數(shù)理方法總復(fù)習(xí)2013

1、數(shù)學(xué)物理方法課程總結(jié)建議：復(fù)習(xí)鞏固以下知識(shí)點(diǎn)建議：復(fù)習(xí)鞏固以下知識(shí)點(diǎn)+重溫重溫例題和作業(yè)例題和作業(yè)+自主補(bǔ)充復(fù)習(xí)和練習(xí)自主補(bǔ)充復(fù)習(xí)和練習(xí)教學(xué)目的：n既是物理學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課又是一門工具課。n掌握本課程所涉及的數(shù)學(xué)方法、技巧去解決物理學(xué)中的一些問(wèn)題。 留數(shù)理論解決反常積分； 分離變量法求解三類數(shù)理方程的有界問(wèn)題； 積分變換法求解無(wú)界問(wèn)題；格林函數(shù)法解決各類問(wèn)題。n提高邏輯思維能力，分析及解決問(wèn)題的能力。對(duì)所學(xué)物理知識(shí)加深理解、融會(huì)貫通。知識(shí)要點(diǎn)：n熟悉復(fù)變函數(shù)論中與實(shí)變函數(shù)論相平行的一些概念，如：連續(xù)、極限、可導(dǎo)等。n掌握解析函數(shù)的概念及重要性質(zhì)，級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法和利用留數(shù)理論計(jì)算積分特別是計(jì)算

2、實(shí)積分的方法。n掌握求解偏微分方程的各種解法。n特殊函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。n兩個(gè)求解積分方法 柯西理論 留數(shù)理論n級(jí)數(shù)展開(kāi)復(fù)變函數(shù)論-解析函數(shù) 三個(gè)方程三個(gè)方程： 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 輸運(yùn)方程輸運(yùn)方程 穩(wěn)定場(chǎng)方程穩(wěn)定場(chǎng)方程 三個(gè)解法三個(gè)解法： 分離變量法分離變量法 積分變換法積分變換法 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 兩個(gè)特殊函數(shù)兩個(gè)特殊函數(shù)： 球函數(shù)球函數(shù) 柱函數(shù)柱函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程主要內(nèi)容：n第一篇：復(fù)變函數(shù)論 第一章解析函數(shù)、第二章解析函數(shù)積分、第三章復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)、第五章留數(shù)理論n第二篇：數(shù)學(xué)物理方程 第六章定解問(wèn)題、第八章分離變量法、第九章積分變換法、第十章格林函數(shù)法n第三篇：特殊函數(shù) 第十四章勒讓德多項(xiàng)

3、式第一章 解析函數(shù)1、復(fù)數(shù)的表示形式：n復(fù)數(shù)的代數(shù)式代數(shù)式:z=x+iyn復(fù)數(shù)的三角式三角式:n復(fù)數(shù)的指數(shù)式：指數(shù)式：x xy yA Ar rc ct ta an ny yx x2 22 2，ize例題例題：將：將 寫(xiě)成三角形式及指數(shù)形式寫(xiě)成三角形式及指數(shù)形式31 isincosiz2、復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則1212()1212()12122/(/)(0)i ArgzArgzi ArgzArgzzzzz ezzzzez20,12 .2argzkimmmkmzz e，inArgznnezz 例題例題：31 i) 1-,.(1 , 0mk 1sin()21cos()2izizizizzeeizee歐拉公式

4、歐拉公式: 3、復(fù)變函數(shù)的區(qū)域n鄰域：n內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界、邊界正向；n區(qū)域：n閉區(qū)域、單連通區(qū)域、復(fù)連通區(qū)域。n例題：（1） ， 。n （2） ；（3）21ezzR且的鄰域。的點(diǎn)集稱為zzzz00；的線連接可用全和zz，且，設(shè)全由內(nèi)點(diǎn)組成；212100.2.1zz若點(diǎn)集zarg221 z22ziz1z2z3z4、柯西-黎曼條件 (函數(shù)可導(dǎo)必要條件) (其中f(z)=u+iv) 5、解析：函數(shù)f(z)=u+iv在z0點(diǎn)及其鄰域上處處可導(dǎo),則稱f(z)在z0點(diǎn)解析。在區(qū)域B上每一點(diǎn)都解析,則稱f(z)是在區(qū)域B上的解析函數(shù)。yuxvyvxu6、解析函數(shù)的性質(zhì): 1.若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B

5、上解析,則 ，說(shuō)明 ( 為常數(shù)) 是B上的兩組正交曲線族。2.若函數(shù)在區(qū)域B上解析,則u,v均為B上的調(diào) 和函數(shù),即 ，且由C-R聯(lián)系著。 12( , ), ( , )u x yC v x yC12,C C0vu0,0vu例題: 已知某解析函數(shù)f(z)的虛部為v=x+y，求實(shí)部和這個(gè)解析函數(shù)。第二章 解析函數(shù)積分（7個(gè)公式）n1、單連通區(qū)域柯西定理： 如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域上解析,則沿其上任意一分段光滑閉合閉合曲線L(也可以是的邊界),有2、復(fù)連通區(qū)域柯西定理：如果f(z)是閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù),則 . lnklkdzzfdzzf1)()(lzdzf0)(3、單通區(qū)域的Cauc

6、hy公式：alHzf上連續(xù)，在設(shè)),()(則ldzazzfiaf)(21)(4、復(fù)通區(qū)域的科西公式)()(HzfL設(shè) 為 的邊界復(fù)圍線，在 上連續(xù)，則 nkkllL1lnklkdzzfdzzfizf1)()(21)(5、解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)設(shè) 滿足科西公式存在的條件，則在內(nèi)有：)(,zfllnndzfinzf1)()()(2!)(的長(zhǎng)度。lszfMMsdsdzdzzfdzzfll, )(,)()(6、積分估計(jì)值定理M為為f(z)在在l上的最大值上的最大值lnnniazdz1,01,2)(7、l是包含a的任意正向簡(jiǎn)單閉曲線。 計(jì)算復(fù)變函數(shù)的圍道積分n步驟：（1）判斷被積函數(shù)有無(wú)奇點(diǎn)，有何奇點(diǎn)；（

7、2）判斷圍道內(nèi)有無(wú)奇點(diǎn)，有何奇點(diǎn)；（3）適當(dāng)選擇公式。例題：21 -511zdzz、求411-3z2zdzzz、求3、求33) 1)(1(1zdzzzzI11sin44adzzzaz，、求第三章 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)n一、無(wú)窮級(jí)數(shù)n二、泰勒級(jí)數(shù)與羅朗級(jí)數(shù)n三、孤立奇點(diǎn)的分類一、無(wú)窮級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 0kkf復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù))(zfkk 0,)(0kkkbza均與相應(yīng)的實(shí)級(jí)數(shù)具有類似均與相應(yīng)的實(shí)級(jí)數(shù)具有類似的相關(guān)概念、定理和性質(zhì)。的相關(guān)概念、定理和性質(zhì)。,Rbz kkkkkkaaaR11limlim。定斂散性不,當(dāng)發(fā)散;,當(dāng)11lllffkkk1lim絕對(duì)收斂;1時(shí)當(dāng)則,

8、0lfkk二、泰勒級(jí)數(shù)與羅朗級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式收斂域與解析函數(shù)的關(guān)系性質(zhì)展開(kāi)方法二者關(guān)系,)()(kkkbzazf 0,)()(kkkbzczf ,Rbzr ,Rbz Rbzkkkbza)(0!)()(kbfakk lkkdbfic 121)()(是羅朗展開(kāi)的正則部是羅朗展開(kāi)的正則部是泰勒展開(kāi)的推廣是泰勒展開(kāi)的推廣在收斂域內(nèi)絕對(duì)收斂，在較小的閉域內(nèi)一致收斂。在收斂域內(nèi)絕對(duì)收斂，在較小的閉域內(nèi)一致收斂。1.直接用展開(kāi)定理展開(kāi)；直接用展開(kāi)定理展開(kāi)；)()(RbzHzfRbzrkkkbzc)()()(RbzrHzf2.利用已知級(jí)數(shù)展開(kāi)式展開(kāi)利用已知級(jí)數(shù)展開(kāi)式展開(kāi)常用的級(jí)數(shù)展開(kāi)公式：常用的級(jí)數(shù)

9、展開(kāi)公式：1,110zzzkkzkzekkz,!0zkzzkkk,)!12()1(sin012zkzzkkk,)!2()1(cos02三、孤立奇點(diǎn)的分類奇點(diǎn)類型b 展開(kāi) 式Rbzbzckkk0 ,)(zRzckkk,可去奇點(diǎn)m階極點(diǎn)本性奇點(diǎn)無(wú)負(fù)冪無(wú)負(fù)冪有有m m項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)負(fù)冪有無(wú)限項(xiàng)負(fù)冪有無(wú)限項(xiàng)負(fù)冪無(wú)正冪無(wú)正冪有有m m項(xiàng)正冪項(xiàng)正冪有無(wú)限項(xiàng)正冪有無(wú)限項(xiàng)正冪習(xí)題：n一、確定冪級(jí)數(shù)的收斂半徑n二、將函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)n三、將函數(shù)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)n四、判斷奇點(diǎn)的類型一、確定冪級(jí)數(shù)的收斂半徑2、求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑。0kkkz1、判斷級(jí)數(shù) 的斂散性。1321kki3、求級(jí)數(shù) 的收斂半徑。02221kkkz

10、二、將函數(shù)展開(kāi)為級(jí)數(shù) zzzf-11101 z）（將函數(shù)在下列區(qū)域中展開(kāi)為級(jí)數(shù)。 1103 z）（12z）（11-4z）（三、判斷奇點(diǎn)的類型步驟：1、判斷何點(diǎn)為奇點(diǎn)2、判斷奇點(diǎn)是孤立奇點(diǎn)還是非孤立奇點(diǎn)3、對(duì)于孤立奇點(diǎn)判斷奇點(diǎn)的類型?)(lim)(zfabz）（本性不定，可去有限，極，若)()()()(lim)(bbbzfbz階極點(diǎn)。為點(diǎn)階為以有限非則當(dāng)為極點(diǎn)若mbmbzfzgzfbzbzzzfbbmbzm0)(1)(0)()(lim)()()(,)( 若 但 則稱 為函數(shù) 的 級(jí)零點(diǎn)。)(zga, 0)()()()() 1( agagagagm, 0)()(agmm附: 解析函數(shù)的零點(diǎn)： 設(shè)函

11、數(shù) 在解析區(qū)域 內(nèi)一點(diǎn) 的值為零，即 ，則稱 為解析函數(shù)的 零點(diǎn)。 zgaa zg 0agzzzzzzzzzz?0,1sin)(3 ?0,sin1)2( ?1:1) 1(3？，習(xí)題： 0,sin4zzzzf）（n利用留數(shù)定理計(jì)算積分第四章 留數(shù)理論（1）積分環(huán)路內(nèi)存在被積函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，將此積分歸結(jié)為被積函數(shù)在環(huán)路所圍區(qū)域內(nèi)各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)和。（2）復(fù)雜的實(shí)積分：將實(shí)積分與一復(fù)變函數(shù)的環(huán)路積分聯(lián)系起來(lái)。習(xí)題求解n一、計(jì)算留數(shù)n二、用留數(shù)定理計(jì)算圍道積分n三、計(jì)算實(shí)積分一、計(jì)算留數(shù) )0( ,RbzbzCzfzfbkkk則的孤立奇點(diǎn)為若 處的留數(shù)。在孤立奇點(diǎn)為的系數(shù)稱bzfCbz1111),()

12、(CbzfresCbresf或記一、計(jì)算留數(shù))( )()()(lim ,)()(!11)()(21)resf( )(21)(z1111kkkbkbznknnkllkbbzfbznbzfbzdzdnbresfdzzfiCdzzfiCbresfkkk階極點(diǎn)）（1n 0resres1fbfnkk一、計(jì)算留數(shù)（可去）（本性），（單極點(diǎn)）zzzzzzz0,1sin)(2 1:1) 1( （可去）（0,sin3zzzzf1,11-)4(2zzzz在二、用留數(shù)定理計(jì)算圍道積分1 、留數(shù)定理 nkklbfidzzf1res2上連續(xù)，則解析，在外單值內(nèi)除有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)在設(shè)lnkbzfk), 2 , 1()(二

13、、用留數(shù)定理計(jì)算圍道積分azdzzz31cos1a?sin123zdzz三、用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的要領(lǐng)：;,)(. 11lbadxxfba復(fù)平面中實(shí)軸上的一段為的積分路徑視所要計(jì)算的積分klnkkkdzzflllnkl易于計(jì)算；，且閉合圍道使，幾段曲線在復(fù)平面內(nèi)補(bǔ)充一段或)()()(), 3 , 2(. 221.)(. 3ldzzf數(shù)的圍道積分用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)變函), ,(lba面中的閉合圍道變?yōu)閺?fù)平上的一段或做變量代換，使實(shí)軸1、無(wú)窮積分 dxxf 0Im1res2znkkbfidxxf 則時(shí)外單值解析，且當(dāng)（中除有奇點(diǎn)在在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)若, 0)(), 2 , 10Im,

14、zfzznkbzzfk1、無(wú)窮積分 dxxf 實(shí)軸上nkkznkkbfibfidxxf10Im1resres2 則時(shí)且當(dāng)外單值解析，（中除有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)在點(diǎn)在實(shí)軸上有有限個(gè)單極若, 0)(), 2 , 10Im,zfzznkbzzfk 則時(shí)外單值解析，且當(dāng)（中除有奇點(diǎn)在在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)若0, 0)(), 2 , 10Im,pzfznkbzzfk 為偶函數(shù)；)(,rescos10Im0 xfebfipxdxxfnkzipbkk nkzipbkxfebfpxdxxfk10Im0)(,ressin為奇函數(shù)。 0sincos2dxpxpxxf、dzizizzzzRdRz1)2,2(sin,cos201

15、11 nkzkbfi11res2, iez 令令izdzd d,R20sincos3 3、20sin,cosdR,2sin,2cos11izzzz 則則4、練習(xí)n利用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)積分：dxx211)2(-211) 1 (dxx022)(cos3dxbxx）（20cos25)4(d第六章 定解問(wèn)題hufuautt2fuDut波動(dòng)方程輸運(yùn)方程泊松方程一、 三類數(shù)學(xué)物理方程： h- h-與源有關(guān)的已知量，與源有關(guān)的已知量，u-u-表示穩(wěn)定物理量表示穩(wěn)定物理量 - -波動(dòng)， -波速， -與源有關(guān)的函數(shù)auf濃度， -系數(shù)， -與源有關(guān)的已知量uDf0u 2、求解：3、分析解答：二、用數(shù)理方法研究問(wèn)題

16、的步驟1、寫(xiě)出定解問(wèn)題三、定解條件定解條件初始條件邊界條件其它條件1、初始條件：弦振動(dòng):)(|)(|00 xuxuttt熱傳導(dǎo):)(|0 xut2、邊界條件：第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件),(|tMfu邊),(|tMfun邊),(| )(tMfhuun邊3、典型習(xí)題：0|,0|0lxxuu兩端固定弦的橫振動(dòng):tlxeTu0|桿的導(dǎo)熱問(wèn)題:桿的縱振動(dòng)問(wèn)題:一端固定，另一端單位面積受力為F(t),/|EFulxx0|0 xu寫(xiě)出下兩種情況的桿的導(dǎo)熱問(wèn)題的邊界條件。（1）桿的兩端溫度為0（2）桿的兩端絕熱0,00lxxuu0,00lxxxxuu)()tlxa度為端有熱量流出，熱流密kt

17、xulx)(|第八章 分離變量法n中心內(nèi)容:用分離變量法求解各種有界問(wèn)題 掌握分離變量法的解題思想、解題步驟及其核心問(wèn)題本征值問(wèn)題 （齊次方程，齊次邊界條件） 掌握在球坐標(biāo)系中對(duì) 的分離變量及所得到的特殊函數(shù)微分方程0u分離變量法的解題步驟為： 對(duì)齊次方程和齊次邊界條件分離變量 解常微分方程的本征值問(wèn)題 解其它變量的常微分方程 疊加，用初始條件（或非齊次邊界條件)定系數(shù)分離變量法要領(lǐng)是，令 tT.zZyYxXz,.ty,x,u 從而將偏微分方程變成常微分方程 求解。 3xu,xu20u0,u1lx0,uau0tt0tlx0 xxx2tt xuxutuulxuautttlxxxxxxtt0002

18、,0, 0, 00, 0一、齊次方程、齊次邊界條件的分離變量法本征值：0)1(2222 RlldrdRrdrRdr本征函數(shù)： , )(rR22),1(,),1(mllmll ,.2 , 1 , 0,02 mm 0sin)1()(sinsin122 mlldddd01) 1(2)1 (222 yxmllyxyx0u二、在球坐標(biāo)系中的分離變量)()()(),( rRru 令連帶勒讓德方程應(yīng)該選擇坐標(biāo)系，使所研究問(wèn)題的邊界面和一個(gè)或幾個(gè)坐標(biāo)面重合。邊界：長(zhǎng)方形 球 圓柱坐標(biāo)：“直” “球” “柱”三、第十四章 勒讓德多項(xiàng)式二、有關(guān)特殊函數(shù)性質(zhì)一、在球坐標(biāo)中 的解0uv本章主要內(nèi)容： rRuu令一、0

19、)()(012102xpxyyllyxyxml 0)1(000)1(cos)(cos)(sincosllllllmllmmlllllmlmlPrdrcPrdrcmBmAu mBmAmmmmsincos02)1(2)(0) 1(2 llllrdrcrRRllRrRr )(01121)(222xpxyyxmllyxyxml 二、勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì) xPxPxPllll1112. 2 0121. 111xPlxPxlxPllll ,.,2 , 1 , 0,12211lkldxxPxPklkl3、廣義傅氏展開(kāi) 0lllxPCxf 11212dxxPxflCll1、遞推公式2、正交性例題： ?:11300199dxxPxP問(wèn)0 1128?dxxP17