等邊三角形專題最新(含詳解析)

1、2.（2017天津第9題）如圖，將 ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)600得 DBE,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB延長線上，連接 AD .下列結(jié)論一定正確的是（）C C.AD/BC D . AD BC3. （2017天津第11題）如圖，在 ABC中，ABAC , AD,CE 是ABC的兩條中線，P.下載可編輯.是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長度等于BP EP最小值的是（A. BC B . CE C. AD D . AC17. （2017河池第12題）已知等邊 ABC的邊長為12, D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過 D作DE AC于點(diǎn)E ,過E作EF BC于點(diǎn)F ,過F作FG AB于點(diǎn)G .當(dāng)G與D重合時(shí)，AD的長是（

2、）A. 3 B .4 C. 8 D . 910. （2008 荷澤中考）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A, E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC正三角形CDE AD與BE交于一點(diǎn)O, AD與BC交于點(diǎn)P, BE與CD交于 點(diǎn)Q,連結(jié)PQ以下五個(gè)結(jié)論： AD=BE PQ/ AE;AP=BQDE=DP/ AOB=60 . 恒成立的有 （把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）.16、（2009 義烏中考）如圖，在邊長為4的正三角形 ABC中，AD BC于點(diǎn)D,以AD為邊向右作正三角形 ADE（1）求 ABC的面積S;（2）判斷AG DE的位置關(guān)系，并給出證明。等邊三角形練習(xí)題1. （2012?深圳）如

3、圖，已知：/ MON=30，點(diǎn)Ai、A、A3在射線 ON上，點(diǎn) B、B、巳 在射線OMk, A1B1A2、agB2A3、 A3&A4均為等邊三角形，若 OA=1,則 AeB6A7的邊長 為（）A. 6B. 12C. 32D. 642. （2012?涼山州）如圖，一個(gè)等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中/ ”+/3的度數(shù)是（ ）A. 180°B. 220°C. 240°D. 300°3. （2012?荊門）如圖， ABC是等邊三角形，P是/ ABC的平分線 BD上一點(diǎn)，P已AB于點(diǎn)E,線段BP的垂直平分線交 BC于點(diǎn)F,垂足為點(diǎn) Q若

4、BF=2,則PE的長為（）A. 2B.2J1C.V3D.34. （2011?南平）邊長為4的正三角形的高為（）A. 2B.4C.V5D.2/35. （2010?隨州）如圖，過邊長為 1的等邊 ABC的邊AB上一點(diǎn)P,作PE±AC于E, Q為 BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng) PA=CQ寸，連PQ交AC邊于D,則DE的長為（）A. _1B.工C 2D.不能確定Lf 日 昌 I J6. （2009?攀枝花）如圖所示，在等邊 ABC中，點(diǎn)D E分別在邊BG AB上，且BD=AEAD與CE交于點(diǎn)F,則/ DFC的度數(shù)為（）A. 60°B, 45°C. 40°D. 30

5、76;7. （2007?綿陽）如圖，在正方形 ABC曲外側(cè)，彳等邊 ADE BE、CE分另交AD于G H, 設(shè)ACDH aGHEW面積分別為 &、&,則（）A. 3s1=2S2B. 2s1=3S2C. 2$=/3&D.傷8=288. （2007?婁底）如圖， ABC是邊長為6cm的等邊三角形，被一平行于 BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積為（）A. 4cm2B. 2cnfC. 3 _ hrnfD. 3cm2.下載可編輯.9. （2006?天津）如圖，A、C B三點(diǎn)在同一條直線上， DAC4EBC都是等邊三角形，AE BD分另I與 CD CE交于點(diǎn) M

6、 N,有如下結(jié)論：AC9 DCBCM=CNAC=DN其 中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A. 3個(gè)B. 2個(gè)C. 1個(gè)D. 0個(gè)10. （2006?南寧）如圖是一個(gè)等邊三角形木框， 甲蟲P在邊框AC上爬行（A, C端點(diǎn)除外）， 設(shè)甲蟲P到另外兩邊的距離之和為 d,等邊三角形ABC的高為h,則d與h的大小關(guān)系是（）A. d > hB. d< hC. d=hD.無法確定11. （2007?南充）一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達(dá)B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛40海里到達(dá)C地，則A、C兩地相距（）A. 30海里B. 40海里C. 50海里D

7、. 60海里12. （2006?曲靖）如圖，CD RtABC斜邊AB上的高，將 BCD& CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則/ A等于（）A. 25°B, 30°C. 45°D, 60°13. （2011?茂名）如圖，已知 ABC是等邊三角形， 點(diǎn)B、C、D E在同一直線上， 且CG=CD DF=DE 貝U/ E=度.14. （2008?日照）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A, E重合），在AE同側(cè)分別作正 三角形ABC正三角形 CDE AD與BE交于點(diǎn) O, AD與BC交于點(diǎn)P, BE與CD交于點(diǎn)Q連 接PQ 以下五個(gè)結(jié)論： AD=

8、BEPQ7 AE;AP=BQDE=DP/ AOB=60度.恒成立的 結(jié)論有.（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）15. （2005?揚(yáng)州）如圖，將邊長為4的等邊 ABC沿x軸向左平移2個(gè)單位后，得到 A' B' C',則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為 .16. （2004?茂名）如圖，正三角形 A1B1C1的邊長為1, AiBiG的三條中位線組成 A2B2c2, A2B2G2的三條中線又組成 A3B3C3,，如此類推，得到 AnBnG.則：（1） AsB3G 的邊長 a3=;（2） AnBnG的邊長an= （其中n為正整數(shù)）.17. （2006?嘉峪關(guān)） ABC為等邊三角形，D E、F

9、分別在邊 BG CA AB上，且 AE=CD=BF則 DEF為 三角形.18. （1999?廣州）如圖，以 A, B兩點(diǎn)為其中兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的等邊三角形，最多可以作出 個(gè).旦19. 如圖所示，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，將 ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋 轉(zhuǎn) 60° ,得到 CBP ,若 PB=3 貝U PP = .4的正三角形 ABC中，AD± BC于點(diǎn)D,以AD為一邊向右（1）求 ABC的面積S; （2）判斷AC DE的位置關(guān)系，并給出證明.20. （2009?浙江）如圖，在邊長為 作正三角形ADE.下載可編輯.21. （2009?遼陽）如圖， ABC為正三角形，D為邊

10、BA延長線上一點(diǎn)，連接 CQ以CD為 一邊作正三角形 CDE連接AE,判斷AE與BC的位置關(guān)系，并說明理由.22. （2008?紹興）附加題，學(xué)完“幾何的回顧” 一章后，老師布置了一道思考題:如圖，點(diǎn) M, N分別在正三角形 ABC的BC, CA邊上，且 BM=CN AM BN交于點(diǎn)Q.求證：/ BQM=60g.（1）請(qǐng)你完成這道思考題；（2）做完（1）后，同學(xué)們?cè)诶蠋煹膯l(fā)下進(jìn)行了反思，提出了許多問題，如：若將題中" BM=CN與"/ BQM=60 ”的位置交換，得到的是否仍是真命題？若將題中的點(diǎn) M N分別移動(dòng)到BC, CA的延長線上，是否仍能得到/BQM=60 ?若將

11、題中的條件“點(diǎn) M, N分別在正三角形 ABC的BC, CA邊上”改為“點(diǎn) M, N分別在正 方形ABCD勺BC, CD邊上”，是否仍能得到/ BQM=60 ?請(qǐng)你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否"： ; ;.并對(duì)，的判斷，選擇一個(gè)給出證明.23. （2007?河北）在 ABC中，AB=AC CGL BA交BA的延長線于點(diǎn) G. 一等腰直角三角尺 按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為 F, 一條直角邊與 AC邊在一條直線上， 另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn) B.（1）在圖1中請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG蔭足的數(shù)量關(guān)系， 然后證明你的猜想；（2）當(dāng)三角

12、尺沿 AC方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交 BC邊于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE，BA于點(diǎn)E.此時(shí)請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量 DE DF 與CG的長度，猜想并寫出 DE+DFW CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿 AC方向繼續(xù)平移到圖 3所示的位置（點(diǎn) F在線段AC上, 且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否仍然成立（不用說明理由）24. （2004?蘇州）已知：如圖，正 ABC的邊長為a, D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長 AB至 E,使BE=CD連接DE交BC于點(diǎn)P.（1）求證：DP=PE（2）若D為AC的中點(diǎn)，求BP的長.

13、25. （2002?黑龍江）已知等邊 ABC和點(diǎn)巳設(shè)點(diǎn)P至iJABC三邊AR AG BC的距離分別 為hi、h2、h3,4ABC的高為h. “若點(diǎn)P在一邊BC上（如圖1）,此時(shí)h3=0,可得結(jié)論hi+h2+h3=h” 請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：（1）當(dāng)點(diǎn)P在4ABC內(nèi)（如圖2）, （2）點(diǎn)P在4ABC外（如圖3）這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論 是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，hi、h2、h3與h之間的關(guān)系如何？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.26. （2000?河南）如圖，點(diǎn) C D在線段AB上， PCD等邊三角形.（1）當(dāng)AC CD DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)， AC。APDB（2）當(dāng) ACP

14、PDB寸，求/ APB的度數(shù).AC 3 B27. （2010?雅安）如圖，點(diǎn) C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以 AC BC為邊在線段AB的同旁作等邊 ACD等邊 BCE連接AE交DC于M,連接BD交CE于N,連接MN(1)求證：AE=BD(2)求證：MN/ AB.28. （2005?臨沂）如圖，已知 AD和BC交于點(diǎn)O,且 OA所口 OCD勻?yàn)榈冗吶切?，?OD和OB為邊作平行四邊形 ODEB連接AG AE和CE, CE和AD相交于點(diǎn)F.求證： ACE為等邊三角形.29. 已知：如圖， ABC 4CDE都是等邊三角形，AR BE相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M N分別是線段AD BE的中點(diǎn).(1

15、)求證：AD=BE (2)求/ DOE勺度數(shù);(3)求證： MN虛等邊三角形.30. 如圖，等邊 ABC的邊長為10,點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，CQ BC=1: 2,過P作PE± AC于E,連PQ交AC邊于D,求DE的長？全等三角形練習(xí)參考答案與試題解析1. C 2, C 3. C 4. D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13 , / E= 15 度.14.15.2d3）.16. a3；AnBnG的邊長 an=1 （或 2142n-117. 等邊三角形.18.2 個(gè).19 PP' = 3 .20.解:（1）在正 ABC中，AD=4X.SBCX

16、ADX4X 2 /3=4>/3. （3 分）（2） AC DE的位置關(guān)系：ACL DE. （1分）在 CDF中，. / CDE=90 - / ADE=30 , （2 分） ，/CFD=180 - / C- / CDE=180 - 60° -30° =90 .Ad DE. （3 分）（注：其它方法酌情給分）.21.解：AE/ BC理由如下： AB* CDE為正三角形，BC=AC CD=CE / ACB4 DCE=60 , / ACB-+Z ACD=/ DCE它 ACD即/ BCD=/ ACE . BCN AC/ B=Z EAC / B=Z ACB ./ EAC=/ AC

17、RAE/ BC.22.請(qǐng)你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否"： 是； 是對(duì)，的判斷，選擇一個(gè)給出證明. 1)證明：在 ABMABCN中，BM=NC/渤二, AB=BC . AB陣 BCN/ BAM= CBN/ BQM= BAQ廿 ABQW MBQ+ ABQ=60 .(2)是；是；否.的證明：如圖，在 ACMF 口 BAN 中，CM 二 ANIac=ab . AC陣 BAN/ AMC= BNA=120° ,/ NQA= NBC廿 BMQ= NBC吆 BNA=180 - 60 / BQM=60 .的證明：如圖，在 RtAABMID RtBCN中，rBK=CN此二 BC R

18、tAABhM RtBCN，/ AMBW BNC又/ NBM+ BNC=90 , ./ QBM+ QMB=90 , ./ BQM=90 ,即/ BQW 60° .23解：(1) BF=CG證明：在 ABF和AACG中 / F=Z G=90° , / FAB土 GAC AB=AC . ABF ACG( AA9 BF=CG(2) DE+DF=CG證明：過點(diǎn) D作DHL CG于點(diǎn)H (如圖2) . DEL BA于點(diǎn) E, Z G=90° , DH± CG 四邊形EDHG矩形DE=HG DH/ BG ./ GBCW HDC AB=AC / FCDh GBCW HD

19、C又/ F=/DHC=90 , CD=DC . FDC HCD( AA9DF=CHGH+CH=DE+DF=CGP DE+DF=CG (3)仍然成立.證明：過點(diǎn) D作DH! CG于點(diǎn)H (如圖3) . DEI BA于點(diǎn) E, Z G=90° , DH± CG 四邊形EDH的矩形，DE=HG DH/ BG GBC= HDQ AB=AC / FCDh GBC= HDC又/ F=/DHC=90 , CD=DC FD( HCD( AA9DF=CHGH+CH=DE+DF=QG即 DE+DF=CG24. (1)證明：過點(diǎn) D作DF/ AB,交BC于F. ABE 正三角形， / CDF=/

20、 A=60° . CDF為正三角形.DF=CD又 BE=CDBE=DF又 DF/ AB,/ PEB=/ PDF.在 DFPA EBP中，ZBPE=ZFPD ZPEB=ZPDF , BE=FD.DF國 EBP ( AA9 .DP=PE(2)解：由(1)得 DF咤 EBF 可得 FP=BPD為 AC中點(diǎn),DF/ AB, BF=iBCa.2 2 BPBFa.2425. 解：(1)當(dāng)點(diǎn)P在 ABC內(nèi)時(shí)，結(jié)論hi+h2+h3=h仍然成立.理由如下：過點(diǎn) P作BC的平行線，交 AB于G交AC于H,交AM于N,則可得結(jié)論 h1+h2=AN四邊形MNP思矩形，PF=MN 即 h3=MNhi+h2+h

21、3=AN+MN=AM=h即 hi+h2+h3=h.(2)當(dāng)點(diǎn)P在 ABC外時(shí)，結(jié)論hi+h2+h3=h不成立.此時(shí)，它們的關(guān)系是hi+h2- h3=h. 理由如下：過點(diǎn) P作BC的平行線，與 AR AG AM分別相交于 G H、N,則可得結(jié)論 hi+h2=AN四邊形MNP思矩形，PF=MN 即 h3=MNhi+h2 h3=AN MN=AM=h即 hi+h2- h3=h. 一 .，.2一，26. 解：（1）當(dāng) CD=AC? DB時(shí)， AC四 PDB. PC皿等邊三角形， / PCDh PDC=60 , /ACPh PDB=120 ,若 CD2=AC? DB,由 PC=PD=CDT得：PC? PD

22、=AC DB即堡=£, BD PD則根據(jù)相似三角形的判定定理得ACP PDB（2）當(dāng) AC匹 PDB時(shí)，/ APC4 PBD . / PDB=120 / DPB吆 DBP=60 / APC吆 BPD=60 / APB4 CPD廿 APC吆 BPD=120即可得/ APB的度數(shù)為120° .27. 證明：（1） . ACD和 BCE等邊三角形， AC=DC CE=CB / DCA=60 , / ECB=60 , / DCAh ECB=60 , / DCA它 DCEW ECB+Z DCE / ACEh DCB 在 ACE與 DCB中，AC=DC/ME=/DCB ,.AC且 DC

23、BAE=BD（2）二.由（1）得， AC珞 DCB/ CAM= CDN /ACDh ECB=60 ,而 A、C、B 三點(diǎn)共線， ./ DCN=60 ,在 ACMff DCN43,ZHAC=ZNDCAC=DC, . AC陣 DCN MC=NC / MCN=60 , . MCN等邊三角形，/ NMC = DCN=60 , / NMC g DCA MM AB.28. 證明：. OA*口OCM等邊三角形， CD=OD OB=AB / ADCh ABO=60 . 四邊形ODE醍平行四邊形，OD=BE OB=DE / CBEh EDO CD=BE AB=DE / ABE4 CDE .AB白 EDCAE=C

24、E / AEB4 ECD BE/ AD,/ AEB=/ EAD / EADh ECD在 AFEA CFD中 又. / AFE=Z CFD / AECh ADC=60 . . ACE為等邊三角形.29. 解：(1) .ABC CDEtB是等邊三角形, AC=BC CD=CE / ACBh DCE=60 , / ACB吆 BCDW DCE吆 BCD / ACDh BCE 在 ACD BCE 中 fAC=BCZACD=ZBCE , cD=CE .AC國 BCEAD=BE(2)解：. AC里 BCE / ADCh BEG.等邊三角形 DCE / CEDh CDE=60 , / ADE吆 BEDh AD

25、C吆 CDE吆 BED=Z ADC+60 +/BER= /CED+60 , =60° +60° , =120° , ./ DOE=180 - (/ ADE吆 BED =60° , 答：/ DOEW度數(shù)是60° .(3)證明：. ACNABCE / CADh CBE AD=BE AC=BC 又點(diǎn)M N分別是線段 AD BE的中點(diǎn)， .AM=AD, BNBE,21AM=BN在 ACMF 口 BCN 中AC=BC ZCM=ZCBN, AM 二 BN . AC陣 BCN CM=C N/ ACM= BCN又/ ACB=60 , / ACM+ MCB=60

26、 , / BCN廿 MCB=60 ,/ MCN=60 , . MNC1等邊三角形.30. 解：過P點(diǎn)作PF/ BC交AC于F點(diǎn)， 等邊 ABC的邊長為10,點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，CQ BC=1: 2, .AB=BC / B=Z ACB4 A=60° , AP=CQ PF/ AB, / APF土 B=60° , / AFP4 ACB=60 , /A=/ APF=Z AFP=60° , . APF是等邊三角形， PE AC,ef=1af, 2. APF是等邊三角形，AP=CQPF=CQ PF/ AB,/ Q之 FPD,在 PDFA QDOj ZFPD=ZQ ZFDP=Z

27、QDC ,pF=CQ . PDF QDCDF=CDDF=jCF,DE=EF+DF=A*CF=AC,ED=5雙基訓(xùn)練1.如圖14-45,在等邊八ABC中，O是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，OD/ AB, OE AC 則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是 。2 .如圖14-46, AABC是等邊三角形，D為BA的中點(diǎn)，DEL AG垂足為點(diǎn)E, EFABAE=1,貝U AD=, AEFC的周長=。3 .如圖 14-47,在等邊 A ABC中，AE=CD BGL AR 求證：BP=2PG縱向應(yīng)用1.如圖14-48,已知等邊A ABC的ABC ACB的平分線交于。點(diǎn)，若BC上的點(diǎn)E、F分別在OB OC1直平分線上，試說明E

28、F與AB的關(guān)系，并加以證明。4 .如圖14-49, C是線段AB上的一點(diǎn)，A ACD和A BC皿兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn) D E在AB同旁，AE交CDT點(diǎn)G, BD交CE于點(diǎn)H,求證：GH/ AB5 .如圖14-50,已知ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點(diǎn)，選擇一點(diǎn) D使得A CDE等邊三角形，如果M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BE證中點(diǎn)，求證：A CM星 等邊三角形。6 .如圖14-51, C是線段AB上一點(diǎn)，分別以 BG AC為邊作等邊A ACD和A CBE M為AE的中點(diǎn),N為DB證中點(diǎn)，求證：A CMWJ等邊三角形。7 .如圖14-52,在四邊形ABCDK /A+/ B=120，AD=B

29、C以CD為邊向形外作等邊ACDE連結(jié)AE,求證：A ABE為等邊三角形。8 .如圖14-53,已知A ABC是等邊三角形，D為AC上一點(diǎn)，/ 1 = /2, BD=CE求證:A AD式等邊三角形9 .如圖14-54,設(shè)在四邊形 ABCDK / A+/ B=12(0, AD=BC M N P分另是AGBD. CD求中點(diǎn)。求證：A MN思等邊三角形10 如圖14-55,在等腰梯形 ABCDfr, AB/ CD AB>CD,AD=BC,角線AG BD交于點(diǎn)O, /AOB=60且E、F分別是OD OA的中點(diǎn)，M是BC證中點(diǎn)，求證：A EFM是等 邊三角形。9.如圖14-56,在YABCDt, A

30、 ABE和A BCF都是等邊三角形，求證：A DEF是等邊三角形10.如圖14-57,已知D為等邊A ABC內(nèi)一點(diǎn)，DA=DC P在在A ABC外，且CP=CAC葉分/ PCB求/ P。橫向拓展1 .如圖14-58,已知P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，APB:CPA=5:6:7,求以PA PB PC 為邊長的三角形的三內(nèi)角之比。2 .如圖 14-59,點(diǎn)。為等邊A ABC內(nèi)一點(diǎn)，/ AOB=1100 / BOC=135 試問：(1)以O(shè)A OB 0四邊，能否構(gòu)成三角形？若能，請(qǐng)求出該三角形各內(nèi)角的度數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由；(2)如果/AO以小保持不變，那么當(dāng)/ BOCC?于多少度時(shí)，以O(shè)A OB OC為邊的 三角形是一個(gè)直角三角形？3 .如圖14-60,已知A ABCg邊長為1邊等邊三角形，A BDC是頂角/ BDE 1200的 等腰三角形，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作一個(gè)600角的兩邊分別交AB于點(diǎn)M交AC于點(diǎn)N,連 結(jié)MN形成一個(gè)三角形。求證：AMN勺周長等于2。4 .如圖14-61,在A ABC中，/A=6C0, B已AG 垂足為E, CF,AB,垂足為F,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BE CF交于點(diǎn)M (1)如果AB=AC求證：A DEF是等邊三角形；(2)如果AB AG試猜想A DEF是不