因式分解的概念

1、因式分解的概念現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁(yè)，共24頁(yè)1. .整式乘法有幾種形式整式乘法有幾種形式? (1)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式 (2)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式: a(m+n)=_ (3)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式: (a+b)(m+n)=_ 2.乘法公式有哪些乘法公式有哪些? (1)平方差公式平方差公式: (a+b)(a-b)=_ (2)完全平方公式完全平方公式: (ab)2=_am+anam+an+bm+bn22ab22a2ab+b復(fù)習(xí)與回顧復(fù)習(xí)與回顧現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁(yè)，共24頁(yè)99993 3-99-99能被能被100100整除嗎整除嗎? ?小明是這樣想的小明是這樣想的:99

2、3-99=99992-99 1 =99 (992-1) =99 (99+1)(99-1) = 9910098 所以所以, 993-99能被能被100整除整除. .你知道每一步的根據(jù)嗎你知道每一步的根據(jù)嗎? ?想一想想一想: 99: 993 3-99-99還能被哪些整數(shù)整除還能被哪些整數(shù)整除? ?答答：98， 99探究探究現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁(yè)，共24頁(yè)做一做做一做計(jì)算下列個(gè)式計(jì)算下列個(gè)式:3x(x-1)= _(m+4)(m-4)= _(y-3)2= _a(a+1)(a-1)= _m(a+b+c) =_根據(jù)左面的算式填空根據(jù)左面的算式填空: 3x2-3x=_ m2-16=_(3) y2-6y+9=_

3、(4) a3-a=_(5)ma+mb+mc=_3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+9a3-a3x(x-1) m(a+b+c) (m+4)(m-4) (y-3)2 a(a+1)(a-1)思考：左右兩邊的運(yùn)算有什么特點(diǎn)思考：左右兩邊的運(yùn)算有什么特點(diǎn)?現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁(yè)，共24頁(yè)（1）6 等于等于 2 乘哪個(gè)整數(shù)？乘哪個(gè)整數(shù)？623（2）x21等于等于x+1乘哪個(gè)多項(xiàng)式？乘哪個(gè)多項(xiàng)式？2111xxx 對(duì)于多項(xiàng)式對(duì)于多項(xiàng)式 ，有多項(xiàng)式，有多項(xiàng)式x1使得使得，我們把，我們把x+1叫作叫作x21的一個(gè)的一個(gè)因式因式，同理，同理，x1也是也是 x21 的一個(gè)的一個(gè)因式因式211xx與2111x

4、xx 對(duì)于整數(shù)對(duì)于整數(shù) 6 與與 2，有整數(shù)，有整數(shù) 3 使得使得 623，我們把，我們把2叫作叫作6的一個(gè)的一個(gè)因數(shù)因數(shù)同同理，理，3也是也是6的一個(gè)因數(shù)的一個(gè)因數(shù)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁(yè)，共24頁(yè) 一般地，對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)一般地，對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng) f 與與 g，如果有多項(xiàng)式，如果有多項(xiàng)式 h 使得使得 f = gh ，那么我們把，那么我們把 g 叫作叫作 f 的一個(gè)的一個(gè)因式因式，此時(shí)，此時(shí)，h 也也是是 f 的一個(gè)的一個(gè)因式因式在現(xiàn)代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，把單項(xiàng)式看成是只有一項(xiàng)的多項(xiàng)式在現(xiàn)代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，把單項(xiàng)式看成是只有一項(xiàng)的多項(xiàng)式把把 寫成寫成 的形式，叫作把的形式，叫作把 的因式分解的因式分解21x 11x

5、x21x 一般地，把一個(gè)含字母的多項(xiàng)式表示成若干個(gè)均一般地，把一個(gè)含字母的多項(xiàng)式表示成若干個(gè)均含字母的多項(xiàng)式的乘積的形式，稱為把這個(gè)多項(xiàng)式含字母的多項(xiàng)式的乘積的形式，稱為把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解因式分解為什么要把一個(gè)多項(xiàng)式因?yàn)槭裁匆岩粋€(gè)多項(xiàng)式因式分解呢？式分解呢？現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁(yè)，共24頁(yè)利用平方差公式，把方程的左邊利用平方差公式，把方程的左邊 寫成寫成(x+1)(x1)， 就得到方程就得到方程21x 把把 寫成寫成 (x+1)(x1)，叫作把，叫作把因式分解因式分解21x 21x (x+1)(x1)0這樣就可以求出解了這樣就可以求出解了210 x 你會(huì)解方程你會(huì)解方程嗎嗎?多項(xiàng)式的因式分解為

6、解決許多問題架起了橋梁多項(xiàng)式的因式分解為解決許多問題架起了橋梁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁(yè)，共24頁(yè)做一做做一做計(jì)算下列個(gè)式計(jì)算下列個(gè)式:3x(x-1)= _(m+4)(m-4)= _(y-3)2= _a(a+1)(a-1)= _m(a+b+c) =_根據(jù)左面的算式填空根據(jù)左面的算式填空: 3x2-3x=_ m2-16=_(3) y2-6y+9=_(4) a3-a=_(5)ma+mb+mc=_3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+9a3-a3x(x-1) m(a+b+c) (m+4)(m-4) (y-3)2 a(a+1)(a-1)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁(yè)，共24頁(yè)因式分解定義因式分解定義 像上面右

7、邊是整式乘法、左邊是把一個(gè)多項(xiàng)像上面右邊是整式乘法、左邊是把一個(gè)多項(xiàng)式化成式化成幾個(gè)整式（幾個(gè)整式（單項(xiàng)式和多項(xiàng)式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式）的積）的積的的形式形式, ,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式分解因式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁(yè)，共24頁(yè)自學(xué)指導(dǎo)思考整式乘法與因式分解之間的關(guān)系？整式乘法整式乘法與與因式分解因式分解是是互為逆運(yùn)算變形過程互為逆運(yùn)算變形過程. .因式分解有什么特點(diǎn)：因式分解有什么特點(diǎn)：1 1、等式左邊是多項(xiàng)式，右邊是整式乘積的形式、等式左邊是多項(xiàng)式，右邊是整式乘積的形式2 2、等式右邊（即分解結(jié)果）不能含獨(dú)立的加減號(hào)、等式右邊（即分解結(jié)果）不能含獨(dú)立的加減號(hào)3 3、分

8、解到不能再分解為止、分解到不能再分解為止現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁(yè)，共24頁(yè)自學(xué)檢測(cè)自學(xué)檢測(cè) 一一 理解概念理解概念判斷下列各式哪些是整式乘法判斷下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 (4).x2+4x+4=(x+2)2 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-4=(m+4)(m-4) (7).2 R+ 2 r= 2 (R+r)因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分

9、解現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁(yè)，共24頁(yè)解方程解方程把把式左端的多項(xiàng)式因式分解，得式左端的多項(xiàng)式因式分解，得從從式得式得1010 xx 或即即11xx 或因此方程因此方程的解是的解是11xx 或210 x 110 xx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁(yè)，共24頁(yè) 同樣地，每一個(gè)多項(xiàng)式可以表示成若干個(gè)最基本同樣地，每一個(gè)多項(xiàng)式可以表示成若干個(gè)最基本的多項(xiàng)式的乘積的形式，從而為許多問題的解決架起的多項(xiàng)式的乘積的形式，從而為許多問題的解決架起了橋梁了橋梁 例如，以后我們要學(xué)習(xí)的分式的約分，解一例如，以后我們要學(xué)習(xí)的分式的約分，解一元二次方程等，常常需要把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解元二次方程等，常常需要把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解. .現(xiàn)

10、在學(xué)習(xí)的是第十三頁(yè)，共24頁(yè)舉舉例例 例例1 下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么分解，哪些不是，為什么？（1） a2 + 2ab + b2 = ( (a+b) )2；（2） m2 + m - - 4 = ( (m+3)()(m- -2) )+ 2 .現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁(yè)，共24頁(yè)解解 是是. 因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式 a2+2ab+b2表示成了多項(xiàng)式表示成了多項(xiàng)式a+b與與a+b 的積的形式的積的形式.（1） a2 + 2ab + b2 = ( (a+b) )2（2） m2 + m - - 4 = (

11、(m+3)()(m- -2) )+ 2 .解解 不是不是. 因?yàn)橐驗(yàn)? (m+3)()( m- -2) )+2不是幾個(gè)不是幾個(gè) 多項(xiàng)式乘積的形式多項(xiàng)式乘積的形式.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁(yè)，共24頁(yè)例例2 檢驗(yàn)下列因式分解是否正確檢驗(yàn)下列因式分解是否正確. . （1） x2 + xy = x( (x+y) ) ； （2） a2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) ) ； （3） 2m2 - -n2 = ( (2m- -n)()(2m+n) ) .分析分析 檢驗(yàn)因式分解是否正確，檢驗(yàn)因式分解是否正確，只要看等式右邊的幾個(gè)多項(xiàng)式只要看等式右邊的幾個(gè)多項(xiàng)式的乘積與左邊的多項(xiàng)式是

12、否相的乘積與左邊的多項(xiàng)式是否相等等.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁(yè)，共24頁(yè)解解 因?yàn)橐驗(yàn)? (a- -2)()(a- -3) ) = a2- -5a+6， 所以因式分解所以因式分解a2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) )正確正確.（1） x2 + xy = x( (x+y) )解解 因?yàn)橐驗(yàn)閤( ( x + y ) ) = x2 + xy ， 所以因式分解所以因式分解 x2 + xy = x( (x + y) )正確正確.（2） a2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) ) （3） 2m2 - -n2 = ( (2m- -n)()(2m+n)

13、 ) .解解 因?yàn)橐驗(yàn)? (2m- -n)()(2m+n) )= 4m2- -n22m2- -n2， 所以因式分解所以因式分解2m2- -n2=( (2m- -n)()(2m+n) )不正確不正確.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁(yè)，共24頁(yè)1. 求求4，6，14 的最大公因數(shù)的最大公因數(shù). 答：因?yàn)榇穑阂驗(yàn)?=22 6=23 14=27練習(xí)練習(xí)所以所以最大公因數(shù)是最大公因數(shù)是2.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁(yè)，共24頁(yè)2. 下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解， 哪些不是，為什么哪些不是，為什么？（1） ( (x+1)()(x+2) )= x2+3x+2 ；（2）

14、2x2y + 4xy2= 2xy( (x+2y) ) ；答：是答：是因式分解因式分解.（3） x2- -2 =( (x+1)()( x- -1) )- -1 ；（4） 4a2- -4a+1=( (2a- -1) )2 .答：是答：是因式分解因式分解.解解 不是不是. 因?yàn)橐驗(yàn)閤2 +3x+2不是幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式不是幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式.解解 不是不是. 因?yàn)橐驗(yàn)? (x+1)()(x- -1) )- -1不是幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式不是幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁(yè)，共24頁(yè)3. 檢驗(yàn)下列因式分解是否正確檢驗(yàn)下列因式分解是否正確.（1） - -2a2 + 4a = - -2a( (

15、a+2) ) ；（2） x3+ x2+ x = x( (x2+ x) ) ；解解 因?yàn)橐驗(yàn)? -2a( (a+2) )= - -4a2- -4a- -2a2+4a ， 所以因式分解所以因式分解- -2a2+4a= - -2a( (a+2) )不正確不正確.（3） m2+ 3m+ 2 = ( (m+1)()(m+2) ) .解解 因?yàn)橐驗(yàn)閤( (x2+x) )=x3+x2x3+x2+x， 所以因式分解所以因式分解x3+x2+x=x( (x2+x) )不正確不正確.解解 因?yàn)橐驗(yàn)? (m+1)()(m+2) )=m2+3m+2， 所以因式分解所以因式分解m2+3m+2=( (m+1)()(m+2)

16、 )正確正確.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁(yè)，共24頁(yè)解解: ab-ac=a(b-c): ab-ac=a(b-c) 當(dāng)當(dāng)a=3.14, b=2.386, c=1.386a=3.14, b=2.386, c=1.386時(shí)時(shí), , 原式原式=3.14=3.14(2.386-1.386) =3.14拓展延伸拓展延伸1. 當(dāng)當(dāng)a=3.14，b=2.386，c=1.386時(shí)，求時(shí)，求abac的值。的值?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁(yè)，共24頁(yè) 2(1)8787 132 2：計(jì)算：計(jì)算 22(2)10199 3.3.若若 則則101,99xy222_xxyy=87（87+13）=(101+99)(101-99)4=8700

17、=2002=400 2(1)8787 132 2：計(jì)算：計(jì)算 22(2)10199 3.3.若若 則則101,99xy222_xxyy 2(1)8787 132 2：計(jì)算：計(jì)算 22(2)10199 3.3.若若 則則101,99xy222_xxyy 2(1)8787 132 2：計(jì)算：計(jì)算 22(2)10199 3.3.若若 則則101,99xy222_xxyy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁(yè)，共24頁(yè)規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 整式的整式的乘法乘法是把是把幾個(gè)整式的積幾個(gè)整式的積變?yōu)樽優(yōu)槎囗?xiàng)式多項(xiàng)式的形的形式，特征是向著式，特征是向著積化和差積化和差的形式發(fā)展；的形式發(fā)展； 多項(xiàng)式的多項(xiàng)式的分解因式分解因式是把一個(gè)是把一個(gè)多項(xiàng)式多項(xiàng)式化為化為幾個(gè)幾個(gè)整式乘積整式