拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性定理6.1(羅爾中值定理)上上滿滿足足：區(qū)區(qū)間間在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(baxf那么在開區(qū)間(a, b)內(nèi)必定(至少)存在一點(diǎn), 使( )0.f (i) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);(ii) 在開區(qū)間 (a, b) 上可導(dǎo);(iii) f(a) = f(b).第1頁/共26頁(1) 幾何意義據(jù)右圖, xyabAB1 2 O平的.一點(diǎn)處的切線也是水 看出, 曲線上至少有 的.由幾何直觀可以所以線段 AB 是水平因?yàn)辄c(diǎn)擊上圖動(dòng)畫演示f (a) = f (b), 第2頁/共26頁(2) 條件分析Oxy定理中的三個(gè)條件都很重要，缺少一個(gè),結(jié)論不

2、 1, 010,)( (a)xxxxf函數(shù)函數(shù)在 0, 1 上滿足條件 (ii) 和一定成立.數(shù)在 (0, 1) 上的導(dǎo)數(shù)恒為1.(iii), 但條件 (i) 不滿足,該函 第3頁/共26頁1, 1|,|)( (b) xxxf滿足條件 (i) 和 (iii), 但條件條件 (i) 和 (ii),但條件 (iii)1, 0,)( (c) xxxf滿足Oxy1Oyx1 1處不可導(dǎo)), 結(jié)論也不成立.(ii) 卻遭到破壞 ( f 在 x = 0 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為1. 卻遭到破壞,該函數(shù)在 (0, 1)第4頁/共26頁定理的證明因?yàn)?f (x) 在 a, b 上連續(xù),所以由連續(xù)函數(shù)的最大、 情形1 M =

3、 m.此時(shí) f (x) 恒為常數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)恒 f () = 0 . 小值 m .下面分兩種情形加以討論. 最小值定理,f (x) 在 a, b 上能取得最大值 M 和最 等于零,此時(shí)可在 (a, b) 內(nèi)隨意取一點(diǎn) , 就有 第5頁/共26頁情形2 m M. 既然最大、最小值不等,從而最大.)(Mf . 0)( f因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)部取到的最大值一定是極大值,所以( , ),a b 使得大值不在端點(diǎn)取到,故存在 值與最小值至少有一個(gè)不在端點(diǎn)取到.不妨設(shè)最由費(fèi)馬定理,得第6頁/共26頁12,( ),p xxx是是多多項(xiàng)項(xiàng)式式 所所以以在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理, 0)( p這與條件矛盾.例1

4、設(shè) p(x) 是一個(gè)多項(xiàng)式, 且方程 p(x) = 0 沒有實(shí)( , )a b 的的條條件件, ,從從而而存存在在，使使得得證,)(2121xxxxxp 有兩個(gè)實(shí)根有兩個(gè)實(shí)根設(shè)設(shè)( )p x由由于于重?cái)?shù)為 1 .根, 則方程 p(x) = 0 至多有一個(gè)實(shí)根，且這個(gè)根的第7頁/共26頁10101 ( )()( )()( ),kkp xk xxp xxxp x因因?yàn)闉? 0)( 0 xp所以所以矛盾.則則次重根次重根有一個(gè)有一個(gè)又若又若 ,)(0 xkxp. 2),()()(10 kxpxxxpk第8頁/共26頁設(shè)函數(shù) f (x) 滿足：定理6.2 (拉格朗日中值定理)(i) f(x) 在閉區(qū)間

5、 a, b 上連續(xù);(ii) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo).那么在開區(qū)間 內(nèi) ( 至少 ) 存在一點(diǎn) , 使得),(ba .)()()(abafbff ( )( ),f af b當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 拉拉格格朗朗日日定定理理就就注注是是羅羅爾爾定定理理, ,第9頁/共26頁幾何意義 如右圖，( )( ).ABf bf akba ABOxyab ( )yf x 用平行推移的方法,曲線上至少在一點(diǎn)( ,( )f可見，羅爾定理是拉格朗日定理的一個(gè)特例.連線的斜率為 y = f (x) 的兩個(gè)端點(diǎn) A, B 處的切線與 AB 平行, 其斜率 也等于( )f .ABk曲線 第10頁/共26頁定理的證明

6、設(shè))()()()()()(afaxabafbfxfxF ( )( )()( )f bf ayxaf aABba是是直直線線的的方方程程) )可以驗(yàn)證F(x) 滿足羅爾定理的三個(gè)條件, 所以,),(ba 使, 0)( F即.)()()(abafbff 第11頁/共26頁推論1設(shè) 在區(qū)間 I上的導(dǎo)函數(shù) , 則)(xf0)( xf)(xf是一個(gè)常值函數(shù).證對(duì)于區(qū)間 I上的任何兩點(diǎn) 與 , , 1x2x21xx )(xf在x1, x2上滿足拉格朗日定理的條件, 則有).,(,0)()()(211212xxxxfxfxf 這就是說, 在區(qū)間I上的任何兩個(gè)值都相等, 所)(xf以為常值函數(shù).2,fgI若若

7、函函數(shù)數(shù)和和均均在在區(qū)區(qū)間間上上推推可可導(dǎo)導(dǎo)論論且且第12頁/共26頁( )( )If xg x則則在在區(qū)區(qū)間間上上與與只只差差某某一一常常數(shù)數(shù), ,即即( )( ),fxg xxI( )( )f xg xcc ( ( 為為某某一一常常數(shù)數(shù)).).0)3 (fx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)導(dǎo)推推論論數(shù)數(shù)極極限限定定理理的的某某鄰鄰域域00()lim( )xxfxfx證 分別按左右極限來證明.000()()lim( )xxU xUxfx 內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且極限內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且極限0fx存在,則在點(diǎn)可導(dǎo),且存在,則在點(diǎn)可導(dǎo),且第13頁/共26頁0(,),xx 定定理理?xiàng)l條件件, ,則則存存在在使使

8、得得00( )()( ).f xf xfxx 000,xxxxx由由于于因因此此當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 隨隨之之有有對(duì)上式兩邊求極限，便得00000( )()limlim( )(0).xxxxf xf xffxxx 00(1)(),( ),xUxf xxx 任任取取在在上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日第14頁/共26頁00(2)()(0).fxfx同同理理可可得得000lim( ),(0)(0),xxfxkfxfxk因因?yàn)闉樗砸?00()(),().fxfxkfxk從從而而即即第15頁/共26頁例2設(shè) f(x)在區(qū)間 I 上可微, 且, 則函數(shù)Kxf | )(|f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).證對(duì)于任意正數(shù) ,

9、 取 , 對(duì)任意的1 K ,21Ixx ,21xx 只要 , 便有 |21xx|)(| )()(|1212xxfxfxf ,121xxKK 故 在I上一致連續(xù).)(xf第16頁/共26頁例3求證: ).(,arctanarctanbaabab 證設(shè) 顯然 在區(qū)間 上.arctan)(xxf )(xf,ba滿足拉格朗日定理的條件，故有.,)(11arctanarctan2baababab 注例3中的不等號(hào)可以成為嚴(yán)格的. 事實(shí)上, 當(dāng)式成立. 當(dāng) 時(shí)，ba 0ba 0和 時(shí), 顯然不為零, 嚴(yán)格不等0 ba 第17頁/共26頁abarctan0arctan0arctanarctan abarct

10、anarctan .)(11112221abab 使得使得存在存在),0,(), 0(21ab 第18頁/共26頁改為嚴(yán)格不等號(hào), 則相應(yīng)地稱它為嚴(yán)格增 (減).下面的定理是本節(jié)中的兩個(gè)主要定理, 今后將不若函數(shù),)(21IxxIxf 上上對(duì)對(duì)任任意意在在區(qū)區(qū)間間,21xx ),()()()(2121xfxfxfxf 必有必有則稱函數(shù)則稱函數(shù)若“”.)(單調(diào)減單調(diào)減上單調(diào)增上單調(diào)增在區(qū)間在區(qū)間 I)( )(xf斷地使用.第19頁/共26頁定理6.3IxfIxf在在區(qū)區(qū)間間上上可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè))()(:( )0 ( 0).fx上上單單調(diào)調(diào)增增( (減減) )的的充充要要條條件件是是

11、證00,fx xI xx若若為為遞遞增增函函數(shù)數(shù) 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,有有00( )()0.f xf xxx00,()0.xxfx令令即即得得1212( )0,.,()fxxIx xIxx反反之之, ,若若設(shè)設(shè)12,(,) ,x x 由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理第20頁/共26頁定理6.4 可微函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上嚴(yán)格遞增的充,0)()()(1212 xxfxfxf 即),()(12xfxf( ).f x這這就就證證明明了了函函數(shù)數(shù)遞遞增增12121,()xxI xxf x是是嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞增增, ,則則存存在在使使6.3( ).( )f xf x 由由定定理理可可知知遞遞增增

12、 若若充充分分性性不不證個(gè)區(qū)間.12( )(,),f xxx這這就就得得到到在在區(qū)區(qū)間間上上恒恒為為常常數(shù)數(shù) 故故2().f x滿足 的點(diǎn)集不含一( )0,fx ( )0fx 要條件是：第21頁/共26頁),(,0)(21xxxxf 矛盾. 充分性得證.注 請(qǐng)讀者寫出相應(yīng)于遞減和嚴(yán)格遞減的判別定理.必要性請(qǐng)讀者自證.( )0( )0),Ifxfx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上可可微微推推, ,若若論論().fI則則在在 上上嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞增增 嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞減減在實(shí)際應(yīng)用中我們經(jīng)常會(huì)用到下面這個(gè)事實(shí).性質(zhì)),()(),(,)(減減遞增遞增嚴(yán)格嚴(yán)格上上上連續(xù)，上連續(xù)，在在若若babaxf第22頁/共26頁( ) , ()().f xa b則則在在上上 嚴(yán)嚴(yán)格格 遞遞增增 減減作為應(yīng)用，下面再舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子.例7 求證.0,1e xxx證則則設(shè)設(shè),1e)(xxFx . 1e)( xxF所所以以( )0,0,),0,F xxx且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)( )0F x( )0).F x的的點(diǎn)點(diǎn)不不含含一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間故故( )0,)F x在在,0 ,x 上上嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞增增 所所以以對(duì)對(duì)任任意意恒有, 0)0()( FxF第23頁/共26頁例8 設(shè) f (x) =