復(fù)變函數(shù)和斷裂力學

1、第二講第二講:線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學彈性裂紋尖端場彈性裂紋尖端場的特征展開的特征展開(Williams,1957)概述n裂紋可分為三種類型： I型張開型 II型剪切型 III型撕開型(反平面剪切型)n三種裂紋的形式中，I 型裂紋最為常見，在工程設(shè)計和分析中最重要。但在數(shù)學分析上，III型裂紋比較簡單。主要應(yīng)力分量 , ；位移0 , 0 , ,uvww x yxzyzIII 型反平面剪切問題n復(fù)變函數(shù)方法在求解裂紋尖端時是相當有效的。n根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，任何解析函數(shù)的實部和虛部都滿足Laplace方程，它們構(gòu)成共軛的調(diào)和函數(shù)。n如果知道一個調(diào)和函數(shù)，則可以由柯西黎曼方程求出與之共軛的調(diào)和函

2、數(shù)。 III型反平面剪切問題n可見型裂紋的線彈性裂紋尖端場具有 奇異性，且與 因子成正比。n 稱為型裂紋的應(yīng)力強度因子，它是由外加載、裂紋尺寸以及構(gòu)形的幾何決定的。 12rKK3200lim2rKrIIIIII型反平面剪切問題n在有些情況下，有必要考慮應(yīng)力應(yīng)變公式中的第二項，此時應(yīng)力和位移場變?yōu)椋?IIIIII0III313131IIIIIIIII32320131III3,2sin.2KKxKru2 r2 r%線彈性力學的平面問題和線彈性力學的平面問題和反平面剪切問題反平面剪切問題 平面問題的復(fù)變函數(shù)表示平面問題的復(fù)變函數(shù)表示應(yīng)力組合與位移組合應(yīng)力組合與位移組合 型和型和型裂紋問題型裂紋問題n

3、平面問題 ，應(yīng)變分量為：n線彈性本構(gòu)關(guān)系為：n平衡方程為：n變形協(xié)調(diào)方程為：12( ,)uux x1(, )2uu 113()24E ,0 ,0 型和型和型裂紋問題型裂紋問題n如果應(yīng)力分量由Airy應(yīng)力函數(shù) 表示，即：n以上應(yīng)力函數(shù)自動滿足平衡方程。但要同時滿足變形協(xié)調(diào)方程，就必須滿足以下雙調(diào)和方程：12xx 2, 22,()0 型和型和型裂紋問題型裂紋問題n 滿足拉普拉斯方程，則類似于反平面問題，可以將 表示為：n積分得：2 2 224f zf zz z f z為解析函數(shù) 12zzzzzz 和為解析函數(shù)型和型和型裂紋問題型裂紋問題n易證：112222( )( )4Re( )mzzz2212(

4、 )( )( )( )izzzzz 1212uiuzzzzz 34 341對于平面應(yīng)力對于平面應(yīng)變22111222( )( )izzz型和型和型裂紋問題型裂紋問題n設(shè)上述方程的解有以下的形式：n代入裂紋上下表面（ ）的應(yīng)力自由邊界條件，可得： 12,zC zzC z111CABi222CAB iC1,C2為待定復(fù)常數(shù)0為實常數(shù)實常數(shù) 1(1)1(1)2212111(1)1(1)1210iiiiiCreCreCreCre 型和型和型裂紋問題型裂紋問題n即：n解的一般形式表示為 :n類似于型問題，裂紋前端的應(yīng)力應(yīng)變場由第1項主導，其系數(shù)為:1121121121120000iiiiiiiiiiiiC

5、eC eC eCeC eC eC eCeC eC eCeC e00cos41,1,2,32nn即該方程組有非零解得條件是:（當 時，裂尖位移奇異，當 時，代表剛體位移） 13221112131322212223,.zC zC zC zzC zC zC z1112CKiKKIIK和分別為I、II型應(yīng)力強度因子型和型和型裂紋問題型裂紋問題n型情況下的應(yīng)力場和位移場表示為： IIII222KKruur，% I11I1I22I2I1231 sinsin22cos32cos1 sinsin,cos222sin32sincos22uu%式中：型和型和型裂紋問題型裂紋問題n型情況下的應(yīng)力和位移場表示為： I

6、IIIIIII222KKruur，% II11II22II123sin2coscos2223sincoscos,2223cos1 sinsin222% II1II2323 sinsin1223223 coscos22uu%式中型和型和型裂紋問題型裂紋問題n在某些情況下，應(yīng)力、應(yīng)變式中的第二項也對材料的斷裂起明顯影響，考慮前兩項時的應(yīng)力場和位移場為： IIIIIIIIIIIIIII1212122211222284TTKKrrKiKrruiuuiuuiui zzz T11+，%第二項對應(yīng)著剛體轉(zhuǎn)動 和均勻的橫向應(yīng)立場 的疊加效應(yīng) T 在文獻中稱為T應(yīng)力，所以上式中的裂尖場又稱為K-T場 T 線彈性

7、斷裂力學線彈性斷裂力學n裂紋的基本類型裂紋的基本類型 I型型張開型（張開型（opening mode) II型型滑開型（滑開型（sliding mode) III型型撕開型（撕開型（anti-plane shear mode)張開型張開型滑開型滑開型撕開型撕開型線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學n二維I型裂紋的應(yīng)力強度因子 衡量裂紋尖端區(qū)應(yīng)力場強度的參量 3cos1 sinsin.22223cos1 sinsin.22223cossincos.2222IxIyIzKrKrKrIK 線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學nIIII型裂紋尖端附近的應(yīng)型裂紋尖端附近的應(yīng)力場力場nIIIIII型裂紋尖端附近的應(yīng)型裂紋

8、尖端附近的應(yīng)力場力場3sin2coscos22223sincoscos22223sin1sinsin2222IIxIIyIIzKrKrKr cos22sin22 IIIzyIIIzyIIIyKrKrKSa 其中， 線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學n均勻受載含中心裂紋無限大板的裂紋尖端附近均勻受載含中心裂紋無限大板的裂紋尖端附近位移場（位移場（I-II混合型裂紋）：混合型裂紋）：2222cos12sinsin12cos2222222sin1 2cossin1 2sin22222223 , 12 134 , IIIxIIIyKKrruKKrruE ，平面應(yīng)力式中，平面應(yīng)變 線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學

9、nI型裂紋位移垂直于裂紋，呈平面張開型；型裂紋位移垂直于裂紋，呈平面張開型；nII型裂紋位移平行于裂紋，呈平面剪切型；型裂紋位移平行于裂紋，呈平面剪切型；nIII型裂紋反對稱于裂紋及其延長線型裂紋反對稱于裂紋及其延長線12sin2zIIIruK線彈性裂尖場特點線彈性裂尖場特點n三種類型裂紋變形情況下的線彈性裂紋尖端場，在不考慮展開式的第二項的情況下得出的場統(tǒng)稱K場。nK場具有以下四個特點：v三種變形情況下裂紋尖端應(yīng)力場和應(yīng)變場都具有奇異性奇異性，即在裂紋尖端處，應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)闊o窮大，這種不真實的性質(zhì)是由于所采用的本構(gòu)關(guān)系所決定的，即認為材料能承受無限大的應(yīng)力，且應(yīng)變與應(yīng)力呈線性關(guān)系。另外，在上述

10、的分析中，裂紋假設(shè)成理想的尖裂紋，即裂紋尖端曲率為無窮大。實際上，裂紋尖端不可避免地會出現(xiàn)塑性區(qū)，并且裂紋尖端地曲率是有限的，但是在塑性區(qū)很小的情況下，在圍繞裂尖的一個環(huán)狀區(qū)域環(huán)狀區(qū)域內(nèi)K場場是適用的。線彈性裂尖場特點線彈性裂尖場特點vK場內(nèi)的位移與 成線性比例關(guān)系。v三種情況下的K場有相似的形式，分別由應(yīng)力強度因子 、 和 決定著其場的強度。SIF取決于外加載荷，而且與構(gòu)件幾何、裂紋尺寸有關(guān)，但是與坐標 無關(guān)。在K場范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變均正比于SIF，所以SIF是裂紋尖端附近應(yīng)力、應(yīng)變場強度的表征，是描述裂尖場強度的參數(shù)。 12rIKIIKIIIK, r線彈性裂尖場特點線彈性裂尖場特點v裂尖場

11、與角分布函數(shù)成比例。角分布函數(shù)僅與角 有關(guān)，而與 無關(guān)，對于同一種變形模式，角分布函數(shù)是相同的。所以，無論構(gòu)件的形狀、尺寸以及裂紋的尺寸如何，裂尖場都是相同的。 n對于一般的二維平面裂紋情況，裂紋尖端場是型和型K場的線性疊加。而對于三維裂紋，裂紋前緣任意一點的奇異場，都是型、型和型問題的線性疊加。 rI22II1200lim20lim20rrKrKr ， 線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學n用柔度法確定臨界應(yīng)變能釋放率用柔度法確定臨界應(yīng)變能釋放率 柔度：變形與載荷的比值柔度：變形與載荷的比值 總應(yīng)變能總應(yīng)變能柔度：柔度： 應(yīng)變能釋放率：應(yīng)變能釋放率： 臨界應(yīng)變能釋放率：臨界應(yīng)變能釋放率：CGcF21

12、122VFcF212cVcGFaa212crcrFcGba 工程斷裂問題與材料斷裂韌性工程斷裂問題與材料斷裂韌性n材料的斷裂韌性材料的斷裂韌性 臨界應(yīng)力強度因子，是材料抵抗裂紋能力的度量。臨界應(yīng)力強度因子，是材料抵抗裂紋能力的度量。是一個材料常數(shù)。是一個材料常數(shù)。n斷裂準則：斷裂準則： 當按照斷裂力學方法得出的含裂紋構(gòu)件的應(yīng)力強度當按照斷裂力學方法得出的含裂紋構(gòu)件的應(yīng)力強度因子小于材料斷裂韌度時，裂紋不擴展，構(gòu)件安全；因子小于材料斷裂韌度時，裂紋不擴展，構(gòu)件安全；反之，裂紋擴展，構(gòu)件不安全。反之，裂紋擴展，構(gòu)件不安全。 ICK, , ICICKKKK裂紋不擴展，安全裂紋擴展，不安全關(guān)于關(guān)于GK

13、的關(guān)系式的關(guān)系式：n以I型裂紋為例，OA段的兩邊作用有吸引（拉）力，此時OA段的上下邊之間沒有相對位移，且有I0K2yyx第二步，設(shè)想在長度內(nèi)，的作用應(yīng)力緩慢地減小第二步，設(shè)想在長度內(nèi)，的作用應(yīng)力緩慢地減小到零，則相應(yīng)裂紋擴展了長度，位移，到零，則相應(yīng)裂紋擴展了長度，位移， n當?shù)谌剑嬎隳芰酷尫怕?由實功原理：平面應(yīng)變平面應(yīng)變:I00r11G2d2yyv 222IIII0K14(1)1GKdKE2E2 K K與與G G之間有簡單的換算關(guān)系之間有簡單的換算關(guān)系n平面應(yīng)力222IIII0K14(1)1GKdKE2E22IIKGEIIKEGII2EGK1線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學n I型裂紋的

14、應(yīng)力強度因子型裂紋的應(yīng)力強度因子 II型裂紋的應(yīng)力強度因子型裂紋的應(yīng)力強度因子 III型裂紋的應(yīng)力強度因子型裂紋的應(yīng)力強度因子n裂紋尖端的裂紋尖端的應(yīng)力奇異性應(yīng)力奇異性: 當當 時，即在裂紋端點，應(yīng)力分量趨向于無窮大。時，即在裂紋端點，應(yīng)力分量趨向于無窮大。應(yīng)力場具有應(yīng)力場具有 的奇異性。原因：裂紋尖端是幾何上的奇異性。原因：裂紋尖端是幾何上的不連續(xù)點。的不連續(xù)點。IKIIKIIIK0r 12r 線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學n應(yīng)力不適宜作為判斷含裂紋材料承載能力的力學參應(yīng)力不適宜作為判斷含裂紋材料承載能力的力學參量量裂尖場應(yīng)力具有奇異性，只要存在載荷，應(yīng)力裂尖場應(yīng)力具有奇異性，只要存在載荷，應(yīng)

15、力就趨于無窮大。依照傳統(tǒng)強度理論，含裂紋結(jié)構(gòu)必定就趨于無窮大。依照傳統(tǒng)強度理論，含裂紋結(jié)構(gòu)必定破壞。破壞。n應(yīng)力強度因子作為判定裂紋尖端應(yīng)力場強度的物理參應(yīng)力強度因子作為判定裂紋尖端應(yīng)力場強度的物理參量引入。量引入。 線彈性斷裂力學的主要任務(wù)之一就是確定含裂紋線彈性斷裂力學的主要任務(wù)之一就是確定含裂紋構(gòu)件的應(yīng)力強度因子。構(gòu)件的應(yīng)力強度因子。 線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學n計算應(yīng)力強度因子的方法計算應(yīng)力強度因子的方法 解析法：復(fù)應(yīng)力函數(shù)法、積分變換法、權(quán)函數(shù)解析法：復(fù)應(yīng)力函數(shù)法、積分變換法、權(quán)函數(shù)法、法、 數(shù)值法：有限元法、有限體積法、數(shù)值法：有限元法、有限體積法、 應(yīng)力強度因子手冊應(yīng)力強度因子

16、手冊n應(yīng)力強度因子的量綱：應(yīng)力強度因子的量綱：32力長度 線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學例子例子二維有限大板含孔邊裂紋的應(yīng)力強度因子（幾何對稱、二維有限大板含孔邊裂紋的應(yīng)力強度因子（幾何對稱、受力對稱、各向同性材料）受力對稱、各向同性材料）IIKka IIIIKka 線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學n用柔度法確定臨界應(yīng)變能釋放率用柔度法確定臨界應(yīng)變能釋放率 柔度：變形與載荷的比值柔度：變形與載荷的比值 總應(yīng)變能總應(yīng)變能柔度：柔度： 應(yīng)變能釋放率：應(yīng)變能釋放率： 臨界應(yīng)變能釋放率：臨界應(yīng)變能釋放率：CGcF21122VFcF212cVcGFaa212crcrFcGba材料斷裂韌性材料斷裂韌性n材料的斷

17、裂韌性材料的斷裂韌性 臨界應(yīng)力強度因子，是材料抵抗裂紋能力的度量。是一個材料常臨界應(yīng)力強度因子，是材料抵抗裂紋能力的度量。是一個材料常數(shù)。稱為平面應(yīng)變斷裂韌度數(shù)。稱為平面應(yīng)變斷裂韌度n應(yīng)力強度因子應(yīng)力強度因子斷裂準則：斷裂準則： 當按照斷裂力學方法得出的含裂紋構(gòu)件的應(yīng)力強度因子小于材料當按照斷裂力學方法得出的含裂紋構(gòu)件的應(yīng)力強度因子小于材料斷裂韌度時，裂紋不擴展，構(gòu)件安全；反之，裂紋擴展，構(gòu)件不斷裂韌度時，裂紋不擴展，構(gòu)件安全；反之，裂紋擴展，構(gòu)件不安全。安全。 ICK, , ICICKKKK裂紋不擴展，安全裂紋擴展，不安全 線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學n材料斷裂韌度與使裂紋啟裂的拉伸應(yīng)力之間

18、的關(guān)系：材料斷裂韌度與使裂紋啟裂的拉伸應(yīng)力之間的關(guān)系：n使裂紋啟裂的拉伸應(yīng)力與裂紋驅(qū)動力（能量釋放率）使裂紋啟裂的拉伸應(yīng)力與裂紋驅(qū)動力（能量釋放率）之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：n平面應(yīng)變下應(yīng)力強度因子和能量釋放率之間的關(guān)系：平面應(yīng)變下應(yīng)力強度因子和能量釋放率之間的關(guān)系：ICfKa ICfEGa221ICICEGK線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學n斷裂過程中，釋放的能量主要耗散在裂紋尖端附近材斷裂過程中，釋放的能量主要耗散在裂紋尖端附近材料的塑性流動中。對于特定材料，能量耗散過程中所料的塑性流動中。對于特定材料，能量耗散過程中所需要的應(yīng)變能釋放率被稱為臨界應(yīng)變能釋放率，即需要的應(yīng)變能釋放率被稱為臨界應(yīng)變能釋放率，即 可以得到裂紋啟裂所需要的拉伸應(yīng)力：可以得到裂紋啟裂所需要的拉伸應(yīng)力：crG21crfEGa線彈性斷裂力學線彈性斷裂力學 線彈性材料的斷裂判據(jù)線彈性材料的斷裂判據(jù)-應(yīng)力強度因子斷裂判據(jù)：應(yīng)力