第三章__線(xiàn)性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

1、自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理東華理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院自動(dòng)化系東華理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院自動(dòng)化系3.13.1系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)3.23.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.33.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.43.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.53.5線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.63.6線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 3.1 3.1 概述概述 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立后，便可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分分析和校正析和校正。 分析和校正是自動(dòng)控制原理課程的兩大任務(wù)。 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析是由已知的系統(tǒng)模型確定系統(tǒng)的性能指標(biāo)； 校正校正是根據(jù)需要在系統(tǒng)中

2、加入一些機(jī)構(gòu)和裝置并確定相應(yīng)的參數(shù)，用以改善系統(tǒng)性能，使其滿(mǎn)足所要求的性能指標(biāo)。系統(tǒng)分析的目的在于系統(tǒng)分析的目的在于“認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)”系統(tǒng)，系統(tǒng)校正的目的在于系統(tǒng)，系統(tǒng)校正的目的在于“改造改造”系系統(tǒng)。統(tǒng)。系統(tǒng)的分析校正方法一般有時(shí)域法、根軌跡法和頻域法，本章介紹時(shí)域法。 3.1系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo) 1典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào)動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程又稱(chēng)瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程又稱(chēng)瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) (Transient Response & Steady state Response)。在典型輸入信號(hào)作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都有動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)過(guò)程過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程穩(wěn)態(tài)

3、過(guò)程兩部分組成。在典型輸入信號(hào)作用下，指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因，系統(tǒng)的輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化。動(dòng)態(tài)過(guò)程表現(xiàn)為、或。一個(gè)實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)其動(dòng)態(tài)過(guò)程必須是的，即系統(tǒng)必須是的。在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng) t 趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出量的表現(xiàn)方式。 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。在分析控制系統(tǒng)時(shí)，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)一種度量。在分析控制系統(tǒng)時(shí)，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間，同時(shí)也要研究系響應(yīng)，如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間，同時(shí)也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特

4、性，。： 在許多實(shí)際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)，常在許多實(shí)際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)，常以時(shí)域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，系以時(shí)域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，系統(tǒng)在初始條件為零（靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)統(tǒng)在初始條件為零（靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)為數(shù)為0），對(duì)階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)。實(shí)際控制系統(tǒng)的），對(duì)階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)。實(shí)際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程，瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程，為了說(shuō)明控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，為了說(shuō)明控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，

5、通常采用下列一些性能指標(biāo)。通常采用下列一些性能指標(biāo)。 1、延遲時(shí)間td：響應(yīng)曲線(xiàn)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間，叫延遲時(shí)間。 2、上升時(shí)間tr：響應(yīng)曲線(xiàn)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時(shí)間。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。 3、峰值時(shí)間tp：響應(yīng)曲線(xiàn)超過(guò)其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。4、調(diào)節(jié)時(shí)間ts:在響應(yīng)曲線(xiàn)的穩(wěn)態(tài)線(xiàn)上，用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%）作一個(gè)允許誤差范圍，響應(yīng)曲線(xiàn)達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)，所需的時(shí)間 ( )( )%100%( )ph thh5、最大超調(diào)量 %trtr、tptp評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度 . .tsts同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻

6、尼程度的同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)綜合性指標(biāo) . . 評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度 %3.2 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析i(t)+r(t)c(t)+（a） 電路圖RC)(trUdtduRCcc)()()(trtCtCTR(s)C(s)（b）方塊圖I(s)R(s)C(s)（c）等效方塊圖11)()()(TSsRsCs當(dāng)初始條件為零時(shí)，其傳遞函數(shù)為 這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)。下面分別就不同的典型輸入信號(hào)，分析該系統(tǒng)的時(shí)域響下面分別就不同的典型輸入信號(hào)，分析該系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。應(yīng)。 其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為

7、電路輸入電壓，T=RC為時(shí)間常數(shù)。 1、一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 其傳遞函數(shù)為( )11/( )( )11/C sTsR sTSSTT11 特征方程：特征方程：01Ts特征根：特征根：11/( )( ) ( )( )( )11/TC ss R sR sR sTSST 1( )1( )( ) r ttR ssTssTsBsAsTssRssC1111111)()()(待定系數(shù)如下待定系數(shù)如下sAsTssRs111)()(1111)()(0SsTsssRsA當(dāng)：當(dāng)：有：有：1111)()(TsBsTssRs11111 - STB(Ts)TTss 當(dāng)：當(dāng)：有：有：tTesCLth 111)()(TssTs

8、TssTssRssC11111111)()()(求拉氏反變換有：求拉氏反變換有：1( )10 tTh tet 圖3-4指數(shù)響應(yīng)曲線(xiàn)1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)( )h t傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一個(gè)結(jié)論不僅適的瞬態(tài)分量。這一個(gè)結(jié)論不僅適用于一階線(xiàn)性定常系統(tǒng)，而且也用于一階線(xiàn)性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線(xiàn)性定常系統(tǒng)。適用于高階線(xiàn)性定常系統(tǒng)。 Ttd69. 0Ttr20. 2誤差帶）%5(3Tts不存在和pt2、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 響應(yīng)曲線(xiàn)呈單調(diào)下降，無(wú)超調(diào)，無(wú)振蕩，在t=

9、0 處下降速率最大，之后速率變小，且下降速率 與時(shí)間常數(shù) 成反比，即T越小，下降速率越快。 t( )c t03. 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 21( )*1( )( ) r tttR sS單位斜坡函數(shù)輸入時(shí) TSTSTSSTSsRssC11111)()()(222tTtTTeTteTttc11)1 ()(r(t)c(t)r(t)c(t)t0圖3-5 一階系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為 Tteetss)(lim結(jié)論：一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡信號(hào)時(shí)，總存在位置誤差，且位置誤差的大小隨時(shí)間而增大，最終趨時(shí)間常數(shù)T，因此T越大則誤差也越大。 減少時(shí)間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，

10、還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差 4. 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 221)(ttr31)(SsRTSTs11)(TSTSTSTSTSDSCSBSASTSsRssC1111)11()()()(2223233當(dāng) )0()1 (21)(122teTTtttctT)1 ()()()(12tTeTTttctrte積分積分積分積分3.3 3.3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析22222( )1( )( )221nnnC ssR sST ST0222nnSS二階系統(tǒng)的特征方程： 21,21nnSj 根表達(dá)式： 若系統(tǒng)阻尼比 :0njS2, 1零阻尼系統(tǒng) :10欠阻尼系統(tǒng) 21.2211nnnnnds

11、jj :1ns2 . 1臨阻尼系統(tǒng) :1過(guò)阻尼系統(tǒng) :0 負(fù)阻尼系統(tǒng) 02, 1SS1,2 = 為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根 一對(duì)純虛根 （一對(duì)復(fù)數(shù)根 ） （一對(duì)負(fù)的重實(shí)根 ） 取值范圍不同，特征根形式不同，響應(yīng)特性也不同1. 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) (1)欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 1021,21nndSjj n21nd令衰減系數(shù) 阻尼振蕩頻率222222211( )( ) ( )2()()nnnnnndndSC ss R sSSSSSS取拉氏反變換 sin1cos1)(2ttetcddtn211sin()01ntdett 121arccos12 arctg阻尼角阻尼角一對(duì)共軛負(fù)復(fù)數(shù)根(2)臨界阻尼1

12、SsRtutr1)(,)()(nnnnnSSSSSsC1)(11)()(2220)1 (11)(tteetethnttntnnn單位階躍響應(yīng)是一條無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升曲線(xiàn)單位階躍響應(yīng)是一條無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升曲線(xiàn)取拉氏反變換 21,21nndSjj (3)過(guò)阻尼 1SsRtutr1)(,)()(21,21nndSjj 一對(duì)負(fù)的重實(shí)根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根0)1(121)1(1211)()1(22)1(2222teethttnn=11(4)無(wú)阻尼情況無(wú)阻尼情況(=0)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 nnnjs122, 1ttcncos1)(222222221112)(nnnnnnsssssssssC系統(tǒng)一對(duì)純虛根系

13、統(tǒng)一對(duì)純虛根所以, 無(wú)阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是等幅正(余)弦振蕩曲線(xiàn)(如圖3-8所示), 振蕩角頻率是n。根表達(dá)式：根表達(dá)式：其振蕩頻率為而只能測(cè)得 實(shí)際控制系統(tǒng)通常有一定的阻尼比，因此不可能通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得 n而只能測(cè)得d020040060080010001200140000.20.40.60.811.21.41.61.82011015.二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)計(jì)算 （1）延遲時(shí)間td1021,21nndSjj 一對(duì)共軛負(fù)復(fù)數(shù)根延遲時(shí)間td、上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、調(diào)節(jié)時(shí)間ts、最大超調(diào)量%0,)sin(111)(2ttethdtnarccos1,5 . 0)(2arctgthd令令

14、210.60.210.7dnnt10所以當(dāng)所以當(dāng)延遲時(shí)間td（2）上升時(shí)間tr1)(rth令令21sin()01ntd ret求得 rdt求得 rtn欠阻尼二階系統(tǒng)欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參量的特征參量各指標(biāo)之間是有矛盾的各指標(biāo)之間是有矛盾的（3）峰值時(shí)間tp對(duì)h(t)求導(dǎo)，并令其為零， dpt( )0dh tdt解得（4）最大超調(diào)量%超調(diào)量在峰值時(shí)間發(fā)生在tp時(shí)刻 %100%100)()()(%21ehhthp（5）調(diào)節(jié)時(shí)間ts)02. 0(4)05. 0(3nSnStt20.10.911 當(dāng)通過(guò)對(duì)調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量與阻尼比之間關(guān)系得比較，可以得出如下的基本結(jié)論：調(diào)節(jié)時(shí)間 ts、 %21p2 ,

15、100%exp() 100%1rdte某位置控制系統(tǒng)(隨動(dòng)系統(tǒng))，其閉環(huán)傳遞函數(shù)2( )mKsT SSKmnmTKKT21矛盾阻尼大，超調(diào)小矛盾！矛盾！n一定, tr 速度慢用什么辦法來(lái)改善系統(tǒng)性能呢？KnK6二階系統(tǒng)性能的改善二階系統(tǒng)性能的改善在前向通道串連一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)(PD)，閉環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)椋?222222(1)()( )2(2)ndnndnnnnT SSzsSS TSz SS = +0.5nTd， z=Td-1（零點(diǎn)）（1）比例）比例微分控制微分控制1C(s)R(s)n2s(s+2n)Tds1+TdsC(s)R(s)n2s(s+2n)可通過(guò)適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)Td，改變系統(tǒng)阻尼比x

16、(變大)；比例微分控制(PD)可以不改變自然頻率wn，但可增大系統(tǒng)的阻尼比x；阻尼比x增大，但自然頻率wn不變，因此系統(tǒng)的性能得到了改善(sp,ts)。但PD控制同時(shí)給系統(tǒng)增加了一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，零點(diǎn)是如何影響系統(tǒng)響應(yīng)的還需進(jìn)行深入的研究：2.速度反饋控制標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)加速度負(fù)反饋，其開(kāi)環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)分別變?yōu)椋?20222222( )(2)( )(2)nnnnnnnG ssssss 系統(tǒng)自激振蕩頻率不變，阻尼比增大為： 0.5n sC(s)R(s)n2s(s+2n)結(jié)論：測(cè)速反饋會(huì)降低系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，從而會(huì)加大系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差測(cè)速反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率不變；系統(tǒng)的阻尼比增大；測(cè)速反饋不

17、形成閉環(huán)零點(diǎn)，與PD對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善程度不相同； 設(shè)計(jì)時(shí)，可適當(dāng)增加原系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，以減小穩(wěn)態(tài)誤差。3.4 3.4 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時(shí)域響應(yīng)，進(jìn)而確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。但是，高階系統(tǒng)的分析計(jì)算比較困難，同時(shí)，在工程設(shè)計(jì)的許多問(wèn)題中，過(guò)分講究精確往往是不必要的，甚至是無(wú)意義的。3.4.1高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)3.4.2閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念3.4.3高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似分析設(shè)系統(tǒng)的所有零點(diǎn)、極點(diǎn)互不相同，且極點(diǎn)中有q個(gè)實(shí)數(shù)

18、極點(diǎn)和r對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)(q+2r=n)，零點(diǎn)中只有實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為()/222iknknk11( ) 1( )( )( )()(2)qn qikM sM sC sD s sssPss 零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為：(3-32)iknkqrPt tknk0idkki=1k=1dkB ( ) e+esin( t+ )C t 式中A0、Ai、Bk都是進(jìn)行部分分式展開(kāi)時(shí)所確定的常數(shù)，與系統(tǒng)零極點(diǎn)分布有關(guān)。結(jié)論：1)系統(tǒng)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成；2)瞬態(tài)分量取決于它們的指數(shù)Pi、knk的值和相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)Ai、Bk：系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸越遠(yuǎn)，即Pi或knk

19、值越大，則該項(xiàng)衰減越快，反之亦然；瞬態(tài)分量的系數(shù)與閉環(huán)零極點(diǎn)相對(duì)位置有關(guān):如果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近【偶極子】，則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小(Pi-Zi0)，這對(duì)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響也將很小。3)即系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由那些靠近虛軸而又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)來(lái)決定。 3.4.2 3.4.2 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念如系統(tǒng)的某個(gè)(對(duì))極點(diǎn)離虛軸最近，且其附近又無(wú)零點(diǎn)存在，而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的5倍以上，則系統(tǒng)的瞬態(tài)特性將主要由這個(gè)(對(duì))極點(diǎn)來(lái)確定，而其它極點(diǎn)的影響可以忽略不計(jì)，這個(gè)(對(duì))極點(diǎn)就稱(chēng)為高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。如：s1s2s3n主導(dǎo)極點(diǎn)示意圖5ns1,2是

20、主導(dǎo)極點(diǎn)，因?yàn)镽es35Res1高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因此高階系統(tǒng)可以常用主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)來(lái)近似。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按二階系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)來(lái)估計(jì)。在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時(shí)，常利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念來(lái)選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，故可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的應(yīng)用1)閉環(huán)零點(diǎn)的作用為減小峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，并且閉閉環(huán)零點(diǎn)的作用為減小峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，并且閉環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸，這種作用越顯著；環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸，這種作用越顯著；2)閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)的作用為增大峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度變緩；閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)的作用為增大峰值時(shí)間，使

21、系統(tǒng)響應(yīng)速度變緩；3)若閉環(huán)零、極點(diǎn)彼此接近，則它們對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)速度的影響相互削若閉環(huán)零、極點(diǎn)彼此接近，則它們對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)速度的影響相互削弱；弱；4)若系統(tǒng)不存在閉環(huán)零點(diǎn)和非主導(dǎo)極點(diǎn)，則式若系統(tǒng)不存在閉環(huán)零點(diǎn)和非主導(dǎo)極點(diǎn)，則式(369)還原為式還原為式(322)。在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問(wèn)題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動(dòng)時(shí)，會(huì)使被控制量偏離原來(lái)的平衡工作狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無(wú)法正常工作的。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。3.5.1 穩(wěn)定的概念與定義3.5.2 線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3.5.3 穩(wěn)

22、定判據(jù)1 穩(wěn)定的概念與定義穩(wěn)定性有多種定義，這里只討論其中最常用的一種，即漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性：穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外界輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。在下面的討論中，如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在小偏差線(xiàn)性化的基礎(chǔ)上，則認(rèn)為系統(tǒng)中各信號(hào)的變化均不超出其線(xiàn)性范圍。此時(shí)，該系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的定義。 2線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，外部激勵(lì)為輸入信號(hào) ( )( )r tt線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定要滿(mǎn)足 的條件，實(shí)際上取決于其特征根，也即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) .( )0limtg tc(t)=A0+A1es1t+Anesnt 3 3勞思勞思赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

23、（1）赫赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)特征方程： 043223140asasasasa4203142031000000aaaaaaaaaa系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：特征方程的全部系數(shù)都為正，特征方程的全部系數(shù)都為正，且主行列式及對(duì)角線(xiàn)上的子行且主行列式及對(duì)角線(xiàn)上的子行列式都大于零。列式都大于零。 000000000000, 0, 0, 0246403142031321413314203123021203114321aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa即：即：當(dāng)系統(tǒng)特征方程的次數(shù)當(dāng)系統(tǒng)特征方程的次數(shù)較高時(shí)，應(yīng)用赫爾維茨較高時(shí)，應(yīng)用赫爾維茨判據(jù)的計(jì)算工作

24、量較大判據(jù)的計(jì)算工作量較大 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程所有系數(shù)均為正，則系統(tǒng)可能系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程所有系數(shù)均為正，則系統(tǒng)可能穩(wěn)定，則可用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。勞思表中第一列的所有元素都大于零，穩(wěn)定，則可用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。勞思表中第一列的所有元素都大于零，系統(tǒng)必定穩(wěn)定。系統(tǒng)必定穩(wěn)定。 (2) (2)勞思穩(wěn)定判據(jù)勞思穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程的標(biāo)準(zhǔn)形式： 01110nnnnaSaSaSa02461135721234312342121101nnnnSaaaaSaaaaSbbbbSccccSeeSfSg141713131512121311170613150412130211bbaabcbbaabcbbaa

25、bcaaaaabaaaaabaaaaab判別方法：如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。舉例(1)三階系統(tǒng)特征方程式： 0322130asasasa30130213122030asaaaaasaasaas列勞斯表： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： 0)(0, 0, 0, 030213210aaaaaaaa特殊情況一（第一列中有一元素為零） 012234ssss10221221110234sssss22, 0有兩個(gè)根位于右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)

26、定。 注意：勞斯表每列元素同時(shí)乘或除某一個(gè)數(shù)，不影響計(jì)算結(jié)果。特殊情況二（勞斯表中一行元素均為零）： 0161620128223456ssssss征方程為: 80348301240008610161221620810233456ssssssss輔助方程：sssAsssA124)(86)(324 第一列沒(méi)改變符號(hào)，右半平面沒(méi)有根 08624 ss2,20)2)(4(842864321222424jPjPsssssss有一對(duì)共軛虛根。輔助方程： 至少有三種情況：1、特征方程有一對(duì)實(shí)根，大小相等，符號(hào)相反2、有一對(duì)虛根3、有對(duì)稱(chēng)于S平面原點(diǎn)的共軛復(fù)根 舉例：試用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益K的取值

27、范圍 ) 125. 0)(11 . 0(SSSKR(s)C(s)kssskksssksWB4040144040)4)(10(40)(3閉環(huán)傳函： 系統(tǒng)特征方程式：040401423kssskskskss400144056040144010123為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須 40k0即k00k14 5604001414kKk0是終值定理3、階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù) .)(,)(000SRsRRRtr常量。000000( )lim( )limlim* ( )*1( ) ( )1( ) ( )1lim( ) ( )1ssssssRRsR sssesE sR sH s G sH s G sH

28、s G ssKp0lim( ) ( )psKH s G s靜態(tài)位置誤差系數(shù):pK令1,0,KKp1,00,10constKRess則000lim( )( )( )( )sKKG s H sG s Hsss由如果要求對(duì)于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用型及型以上的系統(tǒng)。習(xí)慣上，階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱(chēng)為靜差。 4、斜坡輸入作用下的靜態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù) 0002( )( ) =vr tv tvconstR ss)673()()(lim)()(lim)()(1lim00000200vsssssKvsGsSHvsGsSHSvsGsHSvSe)683(lim)()(lim100SKsGsSH

29、Kssv令稱(chēng)為靜態(tài)速度誤差系數(shù) ，指系統(tǒng)在速度(斜坡)輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在 2100KKv20100Kvess000lim( )( )( )( )sKKG s H sG s Hsss由結(jié)論：0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)不能跟蹤斜坡輸入型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)能跟蹤斜坡輸入，但存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)位置誤差型及型以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)能準(zhǔn)確跟蹤斜坡輸入信號(hào)，不存在位置誤差 5、加速度輸入作用下的靜態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù) )613()(,21)(30020由式SasRconstatatr)693(lim)()(lim)()(1lim)(lim0022003000assssssKasHsGSSasHsGSaSsSEe

30、)703(lim)()(lim2020vssaSKsHsGSK度誤差系數(shù)定義為系統(tǒng)的靜態(tài)加速aK321 , 00KKa3021 , 00constKaess令令 令令關(guān)）有關(guān)、開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有就越?。ㄅc系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)誤差系數(shù)K分析結(jié)論：（1）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)有關(guān)（2）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K基本成反比關(guān)系。對(duì)于有差的系統(tǒng)，K值越大穩(wěn)態(tài)誤差越小。（3）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)數(shù)有關(guān)。積分環(huán)節(jié)數(shù)增加，穩(wěn)態(tài)誤差減小，但 同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。 0/K例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求求 r(tr(t) )分別為分別為A1(t), At, AtA1(t), A

31、t, At2 2/2 /2 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解解KTssTsssRsEse )1()1()()()()( 1)(tAtr 0)1()1(lim01 sAKTssTsssessstAtr )(KAsAKTssTsssesss 202)1()1(lim22)(tAtr 303)1()1(limsAKTssTsssesss 系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)影響影響 e essss 的因素：的因素： 外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等）外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等） 外作用的類(lèi)型（控制量，擾動(dòng)量及作用點(diǎn)）外作用的類(lèi)型（控制量，擾動(dòng)量及作用點(diǎn)）構(gòu)根據(jù)定義求解構(gòu)根據(jù)定義求解例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入 , 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。242)(tttr 解解)() 1()(21assTsKsG 21vaKK)1()()(121 TsKassKs0)(1123 KTsKasssDttr2)(1 01 sse2222184)(tttr 128KaKAess 1218Kaeeessssss 首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定勞斯表勞斯表6、擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 )(sR)(sG)(sE)(1sG)(sG)(2sG)(sH)(sC)(sN- -N N( (s s) )C C(