雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、1. 橢圓的定義橢圓的定義和和 等于常數(shù)等于常數(shù)2a ( 2a|F1F2|0) 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入問題：引入問題：差差等于常數(shù)等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？的點(diǎn)的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的動(dòng)動(dòng)手：動(dòng)動(dòng)手：請(qǐng)思考？請(qǐng)思考？1、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)2a（小于（小于|F|F1 1F F2 2| | ）的軌跡是什么？）的軌跡是什么？2、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等

2、于常數(shù)常數(shù)2a（等于等于|F|F1 1F F2 2| | ）的軌跡是什么？）的軌跡是什么？3、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)常數(shù)2a（大于大于|F|F1 1F F2 2| | ）的軌跡是什么？）的軌跡是什么？雙曲線的一支雙曲線的一支是在直線是在直線F1F2上且上且 以以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線為端點(diǎn)向外的兩條射線不存在不存在相關(guān)結(jié)論：相關(guān)結(jié)論： 1、當(dāng)|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a|F|= 2a|F|= 2a |F1 1F F2 2| |時(shí)時(shí), ,M點(diǎn)的軌跡不存在點(diǎn)的軌跡不存在4、當(dāng)、當(dāng)|MF|MF1 1|-|MF|

3、-|MF2 2|= 2a=0|= 2a=0時(shí)，時(shí)，P點(diǎn)軌跡是雙曲線點(diǎn)軌跡是雙曲線其中當(dāng)其中當(dāng)|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a|= 2a時(shí)，時(shí)，M點(diǎn)軌跡是與點(diǎn)軌跡是與F2對(duì)對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支；應(yīng)的雙曲線的一支； 當(dāng)當(dāng)|MF|MF2 2| | - - |MF|MF1 1|= 2a|= 2a時(shí)，時(shí)，M點(diǎn)軌跡是與點(diǎn)軌跡是與F1對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支. M點(diǎn)軌跡是在點(diǎn)軌跡是在直直線線F F1 1F F2 2上且以上且以F1和和F2為端點(diǎn)向外的兩條射線。為端點(diǎn)向外的兩條射線。 M點(diǎn)的軌跡是線段點(diǎn)的軌跡是線段F F1 1F F2 2的垂直平分線的垂直平分線 。雙曲線的定義

4、雙曲線的定義:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離的差的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的絕對(duì)值等于常數(shù)2a 2a 的的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。)(21FF小于 F1,F2 -焦點(diǎn)焦點(diǎn)|MF|MF1 1| - |MF| - |MF2 2| = 2a| = 2a|F|F1 1F F2 2| -| -焦距焦距.F2.F1Myox注意：對(duì)于雙曲線定義須注意：對(duì)于雙曲線定義須抓住兩點(diǎn)：一是平面內(nèi)的抓住兩點(diǎn)：一是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù)；二的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù)；二是這個(gè)常數(shù)要小于是這個(gè)常數(shù)要小于|F|F1 1F F2 2| | M

5、xyo設(shè)設(shè)M（x , y）,雙曲線的焦雙曲線的焦距為距為2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常數(shù)為常數(shù)為2aF1F2M即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_以以F1,F2所在的直線為所在的直線為X軸，軸，線段線段F1F2的中點(diǎn)的中點(diǎn)o o為原點(diǎn)建立直角為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系1. 建系建系. .2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a如何求這優(yōu)美的曲線的方程？如何求這優(yōu)美的曲線的方程？4.4.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn). .F1F2xOyaycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(222222

6、22acayaxac222bac)0,0(12222babyax焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程 想一想想一想F2F1yxo)0, 0( 12222babxayF1(0,-c), F2(0,c)222bac,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的圖象軸上的雙曲線的圖象是什么？標(biāo)準(zhǔn)方程怎樣求？是什么？標(biāo)準(zhǔn)方程怎樣求？12222byax12222bxayF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy222(0,0)ababc雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程定義定義圖象圖象方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)a.b.c的關(guān)系的關(guān)系1212202MFMFaaFF，22221xyab22221yxab,0Fc0,

7、Fc222cab誰正誰是誰正誰是 a練習(xí)練習(xí) 判斷下列各雙曲線方程焦點(diǎn)所判斷下列各雙曲線方程焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；求在的坐標(biāo)軸；求a、b、c各各為多少？為多少？11625) 1 (22yx3694 ) 3 (22yx3694 ) 4 (22yx14922yx11625)2(22xy194)4(22xy 例例1、已知雙曲線的焦點(diǎn)為已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0), F2(5,0)雙曲雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于6，則，則 (1) a=_ , c =_ , b =_ (2) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(3)雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)， |PF1

8、|=10, 則則|PF2|=_354116922yx4或或16| |PF1| - |PF2| | =6例2 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)a=3,b=4,焦點(diǎn)在x軸上;(2)a=52116922yx解 （1）依題意a=3,b=4,焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線方程為，經(jīng)過點(diǎn)A（2，5），焦點(diǎn)在y軸上。（2）因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以雙曲線方程可設(shè)為12222bxay因?yàn)閍=52且點(diǎn)A（2,5)在雙曲線上，所以 14255222baa解得：2b16所以，所求雙曲線的方程為：1162022xy(3) 經(jīng)過點(diǎn)（3，-42），（94，5）的雙曲線方程。例例3：當(dāng)：當(dāng)k為何値時(shí)，關(guān)于為何値時(shí)，關(guān)于x、y

9、的方程的方程 (k-5 )x2-(k-1)y2=k2- 6k+5所表示的曲線是所表示的曲線是 （3）、圓）、圓（1）、橢圓）、橢圓 （2）、雙曲線）、雙曲線練習(xí)練習(xí)1 1: :如果方程如果方程 表示雙曲線，表示雙曲線， 求求m m的取值范圍的取值范圍. .11mym2x22 分析分析: :11mym2x22 變式變式: :2m1 得0)1m)(m2( 由2m1m 或222.(_).35156xymmmmABCD練練習(xí)習(xí)是是方方程程表表示示雙雙曲曲線線的的充充分分非非必必要要條條件件必必要要非非充充分分條條件件充充要要條條件件不不充充分分也也不不必必要要條條件件A課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：1、已知點(diǎn)、

10、已知點(diǎn)F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3)，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足|PF|PF1 1| - |PF| - |PF2 2|= 10|= 10，則，則P P點(diǎn)的軌跡是點(diǎn)的軌跡是( )( ) A A、雙曲線、雙曲線 B B、雙曲線一支、雙曲線一支 C C、直線、直線 D D、一條射線、一條射線2 2、若橢圓、若橢圓 與雙曲線與雙曲線 的焦點(diǎn)相同的焦點(diǎn)相同, ,則則 a = a = )0(14222ayax12322yx3D例例4. 相距相距2000m的兩個(gè)哨所的兩個(gè)哨所A、B，聽到遠(yuǎn)，聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈的爆炸聲。已知當(dāng)時(shí)的聲速是處傳來的炮彈的爆炸聲。已知當(dāng)時(shí)的聲速是330m/s,在在A哨所聽到爆炸

11、聲的時(shí)間比在哨所聽到爆炸聲的時(shí)間比在B哨哨所聽到時(shí)遲所聽到時(shí)遲4s，試判斷爆炸點(diǎn)在什么樣的曲，試判斷爆炸點(diǎn)在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程。線上，并求出曲線的方程。解（解（1）設(shè)爆炸點(diǎn)設(shè)爆炸點(diǎn)P，由已知可得，由已知可得|PA|PB|=330 4=1320因?yàn)橐驗(yàn)閨AB|=20001320,又又|PA|PB|,所以點(diǎn)所以點(diǎn)P在在以以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近B處的那支上。處的那支上。（2）建立直角坐標(biāo)系）建立直角坐標(biāo)系xOy，使，使 A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn)在在x軸上，并且點(diǎn)軸上，并且點(diǎn)O與線段與線段AB的中點(diǎn)重合的中點(diǎn)重合. 設(shè)爆炸點(diǎn)設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x,y），則），則 即即2a=1320,a=660.2c=2000,c=1000 b2=c2a2=564400 所求雙曲線的方程為：所求雙曲線的方程為：6800,PAPB ) 0( 156440043560022xyx課堂小結(jié)：課堂小結(jié)： 本節(jié)課學(xué)習(xí)了雙曲線的定義、本節(jié)課學(xué)習(xí)了雙曲線的定義、圖象和標(biāo)準(zhǔn)方程，要注意使用類圖象和標(biāo)準(zhǔn)方程，要注意使用類比的方法，仿照橢圓的定義、圖比的方法，仿照橢圓的定義、圖象和標(biāo)準(zhǔn)方程的探究思路來處理象和標(biāo)準(zhǔn)方程的探究思路來處理雙曲線的類