晶體的對(duì)稱性

1、 晶體的對(duì)稱性晶體的對(duì)稱性重點(diǎn)：重點(diǎn)：1）基本的對(duì)稱操作；）基本的對(duì)稱操作；2）宏觀對(duì)稱類型；）宏觀對(duì)稱類型；3）微觀對(duì)稱類型；）微觀對(duì)稱類型；1.對(duì)稱的概念對(duì)稱的概念 對(duì)稱對(duì)稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)。就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)。此外，對(duì)稱的圖形此外，對(duì)稱的圖形還必須符合另一個(gè)條件，那就是這些相同的部分，通過一定的還必須符合另一個(gè)條件，那就是這些相同的部分，通過一定的對(duì)對(duì)稱操作稱操作(如旋轉(zhuǎn)、反映、鏡面如旋轉(zhuǎn)、反映、鏡面)可以發(fā)生重復(fù)；換句話說也就是相同可以發(fā)生重復(fù)；換句話說也就是相同的部分通過一定的操作彼此可以重合起來，使圖形恢復(fù)原來的形的部分通過一定的操作彼此可以重合起來，使圖形恢

2、復(fù)原來的形象。象。對(duì)稱操作對(duì)稱操作是指憑借是指憑借對(duì)稱要素對(duì)稱要素能夠使對(duì)稱物體中的各個(gè)相同部分，能夠使對(duì)稱物體中的各個(gè)相同部分，作有規(guī)律重復(fù)的變換動(dòng)作。而作有規(guī)律重復(fù)的變換動(dòng)作。而對(duì)稱要素對(duì)稱要素則是指在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)則是指在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)所憑借的幾何要素所憑借的幾何要素點(diǎn)、線、面等。點(diǎn)、線、面等。2.晶體對(duì)稱性的判定晶體對(duì)稱性的判定 由于晶體的自限性，使得晶體內(nèi)部的原子的規(guī)則排列反映由于晶體的自限性，使得晶體內(nèi)部的原子的規(guī)則排列反映在晶體的宏觀形態(tài)上，晶體表現(xiàn)出對(duì)稱性。在晶體的宏觀形態(tài)上，晶體表現(xiàn)出對(duì)稱性。 對(duì)于外表具有很多晶面的晶體，往往不能直接判別它的對(duì)對(duì)于外表具有很多晶面的晶體，往往

3、不能直接判別它的對(duì)稱特征，必須經(jīng)過稱特征，必須經(jīng)過測(cè)角測(cè)角和和投影投影以后，才可對(duì)它的對(duì)稱規(guī)律進(jìn)行以后，才可對(duì)它的對(duì)稱規(guī)律進(jìn)行分析研究。通過對(duì)大量晶體進(jìn)行測(cè)角和投影，歸納成分析研究。通過對(duì)大量晶體進(jìn)行測(cè)角和投影，歸納成32種典型種典型的的宏觀對(duì)稱類型宏觀對(duì)稱類型。由于在由于在宏觀對(duì)稱類型宏觀對(duì)稱類型，全部對(duì)稱要素相交于，全部對(duì)稱要素相交于一點(diǎn)一點(diǎn)(晶體中心晶體中心)，在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)至少有一點(diǎn)不移動(dòng)，因此，在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)至少有一點(diǎn)不移動(dòng)，因此稱之為點(diǎn)群。稱之為點(diǎn)群。該點(diǎn)群中的對(duì)稱操作中不包括該點(diǎn)群中的對(duì)稱操作中不包括平移平移。而若對(duì)稱操作中包括平移，。而若對(duì)稱操作中包括平移，共構(gòu)成了共構(gòu)成了

4、230中微觀的對(duì)稱類型中微觀的對(duì)稱類型。所有以上的對(duì)稱類型都源于以。所有以上的對(duì)稱類型都源于以下基本對(duì)稱操作的組合。下基本對(duì)稱操作的組合。3.基本的對(duì)稱操作1）簡(jiǎn)單對(duì)稱操作的變換關(guān)系（a）線性變換線性變換： 和剛體一樣，晶格中任何兩點(diǎn)間的距離，在操作前后應(yīng)保和剛體一樣，晶格中任何兩點(diǎn)間的距離，在操作前后應(yīng)保持不變，在數(shù)學(xué)上表示，這些操作就是熟知的線性交換。注意：持不變，在數(shù)學(xué)上表示，這些操作就是熟知的線性交換。注意：在討論晶體問題時(shí)，一般應(yīng)采用斜坐標(biāo)系，但為方便起見，這里在討論晶體問題時(shí)，一般應(yīng)采用斜坐標(biāo)系，但為方便起見，這里采用直角坐標(biāo)系，并不會(huì)影響結(jié)論的正確性。采用直角坐標(biāo)系，并不會(huì)影響結(jié)

5、論的正確性。 設(shè)經(jīng)過某個(gè)操作，把晶體中任一點(diǎn)設(shè)經(jīng)過某個(gè)操作，把晶體中任一點(diǎn)x變?yōu)樽優(yōu)閤 ，該操作可以表該操作可以表示為線性變換：示為線性變換：xj= ajixi，（i，j=1，2，3）式中 x=ix1+jx2+kx3 x = ix1+jx2+kx3若采用矩陣表示若采用矩陣表示： x=Ax其中其中x= x=321xxx321xxxA=333231232221131211aaaaaaaaax1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,x3)由于操作前后，兩點(diǎn)間的距離保持不變，即由于操作前后，兩點(diǎn)間的距離保持不變，即232221232221xxxxxxxxAxAx而而AxAxAxAxxxxxx222

6、32221xxxxx232221所以所以IAA其中其中I是單位矩陣，所以得出是單位矩陣，所以得出A為正交矩陣為正交矩陣。如令如令 代表矩陣代表矩陣A的行列式，則得到的行列式，則得到A1AA又又AA 12A所以所以1A（b）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)x1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,x3)將某一圖形繞將某一圖形繞x1轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過角，該圖形角，該圖形中任一點(diǎn)（中任一點(diǎn)（x1,x2,x3)變?yōu)榱硪稽c(diǎn)變?yōu)榱硪稽c(diǎn)（x1,x2,x3)，則變換關(guān)系如下：，則變換關(guān)系如下： x1= x1x2=)cos(cos2xcos)sinsincos(cos2xsincossincos3222xxtgxxx3=)sin(cos2x

7、cos)sincoscos(sin2xcossincossin3222xxtgxx則正交變換則正交變換321xxx321xxxcossin0sincos0001正交矩陣正交矩陣A為為cossin0sincos0001A1A（c）中心反演中心反演 取中心為原點(diǎn)，經(jīng)過中心反演后，圖形中任一點(diǎn)（取中心為原點(diǎn)，經(jīng)過中心反演后，圖形中任一點(diǎn)（x1,x2,x3) 變變?yōu)榱硪稽c(diǎn)（為另一點(diǎn)（ -x1,-x2,-x3)，則變換關(guān)系如下，則變換關(guān)系如下x1= -x1， x2=- x2，x3 =- x3則正交變換則正交變換321xxx321xxx正交矩陣正交矩陣A為為1A100010001100010001A（d）

8、鏡像鏡像x1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,-x3)鏡像對(duì)稱操作是將圖形的任一點(diǎn)鏡像對(duì)稱操作是將圖形的任一點(diǎn)（x1,x2,x3) 變?yōu)榱硪稽c(diǎn)（變?yōu)榱硪稽c(diǎn)（ x1,x2,-x3)，即以，即以x3=0面作為鏡面。面作為鏡面。則變換關(guān)系如下：則變換關(guān)系如下：x1= x1， x2=x2， x3 =- x3則正交變換則正交變換321xxx321xxx正交矩陣正交矩陣A為為1A100010001100010001A2）基本的對(duì)稱操作（a）n度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸 如果晶體繞某一對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)如果晶體繞某一對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)=2/n以后自身能重合，則稱以后自身能重合，則稱該軸為該軸為n度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。由于晶格

9、周期性的限制，晶體可能的轉(zhuǎn)度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。由于晶格周期性的限制，晶體可能的轉(zhuǎn)動(dòng)討論如下。動(dòng)討論如下。由于晶格的對(duì)稱操作并不涉及到由于晶格的對(duì)稱操作并不涉及到晶格的平移，在操作時(shí)應(yīng)至少保晶格的平移，在操作時(shí)應(yīng)至少保持一點(diǎn)不同，所以采用雙轉(zhuǎn)軸來持一點(diǎn)不同，所以采用雙轉(zhuǎn)軸來推導(dǎo)晶體的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，存在一推導(dǎo)晶體的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，存在一定的局限性，應(yīng)采用單轉(zhuǎn)軸推導(dǎo)定的局限性，應(yīng)采用單轉(zhuǎn)軸推導(dǎo)方法。方法。A1 1ABB1 1 A B 如圖如圖A、O、B 是某一晶列上相鄰的三個(gè)格點(diǎn)，周期為是某一晶列上相鄰的三個(gè)格點(diǎn)，周期為a。如果。如果繞過繞過O 點(diǎn)垂直于晶列的轉(zhuǎn)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)點(diǎn)垂直于晶列的轉(zhuǎn)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)角，角，A轉(zhuǎn)到

10、轉(zhuǎn)到A1，晶體自身晶體自身重合，則重合，則A1點(diǎn)必為一格點(diǎn)。再繞過點(diǎn)必為一格點(diǎn)。再繞過O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)角，角，晶體恢復(fù)到未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)，但此時(shí)晶體恢復(fù)到未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)，但此時(shí)B處格點(diǎn)轉(zhuǎn)到處格點(diǎn)轉(zhuǎn)到B1點(diǎn)，則點(diǎn)，則B1處必為一格點(diǎn)?？梢灾捞幈貫橐桓顸c(diǎn)?？梢灾繟B/A1B1，平行晶列具有相同的周期，平行晶列具有相同的周期，則則其中其中n為正整數(shù)或零為正整數(shù)或零n = 2，|cos|=1， = ，2；n = 1，|cos|=1/2， = /3，2/3，4 /3，5 /3；n = 0， |cos|=0， = /2，3/2OBAA1B1|cos|211anaBA12/|cos|

11、n643212, , , , ,n,n晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸只能是晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。度軸。綜合上述證明得：綜合上述證明得：12346因?yàn)轫槙r(shí)（或逆時(shí)）針轉(zhuǎn)動(dòng)因?yàn)轫槙r(shí)（或逆時(shí)）針轉(zhuǎn)動(dòng)4 /3， 3/2 ，5 /3分別等價(jià)于分別等價(jià)于逆時(shí)（或順時(shí)）針轉(zhuǎn)動(dòng)逆時(shí)（或順時(shí)）針轉(zhuǎn)動(dòng)2 /3， /2 ， /3，所以晶格轉(zhuǎn)動(dòng)的所以晶格轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立轉(zhuǎn)角為獨(dú)立轉(zhuǎn)角為： 2 ， ， 2/3， /2 ， /3 ；晶體中不存在5度或6度以上的轉(zhuǎn)軸。上述結(jié)果也可以直觀的理解為：長(zhǎng)方上述結(jié)果也可以直觀的理解為：長(zhǎng)方形、正三邊形、正方形、正六邊形可形、正三邊形、正方形、正六邊形可以在平面內(nèi)周期

12、性的重復(fù)排列，而不以在平面內(nèi)周期性的重復(fù)排列，而不留空隙，但正五邊形卻不能相互緊密留空隙，但正五邊形卻不能相互緊密排列做重復(fù)排列而不留空隙，因此晶排列做重復(fù)排列而不留空隙，因此晶體中不存在體中不存在5度的轉(zhuǎn)軸。度的轉(zhuǎn)軸。對(duì) 稱 軸的度數(shù)n2346符號(hào)對(duì)稱軸度數(shù)的符號(hào)表對(duì)稱軸度數(shù)的符號(hào)表晶體中對(duì)稱軸的度數(shù)常用不同的符號(hào)代表，如下表所示晶體中對(duì)稱軸的度數(shù)常用不同的符號(hào)代表，如下表所示（b）n度旋轉(zhuǎn)度旋轉(zhuǎn)-反演軸反演軸若繞某一固定軸若繞某一固定軸u旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2/n角度以后，再經(jīng)過中心反演（即角度以后，再經(jīng)過中心反演（即x -x，y -y，z -z），），晶體能夠自身重合，則稱晶體能夠自身重合，則稱u為

13、為n度旋轉(zhuǎn)度旋轉(zhuǎn)-反演軸。反演軸。這樣的對(duì)稱軸只有這樣的對(duì)稱軸只有1，2，3，4，6度。為了區(qū)別于轉(zhuǎn)軸，在軸的度。為了區(qū)別于轉(zhuǎn)軸，在軸的度次上加度次上加“-”來表示旋轉(zhuǎn)來表示旋轉(zhuǎn)-反演軸。即反演軸。即 。6, 4, 3, 2, 112i112m21 123456i 336=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 ABDCEFGHCADGFHEB正四面體既無四度軸也無對(duì)稱心，正四面體既無四度軸也無對(duì)稱心， 是基本的對(duì)稱操作。是基本的對(duì)稱操作。4總上所述，晶體的宏觀對(duì)稱性中有以下八種的基本對(duì)稱操作，即總上所述，晶體的宏觀對(duì)稱性中有以下八種的基本對(duì)稱操作，即1，2，3，4，

14、6，i，m， 。4 所有點(diǎn)對(duì)稱操作都可由這所有點(diǎn)對(duì)稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。一種操作或它們的組合來完成。一個(gè)晶體的全部對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)個(gè)晶體的全部對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)群群，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。對(duì)稱性不同的晶體屬于不同的群。對(duì)稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)-反演點(diǎn)對(duì)稱操作構(gòu)成的群，反演點(diǎn)對(duì)稱操作構(gòu)成的群，全部對(duì)稱要素相交于一點(diǎn)全部對(duì)稱要素相交于一點(diǎn)(晶體晶體中心中心)，在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)至少有一點(diǎn)不移動(dòng)，在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)至少有一點(diǎn)不移動(dòng)，稱之為稱之為點(diǎn)群點(diǎn)群。 理論證明，所有晶體只有理論證明，所有晶

15、體只有3232種點(diǎn)群，即只有種點(diǎn)群，即只有32種不同的點(diǎn)對(duì)種不同的點(diǎn)對(duì)稱操作類型。這種對(duì)稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱及物理稱操作類型。這種對(duì)稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱性。所以又稱宏觀對(duì)稱性。性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱性。所以又稱宏觀對(duì)稱性。 如果考慮平移，如果考慮平移，多出以下兩類微觀對(duì)稱操作類型多出以下兩類微觀對(duì)稱操作類型： n度度螺旋軸和滑移反映面。螺旋軸和滑移反映面。根據(jù)晶體的對(duì)稱性，按有無某種特征對(duì)稱元素為標(biāo)準(zhǔn)，將晶體分根據(jù)晶體的對(duì)稱性，按有無某種特征對(duì)稱元素為標(biāo)準(zhǔn)，將晶體分成成7個(gè)晶系：個(gè)晶系：立方晶系：在立方晶胞立方晶系：在立方晶胞4個(gè)方向體對(duì)角線上均有三重旋轉(zhuǎn)軸個(gè)方向體對(duì)角線上均有三重旋轉(zhuǎn)軸(a=b=c, =90)六方晶系：有六方晶系