(結(jié)構(gòu)動力學(xué))對簡諧和周期荷載的反應(yīng)

1、結(jié)構(gòu)動力學(xué)（2010）結(jié)構(gòu)動力學(xué) 第四章 單自由度體系對 簡諧和周期荷載的反應(yīng)單自由度體系對簡諧荷載作用下的反應(yīng)是結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的一個經(jīng)典內(nèi)容。不僅工程中實際存在這種形式的荷載，而且簡諧荷載作用下單自由度體系的解提供了了解結(jié)構(gòu)動力特性和用于分析更復(fù)雜荷載作用反應(yīng)的手段和方法。4.1 無阻尼體系的簡諧振動運(yùn)動方程： 其中：p0 簡諧荷載的幅值； 簡諧荷載的圓頻率。 初始條件 ： tpkuumsin0 )0(,)0(00uuuutt4.1 無阻尼體系的簡諧振動運(yùn)動方程是帶有初值條件的二階常微分方程，全解=齊次方程的通解+特解通解對應(yīng)的方程是一個自由振動方程，其解uc為無阻尼自由振動： c - com

2、plementary tpkuumsin0 mktBtAtunnnc/sincos)(4.1 無阻尼體系的簡諧振動特解滿足運(yùn)動方程的解，記為up(t) ，是由動荷載p0sint直接引起的振動解。設(shè)特解為： 其中，/n頻率比，外荷載的激振頻率與結(jié)構(gòu)自振頻率之比 ； pparticular tpkuumsin0 tDtCtupcossin)(0,)/(1120DkpCntpkuumsin0 4.1 無阻尼體系的簡諧振動全解=通解+特解 待定系數(shù)A、B由初值條件確定 tkptBtAtututunnnpcsin)/(11sincos)()()(2020)/(1/)0()0(nnnkpuBuA)0()0

3、(00uuuutt4.1 無阻尼體系的簡諧振動滿足初始條件的解 ： 瞬態(tài)反應(yīng)和穩(wěn)態(tài)反應(yīng) tkptkpututunnnnnnsin)/(11sin)/(1/)0(cos)0()(2020瞬態(tài)反應(yīng) 穩(wěn)態(tài)反應(yīng) 4.1 無阻尼體系的簡諧振動穩(wěn)態(tài)反應(yīng) ： u0穩(wěn)態(tài)反應(yīng)的振幅： ust等效靜位移，或靜位移： Rd動力放大系數(shù)： tkptunsin)/(11)(20kpust0200)/(11nkpu20)/(11nstduuR4.1 無阻尼體系的簡諧振動無阻尼體系動力放大系數(shù) =0 ，Rd =1 =n，Rd 發(fā)生共振 /n2， Rd1 20)/(11nstduuR4.1 無阻尼體系的簡諧振動無阻尼體系共振

4、時動力反應(yīng)時程 共振時(=n)： ttutunnstpcos2)(4.2 有阻尼體系的簡諧振動運(yùn)動方程： 初始條件：利用c=2mn，并將運(yùn)動方程兩邊同除m，得到如下形式的運(yùn)動方程： tpkuucumsin0 )0(,)0(00uuuutttmpuuunnsin202 4.2 有阻尼體系的簡諧振動通解uc對應(yīng)于有阻尼自由振動反應(yīng)： 特解up可以設(shè)為如下形式 : tmpuuunnsin202 )sincos()(tBtAetuDDtcntDtCtupcossin)(0cos)(2sin2)(22022tDCtmpDCnnnn4.2 有阻尼體系的簡諧振動 運(yùn)動方程的全解：u(t)=uc+up ： 2

5、222222)/(2)/(1 /2)/(2)/(1 )/(1nnnstnnnstuDuC0)(1)2()2()(122DCuDCnnstnntDtCtBtAetuDDtncossin)sincos()(4.2 有阻尼體系的簡諧振動 圖4.3 有初始條件影響的動力反應(yīng)時程 4.2 有阻尼體系的簡諧振動（1）共振反應(yīng)（=n） 滿足零初始條件 運(yùn)動解：當(dāng)=0時 ： 與無阻尼時的結(jié)果完全相同 2222222)/(2)/(1 /2)/(2)/(1 )/(1nnnstnnnstuDuC2,0stuDCststuBuA2121,21ttteutunDDtstncos)sin1(cos2)(2ttutunns

6、tcos2)(tutBtAetustDDtncos2)sincos()(（1）有阻尼體系的共振反應(yīng)（=n） 圖4.4 有阻尼體系共振反應(yīng)時程 4.2 有阻尼體系的簡諧振動（2）動力放大系數(shù)Rd（dynamic magnification factor） 振動的穩(wěn)態(tài)解： u0 穩(wěn)態(tài)振動的振幅 相角，反映體系振動位移與簡諧荷載的相位關(guān)系 )sin(cossin)(0tutDtCtu)(tan,1220CDDCu212220)/(1)/(2tan)/(2)/(1 1nnnnstuu2222222)/(2 )/(1 /2)/(2 )/(1 )/(1nnnstnnnstuDuC靜位移kpust0（2）動

7、力放大系數(shù)Rd（dynamic magnification factor） 動力放大系數(shù)定義為 ： 2220)/(2)/(1 1nnstuustduuR0222)/(2)/(1 1nndR（2）動力放大系數(shù)Rd222)/(2)/(1 1nndR（2）動力放大系數(shù)Rd(1) 當(dāng)21時，1dR，即體系不發(fā)生放大反應(yīng)。 (2) 當(dāng)21時，22max21)(,121)(峰值ndR。 (3) 當(dāng)1/n（共振時） ，21dR。 (4) 當(dāng)2/n時，1dR，對任意 均成立。 4.2 有阻尼體系的簡諧振動（3）阻尼體系動力反應(yīng)與荷載的相位關(guān)系 在動力荷載的作用下，有阻尼體系的動力反應(yīng)（位移）一定要滯后動力荷載

8、一段時間，即存在反應(yīng)滯后現(xiàn)象。這個滯后的時間即由相角反映，如果滯后時間為t0，則= t0 （t0=/）。由計算的公式可知，滯后的相角與頻率比/n和阻尼大小均有關(guān)系。 21)/(1)/(2tannn（3）阻尼體系動力反應(yīng)與荷載的相位關(guān)系 右圖給出阻尼比=0.2時，相應(yīng)于不同頻率比/n時的外力和位移曲線及滯后相角。相角實際是反映結(jié)構(gòu)體系位移（反應(yīng)）相應(yīng)于動力荷載的反應(yīng)滯后時間，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，頻率比越大，即外荷載作用得越快，動力反應(yīng)的滯后時間越長。 （3）阻尼體系動力反應(yīng)與荷載的相位關(guān)系 （3）阻尼體系動力反應(yīng)與荷載的相位關(guān)系 表 4.1 三種特殊情況時體系振動位移與簡諧荷載的相位關(guān)系 由n/圖判

9、斷 物理解釋 （根據(jù)關(guān)系：uufufufICS2, ） 0/n時 0 0則u 和0u ，即cf和0If 則)(tpfS即)(tpku ，u與)(tp相位相同 1/n時 90 90)()(90(),()(0,2相差，則相差與）相同，而與即則則tptuuutputpuctpffffkuumumfcSIsnI n/時 180 180180)()(,，則相差位移反相，所以位移與，而慣性力與則和，則tptpffffIcSI 4.3 振動測量儀器（拾振儀） 測量振動量儀器主要有三種： 加速度計：測量加速時程（強(qiáng)震儀） 位移計：測量位移時程（地震儀） 速度計：測量速度（目前應(yīng)用逐步多起來） 4.3 振動測量

10、儀器（拾振儀） （1）加速度計（強(qiáng)震儀） 加速度計測量的是加速度在基底加速度作用下儀器質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為：儀器基底加速度時程：儀器質(zhì)點(diǎn)所記錄的相對位移u(t)為： )(tumkuucumg tutuggsin)(0 )sin()sin()/(2)/(1 1)(02220tuRkmtkumtugdnng （1）加速度計（強(qiáng)震儀） 為簡單起見，僅討論u(t)的振幅u0 ：通常采用提高加速度計中彈簧剛度的方法來實現(xiàn)提高n的目的。因此，加速度計或強(qiáng)震儀中彈簧剛度比較大，是比較剛性的。 00)(gduRkmu 5 . 0/0nmkn/n5 . 07 . 04.3 振動測量儀器（拾振儀） （2）位移計（地震

11、儀）位移計是用來測量儀器基底的位移量 儀器基底位移時程：在基底位移作用下儀器質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為：儀器質(zhì)點(diǎn)的所記錄的相對位移u(t)為： )sin(02tumkuucumg tuuggsin0)sin()()sin()(0202tuRtRukmtugdndg（1）位移計（地震儀） 通常采用降低位移計中彈簧剛度的方法來實現(xiàn)降低n的目的。因此，位移計中彈簧剛度比較小，是比較柔性的。 1/nn5 . 0020)(gdnuRudngRuu200)(位移比4.4 隔振（震） 隔振（震）分兩種情況：1）阻止振動的輸出。例如，大型機(jī)器動力機(jī)器振動向地基中的傳播；地鐵車輛振動傳播。力的傳遞和隔震 2）阻止振動的輸

12、入。例如，結(jié)構(gòu)抗震問題中的隔震設(shè)計，在振動的結(jié)構(gòu)或地基上安裝的精密儀器設(shè)備的隔震問題?；渍駝拥母綦x 4.4 隔振（震） 力的傳遞和隔震 基底振動的隔離 4.4 隔振（震） 1、力的傳遞和隔震p0 sint機(jī)器的不平衡力 機(jī)器的轉(zhuǎn)速(角速度)m 機(jī)器質(zhì)量(設(shè)為剛性質(zhì)量塊) k、c隔振元件的總剛度和阻尼。fT 從隔振元件傳到地基上的力 單質(zhì)點(diǎn)體系簡諧振動問題的解為: uckufffDsT)sin()(tRutudst1、力的傳遞和隔震傳到地基上的力為：作用力fT的最大值為：將ust=p0 /k、c=2mn代入上式得：TR傳遞率(transmissibility)，是反映隔振效果的量 uckuff

13、fDsT)sin()(tRutudst)cos()sin()(tctkRutfdstT222maxckRufdstT22220max)/(2)/(1 )/(21nnnTpfTR1、力的傳遞和隔震力的傳遞率TR 當(dāng)頻率比：傳遞率：為達(dá)到隔振的目的，可采用降低n的辦法，減小隔振元件剛度， 或增加儀器質(zhì)量的方法，提高隔振效果。實際的減震設(shè)計方案應(yīng)在盡量小的剛度和可接受的靜位移之間優(yōu)化選取。阻尼對隔振的影響？ 22220max)/(2)/(1 )/(21nnnTpfTR2n1TR4.4 隔振（震） 2、基底振動的隔離ug(t)基底（地面）的振動位移時程；ut(t)=u(t)+ug(t)質(zhì)點(diǎn)的絕對運(yùn)動時

14、程；u(t)相對位移。輸入基底運(yùn)動的位移時程為：單質(zhì)點(diǎn)體系簡諧振動問題的解為: 質(zhì)點(diǎn)的總位移ut(t)為： tutuggsin)(0)sin()()(02tuRtugdn)sin()/(21)()()(120tRutututundggt2、基底振動的隔離位移的傳遞率TR為 ：位移的傳遞率與力的傳遞率完全相同，說明兩種隔振問題是相通和相同的，其隔振設(shè)計方法也基本相同 )sin()/(21)()()(120tRutututundggt200)/(21ndgtRuuTR222200)/(2)/(1 )/(21nnngtuuTR222)/(2)/(1 1nndR2、基底振動的隔離對建筑結(jié)構(gòu)的隔震問題與

15、以上討論的單質(zhì)點(diǎn)體系隔振問題有類似的地方。例如都是試圖通過降低體系自振頻率的方法來提高隔震(振)效率。也有不同的地方，建筑結(jié)構(gòu)體系是多自由度體系，其隔震(振)效率的研究更復(fù)雜，而且地震動是寬頻帶的過程，總有與結(jié)構(gòu)自振頻率相同的頻率成份存在，無法通過避開地震動頻率的方法來實現(xiàn)隔震(振)的目地。隔震問題研究已成為一門專門的工程抗震研究領(lǐng)域。加速度傳遞率為 ：加速度的傳遞率與位移的傳遞率相同 00020200gtgtgtuuuuuuTR 2、基底振動的隔離算例1，工程場地豎向加速度為g=0.1g，振動頻率為f=10Hz，安放一個重m=50kg的敏感儀器，儀器固定在剛度k=14kN/m，阻尼比=10%

16、的橡膠隔振墊上，問：傳遞到儀器上的加速度是多少？如果儀器只能承受0.005g的加速度，給出解決方案。2、基底振動的隔離解： 傳遞到儀器上的加速度是多少？求TR體系自振頻率： 頻率比：加速度傳遞率：傳遞到儀器上的加速度：g=0.1g，f=10Hz，m=50kg，k=14kN/m，=10%sec/73.1610005014radmkn75. 373.16102ngguTRugt009. 01 . 0091. 000 091. 0)(2)(1 )(21222200nnngtuuTR 2、基底振動的隔離解：如果儀器只能承受0.005g的 加速度，給出解決方案。降低體系的自振頻率n，即增大/n可以提高隔

17、振效率，由于隔振墊參數(shù)不易改變，采用增加附加質(zhì)量辦法降低n，先假設(shè)附加質(zhì)量mb=60kg，體系總質(zhì)量m=m+mb=110kg。 例題1體系新的n和/n可為：體系新的阻尼比： 57. 528.11102sec/28.11100011014nnrad067. 01 . 028.11)5060(73.165022nnnnmmmmc例題1體系新的傳遞率：傳遞到儀器上的加速度：因為方案成功。 如果要求附加質(zhì)量后，0t=0.005g，則mb應(yīng)是多少？57. 528.11102n067. 004. 0)57. 5067. 02()57. 51 ()57. 5067. 02(12222RTgguRTugt00

18、4. 01 . 004. 000 ggut005. 0004. 00 算例2 汽車在多跨連續(xù)梁上行駛，橋梁跨度均為L=30m，橋面由于長時徐(蠕)變效應(yīng)而產(chǎn)生15cm的撓度(橋面的中點(diǎn))。橋面可以用振幅為7.5cm的正弦曲線來近似，汽車可以用一個單質(zhì)點(diǎn)SDOF體系模擬，如果車重m=1.8t，等效彈簧剛度K=140kN/m，等效阻尼比=40%， 求： 車以80km/h行駛時，汽車的豎向運(yùn)動ut(t)的振幅u0t 發(fā)生共振時汽車的行駛速度(使振幅最大時的速度) 算例2 解： 車以80km/h行駛時，汽車的豎向運(yùn)動ut(t)的振幅u0t汽車相當(dāng)于受振幅為ug0=0.075m， 波長為L=30m的簡諧

19、運(yùn)動ug的干擾簡諧運(yùn)動的周期:車輛的固有周期: ssmmvLT35. 1)3600/80000(30/skmTnn71. 01408 . 1222算例2 頻率比:振動傳遞率:汽車豎向運(yùn)動的振幅： sT35. 1sTn71. 053. 035. 171. 0TTnn3 . 1)53. 04 . 02()53. 01 ()53. 04 . 02(1)2()1 ()2(122222222TRmuuTRuggt0975. 0075. 03 . 13 . 1000算例2 解： 發(fā)生共振時汽車的行駛速度(使振幅最大時的速度)如果體系的阻尼比很小，當(dāng)=n時ut最大，而本問題阻尼比0.4很大，因此使u0t取最

20、大的不一定等于n，此時要采用取極值條件求使u0t最大，即使TR取最大。算例2 使TR取最大值的頻率，也使TR2取最大值。當(dāng)汽車的行駛速度為135km/h時，車輛的振幅達(dá)到最大值 vLT/22222)2()1 ()2(1(TR02TR89. 0TTnn798. 089. 071. 0nTTsTn71. 0hkmsmTLv/135/6 .37798. 0304.5 用簡諧振動(強(qiáng)迫振動)試驗 確定體系的粘性阻尼比 可以用自由振動方法求阻尼比的原因是由于自振衰減的快慢由控制，或說衰減規(guī)律可以明顯反應(yīng)出阻尼比的影響。而動力放大系數(shù)同樣受控制，Rd曲線形狀可以反映出的影響，其影響主要有兩點(diǎn)： (1)峰值

21、大小， (2)曲線的胖瘦。利用體系對簡諧荷載反應(yīng)的結(jié)果也可以得到體系的阻尼比，有兩種主要方法：共振放大法和半功率(帶寬)法，其原理均是基于對動力放大系數(shù)Rd的分析。4.5 用強(qiáng)迫振動試驗確定體系的阻尼比 1、共振放大法根據(jù)動力放大系數(shù)Rd : 當(dāng)發(fā)生共振(/n1)時: 222)/(2)/(1 1nndR21)()(00stnstnduuuuRn)(2)(210nstnduuR4.5 用強(qiáng)迫振動試驗確定體系的阻尼比 1、共振放大法由于從動力放大曲線定u0(n)不容易，一般用u0m代替，u0m=max(u0)，則: 用共振放大法確定體系的阻尼比，方法簡單。但實際工程中測得的動力放大系數(shù)曲線一般以u

22、0圖給出，用以上公式計算阻尼比時，還需得到零頻時的靜位移值ust，實際測量靜載位移無論從加載設(shè)備和記錄(拾振)設(shè)備都有一定的困難，即實現(xiàn)動力加荷和測量動力信號的設(shè)備不能在零頻率時工作。因此工程中往往采用半功率(帶寬)法從動力試驗中得到阻尼比。 )(2)(210nstnduuRmstduuR0max2)(214.5 用強(qiáng)迫振動試驗確定體系的阻尼比 2、半功率帶寬法 (半功率點(diǎn)法) 半功率點(diǎn)：動力放大系數(shù)Rd上振幅值等于1/2倍最大振幅的點(diǎn)所對應(yīng)的兩個頻率點(diǎn)。 記：a和b分別等于半功 率點(diǎn)對應(yīng)的兩個頻率。 則阻尼比 可由如下公式計算： nab2ababababffffnabfff2半功率帶寬法 (

23、半功率點(diǎn)法) 證明： (4.34) (4.35)nab2 由 Rd可知，Rd的最大值。2max121)(dR。而振幅等于21倍(Rd)max對應(yīng)的頻率滿足以下方程： 222212121)/(2)/(1 1nn (a) 對式(a)兩邊同時取倒數(shù)、并開平方，整理后得： 0)1 (81)(21 (2)(22224nn (b) 式(b)是關(guān)于(/n)2一元二次方程，可得兩個根為： 22212)21 ()(n (c) 式(c)取正號時對應(yīng)數(shù)值較大的根b，負(fù)號對應(yīng)較小的根a。一般的工程結(jié)構(gòu)，阻尼比較小，式(c)中 的平方項可忽略，因此 121n 則對應(yīng)于半功率點(diǎn)的兩個根為： 1,1nanb (d) 由式(

24、d)得到半功率點(diǎn)頻率b和a與阻尼比 的關(guān)系， 2nab (e) 由此得到式（4.34） 。若再用式(d)得關(guān)系2nab，代入式(e)，又得到式（4.35） 。 abab三種阻尼比的測量方法 共介紹了三種測量結(jié)構(gòu)阻尼的方法：對數(shù)衰減率法、共振放大法和半功率帶寬法，雖然是針對單自由度體系推導(dǎo)的，但這些方法對多自由度體系同樣適用。下面對這三種方法給一簡要的總結(jié)。(1)對數(shù)衰減率法 采用自由振動試驗，測一階振型的阻尼比較容易。高階振型的阻尼比的關(guān)鍵是能激發(fā)出按相應(yīng)振型進(jìn)行的自由振動。(2)共振放大法 采用強(qiáng)迫振動試驗，由于靜（零頻）荷載下的位移較難確定，應(yīng)用上存在一定的技術(shù)困難，但通過一定數(shù)學(xué)上的處理

25、還是可用的，例如，利用接近零頻的非零頻位移通過插值外推得到零頻時的位移值。(3)半功率帶寬法 采用強(qiáng)迫振動試驗，不但能用于單自由度也可用于多自由度體系，對多自由度體系要求共振頻率稀疏，即多個自振頻率應(yīng)相隔較遠(yuǎn)，保證在確定相應(yīng)于某一自振頻率的半功率點(diǎn)時不受相鄰頻率的影響。4.6 粘性阻尼的能量耗散和等效粘性阻尼 1、粘性阻尼體系的能量耗散SDOF體系在簡諧力p(t)=p0sint作用下， 在一個振動循環(huán)內(nèi)的能量耗散記為：ED 阻尼引起的能量耗散，即阻尼力做的功；EI 外力做的功；ES 彈性力做的功；EK 慣性力做的功。在簡諧荷載p(t)作用下， SDOF的位移為： )sin()(0tutu1、粘

26、性阻尼體系的能量耗散（1）阻尼引起的能量耗散ED粘性阻尼引起的耗散與振幅u0的平方成正比， 與阻尼比和外荷載的頻率成正比。 )sin()(0tutu2020/2020/202/20)(2)cos()(kuucdttucdtucdtuucdufEnDDnnnnkkkmc/2)/(2221、粘性阻尼體系的能量耗散（2）外力做的功EI （IInput) )sin()(0tutu2020)(2kuucEnD2000/2000/20)(2sin)cos()sin()()(kuupdttutpdtutpdutpEnIkpuRndn/)(2)2(sin001、粘性阻尼體系的能量耗散（3）彈性力的功 ES （

27、4）慣性力的功 EK (Kinetic) 可見在簡諧振動中的一個循環(huán)內(nèi)，彈性力和慣性力做功均等于零，而由阻尼耗散的能量等于外力做的功。 )sin()(0tutu0)cos()sin()(0/200/20dttutukdtukudufEsS/20002/200)cos()sin()(dttutumdtuumdufEIK 4.6 粘性阻尼的能量耗散和等效粘性阻尼 2、等效粘性阻尼(1) 粘性阻尼是一種理想化的阻尼，具有簡單和便于分析計算的優(yōu)點(diǎn)。(2) 工程中結(jié)構(gòu)的阻尼源于多方面，其特點(diǎn)和數(shù)學(xué)描述更為復(fù)雜，這時可以將復(fù)雜的阻尼在一定的意義上等效成粘性阻尼。(3) 一般采用基于能量等效的原則。(4)

28、阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滯回曲線反映。2、等效粘性阻尼（1）阻尼力的滯回曲線阻尼力的滯回曲線：阻尼力與位移之間的關(guān)系曲線，即fDu曲線。 )sin()(0tutu)()sin()cos()(22020200tuuctuuctuctucfD粘性阻尼力滯回曲線2、等效粘性阻尼（1）阻尼力的滯回曲線對粘性阻尼力的滯回曲線整理可以得到：研究滯回曲線的意義：力在一個循環(huán)內(nèi)所做的功等于證明： 滯回曲線所包圍的面積。 )(220tuucfD粘性阻尼力的滯回曲線是一橢圓 1)()(2020ucfuuDDnDEkuucucuabS2020002)(橢圓面積：2、等效粘性阻尼（1）阻尼力的滯回曲線抗力曲線

29、：fD+ fsu曲線。fD+ fs有時稱為抗力?？沽厍€包圍的面積等于阻尼力做的功。 在實際測量時，量測到的量是抗力。2、等效粘性阻尼（2）等效粘性阻尼比確定等效粘性阻尼比的原則：基于能量耗散相等的原理。具體實現(xiàn)方法：在一個振動循環(huán)內(nèi)讓等效粘性阻尼做的功等于實際阻尼所做的功。（2）等效粘性阻尼比在一個循環(huán)內(nèi)實際阻尼力作的功： 在一個循環(huán)內(nèi)等效阻尼力作的功： 粘DEDE（2）等效粘性阻尼比202kuEneqD粘DDEE粘20)/(2kuEnDeq202 kuEDeq04SDeqEE20021kuES1/n4.7 滯變阻尼（復(fù)阻尼）理論 粘滯阻尼由于其在建立運(yùn)功方程和求解時的方便性，而在工程中

30、得到廣泛應(yīng)用。但它也存在一個嚴(yán)重的缺陷，即，粘滯阻尼力和能量耗散與激振頻率有關(guān)。例如在每一振動循環(huán)中耗散的能量為：對一結(jié)構(gòu)體系，阻尼比為常數(shù)，固定振幅u0，則在每一振動循環(huán)中耗散的能量與激振頻率成正比，這與結(jié)構(gòu)試驗結(jié)果不符，試驗結(jié)果表明，阻尼力或其耗能與頻率基本是無關(guān)的。為此，人們發(fā)展了滯變阻尼理論（hysteretic）。 202kuEnD4.7 滯變阻尼（復(fù)阻尼）理論 滯變阻尼（hysteretic）：阻尼力大小與位移幅值成正比 而與速度同相。三種型式的滯變阻尼定義： 克拉夫1981 Clough(克拉夫) 1993 Chopra 1995 其中為滯變阻尼參數(shù)。 第一種型式是直接套用滯變阻

31、尼的定義； 第二種是滯變阻尼的復(fù)數(shù)形式； 第三種是從構(gòu)造頻率無關(guān)阻尼的構(gòu)思出發(fā)。 )()()(tututukfD)(tkuifD)(tukfD4.7 滯變阻尼（復(fù)阻尼）理論 三種型式定義的滯變阻尼在復(fù)數(shù)域是完全等價， 例如，假設(shè) u(t)=u0eit，則 fD 均可寫成 iKu(t) ， 但在實數(shù)域則不盡相同。 共同點(diǎn)是耗能與頻率無關(guān)，但具體耗能值不同。 第一種： 第三種： 從滯回曲線形狀分析，第一種形式滯變阻尼與實際相差太大，不可接受。 第二和第三種形式滯變阻尼的耗能相同。2012 kuED2032kuEEDD滯變阻尼與粘滯阻尼的關(guān)系將滯變阻尼滯回耗能關(guān)系代入計算等效粘性阻尼比公式 得到：

32、或:當(dāng)共振時，滯變阻尼參數(shù)與阻尼比關(guān)系： )/(21n20)/(2kuEnDeq203kuEEDD)(2n24.7 滯變阻尼（復(fù)阻尼）理論 滯變阻尼參數(shù)與阻尼比關(guān)系式：2是在n時取得的，對n時并不成立。有些教科書中沒有明確指出這點(diǎn)，有時導(dǎo)致模糊的概念。 圖4.15 粘性阻尼與滯變阻尼耗能ED與激振頻率的關(guān)系4.7 滯變阻尼（復(fù)阻尼）理論 用滯變阻尼第二種表達(dá)式 fDiKu(t) 時也稱為復(fù)阻尼，在復(fù)阻尼理論中，將阻尼力和彈性恢復(fù)力合在一起構(gòu)成復(fù)剛度。由 fDiku(t) 和 fs=ku(t)，可定義復(fù)剛度為：在復(fù)數(shù)形式的簡諧荷載作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程可寫成：kik 1tiepukum0 4.7

33、滯變阻尼（復(fù)阻尼）理論 復(fù)數(shù)形式的穩(wěn)態(tài)解可設(shè)成： tiUetu)(tiepukum0 tiUeu2 titiepUeKm022220)(1 )(1 nniKPUkik 14.7 滯變阻尼（復(fù)阻尼）理論 復(fù)數(shù)形式的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)為： u(t)是一個復(fù)函數(shù)，可寫成它的模與單位復(fù)數(shù)積的形式其中，tinneikptu2220)(1 )(1 )()(0)(tieutu2122200)(1tan)(1 1nnkpu4.7 滯變阻尼（復(fù)阻尼）理論 當(dāng)取 時，復(fù)阻尼理論的解與粘滯阻尼理論的解完全相同。 2122200)(1tan)(1 1nnkpu)(2n2220)/(2)/(11nnstuu21)/(1)/(2t

34、annn4.7 滯變阻尼（復(fù)阻尼）理論 滯變阻尼和粘性阻尼的耗能滯變阻尼的耗能接近實際，而粘性阻尼當(dāng)外力頻率較低時，低估了體系的耗能能力；外力頻率較高時，又會過高估計耗能能力。因此，希望通過阻尼比的選取使粘性阻尼理論能正確反映所有頻率時體系的耗能是不可能的，一個較為穩(wěn)妥的方法是使阻尼比的選取能較為正確地反映感興趣頻段內(nèi)的耗能能力。這可通過設(shè)外荷載頻率等于感興趣頻率的方法實現(xiàn)。實際的做法是取外荷載頻率等于結(jié)構(gòu)自振頻率，此時結(jié)構(gòu)的反應(yīng)最大，是阻尼影響最大的點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)往復(fù)試驗時，在不同頻率下得到的滯回環(huán)面積基本相等，因此可以用共振時的公式來定阻尼比，而不考慮實際加荷頻率，這樣得到的阻尼比對反映共振時的耗能能力相對準(zhǔn)確。4.8 單自由度體系對周期荷載的反應(yīng) 依靠的基礎(chǔ)： 依靠已得到的單自由度體系對簡諧荷載反應(yīng)分析結(jié)果。在獲得簡諧荷載作用的結(jié)果后，就可以方便地分析單自由度體系對任意周期性荷載的反應(yīng)，簡諧荷載是一種最簡單、最具代表性的周期荷載，而任意周期性荷載均可以分解成簡諧荷載的代數(shù)和。具體實施方法： 利用Fourier級數(shù)展開法。將任意的周期荷載p(t)展開成Fourier級數(shù)，把任意周期性荷載表示成一系列簡諧荷載的疊加，對每一簡諧荷載作用下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)可以容易得到其穩(wěn)態(tài)解，再求和，得到結(jié)構(gòu)在任意周期性荷載作用下的反應(yīng)。限制