2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八篇平面解析幾何專題8.8拋物線及其幾何性質(zhì)練習(xí)含解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專題專題 8.8.8 8拋物線拋物線及其幾何性質(zhì)及其幾何性質(zhì)【考試要求】1.了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì).【知識梳理】1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.(2)其數(shù)學(xué)表達式：M|MF|d(d為點M到準線l的距離).2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)圖形標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點F到準線l的

2、距離性質(zhì)頂點O(0，0)對稱軸y0 x0焦點Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2離心率e1準線方程xp2xp2yp2yp2范圍x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R開口方向向右向左向上向下【微點提醒】1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于 2p，通徑是過焦點最短的弦.2.拋物線y22px(p0)上一點P(x0，y0)到焦點Fp2，0的距離|PF|x0p2，也稱為拋物線的焦半徑.【疑誤辨析】精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.()(2)方程yax2(a

3、0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是a4，0，準線方程是xa4.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.()(4)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x22ay(a0)的通徑長為 2a.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)當(dāng)定點在定直線上時，軌跡為過定點F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線.(2)方程yax2(a0)可化為x21ay，是焦點在y軸上的拋物線，且其焦點坐標是0，14a，準線方程是y14a.(3)拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形.【教材衍化】2.(選修 21P72A1 改編)頂點在原點，且過

4、點P(2，3)的拋物線的標準方程是_.【答案】y292x或x243y【解析】設(shè)拋物線的標準方程是y2kx或x2my，代入點P(2，3)，解得k92，m43，所以y292x或x243y.3. (選修 21P67A3 改編)拋物線y28x上到其焦點F距離為 5 的點的個數(shù)為_.【答案】2【解析】設(shè)P(x1，y1)，則|PF|x125，得x13，y12 6.故滿足條件的點的個數(shù)為 2.【真題體驗】4.(2019黃岡聯(lián)考)已知方程y24x表示拋物線，且該拋物線的焦點到直線xm的距離為 4，則m的值為()A.5B.3 或 5C.2 或 6D.6【答案】B【解析】拋物線y24x的焦點為F(1，0)，它與直

5、線xm的距離為d|m1|4，m3 或 5.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)5.(2019北京海淀區(qū)檢測)設(shè)拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是 4，則點P到該拋物線焦點的距離是()A.4B.6C.8D.12【答案】B【解析】如圖所示，拋物線的準線l的方程為x2，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點P作PAy軸，垂足是A，延長PA交直線l于點B，則|AB|2.由于點P到y(tǒng)軸的距離為 4，則點P到準線l的距離|PB|426，所以點P到焦點的距離|PF|PB|6.故選 B.6.(2019寧波調(diào)研)已知拋物線方程為y28x，若過點Q(2，0)的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是_.【答案】

6、1，1【解析】設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，當(dāng)k0 時，顯然滿足題意；當(dāng)k0 時，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0 或 0k1，因此k的取值范圍是1，1.【考點聚焦】考點一拋物線的定義及應(yīng)用【例 1】 (1)(2019廈門外國語模擬)已知拋物線x22y的焦點為F，其上有兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)滿足|AF|BF|2，則y1x21y2x22()A.4B.6C.8D.10(2)若拋物線y24x的準線為l，P是拋物線上任意一點，則P到準線l的距離與P到直線 3x4y70 的距離之和的最小值是()A.2B.1

7、35C.145D.3【答案】(1)B(2)A【解析】(1)由拋物線定義知|AF|y112，|BF|y212，|AF|BF|y1y22，又知x212y1，x222y2，x21x222(y1y2)4，y1x21y2x22(y1y2)(x21x22)246.(2)由拋物線定義可知點P到準線l的距離等于點P到焦點F的距離，由拋物線y24x及直線方程 3x4y70 可得直線與拋物線相離， 點P到準線l的距離與點P到直線 3x4y70 的距離之和的最小值為點F(1，0)到直線 3x4y70 的距離，即|37|32422.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【規(guī)律方法】應(yīng)用拋物線定義的兩個關(guān)鍵點(1)

8、由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準線距離相互轉(zhuǎn)化.(2)注意靈活運用拋物線上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|x0|p2或|PF|y0|p2.【訓(xùn)練 1】 (1)動圓過點(1，0)，且與直線x1 相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_.(2)(2017全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|_.【答案】(1)y24x(2)6【解析】(1)設(shè)動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1，0)的距離與到直線x1 的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.(2)如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C

9、的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|AO|2.點M為FN的中點，PMOF，|MP|12|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.考點二拋物線的標準方程及其性質(zhì)【例 2】 (1)(2018晉城模擬)拋物線C：y24x的焦點為F，其準線l與x軸交于點A，點M在拋物線C上，當(dāng)|MA|MF| 2時，AMF的面積為()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圓C1：x2(y2)24，拋物線C2：y22px(p0)，C1與C2相交于A，B兩點，且|AB|8 55，

10、則拋物線C2的方程為()A.y285xB.y2165xC.y2325xD.y2645x【答案】(1)C(2)C精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析】(1)過M作MP垂直于準線，垂足為P，則|MA|MF| 2|MA|MP|1cos AMP，則 cos AMP22，又 0MAP0)，圓心C1(0，2)到直線AB的距離d|2|k21224 5522 55，解得k2，由y2x，x2（y2）24得x0，y0或x85，y165，把85，165 代入拋物線方程，得16522p85，解得p165，所以拋物線C2的方程為y2325x.【規(guī)律方法】1.求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判

11、斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.2.在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此.【訓(xùn)練 2】 (1)如圖， 過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B， 交其準線l于點C， 若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_.(2)(2019濟寧調(diào)研)已知點A(3，0)，過拋物線y24x上一點P的直線與直線x1 垂直相交于點B，若|PB|PA|，則P的橫坐標為()A.1B.32C.2D.52精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為

12、你奉上專心-專注-專業(yè)【答案】(1)y23x(2)C【解析】(1)設(shè)A，B在準線上的射影分別為A1，B1，由于|BC|2|BF|2|BB1|，則直線的斜率為 3，故|AC|2|AA1|6，從而|BF|1，|AB|4，故p|AA1|CF|AC|12，即p32，從而拋物線的方程為y23x.(2)由拋物線定義知：|PB|PF|，又|PB|PA|，所以|PA|PF|，所以xPxAxF22(PFA為等腰三角形).考點三直線與拋物線的綜合問題【例 3】 (2019武漢調(diào)研)已知拋物線C：x22py(p0)和定點M(0，1)，設(shè)過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線交點為N.(1)若

13、N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若ABN面積的最小值為 4，求拋物線C的方程.【答案】見解析【解析】(1)可設(shè)AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入拋物線C，得x22pkx2p0，顯然方程有兩不等實根，則x1x22pk，x1x22p.又x22py得yxp，則A，B處的切線斜率乘積為x1x2p22p1，則有p2.(2)設(shè)切線AN為yx1pxb，又切點A在拋物線yx22p上，y1x212p，bx212px21px212p，切線AN的方程為yANx1pxx212p，同理切線BN的方程為yBNx2pxx222p.又N在yAN和yBN上，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專

14、心-專注-專業(yè)yx1pxx212p，yx2pxx222p，解得Nx1x22，x1x22p.N(pk，1).|AB| 1k2|x2x1| 1k24p2k28p，點N到直線AB的距離d|kxN1yN|1k2|pk22|1k2，SABN12|AB|dp（pk22）32 2p，2 2p4，p2，故拋物線C的方程為x24y.【規(guī)律方法】1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.2.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.【提醒】：涉及弦的

15、中點、斜率時一般用“點差法”求解.【訓(xùn)練 3】 (2017全國卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為()A.16B.14C.12D.10【答案】A【解析】拋物線C：y24x的焦點為F(1，0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為 0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則l2直線的斜率為1k，故l1：yk(x1)，l2：y1k(x1).由y24x，yk（x1），消去y得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22k24k224k2，由拋物線定義可知，|

16、AB|x1x2244k2.同理得|DE|44k2，|AB|DE|84k24k282 1616.當(dāng)且僅當(dāng)1k2k2，即k1 時取等號.故|AB|DE|的最小值為 16.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【反思與感悟】1.拋物線定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點M，一個定點F(拋物線的焦點)，一條定直線l(拋物線的準線)，一個定值 1(拋物線的離心率).2.拋物線的焦點弦：設(shè)過拋物線y22px(p0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)若直線AB的傾斜角為，則|AB|2psin2；|AB|x1x2p；(3)若F為拋

17、物線焦點，則有1|AF|1|BF|2p.【易錯防范】1.認真區(qū)分四種形式的標準方程(1)區(qū)分yax2(a0)與y22px(p0)，前者不是拋物線的標準方程.(2)求標準方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標準方程有時可設(shè)為y2mx或x2my(m0).2.直線與拋物線結(jié)合的問題，不要忘記驗證判別式.【核心素養(yǎng)提升】【數(shù)學(xué)抽象】活用拋物線焦點弦的四個結(jié)論1.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平表現(xiàn)為能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠?qū)⒁阎獢?shù)學(xué)命題推廣到更一般情形.本課時中研究直線方程時常用到直線系方程就是其具體表現(xiàn)之一.2.設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2

18、，y2)，則(1)x1x2p24.(2)y1y2p2.(3)|AB|x1x2p2psin2(是直線AB的傾斜角).(4)1|AF|1|BF|2p為定值(F是拋物線的焦點).【例 1】 過拋物線y24x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|2|BF|，則|AB|等于()A.4B.92C.5D.6【一般解法】【答案】B【解析】易知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則其方程為yk(x1).精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)由yk（x1），y24x得k2x2(2k24)xk20，得xAxB1，因為|AF|2|BF|，由拋物線的定義得xA12(xB1)，即xA2xB1，由解得xA2，xB12

19、，所以|AB|AF|BF|xAxBp92.【應(yīng)用結(jié)論】法一由對稱性不妨設(shè)點A在x軸的上方，如圖設(shè)A，B在準線上的射影分別為D，C，作BEAD于E，設(shè)|BF|m，直線l的傾斜角為，則|AB|3m，由拋物線的定義知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以 cos|AE|AB|13，所以 tan2 2.則 sin28cos2，sin289.又y24x，知 2p4，故利用弦長公式|AB|2psin292.法二因為|AF|2|BF|，1|AF|1|BF|12|BF|1|BF|32|BF|2p1，解得|BF|32，|AF|3，故|AB|AF|BF|92.【例 2】 設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且

20、傾斜角為 30的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為()A.3 34B.9 38C.6332D.94【一般解法】【答案】D精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析】由已知得焦點坐標為F34，0，因此直線AB的方程為y33x34 ，即 4x4 3y30.與拋物線方程聯(lián)立，化簡得 4y212 3y90，故|yAyB| （yAyB）24yAyB6.因此SOAB12|OF|yAyB|1234694.應(yīng)用結(jié)論由 2p3，及|AB|2psin2得|AB|2psin23sin23012.原點到直線AB的距離d|OF|sin 3038，故SAOB12|AB|d12123894.【例 3

21、】 (2019益陽、湘潭調(diào)研)如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|4，則線段AB的長為()A.5B.6C.163D.203【一般解法】【答案】C【解析】如圖，設(shè)l與x軸交于點M，過點A作ADl交l于點D，由拋物線的定義知，|AD|AF|4，由F是AC的中點，知|AD|2|MF|2p，所以 2p4，解得p2，所以拋物線的方程為y24x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|x1p2x114，所以x13，可得y12 3，所以A(3，2 3)，又F(1，0)，所以直線AF的斜率k2 331 3，所以直線AF的方程為

22、y 3(x1)，代入拋物線方程y24x得 3x210 x30，所以x1x2103，|AB|x1x2p163.故選 C.【應(yīng)用結(jié)論】法一設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|x1p2x114，所以x13，又x1x2p241，所以x213，所以|AB|x1x2p3132163.法二因為1|AF|1|BF|2p，|AF|4，所以|BF|43，所以|AB|AF|BF|443163.【分層訓(xùn)練】精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時：40 分鐘)一、選擇題1.拋物線y4x2的焦點到準線的距離為()A.2B.1C.14D.18【答案】D【解析】由y4x2得x214y

23、，所以 2p14，p18，則拋物線的焦點到準線的距離為18.2.(2019撫順模擬)已知點F是拋物線y22x的焦點，M，N是該拋物線上的兩點，若|MF|NF|4，則線段MN的中點的橫坐標為()A.32B.2C.52D.3【答案】A【解析】點F是拋物線y22x的焦點，F(xiàn)12，0，準線方程為x12，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MF|NF|x112x2124，x1x23，線段MN中點的橫坐標為32.3.設(shè)拋物線C：y23x的焦點為F，點A為C上一點，若|FA|3，則直線FA的傾斜角為()A.3B.4C.3或23D.4或34【答案】C【解析】如圖，作AHl于H，則|AH|FA|3，作FEA

24、H于E，則|AE|33232，在 RtAEF中，cosEAF|AE|AF|12，又 0EAF，EAF3，即直線FA的傾斜角為3，同理點A在x軸下方時，直線FA的傾斜角為23.4.(2019德州調(diào)研)已知拋物線C的頂點是原點O，焦點F在x軸的正半軸上，經(jīng)過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，若OAOB12，則拋物線C的方程為()A.x28yB.x24y精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)C.y28xD.y24x【答案】C【解析】由題意，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，直線方程為xmyp2，聯(lián)立y22px，xmyp2，消去x得y22pmyp20，顯然方程有兩個不等實根.設(shè)A(x1，y1)，

25、B(x2，y2)，則y1y22pm，y1y2p2，得OAOBx1x2y1y2my1p2my2p2 y1y2m2y1y2pm2(y1y2)p24y1y234p212，得p4(舍負)，即拋物線C的方程為y28x.5.(2019河南中原聯(lián)考)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，準線為l，且l過點(2，3)，M在拋物線C上，若點N(1，2)，則|MN|MF|的最小值為()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由題意知p22，即p4.過點N作準線l的垂線，垂足為N，交拋物線于點M，則|MN|MF|，則有|MN|MF|MN|MT|MN|MN|NN|1(2)3.二、填空題6.如圖是拋物線形拱橋，

26、當(dāng)水面在l時，拱頂離水面 2 米，水面寬 4 米.水位下降 1 米后，水面寬_米.【答案】2 6【解析】建立如圖平面直角坐標系，設(shè)拋物線方程為x22py(p0).由題意將點A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.設(shè)B(x，3)，代入x22y中，得x 6，故水面寬為 26米.7.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y26x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足.若直線AF的斜率k 3，則線段PF的長為_.【答案】6精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析】 由拋物線方程為y26x， 所以焦點坐標F32，0， 準線方程為x32， 因為直線AF的斜率為 3，所以直線AF

27、的方程為y 3x32 ，當(dāng)x32時，y3 3，所以A32，3 3，因為PAl，A為垂足，所以點P的縱坐標為 3 3，可得點P的坐標為92，3 3，根據(jù)拋物線的定義可知|PF|PA|9232 6.8.已知雙曲線C1：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 2.若拋物線C2：x22py(p0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為 2，則拋物線C2的方程為_.【答案】x216y【解析】因為雙曲線C1：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 2，所以 2ca1b2a2，所以ba 3，所以漸近線方程為3xy0，因為拋物線C2：x22py(p0)的焦點為F0，p2 ，所以F到雙曲線C1的漸近線的距離

28、為|p2|312，所以p8，所以拋物線C2的方程為x216y.三、解答題9.(2019天津耀華中學(xué)模擬)已知過拋物線y22px(p0)的焦點， 斜率為 22的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，即m1 時，x1，222m1.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)從而|AB| 2|x1x2|4 2（m1）.由題設(shè)知|AB|2|MN|，即 4 2（m1）2(m1)，解得m7.所以直線AB的方程為xy70.【能力提升題組】(建議用時：20 分鐘)11.拋物線y28x的焦點為F，設(shè)A，B是拋物線上的兩個動點，|AF|BF|2 33|AB|，則AFB的最大值為()A.3B.34

29、C.56D.23【答案】D【解析】設(shè)|AF|m，|BF|n，|AF|BF|2 33|AB|，2 33|AB|2mn，mn13|AB|2，在AFB中，由余弦定理得cos AFBm2n2|AB|22mn（mn）22mn|AB|22mn13|AB|22mn2mn12，AFB的最大值為23.12.(2019武漢模擬)過點P(2，1)作拋物線x24y的兩條切線，切點分別為A，B，PA，PB分別交x軸于E，F(xiàn)兩點，O為坐標原點，則PEF與OAB的面積之比為()A.32B.33C.12D.34【答案】C【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點A，B處的切線方程為x1x2(yy1)，x2x2(yy2)，所以E2y1x1，0，F(xiàn)2y2x2，0，即Ex12，0，F(xiàn)x22，0，因為這兩條切線都過點P(2，1)，則2x12（1y1），