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文檔簡介

1、(一)直線與圓知識要點1.直線的傾斜角與斜率k=tga(aM900),直線的傾斜角定存在,范圍是0,K但斜率不一定存在。斜率的求法:依據(jù)直線方程依據(jù)傾斜角依據(jù)兩點的坐標2 .直線方程的幾種形式,能根據(jù)條件,合理的寫出直線的方程;能夠根據(jù)方程,說出幾何意義。3 .兩條直線的位置關系,能夠說出平行和垂直的條件。會判斷兩條直線的位置關系。(斜率相等還有可能重合)4 .兩條直線的交角:區(qū)別到角和夾角兩個不同概念。5 .點到直線的距離公式。6 .會用一元不等式表示區(qū)域。能夠解決簡單的線性規(guī)劃問題。7 .曲線與方程的概念,會由幾何條件列出曲線方程。8 .圓的標準方程:(xa)2+(yb)2=r2圓的一般方

2、程:x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圓的條件。x=a+r圓的參數(shù)方程:卜=的夕掌握圓的幾何性質,會判斷直線與圓、圓與圓的位置關系。會求圓的相交弦、切線問題。(二)圓錐曲線1 .橢圓及其標準方程:第一定義、第二定義標港方程(注意焦點在哪個軸上),桶扇的荷單幾何性質;4八通的幾何意義,準線方程,焦半徑)桶員的參數(shù)方程H=4Sy=b例包當點R在桶圓上時,可用參數(shù)方程設點的坐標,把I可題轉化大三角談1句題口2 .雙曲線及其標準方程:厚一定義r第二定義I注意與橢圜相類比)精宦方程(注意焦點在哪個軸上I雙曲戲的簡單幾何性質原以六它的幾何意義,港線方程,焦半便,海近我)3 .拋物線及其標準方程:定義,

3、以及定義在解題中的靈活應用(艷物撥上的點到焦點的距離問題經常轉化為到港緯的距離)精隹方程(注意焦點在哪個軸上,開口方向,p的幾何意義】四種瑤式獨物妓的簡單幾何性質焦點坐標,港方程,與焦點有關的結愴)4.直線與圓錐曲線:一位置關系,經京跨化為方程短的解的情況口,蘢長.運用韋達定理解決面積注意合理分析汪思點:(1)注意防止由于零截距”和先斜率”造成丟解(2)要學會變形使用兩點間距離公式目二氏一馬爐+8廠當產當已知直線?的斜率現(xiàn)時,公式變形為d-Ji十寸,卜3-j.l當已知直線的傾斜角色時,還可以得到(3)靈活使用定比分點公式,可以簡化運算。(4)會在任何條件下求出直線方程。(5)注重運用數(shù)形結合思

4、想研究平面圖形的性質或;或八Lfl屈目解析幾何中的一些常用結論:1 .直線的傾斜角疝勺范圍是0,nt)2 .直線的傾斜角與斜率的變化關系:當傾斜角是銳角是,斜率k隨著傾斜角疝勺增大而增大。當a是鈍角時,k與a同增減。3 .截距不是距離,截距相等時不要忘了過原點的特殊情形。4.兩直線:L1:A1x+B1y+C1=0L2:A2x+B2y+C2=0L11L2Ca1A2+B1B2=05.兩直線的到角公式:L#iJL2的角為atan。1+瓦島夾角為atan。=+用后|注意夾角和到角的區(qū)別6.點到直線的距離公式,兩平行直線間距離的求法。7.有關對稱的一些結論點(a,b)關于x軸、y軸、原點、直線y=x的對

5、稱點分別是(a,b),(a,b),(a,b),(b,a)如何求點(a,b)關于直線Ax+By+C=0的對稱點直線Ax+By+C=0關于x軸、y軸、原點、直線y=x的對稱的直線方程分別是什么,關于點(a,又是什么?如何處理與光的入射與反射問題?b)對稱的直線方程8.曲線f(x,y)=0關于下列點和線對稱的曲線方程為:(1)點(a.b)(2)x軸(3)y軸(4)原點1 5)直線y=x2 6)直線y=x3 7)直線x=a9 點和圓的位置關系的判別轉化為點到圓心的距離與半徑的大小關系。點P(x0y0),圓的方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.如果(x0a)2+(y0b)2r2G點P(x0,y0)在

6、圓外;如果(x0a)2+(y0b)2O相離d=C相切dr+RC兩圓相離d=r+RO兩圓相外切|R-r|dr+RQ兩圓相交d=|Rr|=兩圓相內切d0,n0)。定量一一由題設中的條件找到式”中特定系數(shù)的等量關系,通過解方程得到量的大小。(4)在解與焦點三角形(橢圓、雙曲線上任一點與兩焦點構成的三角形稱為焦點三角形)有關的命題時,一般需使用正余弦定理、和分比定理及圓錐曲線定義。(5)要熟練掌握一元二次方程根的判別式和韋達定理在求弦長、中點弦、定比分點弦、弦對定點張直角等方面的應用。(6)求動點軌跡方程是解析幾何的重點內容之一,它是各種知識的綜合運用,具有較大的靈活性,求動點軌跡方程的實質是將曲線“

7、化成方程“,將形“化成數(shù)”,使我們通過對方程的研究來認識曲線的性質.求動點軌跡方程的常用方法有:直接法、定義法、幾何法、代入轉移法、參數(shù)法、交軌法等,解題時,注意求軌跡的步驟:建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍。(7)參數(shù)方程,請大家熟練掌握公式,后用化歸的思想轉化到普通方程即可求解。第二部分解析幾何中的范圍問題(研究性學習之二)在直線與圓錐曲線相交問題中,關于直線的斜率或縱截距的取值范圍,關于圓錐曲線的離心率、長軸長(或實軸長)、軸長(或虛軸長)等有關參量的取值范圍,是解析幾何高考命題以及備考復習的重點問題。對此,一般情況下的解題思路,首先尋覓出(或直接利用)相關的不等式,進而通過這一不等

8、式的演變解出有關變量的取值范圍。在這里,我們對尋覓所給問題中相關不等式的主要途徑和策略作以研討。一、題設條件中的不等式關系”之運用事物都是一分為二的。對于題設條件中明朗或隱蔽的不等關系,既可作為推導或求解的條件而增加難度,也可作為探索或尋覓范圍的切入點而提供方便。在解決范圍問題時,不失時機的利用明顯的不等關系或發(fā)掘隱匿的不等式,往往成為解題的關鍵環(huán)節(jié).,點M (m, 0)到直線AP的距離為例1、已知雙曲線中心在原點,右頂點為A(1,0),點P、Q在雙曲線右支上1.k e(1)若直線AP的斜率為k,且(2)當機=J5+1時,4APQ的內心恰好是點M,求此雙曲線方程分析:對于(1),已知直線AP的

9、斜率k的取值范圍,要求m的取值范圍,首先需要導出k與m的關系式;對于(2),則要利用三角形內心的性質,三角形內心到三邊距離相等;三角形內心與任一頂點的連線為相應的角的平分線;三角形面積等于半周長與內切圓半徑之積等.至于運用哪一性質,還要視題設條件的具體情況來定奪解:(1)由已知設直線AP的方程為y=k(x1),即kxyk=0點M到直線AP的距離為1向一胃1 I d= 1 pss -1 =,但凈向3空介-1|2+1解得3或3T1一咨U1+孚3所求m的取值范圍為二二-=(8w0)(2)根據(jù)已知條件設雙曲線方程為當他=忘+1時,點M的坐標為(及+1,。)-A(1,0),點M到直線AP的距離為1,.A

10、PQ的內切圓半徑r=1,PAM=45,(不妨設點P在第一象限)直線PQ的方程為x=2+a/2,直線AP的方程為y=x1因此解得點P的坐標為(2:血+尼)飛,,2J+l將點P坐標代入雙曲線方程二w所求雙曲線方程為點評:這里的(1),是題設條件中明顯的不等關系的運用;這里的(2),審時度勢的求解出點P坐標,恰如四兩撥千斤”同學們請注意:一不要對三角形內心敬而生畏,二不可總想利用某一性質。沉著冷靜地分析、認知問題,便會逐漸撥開云霧,尋出解題方向例2、設橢圓窗1的兩個焦點是網LW仁,且橢圓上存在點P使得直線即與直線巡垂直.(1)求實數(shù)m的取值范圍;1=2-(2)設L是相應于焦點為的準線,直線正晃與L相

11、交于點Q,若干瑪I,求直線尸石的方程.分析:對于(1),要求m的取值范圍,首先需要導出相關的不等式,由題設知,橢圓方程為第一標準方程,因而這里應有限心。,且:川=,那0便是特設條件中隱蔽的不等關系.對于(2),欲求直線產外的方程,注意到這里題設條件與點P的密切關系,故考慮從求點P坐標突破.解:(1)由題設知解+】二=用且二歷is=二折設點p坐標為(。),則有”片.二一1%一匕勺+二化簡得工;+y;三那小1十下二1聯(lián)立,解得ml即所求m的取值范圍為(2)右準線L的方程為a一2(i)將代入得則.二設點二溶+J/2,-1僧-V/K3-1又由題設知由得冽+J渥T=2J,無解.X9(ii)將相代入得1第

12、十.由題設得-1=2-由此解得m=2#_i_v2而二F,*q二土丁Q從而有-于是得到直線空的方程為y-土(代-漢式-點評:對于(1),解題的關鍵是發(fā)掘并利用題設條件中隱蔽的不等式腐對于(2),以求解點P坐標RI,J5(晶M為方向,對已知條件產鳥I進行數(shù)形轉化”,乃是解決此類已知線段長度之比問題的避繁就簡的基本策略.二、圓錐曲線的有關范圍”之運用我們在學習中已經看到,橢圓、雙曲線和拋物線的范圍”,是它們的第一幾何性質。事實上,我們研究范圍”,一在于認知:認知圓錐曲線特性;二在于應用:應用”它們來解決有關問題。B兩點例、以巧、巧為焦點的橢圓d及與x軸交于A,(1)過風作垂直于長軸的弦MN,求/AM

13、B的取值范圍;e的取值范圍(2)橢圓上是否存在點P,使/APB=120?若存在,求出橢圓離心率a解:(1)基于橢圓的對稱性,不妨設定方為右焦點,m在第一象限,設A(a,0),B(a,0),則/AMB為直線AM到BM的角,又心一工J 利用公式得1+心用血七此時注意到橢圓離心率的范圍:0e1O-烏-2 坦君由得t321溷S2才0,y0根據(jù)公式得整理得.門-2乖必y=.代入得.一】此時注意到點P在橢圓上,故得2 由得一OM二3講O口之弋/5占.住f2aO曰A由得-;p存在且此時橢圓離心率的取值范圍為TJ于是可知,當厘之;反時,點當&003好-加、10人。)6km/二-51331V+13ffp3占工2

14、=5且野+1J-3km而二環(huán)i為二飛+雁二喀3P+1,點P坐標為W+1獷十1)(比WO)又根據(jù)題意知M、N關于直線AP對稱,故有咯4:+13Aa+3km飛1+111t于是將代入得+10優(yōu)=0)4-2Ar3-ROgO)=-1?;?0又這里M(1,0)由赤=2MB得G月)=翼4-L已).必+=0(或工1+2x2=3)進而由得i+2=_32r,Jz二一21y?.由得內二一2(必+為如Q一心&代入得才+毋(S*+卷*)O。-M)(5小+4/)二-蒐獷5(33+4-5-4=-3)3O詞(9-/)=54-1)注意到由得It0=、L故由得Q父學因而得1a0(1d0(1aXic235=1a3(另一方面,再注意

15、到b$=破4s,,4d(3(1ab0,雙方聯(lián)合推出2a的范圍.這里的不等關系的充分挖掘與應用,乃是解題成功的關鍵四、點在圓錐曲線內部的充要條件”之運用所給問題中的某些點,注定要在相關圓錐曲線的內部。比如圓錐曲線的弦的內分點,又如圓錐曲線任意兩弦的交點等。因此,點在圓錐曲線內部的充要條件,便成為尋求某量的取值范圍的基本依據(jù)之一。其中,常用的充要條件為:11門二,一一丁.:1,1、點此q)在橢圓j=10占0)內部O烏+烏2、 L,.“一”222點比0伏”為)在雙曲線j5=10o,0)內部0&-魯,L3、 二-/一4、 jy二.例、已知橢圓的焦點為可(-4風(4),過點與且垂直于x軸的直線與橢圓的一

16、個交點為B,|招引+屬引=io14/氏111121,又橢圓上不同兩點A、C滿足條件:J1131121成等差數(shù)列.(1)求橢圓的方程;(2)設弦AC的垂直平分線方程為y=kx+m,求m的取值范圍.解:(1)由題設得2a=10,c=4a=5,b=3,c=4十-i橢圓方程為二:(2)(設而不解)設綱 j)為4城CF J弦AC的中點姆瓦加則由題意得一向-=2(a甸=。.電工J+g%)。斗占=8故有點-,-1:A、C在橢圓*2守二力5上支/+分=225兩式相減得1,-此=9向一1一七25必寺打kg-)由及所設得上;九,弦AC的垂直平分線方程為尸一汽贊GT)4369/0169用=yn.=%=m由題意得91

17、6士2注意到當x=4時橢圓上點的縱坐標為5,又點在橢圓內部9故得5991616押一用5今)Rff例、已知雙曲線支b的左、右焦點分別為以、外,若在其左支上存在點P且點P到左準線的距離與1尸耳“尸死1成等比數(shù)列,求離心率e的取值范圍.分析:尋求e的范圍的一般途徑為(1)認知或發(fā)掘出本題的不等關系;(2)將(1)中的不等關系轉化為關于a,b,c的不等式;(3)將(2)中的不等式演變?yōu)殛P于e的不等式,進而通過解這一不等式導出所求范圍其中,有關雙曲線上點P處的兩條焦點半徑尸穌尸用的問題,定義中明朗的等量關系:1咫|-回川=2”是認知或求值的理論基礎;而定義中隱蔽的不等關系:I丹J+忸耳J之”則是尋求參量

18、范圍的重要依據(jù)。解:(1)確立不等關系注意到這里產局+1丑聞立出用(2)不等關系演變之一設左支上的點P到左準線的距離為d,則由題意得一二(變形目的:利用第二定義,尋找兩焦半徑與e的聯(lián)系)又點P在雙曲線左支上忸4HF用=編(點P在左支這一條件的應用)111=,由解得叫二2a-+2c,將代入得w-1色一1(3)不等關系演變之二:于是可知,所求離心率e的范圍為第三部分直線與圓錐曲線問題的解題策略(研究性學習眾所周知,直線與圓錐曲線的問題,是解析幾何解答題的主要題型,是歷年來高考備考的重點和高考命題的熱點。多年備考的實踐經驗告訴我們,欲更快地提高解決這類問題的實踐能力,需要切實解決好以下兩個問題:(1

19、)條件或目標的等價轉化;(2)對于交點坐標的適當處理。本文試從上述兩個問題的研究切入,對直線與圓錐曲線問題的解題策略作初步探索,希望對高考備考有所幫助。一、條件或目標的認知與轉化解題的過程是一系列轉化的過程。從某種意義上說,解題,就是要將所解的題轉化為已經解過的題。然而,轉化的基礎是認知一一認知已知、目標的本質和聯(lián)系。有了足夠的認知基礎,我們便可以著力實踐化生為熟或化繁為簡的轉化。1、化生為熟化生為熟是解題的基本策略。在直線與圓錐曲線相交問題中,弦長問題及弦中點問題是兩類基本問題。因此,由直線與圓錐曲線相交引出的線段間的關系問題,要注意適時向弦長或弦中點問題轉化。一但轉化成功,解題便得以駕輕就

20、熟,勝券在握。(1)向弦中點問題轉化/之后;-w=例1.已知雙曲線=1=1(a0,b0)的離心率3,過點a(0,-b)和b(a,0)的直線與原點間的距離為(1)求雙曲線方程;m的取(2)若直線V上“*朋(km#O)與雙曲線交于不同兩點C、D,且C、D兩點都在以A為圓心的同一個圓上,求值范圍。略解:y=1(1)所求雙曲線方程為3(過程略)y-化工+m0比二-l)xa 4 6k靛41)一口*j2由工一少7消去y得:k+也由題意知,當學一亍時,皂-1及-貨+10o泡-優(yōu)?+1口設C弧,DG%).CD中點P區(qū),yj則C、D均在以A為圓為的同一圓上=HF_LS.3kmm3Km1饕3s=-57=-5上加=

21、又一一:“一一一APIS。缺-畫-1=J-Q3M=4廨+3k醴上口4ffi3+10ffl2于是由得4由代入得*一4用;口,解得m4(-g0U&+8)于是綜合、得所求m的范圍為4(2)例2.(1)向弦長問題轉化設F是橢圓1g.27的左焦點,M是C1上任一點,P是線段FM上的點,且滿足(2)過F作直線l與C1交于A、D兩點,與C2交點B、C兩點,四點依A、B、C、D順序排列,求使lC)l = 2AZ:成立的求點P的軌跡C2的方程;直線l的方程。分析:為避免由代換引發(fā)的復雜運算,尋覓替代CD卜 2AS的等價條件:設弦 AD、BC的中點分別為01、02,則,故*5于是,所給問題便轉化為弦長與弦中點問題

22、。略解:Od橢圓C1的中心 -點P分FM所成的比入=2三.匕=1(1)點P的軌跡C2的方程為43(過程略)設直線i的方程為力),(馬,力代入橢圓C1的方程得(4Jta4-3)#+(8P-3)x+4Jta-州1=Q43-SV星+%=故有:-9k3-Sia故弦AD中點01坐標為13(A3-Fl)代入橢圓C2的方程得(聯(lián)O+跳工+4-12=0又有一一“”一、二故弦BC中點02坐標為k-+3,4k3+3P10|=,由、得|QD|=2Moi0=口皿一躍|)注意到6于是將、代入并化簡得:1:7,1:-由此解得2。因此,所求直線l的方程為后七2A行=12.化繁為簡解析幾何是用代數(shù)計算的方法解決幾何問題,因此

23、,解答解析幾何問題,人們都有這樣的共同感受:解題方向或途徑明朗,但目標難以靠近或達到。解題時,理論上合理的思路設計能否在實踐中得以實現(xiàn)?既能想到,又能做到的關鍵,往往在于能否化繁為簡?;睘楹喌牟呗?,除去化生為熟”之外,重要的當數(shù)錯重投影”或避重就輕”。(1)借助投影對于線段的定比分點以及其它復雜的線段間關系的問題,當題設條件的直接轉化頗為繁雜時,不妨運用當初推導定比分點坐標公式的基本方法;將線段上有關各點向x軸(或y軸或其它水平直線)作以投影,進而利用平行線分線段成比例定理推理或轉化,這一手法往往能夠有效地化解難點,將人們引入熟悉的解題情境。例3.如圖,自點M(1,-1)引直線l交拋物線”鏟

24、于P1、P2兩點,在線段P1、P2上取一點Q,使岷國、陽,必與1的倒數(shù)依次成等差數(shù)列,求點Q的軌跡方程。解:設】一一I:又設直線l的方程為y代入y=得產一日+&包=口由題意得:;一1-0上2+2北蒞十電=此I且占勺=上川21_又由題意得函二兩十兩作P1、Q、P2在直線y=-1上的投影P1FQ,、P2(如圖)CL(Ct71),f又令直線1的傾斜角為2則由雙皆與,彼得阿MP:2_i3m一=蜀,阿卜三-31rli8血8fd同理,IOcos a,將上述三式代入得MQ =z- 1- 1-1!cos a2缶十后)-2,將代入得x- 1 _ 2 2_Jc-2,將代入得于是由、消去參數(shù)k 得 *3+2 y7Q

25、2x-y+1 = 0再注意到式,由得1-血 UU1 或 +應因此,由、得所求點Q的軌跡方程為-y41=0(1-x1或1Cjc0由題意Xt+-1藥x-=-4由韋達定理得4.AB=Jl+k2-x3|=J5*J23十門芯+町b+1再設AB中點為凡4/口),則有22,為=2/tB=-L即有尸(-,-1).“=-pd=_Uri注意到四邊形ABCD為矩形,故有ML,且24yH-1_1x+i2由此得小4由(4)得上=-2大一切一5+L卜代入(5)得化簡得(尸W)包/=也+170再注意到中2,由(5)得J54.尸-1因此由、得所求動點M的軌跡方程為(5丫1卜+-=-彳(釬4)(產工-1)點評:本例是立足于一條

26、直線與曲線相交”的問題。這里所說的立足于一條直線與曲線相交”的問題,是指這樣兩種題型:(1)問題由一直線與曲線相交引出;(2)問題中雖然出現(xiàn)多條直線與同一曲線相交,但這些直線的引出存在著明顯的順序(或依賴關系),整個問題構建在某一條直線與曲線相交的基礎之上,對此,我們的求解仍倚仗于對交點坐標既設又解”的策略。這里的解”,是解直線方程與曲線方程所聯(lián)立的方程組,是半心半意”地求解,解至中途運用韋達定理,因此,此類問題的解題三部曲為(1)全心全意地設出交點坐標;(2)半心半意”地求解上述方程組,解至中途運用韋達定理;(3)對題設條件主體進行分析、轉化,使之靠攏并應用(2)的結果導出既定目標。2、真心

27、實意,求解到底當目標的轉化結果不是交點橫標(或縱標)的對稱式,而是交點坐標的個體時,則需要真心實意地將求解交點坐標進行到底。例2.正方形ABCD的中心為M(3,0),一條頂點在原點,焦點在X軸正半軸上的拋物線E,一條斜率為彳的直線l,若A、B兩點在拋物線E上,而C、D兩點在直線l上,求拋物線E和直線l的方程。解:由題意設拋物線E的方程為,=工蘆標、口),又設正方形ABCD的(一條)對角線的斜率為k,k-1則由tan 45二3_1+”3y=2(73v=ta-3)直線AM、BM的方程分別為2再設-k=1則由世虧得4=-%又點A、B在拋物線E上,故有4-3)2-物,1工1N4勺=1#于是由、解得求解

28、(交點坐標)便盡量回避。1、設而不解這里所謂的設而不解”,是指設出交點坐標之后,借助已知方程,運用交點坐標去表示已知條件或主要目標。其中,用所設交點坐標去構造有關直線的斜率最為多見。例1.設橢圓4X”+73=1白的上半部有不同三點A、B、C,它們到同一焦點的距離依次成等差數(shù)列,且點B的縱坐標與橢圓的半焦距相等,求線段AC的中垂線在y軸上的截距。分析:考察線段AC的中垂線方程,易知其斜率由點A、C同名坐標的差式表出,弦中點由點A、C同名坐標的和式表出。由此想到對交點坐標設而不解”,并借助焦點半徑公式求解。解:設題1內,母4,力)但/),弦AC中點M(x0,y0)。而1=4,b=2,國=,_=由已

29、知橢圓方程得-|幺居I=ALI)設橢圓方程為心。又設陷卜,則由題意得|圖。卜聲根據(jù)橢圓定義得戶用+忸叫31+依閭初,+|PQ|+,代入得U+在上=4療,解得1=(4-271”再由兩竭叫得晦琲才一1+/仆.代入得(4- 2 點對 + (272 - 2對=4/-7=-1)化簡得,,由此解得白口布一百。(2)借助有關圖形性質回避交點坐標例3.已知直線1:*+2P-3口與。C-凝+y+x-2ay+a0相交于a、b兩點,當匚4_LCF時,求。c的方程。提示:圓心C到弦AB的距離(弦心距)注意到由圓的弦的性質得=而=八=加二,由此解得a的值。(3)利用有關問題的深入認知回避交點坐標這是處置直線與曲線乃至兩

30、曲線相交問題的重要策略,現(xiàn)以例4示范說明。2口.-I-例4.已知圓M與圓V-了戶1口二口相交于不同兩點A、B,所得公共弦AB平行于已知直線2工一4-1口,又圓M經過點C(-2,3),D(1,4),求圓M的方程。解(利用對圓的根軸方程的認知迪避交點坐標):設圓M方程為工、產野士口又已知圓方程為八得上述兩圓公共弦AB所在直線方程加+如力戶伊-1口).口D2=_=a+2/=-14.由題設得中了E注意到點C、D在圓M上,故有3H9TZ?十4區(qū)十尸1=一17a將、聯(lián)立解得D=2 = 10F21所求圓M的方程為1+/+以-1021=口四、高考真題1.已知橢圓的中心為坐標原點O,焦點在x軸上,斜率為1且過橢

31、圓在焦點F的直線交橢圓于A、B兩點,0A+OBH共線。(1)求橢圓的離心率;(2)設M為橢圓上任意一點,且0M=WA+0B6L,證明,01為定值。分析:(1)求橢圓離心率,首先要求關于a,b,c的等式。為此,從設出橢圓方程與直線AB的方程切入,運用對A、B坐標既設又解”的策略;設而不解”。(2)注意到這里的點為橢圓上任意一點,故考慮對點的坐標解:工y(1)設橢圓方程為戊h則直線ab方程為y=c將代入橢圓方程得(aa+浜講-2(!?aM+a由韋達定理得(ca-2a)-0由題意3口O此個一土口a3e3-(a3+2a)(e3-ia)02a*c口與與-又三,或十國與I共線一13(71斗Fa)+(工1+

32、/)=口o取勺中工力=攵O/=Qa7=3(-t3)=2er2=ie27e即所求橢圓的離心率為-(2)由(1)得/3,,橢圓方程化為爐+犯,=城設而心區(qū)切,由題設得出加煙,內沁嶺必)X=丘】十國.y=M十5點M在橢圓上#話+3檔)后3必)+2%(為迪+牙必”貨X.4-=瑞耳三久:電T3=C3.A3=C3又由(1)知,2822L一十一一一一-可工14-3(+三上+=ca-C34-3e3=I3M (# + *)二通?220將、代得即只4為定值。點評:對于(1),立足于對A、B坐標既設又解”,對。A+0B與a共線的充要條件叉門十九)十(工】十與)口,先轉化”而后代入”,與先代入”而后化簡比較,計算量要

33、明顯減少。因此,諸如此類的問題,要注意選擇代入”的形式或時機,以求減少解題的計算量。2.P、Q、M、N四點都在橢圓# + 上=1一 一2 上,F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點,已知PF與PQ共線,MF與FN共1 線,且PF,MF = 0 ,求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。分析:這里必=辰,b=1,c=1,故F(0,1)由題設知PQLMN ,四邊形PMQN的面積等于,因此解題從求忸口MN切入。解:這里胃二企,b=1,c=1,F(0,1),由PF-MF=。得戶產_LMF,即戶21MM直線PQ,MN中至少有一條直線斜率存在。不妨設pq的斜率為k,則直線pq的方程為1又設將代入橢圓方程得:工1-A

34、02k1+2鹿產 且.11+2._(1)當*手口時,直線MN的斜率為上2卷(-孑十12點紜十1)同理可得(-乎十2=1|MN|PQ|.四邊形PMQN的面積;4伏-1)4抬十/2)(爐+2)0心+1)次4+$1+25+2(Jt2+J-)口二M+4令上,則口一(當且僅當fc=1時等號成立)q43+2)口5+川NZS=.當*=1時,9,S是以為自變量的增函數(shù)(2)當*=口時,MN為橢圓的長軸,I,I-IS12.所求式的取值范圍為UN”)直線AB的方程為y-3-fx-l)即匯事Y-4.Q(2)由題設知,線段CD垂直平分線段AB直線cd的方程為1y-3=工-1即工-,+2=0將與橢圓方程聯(lián)立,消去y得-

35、.-4.-r一,,一CD的中點為幽4516-口。O八3尾十勒二一14一衛(wèi)%勾=丁且一W二|,即必-釜注意到由(1)可得網J1+%7小依4T2)由可得必卜、可卜訃由.當 212 時,ab 12時,a、b、c、D四點均在以M為圓心,以為半徑的圓上。點評:在這里,對A、B及C、D的坐標均是 既設又解”,解到中途運用韋達定理導出同坐標之間的關系式;對于( 要切實認知條件的特殊性,根據(jù)問題的特殊性,這時化生為熟,轉化為熟悉的弦長或弦中點問題。2),4.已知方向向量為的直線l過點(。2仃)和橢圓 J /(八人。)的焦點,且橢圓c的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上 (1)求橢圓C的方程;(2)是否存在過點E (-2, 0)的直線m交橢圓C于點M、N ,滿足3(

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