數(shù)值計(jì)算方法-第7章-數(shù)值微分與數(shù)值積分-part-2

1、五五. Gauss型求積公式型求積公式第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分l目的目的1( ) ( )()nbkkakIx f x dxA f x求積公式求積公式:當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)n固定時(shí)固定時(shí), 選取適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)xk及系數(shù)及系數(shù)Ak, 使其具有最高使其具有最高的代數(shù)精度的代數(shù)精度.( )0 x為權(quán)函數(shù)為權(quán)函數(shù).對(duì)所有對(duì)所有 精確成立精確成立.0,1,lmu Gauss型求積公式的思想型求積公式的思想回顧回顧: 若具有若具有m次代數(shù)精度次代數(shù)精度, 則則:1( )nbllkkakx x dxA x10122112111nmmmnnmAxxxAxxxA其中其中,( ),

2、 (0,1,)bllax x dxlm這里有這里有m+1個(gè)方程個(gè)方程, 未知量有未知量有2n個(gè)個(gè): xi, Ai (i=1,2,n)可以證明可以證明: 當(dāng)當(dāng)m+12n, 即即m2n-1時(shí)時(shí), 方程有解方程有解.l求積公式的最大代數(shù)精度求積公式的最大代數(shù)精度即即, 當(dāng)當(dāng)m=2n-1時(shí)時(shí), 可以找到一組解可以找到一組解xk,Ak, 使積分公式成立使積分公式成立, 即代即代數(shù)精度可以達(dá)到數(shù)精度可以達(dá)到2n-1.求積公式不精確求積公式不精確.第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分lGauss型積分公式的定義型積分公式的定義另一方面另一方面, 當(dāng)當(dāng)m=2n時(shí)時(shí), 取一個(gè)特殊的多項(xiàng)式取一個(gè)特

3、殊的多項(xiàng)式:222212( )()()()nnPxxxxxxx求積公式求積公式:21()0,nknkkA Px2( )( )0bnaIx Px dx而精確解而精確解:結(jié)論結(jié)論: n個(gè)節(jié)點(diǎn)的積分公式最高代數(shù)精度為個(gè)節(jié)點(diǎn)的積分公式最高代數(shù)精度為2n-1.對(duì)于對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的積分公式個(gè)節(jié)點(diǎn)的積分公式: , 如果具有如果具有1( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x2n-1次代數(shù)精度次代數(shù)精度, 則稱為帶權(quán)函數(shù)則稱為帶權(quán)函數(shù) 的的Gauss型求積公式型求積公式. xi 稱稱為為Gauss點(diǎn)點(diǎn).( ) xl如何求如何求Gauss點(diǎn)及積分系數(shù)點(diǎn)及積分系數(shù)直接求解上面的非線性方程組比較困難直接

4、求解上面的非線性方程組比較困難, 可采用正交多項(xiàng)式來(lái)求可采用正交多項(xiàng)式來(lái)求.u Gauss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的關(guān)系點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的關(guān)系l從簡(jiǎn)單問題得到的啟示從簡(jiǎn)單問題得到的啟示3011201( )()()()()P xaa xxxxxbb x第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分當(dāng)當(dāng)n=2, 要使要使 具有具有2n-1=3次代數(shù)精度次代數(shù)精度,111221( )()()f x dxA f xA f x則對(duì)任意則對(duì)任意3次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式P3(x),利用多項(xiàng)式除法利用多項(xiàng)式除法, 1101120111()()()()aa xxxxxdxbb x dx10112012()()A bb xA

5、 bb x因?yàn)榉e分公式具有因?yàn)榉e分公式具有3次精度次精度, 101101120121()()()bb x dxA bb xA bb x101121()()()0aa xxxxxdx01,aa對(duì)對(duì) 成立成立.精確成立精確成立.131312321( )()()P x dxAP xA P xl從簡(jiǎn)單問題得到的啟示（續(xù)）從簡(jiǎn)單問題得到的啟示（續(xù)）第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分分別取分別取:011,0aa1121()()0 xxxxdx010,1aa1121()()0 x xxxxdx121222032()03x xxx解得解得:123 3xx Gauss點(diǎn)點(diǎn)再取兩個(gè)特殊的多項(xiàng)式再

6、取兩個(gè)特殊的多項(xiàng)式, 如如:3( )1P x 1121111dxAA 3( )P xx11 1221x dxAxA x12112220AAA xA x1211AA于是于是, 求積公式求積公式:1133( )()()33f x dxff具有具有3次代數(shù)精度次代數(shù)精度.l推廣到一般推廣到一般n節(jié)點(diǎn)的情況節(jié)點(diǎn)的情況第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分21( )( )( )( )nnPxq xxr x將任意不超過將任意不超過2n-1次的多項(xiàng)式寫為次的多項(xiàng)式寫為: 其中其中,1( )()nniixxx 都是不超過都是不超過n-1次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式. ( ), ( )q x r x要求積

7、分公式具有要求積分公式具有2n-1次代數(shù)精度次代數(shù)精度, 則則21211( ) ( )()nbnknkakPxx dxA Px精確成立精確成立.1()nkkkA r x1( ) ( )( )( ) ()()()nbnkknkkakx q xxr x dxA q xxr x即即而而1( ) ( )()nbkkakx r x dxA r x精確成立精確成立.0( ) ( )( )0bnax q xx dx對(duì)對(duì) 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式q(x)成立成立.1n 稱為正交條件稱為正交條件分別令分別令q(x)=1,x,x2,xn-1, 得到得到n個(gè)方程個(gè)方程, 解出解出xi (i=1,2,n).下面證明下面證明,

8、 xi 一定是一定是Gauss 點(diǎn)點(diǎn).l定理定理7.4 Gauss積分點(diǎn)的充要條件積分點(diǎn)的充要條件第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分即即, n點(diǎn)積分公式點(diǎn)積分公式 中中, xi (i=1,n) 為為Gauss 點(diǎn)點(diǎn)1( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x其中其中,1( )()nniixxx( ) ( )( )0bnax p xx dx的充要條件是的充要條件是, 對(duì)于任意不超過對(duì)于任意不超過 n-1 次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式p(x), 與與 在在a,b區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù) 正交正交, 即即,( )x( )nx證明證明. . 必要性必要性 若若xi (i

9、=1,n)為為Gauss點(diǎn)點(diǎn), 則對(duì)于任意不超過則對(duì)于任意不超過n-1 次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式p(x), 是不超過是不超過2n-1 次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式, Gauss 積分精確成立積分精確成立, 即即,( )( )np xx1( ) ( )( )()()nbnkknkakx p xx dxA p xx0( ) ( )( )0bnax p xx dx滿足正交條件滿足正交條件必要性得證必要性得證.l定理定理7.4 【證明證明】( (續(xù)續(xù)-1)-1)(0,1,1)ln第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分( ) ( )( )0bnax q xx dx 充分性充分性 對(duì)于任意不超過對(duì)于任意

10、不超過 n-1 次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式q(x), 正交條件成立正交條件成立:( )( )( )( ),nf xq xxr x對(duì)于任意不超過對(duì)于任意不超過2n-1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 , 總可以寫成總可以寫成:( )f x( ), ( )q x r x不超過不超過n-1次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式且且()(), (1, )iif xr xin( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )bbbnaaax f x dxx q xx dxx r x dx0充分性假設(shè)充分性假設(shè). (*)下面證明下面證明, 以以xi 為積分點(diǎn)為積分點(diǎn), 一定能找到合適的一定能找到合適的Ai, 使使 1( ) ( )()nbkkak

11、x f x dxA f x精確成立精確成立.這樣這樣, 積分公式至少具有積分公式至少具有2n-1次代數(shù)精度次代數(shù)精度, xi 即為即為Gauss點(diǎn)點(diǎn).為此為此, 取取Ak 滿足滿足:1( )nbllkkakxx dxA xll定理定理7.4 【證明證明】( (續(xù)續(xù)-2)-2)第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分對(duì)于任意不超過對(duì)于任意不超過n-1次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式r(x), 可寫成可寫成: 10( ) ( )( )nbbllaalx r x dxcx x dx這樣這樣, 積分公式至少具有積分公式至少具有2n-1次代數(shù)精度次代數(shù)精度, xi 即為即為Gauss點(diǎn)點(diǎn). 證畢證畢#0

12、11122111112111nnnnnnnAxxxAxxxAVandermonde矩陣矩陣, 非奇異非奇異.有唯一解有唯一解12nAAA10( )nlllr xc x()kr x110110nnnnlllkkklklkklcA xAc x 即即, 1( ) ( )()nbkkakx r x dxA r x注意到注意到, ( ) ( )( ) ( )bbaax f x dxx r x dx于是于是, (*) 式式:1()nkkkA f x()()kkf xr x(1, )kn精確成立精確成立. lGauss點(diǎn)正好是正交多項(xiàng)式的根點(diǎn)正好是正交多項(xiàng)式的根第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)

13、值積分由第由第6章章定理定理6.3: 如果正交多項(xiàng)式如果正交多項(xiàng)式 的的k個(gè)根為個(gè)根為: xi (i=1,k), 則則:( )kx1( )()( )kkikixcxxcx c 是給定的常數(shù)是給定的常數(shù).對(duì)對(duì) 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式Qk-1(x)成立成立.1k 設(shè)設(shè) 是最高次系數(shù)非零的是最高次系數(shù)非零的k次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 則則 是是a,b上關(guān)于權(quán)函上關(guān)于權(quán)函數(shù)數(shù) 的正交多項(xiàng)式的充要條件是的正交多項(xiàng)式的充要條件是, 對(duì)任意次數(shù)不超過對(duì)任意次數(shù)不超過k-1次的多次的多項(xiàng)式項(xiàng)式 , 都有都有: ( )kx( )kx( )x1( )kQx11(,)( )( )( )0bkkkkaQxx Qx dx1( )(

14、 )( )0bkkaxx Qx dx由定理由定理7.4, xi 一定是一定是Gauss 積分點(diǎn)積分點(diǎn). 故故Gauss點(diǎn)正好是正交多項(xiàng)式點(diǎn)正好是正交多項(xiàng)式的根的根.l如何求如何求Gauss積分系數(shù)積分系數(shù)Ai第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分分別取分別取n-1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式:1,( )njkjjkkjxxpxxx則積分公式則積分公式:0,()1,kjjkpxjk1( )( )()nbkjkjajx px dxA px精確成立精確成立.( )( )bkkaAx px dx(1, )kn求求Gauss型積分系數(shù)的公式型積分系數(shù)的公式其中其中 也可寫成也可寫成:( )kpx( )

15、( )()()nkknkxpxxxx故故,( )( )()()bnkaknkxAxdxxxx其中其中,1( )nnjjxxx可分別取不超過可分別取不超過n-1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式: 1, x, x2, , xn-1, 代入積分公式代入積分公式, 解解n個(gè)聯(lián)立方程組個(gè)聯(lián)立方程組, 得到得到Ai. 這樣做比較麻煩這樣做比較麻煩. 較方便的方法如下較方便的方法如下:u Gauss求積公式的誤差及穩(wěn)定性求積公式的誤差及穩(wěn)定性l定理定理7.5 Gauss 型求積公式的誤差公式型求積公式的誤差公式 第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分設(shè)設(shè)f(x)在在a,b上上2n階連續(xù)可微階連續(xù)可微, 則帶權(quán)

16、函數(shù)則帶權(quán)函數(shù) 的的Gauss型求型求積公式的誤差積公式的誤差(余項(xiàng)余項(xiàng))為為:( )0 x(2 )21( )( )( ) ( )()( )( )(2 )!nnbbkknaakfR fx f x dxA f xxx dxn(2 )( )nMf( , ),a b其中其中,1( )(),nniixxxM與與f(x)無(wú)關(guān)無(wú)關(guān).證明證明. .用節(jié)點(diǎn)用節(jié)點(diǎn)x1,xn構(gòu)造構(gòu)造2n-1次的次的Hermite插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式H(x), 滿足滿足:()(),kkH xf x(1, )kn且且,1( )( )()nbkkakx H x dxA H x精確成立精確成立.插值余項(xiàng)插值余項(xiàng):(2 )2()( )(

17、)( )(2 )!nxnff xH xxn11( )( ) ( )()( ) ( )()nnbbkkkkaakkR fx f x dxA f xx f x dxA H x( , ),xa b(2 )2()( )( )(2 )!nbxnafxx dxnl定理定理7.5 證明（續(xù)）證明（續(xù)）第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分1lim()( ) ( )nbkkankA f xx f x dx進(jìn)一步還可以證明進(jìn)一步還可以證明, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), Gauss型求積公式收斂于精確解型求積公式收斂于精確解,n ( )( ) ( )( )baR fxf xH x dx0在在a,b內(nèi)不變號(hào)內(nèi)不變號(hào)

18、運(yùn)用積分第一中值定理運(yùn)用積分第一中值定理, 存在存在 , 使得使得:( , )a b(2 )2( )( )( )( )(2 )!nbnafR fxx dxn證畢證畢#即即,證明證明.(.(略略) )lGauss積分是數(shù)值穩(wěn)定性的積分是數(shù)值穩(wěn)定性的第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分Gauss求積時(shí)求積時(shí), 不會(huì)因?yàn)椴粫?huì)因?yàn)?Gauss 點(diǎn)數(shù)增加而使得舍入誤差無(wú)限擴(kuò)點(diǎn)數(shù)增加而使得舍入誤差無(wú)限擴(kuò)大大 即即, Gauss積分是數(shù)值穩(wěn)定的積分是數(shù)值穩(wěn)定的.111()*() ()*()nnnkkkkkkkkkkEA f xA fxAf xfx證明證明. .通常通常, Gauss點(diǎn)及積分系

19、數(shù)是事先計(jì)算好的點(diǎn)及積分系數(shù)是事先計(jì)算好的, 可以計(jì)算得比較可以計(jì)算得比較精確精確. 因此因此, 誤差主要來(lái)自于函數(shù)值的計(jì)算誤差主要來(lái)自于函數(shù)值的計(jì)算.記函數(shù)值記函數(shù)值 的近似值為的近似值為()kf x*()kfx則積分公式的計(jì)算誤差則積分公式的計(jì)算誤差:記記,1max()*()kkk nMf xfx 則則,1nkkEMA下面證明下面證明:0, (1, )kAkn11( )nnbkkakkAAx dx221( )( )()nbkikikaix px dxA pxAlGauss積分?jǐn)?shù)值穩(wěn)定性的證明積分?jǐn)?shù)值穩(wěn)定性的證明 (續(xù)續(xù)) 第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分由于積分系數(shù)由于

20、積分系數(shù)Ak 與被積函數(shù)無(wú)關(guān)與被積函數(shù)無(wú)關(guān), 分別取分別取2n-2次函數(shù)次函數(shù):Gauss積分精確成立積分精確成立:xi 為為Gauss積分點(diǎn)積分點(diǎn).( )0,( )0 xx00kA 另外另外, Gauss積分對(duì)積分對(duì) 也是精確的也是精確的.( )1f x 11( ) ( )( )()nnbbiiiaaiix f x dxx dxA f xA1nkkEMA( )baMx dx因此因此, 舍入誤差舍入誤差E與積分點(diǎn)數(shù)與積分點(diǎn)數(shù) n 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), Gauss積分是數(shù)值穩(wěn)定的積分是數(shù)值穩(wěn)定的.證畢證畢#積分公式的計(jì)算誤差積分公式的計(jì)算誤差:(1, )kn221,( )njkjjkkjxxpxxxu 幾

21、種常見的幾種常見的Gauss 型求積公式型求積公式第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分l高斯高斯-勒讓德勒讓德 (Gauss-Legendre) 求積公式求積公式對(duì)于不同的權(quán)函數(shù)對(duì)于不同的權(quán)函數(shù) , 選取不同的正交多項(xiàng)式選取不同的正交多項(xiàng)式, 從而推出不同的從而推出不同的Gauss 求積公式求積公式.( )xGauss-Legendre 求積公式的形式求積公式的形式Legendre多項(xiàng)式多項(xiàng)式Pn(x) 是是-1,1 區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交的正交多項(xiàng)式多項(xiàng)式, 其形式為其形式為:( )1x21( )(1) 2!nnnnndP xxn dx(0,1,2,)n11

22、1( )(21)( )( ) (0,1,2,)( +1)nnnPxnxP xnPxnn或者或者,1( )0P xx221( )(31)02P xx331( )(53 )02P xxxGauss 積分點(diǎn)為積分點(diǎn)為L(zhǎng)egendre 多項(xiàng)式的零點(diǎn)多項(xiàng)式的零點(diǎn). 書上表書上表7-4列出了前列出了前6階節(jié)點(diǎn)及系數(shù)階節(jié)點(diǎn)及系數(shù).10 x 1,23 3x 21,303 5xx 求積公式求積公式:111( )()nkkkf x dxA f xGauss-Legendre 求積公式中的系數(shù)求積公式中的系數(shù)可以證明可以證明 (詳見下頁(yè)詳見下頁(yè)),(1,2, )kn第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積

23、分1111( )( )( )()()()()nnkknkknkxxAxdxdxxxxxxx222(1)()kknkAxP x例如例如, 對(duì)于對(duì)于n=3,331( )(53 )02P xxx231( )(153)2P xx1,323 5,0 xx 可求得可求得,12221312250.555556(1)()(13 5)(153 53) 29AxP x31,AA22222322280.888889(1)()(10)(1503) 29AxP x因?yàn)橐驗(yàn)?( )( )nnnP xax11( )()()nkknkP xAdxxxP x12122332(1)( )()()( ) (2)( )()( )()

24、nnknknnnknnknPx PxPx PxnPx PxPx PxGauss-Legendre 求積系數(shù)的證明求積系數(shù)的證明由由Legendre多項(xiàng)式的遞推關(guān)系式多項(xiàng)式的遞推關(guān)系式:第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分移項(xiàng)得移項(xiàng)得,12( )(21)( )(1)( ) (2,3,)nnnnP xnxPxnPxn (1)將將Pn(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn)(即即Gauss積分點(diǎn)積分點(diǎn)) xk 代入代入, 得得:12()(21)()(1)()nkknknknP xnx PxnPx (2)11(1)()(2)( )nknPxPx1111( )()()( )(21)()( )()nnknknk

25、nnkn P x PxP xPxnxxPx Px1212(1)()( )( )()nknnnknPxPxPx Px111221( )()( )()(1)( )()( )()nnknnknnknnknP x PxPx P xnPx PxPx Px11(21)()( )()knnknxxPx Px分別用分別用n-1,2 代替代替n, 得得:22(23)()( )()knnknxxPx Px212110012 ( )()()( ) ( )()( )()kkkkP x P xP x P xP x P xP x P x003()( )()kkxxP x P x將上面各式相加將上面各式相加, 得得,Gau

26、ss-Legendre求積系數(shù)的證明求積系數(shù)的證明(續(xù)續(xù)-1)第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分111001( )()( )() ( )()( )()nnknnkkknP x PxPx P xP x P xP x P x注意到注意到:112()(21)( )()nkiikixxiPx Px()0nkP x0( )1,P x 1( ),P xx( 是是 的根的根 )kx( )nP x1112( )()()()(21)( )()nnnkkkiikin P x PxxxxxiPx Px或者或者,1111( )()()(21)( )()nnnkkiikin P x PxxxiPx P

27、x1111( )1(21)( )()()nniikiknkP xiPx Pxxxn Px11( )()()nkknkP xAdxxxP x求積系數(shù)公式求積系數(shù)公式,11101111(21)()( )( )() ()nikiinknkiPxPx P x dxn Px PxGauss-Legendre求積系數(shù)的證明求積系數(shù)的證明(續(xù)續(xù)-2)第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分由正交多項(xiàng)式性質(zhì)由正交多項(xiàng)式性質(zhì):10012( )( )2,2 0 1P x P x dx 101( )( )0 (0)iP x P x dxi12() ()knknkAn Px Px再利用再利用Legendr

28、e多項(xiàng)式的關(guān)系式多項(xiàng)式的關(guān)系式:21(1)( )( )( ) (1,2,)nnnxP xnPxxP xn將將 代入代入, 且已知且已知kxx()0nkP x21(1)()()knknkxP xn Px222(1)()kknkAxP x證畢證畢#Gauss-Legendre 積分的截?cái)嗾`差積分的截?cái)嗾`差對(duì)于對(duì)于Gauss-Legendre 積分積分, 第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分于是于是,由由Gauss型積分截?cái)嗾`差的一般形式型積分截?cái)嗾`差的一般形式:2(2 )!( )( )2 ( !)nnnnP xxn(2 )21( )( )( ) ( )()( )( )(2 )!nn

29、bbkknaakfE fx f x dxA f xxx dxn1,1,( )=1abx (2 )121( )( )( )(2 )!nnfE fx dxn首項(xiàng)系數(shù)首項(xiàng)系數(shù)2(2 )2121( ) 2 ( !)( )( )(2 )!(2 )!nnnfnE fPx dxnn(利用正交關(guān)系利用正交關(guān)系)221n214(2 )32( !)( )( ),( 1,1)(21) (2 )!nnnE ffnn 任意區(qū)間上任意區(qū)間上Gauss-Legendre 積分公式積分公式第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分對(duì)于任意對(duì)于任意a,b區(qū)間上的積分區(qū)間上的積分:( )baf x dx作變換作變換,

30、,22abbaxt將將 , 1,1,xa bt 11( )222babaabbaf x dxft dt1()2nkkkbaA f x其中其中, ,22kkabbaxt,kktA是是-1,1區(qū)間上的區(qū)間上的Gauss-Legendre積分點(diǎn)與積分系數(shù)積分點(diǎn)與積分系數(shù).Gauss-Legendre 積分的例子積分的例子求求:10 xIedx1(1), 1,1,2xtt 【解【解】作變換作變換11(1) 2111( )2tIedtg t dtGauss-Legendre 積分的例子積分的例子 (續(xù)續(xù))若取若取n=2, 第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分1,20.57735027,t

31、 121AA誤差誤差, 通常通常,在積分點(diǎn)數(shù)相同的情況下在積分點(diǎn)數(shù)相同的情況下, Gauss積分精度總是高于積分精度總是高于N-C公式公式.122(1) 2(1) 21111( )( )( )2ttkkkIA g tg tg tee0.631979,214(2 )32( !)( )( )(21) (2 )!nnnE ffnn(0,1)(4)1( )135f若用梯形公式若用梯形公式(也是也是2個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)), 0111( )( )0.68394022If af bee誤差誤差, 2( )11()()0.083121212fE Tbae 11( )0.00741135135E fel高斯高斯-切比雪夫

32、求積公式切比雪夫求積公式 第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分可以證明可以證明(詳見下頁(yè)詳見下頁(yè)),第一類第一類Chebyshev多項(xiàng)式多項(xiàng)式:Gauss-Chebyshev 求積公式的形式求積公式的形式kAn它的零點(diǎn)它的零點(diǎn):求積系數(shù)求積系數(shù):( )cos(arccos )nTxnx(0,1,2,)n 它是它是-1,1上關(guān)于權(quán)函數(shù)上關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交函數(shù)系的正交函數(shù)系.21( )1xx21cos(), (1,2, )2kkxknn求積公式求積公式:1211( )()1nkkkf xdxA f xx121( ),1()()nkknkxAdxxxxx1( )()nniixxx于是

33、于是, Gauss-Chebyshev積分公式積分公式:1211( )21(cos()21nkf xkdxfnnx212111( )( )( )( )2()( )( )Tx T yTy T xxy T x T y121222( )( )( )( )2()( )( )nnnnnnTx TyTy Txxy Tx TyGauss-Chebyshev 積分系數(shù)積分系數(shù)第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分由遞推關(guān)系式由遞推關(guān)系式:12( )2( )( ) (2,3,)nnnTxxTxTxn (2)分別用分別用n-1,2 代替代替n, 得得:將上面各式相加將上面各式相加, 得得,11121

34、( )( )2( )( )( )( )nnnnnnTx TyxTx TyTx Ty11121( )( )2( )( )( )( )nnnnnnTy TxyTy TxTy Tx兩式相減兩式相減, 得得,1111( )( )( )( )2()( )( )nnnnnnTx TyTy Txxy Tx Ty1212( )( )( )( )nnnnTx TyTy Tx2323( )( )( )( )nnnnTx TyTy Tx (1)1010( )( )( )( )T x TyT y Tx (n-1)1111( )( )( )( )2()( ) ( )()nnnnniiiTx TyTy TxxyT x T

35、 yxy01( )1( )TxT xxGauss-Chebyshev積分系數(shù)積分系數(shù)(續(xù)續(xù)-1)第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分1111( )( )( )( )2()( ) ( )()nnnnniiiTx TyTy TxxyT x T yxy令令 , 由于由于kyx()0nkTx1111( )()2()( ) ()2nnnkkiikiTx TxxxT x T x用用 除以上式除以上式, 得得,1()()()knknkxx Tx Tx將將 (*) 式代入式代入, 得得,111( )21( ) ()()()()() 2nniikiknknknkTxT x T xxx TxTx

36、Tx (*)Chebyshev多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)為多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)為 , 即即12n1( )2( )nnnTxx121( )1()()nkknkTxAdxxxx Tx1110221111( )( )21()()()2 11nikikinknkT x TxAdxT xTx Txxx=1=0 (正交性正交性)Gauss-Chebyshev 積分系數(shù)積分系數(shù) (續(xù)續(xù)-2)第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分1()()knknkATx Tx( )cos()nTxn令令, 則則cos ,x( )sin(),ndTxnndx sin,dxd sin( ),sinnnnTx1( )cos(1)

37、coscossinsinnTxnnn( )nTx1sin()()()cossinsinsinknknknkkkkknnTx TxTxn0222(sin)1(cos) 1()kknknnnnnTxnkAn121111()()1knknkAdxTx Txx11arcsin x證畢證畢#(2 )12221( )( )( )( )(2 )!2nnnfE fx Tx dxnGauss-Chebyshev 求積公式的誤差求積公式的誤差第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分( 1,1) 由由Gauss積分的誤差估計(jì)積分的誤差估計(jì):(2 )21( )( )( ) ( )()( )( )(2 )!

38、nnbbkknaakfE fx f x dxA f xxx dxn得得Gauss-Chebyshev求積公式的誤差估計(jì)求積公式的誤差估計(jì):由由1( )2( )nnnTxx2(由正交性質(zhì)由正交性質(zhì) (n0時(shí)時(shí))(2 )21( )( )2(2 )!nnE ffnl高斯高斯-拉蓋爾求積公式拉蓋爾求積公式 第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分Laguerre多項(xiàng)式多項(xiàng)式:Gauss-Laguerre 求積公式的形式求積公式的形式它是它是0,上關(guān)于權(quán)函數(shù)上關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交函數(shù)系的正交函數(shù)系.( )xxe01( )()nxkkkef x dxA f x( )()nxnxnndLxex e

39、dx(0,1,2,)n Gauss-Laguerre求積公式求積公式.Gauss-Laguerre 求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)求積點(diǎn)為求積點(diǎn)為L(zhǎng)aguerre多項(xiàng)式的零點(diǎn)多項(xiàng)式的零點(diǎn), 求積系數(shù)求積系數(shù):00( )( )()()()()xxnnkknkknkxLxAedxedxxxxxxLx22( !)()knknxLx可以證明可以證明Gauss-Laguerre 求積公式的截?cái)嗾`差求積公式的截?cái)嗾`差(2 )20( )( )( )(2 )!nxnfR fex dxn( )( 1)( )nnnLxx (2 )20( )( )(2 )!nxnfeLx dxn利用正交性利用正交性2(2

40、 )( !)( )(2 )!nnfn一般形式的一般形式的Gauss-Laguerre積分公式積分公式第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分( )g t利用利用Gauss-Laguerre求積公式求積公式:求積分求積分:( )af x dx作變換作變換:,txa將將 ,)0,)xat 0( )()af x dxf ta dt0()ttee f tadt11( )( )()knntkkkkakkf x dxA g tA e f taGauss-Laguerre 求積公式系數(shù)表求積公式系數(shù)表第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分nk210.585 786 440.853

41、553 390.853 553 3923.414 213 560.146 446 610.146 446 61310.415 774 560.711 093 010.711 093 0122.294 280 360.278 517 730.278 517 7336.289 945 080.010 389 260.010 389 26410.322 547 690.603 154 100.603 154 1021.745 761 100.357 418 690.357 418 6934.536 620 300.038 887 910.038 887 9149.395 070 910.000 53

42、9 290.000 539 29將將Gauss-Laguerre 積分點(diǎn)及積分系數(shù)計(jì)算列表積分點(diǎn)及積分系數(shù)計(jì)算列表, 部分?jǐn)?shù)據(jù)如下部分?jǐn)?shù)據(jù)如下:kxkA ekAkxl高斯高斯-厄米特求積公式厄米特求積公式 第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分Hermite多項(xiàng)式多項(xiàng)式:Gauss-Hermite 求積公式的形式求積公式的形式它是它是- ,+上關(guān)于權(quán)函數(shù)上關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交函數(shù)系的正交函數(shù)系.2( )xxe21( )()nxkkkef x dxA f x22( )( 1)()nnxxnndHxeedx (0,1,2,)n Gauss-Hermite求積公式求積公式.求積點(diǎn)求積點(diǎn)

43、xk 為為Hermite多項(xiàng)式的零點(diǎn)多項(xiàng)式的零點(diǎn), 求積系數(shù)求積系數(shù):2( )()()xnkknkHxAedxxxHx122!()nknknAHx可以證明可以證明Gauss-Hermite 求積公式的截?cái)嗾`差求積公式的截?cái)嗾`差(,) (2 )!( )( )2 (2 )!nnnR ffn如何求如何求:( )g x dx作變換作變換:2( )( ),xf xe g x2( )( )xg x dxef x dx然后用積分公然后用積分公式即可式即可.Gauss-Hermite 求積公式系數(shù)表求積公式系數(shù)表第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分nk21,20.707 106 780.866

44、 226 931.461 141 18310.000 000 001.181 635 901.181 635 902,31.224 744 870.295 408 981.323 931 1841,20.524 647 620.804 914 091.059 964 483,41.650 680 120.081 312 841.240 225 82510.000 000 000.945 308 720.945 308 722,30.958 572 460.393 619 320.986 581 004,52.020 182 870.019 953 241.181 488 63將將Gauss-H

45、ermite 積分點(diǎn)及積分系數(shù)計(jì)算列表積分點(diǎn)及積分系數(shù)計(jì)算列表, 部分?jǐn)?shù)據(jù)如下部分?jǐn)?shù)據(jù)如下:2kxkA ekAkxl關(guān)于高斯型積分的幾點(diǎn)總結(jié)關(guān)于高斯型積分的幾點(diǎn)總結(jié) 第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分把所求積分化為區(qū)間把所求積分化為區(qū)間-1,1, 0, 或或 -,+ 上的形式上的形式, 根據(jù)被根據(jù)被積函數(shù)確定用何種求積公式積函數(shù)確定用何種求積公式;Gauss型積分的計(jì)算步驟型積分的計(jì)算步驟Gauss 型積分的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用型積分的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用選定選定Gauss積分的精度積分的精度 (即積分點(diǎn)數(shù)即積分點(diǎn)數(shù)n), 查表獲得查表獲得Gauss點(diǎn)點(diǎn)xk 及系數(shù)及系數(shù) Ak;按積分公式求

46、積分的近似值按積分公式求積分的近似值.優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn): 在積分點(diǎn)數(shù)確定的情況下在積分點(diǎn)數(shù)確定的情況下, 它的代數(shù)精度是最高的它的代數(shù)精度是最高的; 或者說或者說, 在獲得相同的代數(shù)精度下在獲得相同的代數(shù)精度下, 它計(jì)算函數(shù)值的點(diǎn)數(shù)是最少的它計(jì)算函數(shù)值的點(diǎn)數(shù)是最少的;缺點(diǎn)缺點(diǎn): Gauss點(diǎn)點(diǎn)xk 及系數(shù)及系數(shù) Ak須查表須查表, 無(wú)法根據(jù)誤差公式確定積無(wú)法根據(jù)誤差公式確定積分點(diǎn)數(shù)分點(diǎn)數(shù); 當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時(shí)當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時(shí), 須重新查表計(jì)算所有的函數(shù)值須重新查表計(jì)算所有的函數(shù)值;應(yīng)用應(yīng)用: 在大規(guī)模力學(xué)計(jì)算中在大規(guī)模力學(xué)計(jì)算中, 如有限元計(jì)算中如有限元計(jì)算中, 經(jīng)常要用到經(jīng)常要用到 Gauss積分積分, 應(yīng)用

47、十分廣泛應(yīng)用十分廣泛.六六. 振蕩函數(shù)的積分振蕩函數(shù)的積分第第7 7章章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分l例子例子. 在工程計(jì)算中在工程計(jì)算中, 經(jīng)常會(huì)遇到這類積分經(jīng)常會(huì)遇到這類積分:其中其中f(x)為非振蕩函數(shù)為非振蕩函數(shù), 為較大的正數(shù)為較大的正數(shù). 如果采用如果采用Newton-Cotes積分或積分或Gauss積分積分, 會(huì)引起較大的誤差會(huì)引起較大的誤差.誤差誤差:,16hu 問題的提出問題的提出( )sin,( )cosbbaaf xxdxf xxdx若用若用n=10 的復(fù)化梯形公式的復(fù)化梯形公式2( )( )12TbaRfhf 225120sin208 12 16( )0.2557TRf精確解精確解:10.0520I 所以復(fù)化梯形公式連所以復(fù)化梯形公式連1位有效數(shù)字都無(wú)法保證位有效數(shù)字都無(wú)法保證.580sin 20Ixdx計(jì)算積分計(jì)算積分:l例子（續(xù)）例子（續(xù)） 第第7