaxf，整理得：整理得：xax121|分別作出分別作出xaxgxxg1)( 21|)(21，的圖像，如圖的圖像，如圖當(dāng)當(dāng)110a或或011a時，時，兩個函數(shù)有且只有兩個交點，所以兩個函數(shù)有且只有兩個交點，所以) 1 () 1 (，a函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合4txxxf|4|)(2例例5 5：已知：已知函數(shù)函數(shù)t的取值范圍是的取值范圍是_有有4 4個零點，則實數(shù)個零點，則實數(shù)解析：解析：txxxf|4|)(2有有4 4個零點

15、，個零點，因為因為所以方程所以方程txx|4|2有有4 4個不同的根個不同的根令令|4|)(2xxxg，做出函數(shù)圖像如圖，做出函數(shù)圖像如圖可以判斷出可以判斷出40 t函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合5例例6.6.若關(guān)于若關(guān)于 x的方程的方程1|ln2 kxxx有實數(shù)解，則實數(shù)有實數(shù)解，則實數(shù)k的的取值范圍是取值范圍是( )( ) 1 .( ) 1 1 .(，BA) 1 () 1 .( ) 1.(，DC解析：因為解析：因為0 x，所以原方程轉(zhuǎn)化為，所以原方程轉(zhuǎn)化為xxxxxxk1|ln1|ln2若方程有解，只需求函數(shù)若方程有解，只需求函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))0(1|ln)(xxxxxf)(xf的值域的

16、值域，易證，易證)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù)0 x時時xxxxf1ln)(211ln)( xxxf且且0) 1 ( f當(dāng)當(dāng)10 x時，時，011 0ln2xx，所以，所以0)( xf即原函數(shù)即原函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間) 1 0( ，上單調(diào)減上單調(diào)減當(dāng)當(dāng)1x時，時，011 0ln2xx，所以，所以0)( xf即原函數(shù)即原函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間) 1 (，上單調(diào)增所以上單調(diào)增所以所以所以1) 1 ()( fxf)0(1|ln)(xxxxxf的值域為的值域為) 1 1 (，解析二：解析二：0 x，原方程整理為，原方程整理為xkxx21|ln|1|ln|ln12xxxkx即：即：，設(shè)，設(shè)|ln)( )

17、(12ttgktttftx，原問題轉(zhuǎn)化為：原問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)函數(shù)|ln)( )(2ttgktttf，圖像有公共點，求圖像有公共點，求k的范圍的范圍. .函數(shù)函數(shù)|ln)( ttg為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，二次函數(shù)二次函數(shù)ktttf2)(過點過點)0 ( )0 0(，k過點過點)0 1 ( )0 1(，所以所以) 1 1 (，k例例6 6：對于實數(shù)：對于實數(shù)) 1() 12()(xxxf, ,且關(guān)于且關(guān)于x, ,則則ba，, ,定義運算定義運算”：“*baabbbaababa，22, ,設(shè)設(shè)的方程的方程)()(Rmmxf恰有三個互不恰有三個互不相等的實數(shù)根相等的實數(shù)根321xxx，321xxx的取值范

18、圍是的取值范圍是_解析解析(1):(1):由已知條件可得：由已知條件可得：0 0 2) 1() 12()(22xxxxxxxxxf，該函數(shù)的圖像如圖所示：該函數(shù)的圖像如圖所示：)()(Rmmxf恰有三個互不相等的實數(shù)根恰有三個互不相等的實數(shù)根即即)(xfy 與與my 的圖像有三個交點，設(shè)的圖像有三個交點，設(shè)321210431xxx且且323221xxxx，可得：，可得：，4132xx所以所以1631431414101321xxxx，即，即)0 1631(321，xxx函數(shù)、方程、不等式問題的數(shù)形結(jié)合6解析解析(2):(2):由已知條件可得：由已知條件可得：0 0 2) 1() 12()(22x

19、xxxxxxxxf，該函數(shù)的圖像如圖所示：該函數(shù)的圖像如圖所示：)()(Rmmxf恰有三個互不相等的實數(shù)根恰有三個互不相等的實數(shù)根mxx2由由知：知：mxx32則則410 m3211xxxmxS陰影161341413maxoBCDSS陰影，且，且0321xxx所以：所以：16311613321321xxxxxx，例例7 7：設(shè)：設(shè)Ra , ,若若0 x時均有時均有0) 1(1) 1(2axxxa, ,a_解析二：將解析二：將 看作不等式的主元，原不等式整理為看作不等式的主元，原不等式整理為，當(dāng)，當(dāng)即即不等式左邊恰好是完全平方，即不等式左邊恰好是完全平方，即，所以，所以a0)1()1(2xaxxax112xx2x0)32(2a23a時，時，解析一：設(shè)解析一：設(shè)1)( 1) 1()(2axxxgxaxf，0 x時均有時均有0) 1(1) 1(2axxxa因為因為即即)( )(xgxf，0 x時，時，的圖像同時在橫軸的的圖像同時在橫軸的因為因為1)( 2axxxg的圖像與的圖像與) 1 0(