第八章 離散時(shí)間系統(tǒng)的變換域分析(金城)

1、第八章 離散時(shí)間系統(tǒng)的變換域分析8.1 引言 要求得系統(tǒng)的響應(yīng)就要求解系統(tǒng)方程，在連續(xù)系統(tǒng)中為微分方程，為避免解微分方程的麻煩我們用拉普拉斯變換將求解微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的問(wèn)題。 在離散系統(tǒng)中我們有類似的方法。即Z變換，它也可以將求解差分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的問(wèn)題。 主要內(nèi)容nZ變換及其性質(zhì)n離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換分析n離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和穩(wěn)定性8.2 Z變換及其性質(zhì)一、Z變換的定義及其收斂區(qū) 我們知道離散信號(hào)可以由連續(xù)信號(hào)抽樣得到：kkTkTtkTfkTttfttf)()()()()()(兩邊求雙邊拉普拉斯變換： ksTkstkTdekTfdtekTtkTfttf)()

2、()()()(L L)()(,kfkTfezsT令kkTdzkfttf)()()(L L則上式就定義為序列f(k)的雙邊z變換，記為：kkddzkfzFkf)()()(Z Z與拉普拉斯變換一樣，在離散系統(tǒng)中我們感興趣的是因果系統(tǒng)和有始的激勵(lì)，因此我們同樣定義f(k)的單邊Z變換：或用記號(hào) 表示它們是一對(duì)Z變換對(duì)。顯然單邊Z變換是一個(gè)單邊的無(wú)窮級(jí)數(shù) 0)()()(kkzkfkfzFZ Z210)2() 1 ()0()()(zfzffzkfzFkkF(z)是否存在要看級(jí)數(shù)是否收斂，使級(jí)數(shù)收斂的Z的取值范圍稱為收斂區(qū)收斂區(qū)。( )( )f kF z要級(jí)數(shù)收斂要求|Z|-1小于某一數(shù)值，或表示為|Z|

3、R，R與具體的序列有關(guān)。將它用圖形在Z平面上表達(dá)出來(lái)，它是以原點(diǎn)為圓心R為半徑的圓之外的區(qū)域，所以R就稱為收斂半徑收斂半徑。例如：f(k)=ak(k)求F(z)及其收斂區(qū)。azzazazazazzkfzFkk131211011)()(1)()(解： |1|1azaz即說(shuō)明：1、Z變換與連續(xù)系統(tǒng)中的拉普拉斯變換相對(duì)應(yīng)，也有雙邊與單邊之分。2、Z變換與拉普拉斯變換是有聯(lián)系的，它們之間的關(guān)系由 表明。3、能量有限的有限長(zhǎng)序列，單邊Z變換的收斂區(qū)為|z|0。4、有始無(wú)終的單邊序列，單邊Z變換的收斂區(qū)總是在某一圓外。5、在收斂區(qū)中不應(yīng)包含極點(diǎn)。( )()sTzef kf kT和二、常用序列的二、常用序列

4、的Z變換變換1、單位函數(shù)(k)1)()(0kkzkkZ Z收斂區(qū)為整個(gè)Z平面 |z|0。 2、單位階躍序列(k)1|111)(10zzzzzkkkZ Z3、單邊指數(shù)序列f(k)=vk(k)|11)()()(1010vzvzzvzvzzvkfzFkkkkkZ Z4、單邊正弦和余弦序列sin(kT) (k)，cos(kT) (k)()(21)()(21)()sin(kekejkeejkkTkTjkTjkTjkTjZ ZZ ZZ ZZ Z1cos2sin212TzzTzezzezzjTjTj1|, | |,|zeeMaxzTjTj)()(21)()(21)()cos(kekekeekkTkTjkTj

5、kTjkTjZ ZZ ZZ ZZ Z1|1cos2)cos(212zTzzTzzezzezzTjTj同理1cos2sin)()sin(2TzzTzkkT1cos2)cos()()cos(2TzzTzzkkT所以：三、三、Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì) 若：f1(k)F1(z) , f2(k)F2(z)則：a1f1(k)+a2 f2(k)a1F1(z)+ a2 F2(z) a1，a2為常數(shù)。2、移序性質(zhì)若：f(k)F(z) 0)()()()()()(10nzFznknkfzkfzzFznkfnnkknn則： 3、尺度變換若：f(k)F(z) )()(azFkfak則：例如：vzzvzvzkv

6、k1)/(/)(4、時(shí)域線性加權(quán)和Z域的微分若：f(k)F(z) 則：dzzdFzkkf)()(1)(zzk2) 1()1()(zzzzdzdzkk322) 1() 1() 1()(zzzzzdzdzkk例如已知 則：所以，這個(gè)性質(zhì)也可以重復(fù)使用。5、卷積定理若：f1(k)F1(z) , f2(k)F2(z)則：f1(k)* f2(k)F1(z).F2(z) 6、初值定理和終值定理若：f(k)F(z) 則：)(lim)0(zFfz若F(z)的所有極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)或在z=1處有一個(gè)一階極點(diǎn)。則：)() 1(lim)(1zFzfz例2：)()0(1)(ffzzzF和求例3：)2()21()(1kk

7、kfk求F(z)例4：已知f(k)求F(z)。kNkNkNNkkkf其它02120)(例1：)()0() 12)(1()(2ffzzzzF和求2(2)1zkzz2121(2)(1)(1)dzkkzdzz zz z 2141( )2(2)2(21)kzf kkkzz設(shè)N=3則可畫出f(k)的圖形為一三角形序列。而三角形序列為兩個(gè)矩形序列卷積的結(jié)果。 *f(k)=y(k-1) ，而 Y(z)=F1(z)F2(z) 1(111)()(111021zzzzzzzFzFNNNNkk222)11(1)(zzzzYNN2121)11(1)()(zzzzYzzFNN|z|0 部分分式展開(kāi)法部分分式展開(kāi)法)()

8、()(zDzNzFv1，v2，.，vn。也稱F(z)的n個(gè)極點(diǎn)。 設(shè)D(z)=0有n個(gè)單根則： )()()(zzDzNzzF0，v1，v2，.，vn。展開(kāi)為部分分式： 有n+1個(gè)極點(diǎn)8.3 反反Z變換變換nnrrvzBvzBvzBzBzzF110)(nnrrvzzBvzzBvzzBBzF110)()()()()(110kvBkvBkBkfknnk也可將極點(diǎn)分為三種不同情況，并記住下面幾個(gè)簡(jiǎn)單的公式。1、單根時(shí) )(kvvzzkrr2、n階重根時(shí) )()2()2)(1()!1(1)(1kvnkkkknvzznkn3、v，v*為一對(duì)共軛復(fù)根時(shí) )()cos(2*kkvrvzzAvzzAvk)()!

9、1(!)!1(11kvnkknnk或者例1：220.5( )0.50.5zF zzz求右邊序列f(k)。 解：( )20.5112(1)(0.5)10.5F zzzz zzzzz2( )110.5zzF zzz ( )( )12( 0.5) ( )kf kkkvjjevverA其中：1( )1( 0.5) (1)kf kk 120.511( )(1)(0.5)10.510.5zF zzzzzzzzzz12( 0.5)(1)kk例1：32)5 . 0(5 . 0)(zzzzF求右邊序列f(k)。 解：233)5 . 0(1)5 . 0(1)5 . 0(5 . 0)(zzzzzzF23)5 . 0

10、()5 . 0()(zzzzzF)()5 . 0()()5 . 0)(1(21)(12kkkkkkfkk)()5 . 0()()5 . 0(2122kkkkkk例：1|1222)(22zzzzzzF求f(k)。 解：42, 1)1 (21jejv4*14121222)(jjezAezAzzzzzF1)()(441jezjzzFezA44)(jjezzezzzF0,1145,1|14541rAveevvjj)()4cos() 1(2)()45cos(2)()cos(2)(kkkkkkvrkfkvk對(duì)于一對(duì)共軛復(fù)根也可將它保持整體處理，這時(shí)我們可以使用正弦序列和余弦序列的變換對(duì)。1cos2sin)

11、()sin(2TzzTzkkT1cos2)cos()()cos(2TzzTzzkkT1)22(2)22(21222)(222zzzzzzzzzF4322cosTT)()4cos() 1(2)()43cos(2)(kkkkkfk又如：22222222( )21222 ()12 ()122z zzzF zzzzzzz2cossin24TTT( )cos()sin()( )2cos( )4444f kkkkkk8.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換分析法變換分析法與拉普拉斯變換一樣Z變換是求解差分方程的工具。一、直接求解一、直接求解例1：已知系統(tǒng)的差分方程為) 1(2)2(7)(1 . 0) 1

12、(7 . 0)2(kekekykyky系統(tǒng)的激勵(lì)和初始條件為：4) 1 (,2)0(, )()(ziziyykke求全響應(yīng)。 解：1)(zzzE兩邊求Z變換)(2)(7)(1 . 0)0(7 . 0)(7 . 0) 1 ()0()(222zzEzEzzYzyzzYzyyzzYzzizizi代入初始條件并整理得：zzzEzzzYzz6 . 22)()27()() 1 . 07 . 0(222) 1)(1 . 07 . 0()6 . 24 . 19()(22zzzzzzzY15 . 02 . 0) 1)(5 . 0)(2 . 0(6 . 24 . 19)(3212zkzkzkzzzzzzzY5 .

13、10) 1)(5 . 0(6 . 24 . 192 . 021zzzzzk7) 1)(2 . 0(6 . 24 . 195 . 022zzzzzk5 .12)5 . 0)(2 . 0(6 . 24 . 19123zzzzzk15 .125 . 072 . 05 .10)(zzzzzzzY)()2 . 0(5 .10)5 . 0(75 .12)(kkykk需要注意的是將k=0 , 1 代入y(k) 得 y(0)=9 , y(1)=13.9 顯然與題目所給的不一致。原因是題目所給出的實(shí)際上是系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能，是不考慮輸入激勵(lì)下的初始條件yzi(0)=2 , yzi(1)=4。 差分方程代數(shù)方程Z Z

14、變換全響應(yīng)的解代數(shù)方程Z-1Z Z全響應(yīng)這種方法的實(shí)質(zhì)是：基于系統(tǒng)函數(shù)基于系統(tǒng)函數(shù)H(z)的方法。的方法。(1)、零狀態(tài)響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)、e(k)E(z) 、定義離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 、Yzs(z)=E(z)H(z)、yzs(k)=Z Z -1Yzs(z)(2)、系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)函數(shù)H(z)()()(zEzYzHzs二、從信號(hào)分析的角度分析系統(tǒng)二、從信號(hào)分析的角度分析系統(tǒng)時(shí)域中零狀態(tài)響應(yīng)的求法為計(jì)算卷積 y(k)=e(k)*h(k) 由卷積定理 Y(z)=E(z)H(z)。所以 h(k)H(z)、H(z)也可由轉(zhuǎn)移算子H(S)求。)()(zHSHzS 、由離散系統(tǒng)的方框圖或信號(hào)流圖求H

15、(z)。 (3)、零輸入響應(yīng)、零輸入響應(yīng)yzi(k)顯然H(z)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根，所以可以根據(jù)H(z)的極點(diǎn)寫出yzi(k)的一般形式，然后由系統(tǒng)的初始條件確定系數(shù)。 例3：已知系統(tǒng)的差分方程為 )2()(2) 1(3)2(kekykyky系統(tǒng)的初值和激勵(lì)為： 2) 1 (,0)0(, )(2)(yykkek求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 解：2, 123)(2122vvzzzzHkkziccky)2() 1()(21可以先求出零狀態(tài)響應(yīng)的初值；然后用全響應(yīng)的初值減去零狀態(tài)響應(yīng)的初值求得零輸入的初始條件。確定c1,c2時(shí)必需要用零輸入的初始條件。2)(zzzE)23)(2()()()(23z

16、zzzzHzEzYzs2131231)(zzzzzzzYzs)()2() 1(31)2(31)(kkykkkzs3) 1(2) 1 () 1 () 1 (110)0()0()0(zszizsziyyyyyy2,1321212121cccccc)()2(2) 1()(kkykkzi)() 1(32)2()2(31)()()(kkykykykkkzszikkziccky)2() 1()(213、離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)01110111)()()(aSaSaSbSbSbSbSDSNSHnnnmmmm（1）、）、H(z) 的表示 sz01110111)()()(azazaz

17、bzbzbzbzDzNzHnnnmmmmmzzz,2112,nv vv設(shè)H(z)有m個(gè)零點(diǎn)：。和n個(gè)極點(diǎn)：。則： 120012()()()()( )()()()()rmmrnzzzzzzzzH zHHbzvzvzvzvn知道了極點(diǎn)和零點(diǎn)H(z)就基本確定了，只是差一個(gè)比例因子H0。 n也可以將它分子、分母的因子在Z平面中用矢量表示。 n如果我們定義離散信號(hào)的傅里葉變換，系統(tǒng)函數(shù)也可以用它的幅頻特性和相頻特性來(lái)表示。也可用矢量作圖的辦法來(lái)估計(jì)離散系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線。 (2)、H(z)與離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬與離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬)() 1()() 1()2(0101kebkebkyakyak

18、y這是一個(gè)二階系統(tǒng)的差分方程，它的模擬方框圖可以方便地作出：01201)(azazbzbzH模擬方框圖也可根據(jù)H(z)來(lái)作。這樣作出的方框圖也稱為直接型模擬方框圖。 引入中間變量q(k)則差分方程可寫成如下的等價(jià)形式： )() 1()()()() 1()2(0101kqbkqbkykekqakqakq將差分方程兩邊Z變換（不計(jì)初始條件）)()()()()()()(01012zQbzzQbzYzEzQazzQazQz可見(jiàn)它們沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，只是將單位延時(shí)器D改成Z-1，相應(yīng)的變量改成Z域的變量即可。若將120012()()()()( )()()()()rmmrnzzzzzzzzH zHHbzvz

19、vzvzv寫成級(jí)聯(lián)和并聯(lián))()()()(21zHzHzHzHr級(jí)聯(lián)形式：)()()()(21zHzHzHzHr并聯(lián)形式：也可畫出離散系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型模擬方框圖。 級(jí)聯(lián)形式不是唯一的其分子分母可有不同的組合。若零點(diǎn)和極點(diǎn)中有共軛復(fù)根則分解為二次因式。另外，兩種形式中的H1(z)，H2(z)，.，Hr(z) 是不同的。 由離散系統(tǒng)的模擬方框圖也可畫出它的信號(hào)流圖并用流圖的化簡(jiǎn)和梅森公式求出任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的傳輸值或傳輸函數(shù)。 (3)、H(z)與離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性與離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性 可以證明離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是單位函數(shù)響應(yīng)h(k)絕對(duì)可和：0)(kkh 在實(shí)際中我們通常根據(jù)H(z)

20、的極點(diǎn)在Z平面中的位置來(lái)判別比較方便。如果H(z)的所有極點(diǎn)位于Z平面的單位園內(nèi)則系統(tǒng)穩(wěn)定；如在單位園上僅有一階極點(diǎn)則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；如有極點(diǎn)位于Z平面的單位園外則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 如果H(z)的極點(diǎn)不易求得也可以用羅斯判據(jù)來(lái)判別，但羅斯判據(jù)只能判別是否有實(shí)部位正的根。 為能夠使用羅斯判據(jù)可作一個(gè)影射將Z平面的單位園內(nèi)影射到平面的左半平面，單位園外影射到平面的右半平面，單位園影射到平面的虛軸，這種影射稱雙線性變換。 11z0075. 025. 05 . 023zzz05 . 025. 0223zzz例：判別下列方程是否有單位園外的根（1）、（2）、解:（1）、作雙線性變換則原方程化為：075. 32

21、5. 325. 225. 123因系數(shù)不同號(hào)所以原方程就有單位園外的根。羅斯數(shù)列沒(méi)有符號(hào)變化，因此沒(méi)有實(shí)部為正的根，即原方程就沒(méi)有單位園外的根。 解：（2）作雙線性變換則原方程化為：0825. 1025. 3475. 2685. 023計(jì)算羅斯陣列：例：離散系統(tǒng)的方框圖如下，已知系統(tǒng)初值和激勵(lì)為y(0)=1 , y(1)=2 , e(k)=(k)。1、畫出信號(hào)流圖。2、求系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。3、寫出系統(tǒng)差分方程，并求出系統(tǒng)零輸入的初始條件yzi(0) , yzi(1)。4、分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(k)和零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)。解：1、信號(hào)流圖2、求H(z)221231211,4,zLLzLzLzL1221321231)(1zzLLLLL11 zG111z321231)1 ()(21211zzzzzzzzH3,121vv 系統(tǒng)不穩(wěn)定。3、差分方程)() 1()(3) 1(2)2(kekekykyky將k=-2 ,-1 代入差分方程 1) 1()0() 1(3)0(2) 1 (0)2() 1()2(3) 1(2)0(eeyyy