自動(dòng)控制原理—第五章

1、第5章控制系統(tǒng)的頻域分析w 5.1頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念w 5.2幅相頻率特性及其繪制幅相頻率特性及其繪制w 5.3對(duì)數(shù)頻率特性及其繪制對(duì)數(shù)頻率特性及其繪制w 5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)w5.5相對(duì)穩(wěn)定性相對(duì)穩(wěn)定性w 5.6利用開(kāi)環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能利用開(kāi)環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能頻率特性法頻率特性法 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用的性能，對(duì)于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸?shù)男阅埽瑢?duì)于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時(shí)域表達(dá)式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時(shí)域指標(biāo)出的時(shí)域表達(dá)式、繪制出響應(yīng)曲

2、線，從而利用時(shí)域指標(biāo)直接評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能。因此，時(shí)域法具有直觀、準(zhǔn)確的直接評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能。因此，時(shí)域法具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。然而，工程實(shí)際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過(guò)時(shí)優(yōu)點(diǎn)。然而，工程實(shí)際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過(guò)時(shí)域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號(hào)作用下的輸出表達(dá)式是域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號(hào)作用下的輸出表達(dá)式是相當(dāng)困難的，需要大量計(jì)算，只有在計(jì)算機(jī)的幫助下才相當(dāng)困難的，需要大量計(jì)算，只有在計(jì)算機(jī)的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時(shí)，采用時(shí)域能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時(shí)，采用時(shí)域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。l在工程實(shí)踐中在工程實(shí)踐

3、中, 往往并不需要準(zhǔn)確地計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的往往并不需要準(zhǔn)確地計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過(guò)程，而是希望避開(kāi)繁復(fù)的計(jì)算，簡(jiǎn)單、直觀地全部過(guò)程，而是希望避開(kāi)繁復(fù)的計(jì)算，簡(jiǎn)單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。因此，主分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡(jiǎn)便的工程分析方法來(lái)分析系統(tǒng)性能，這要采用兩種簡(jiǎn)便的工程分析方法來(lái)分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細(xì)介紹控制系就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細(xì)介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法。統(tǒng)的頻率特性法。l控制系統(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性控制系統(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)

4、特性）（元件或系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性）來(lái)分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問(wèn)題仍然是控制系統(tǒng)來(lái)分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問(wèn)題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準(zhǔn)確性等，是工程實(shí)踐中廣泛采的穩(wěn)定性、快速性及準(zhǔn)確性等，是工程實(shí)踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。 頻率特性分析法（頻率特性分析法（Frequency ResponseFrequency Response） ，又稱為頻域分析，又稱為頻域分析法是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表法是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，而可以間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開(kāi)

5、環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)的響達(dá)式，而可以間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點(diǎn)。如：應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點(diǎn)。如： 根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性能揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性能揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能性能, , 得到定性和定量的結(jié)論，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)得到定性和定量的結(jié)論，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響或者參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響, ,并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。 具有明確的物理意義，它可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻具有明確的物理意義，它可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法，借

6、助頻率特性分析儀等測(cè)試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建率特性分析儀等測(cè)試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)，這對(duì)難于用理論分析立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)，這對(duì)難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。 時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的分析分析與設(shè)計(jì)與設(shè)計(jì)。 頻率特性分析法頻率特性分析法的特點(diǎn)的特點(diǎn)頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、

7、直頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。近來(lái)，頻率法還發(fā)展到可以應(yīng)用到多輸入量多近來(lái)，頻率法還發(fā)展到可以應(yīng)用到多輸入量多輸出量系統(tǒng)，稱為多變量頻域控制理論。輸出量系統(tǒng)，稱為多變量頻域控制理論。本章重點(diǎn)介紹本章重點(diǎn)介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對(duì)數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)特性與對(duì)數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性、利用開(kāi)環(huán)頻定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性、利用開(kāi)環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。5.1頻率特性的基本概念頻

8、率特性的基本概念 5.1.1頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) 頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對(duì)正弦頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)的作用下，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出仍是一個(gè)與輸統(tǒng)，在正弦信號(hào)的作用下，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出仍是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，且輸出的幅值與相位是輸入正入同頻率的正弦信號(hào)，且輸出的幅值與相位是輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。弦信號(hào)頻率的函數(shù)。 下面用用一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明頻率響應(yīng)的概念：下面用用一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明頻率響應(yīng)的概念：示例：示例：如圖如圖5-15-1所示一階所示一階RC網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)，u

9、ui i( (t t) )與與u uo o( (t t) )分別為輸入與分別為輸入與輸出信號(hào)，其傳遞函數(shù)為輸出信號(hào)，其傳遞函數(shù)為 RC圖圖5-1 RC網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=(s)= 110Ts+=(s)U(s)Ui其中其中T=RC，為電路的時(shí)間常數(shù)，單位為，為電路的時(shí)間常數(shù)，單位為s。 在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)為一正弦信號(hào)，即在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)為一正弦信號(hào)，即 ui(t)=Uisin t時(shí)時(shí)Ui與與 分別為輸入為信號(hào)的振幅與角頻率，可以運(yùn)用分別為輸入為信號(hào)的振幅與角頻率，可以運(yùn)用時(shí)域法求電路的輸出。時(shí)域法求電路的輸出。 輸出的拉氏變換為：輸出的拉氏變換為： U

10、o(s)=11Ts+22+sUi對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得輸出的時(shí)域表達(dá)式：對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得輸出的時(shí)域表達(dá)式：輸出由兩項(xiàng)組成，第一項(xiàng)是瞬態(tài)響應(yīng)分量，呈指數(shù)衰輸出由兩項(xiàng)組成，第一項(xiàng)是瞬態(tài)響應(yīng)分量，呈指數(shù)衰減形式，衰減速度由電路本身的時(shí)間常數(shù)減形式，衰減速度由電路本身的時(shí)間常數(shù)T決定。第決定。第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，當(dāng)二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，當(dāng)tt時(shí)，瞬態(tài)分量衰減為時(shí)，瞬態(tài)分量衰減為0 0，此時(shí)電路的穩(wěn)態(tài)輸出為：此時(shí)電路的穩(wěn)態(tài)輸出為： 輸入輸出相位差為輸入輸出相位差為 = -arctanT輸入輸出幅值比為輸入輸出幅值比為A= = 2211+T輸入信號(hào)為輸入信號(hào)為ui(t)=Uisin t二者均僅與

11、輸入頻率二者均僅與輸入頻率 ，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)?？梢?jiàn)，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)是同頻率的正弦函數(shù)，但幅可見(jiàn)，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)是同頻率的正弦函數(shù)，但幅值與相位不同，輸出滯后于輸入。值與相位不同，輸出滯后于輸入。實(shí)際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對(duì)于穩(wěn)定的線實(shí)際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)r（t）=sin t時(shí)，過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為時(shí)，過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為 Css（t）=Asin（t+ ），如圖所示。），如圖所示。線 性 定線 性

12、 定常系統(tǒng)常系統(tǒng)sinsin t tAsin（t+ ）tr r（t t）Css（t） 圖圖5-2，線性系統(tǒng)及頻率響應(yīng)示意圖，線性系統(tǒng)及頻率響應(yīng)示意圖 5.1.2頻率特性頻率特性一、基本概念一、基本概念 對(duì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進(jìn)一步的分析，由于輸入輸出對(duì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進(jìn)一步的分析，由于輸入輸出的幅值比的幅值比A與相位差與相位差 只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正弦信號(hào)的頻率弦信號(hào)的頻率有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的前提下，有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的前提下，幅值比幅值比A與相位差與相位差 僅是僅是的函數(shù)，可以分別表示為的函數(shù)，可以分別表示為A（）與與 （）。）。 若輸入信號(hào)的頻

13、率若輸入信號(hào)的頻率在在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化，則的范圍內(nèi)連續(xù)變化，則系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)的幅值比與相位差將隨輸入頻率的系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)的幅值比與相位差將隨輸入頻率的變化而變化，反映出系統(tǒng)在不同頻率輸入信號(hào)下的不同變化而變化，反映出系統(tǒng)在不同頻率輸入信號(hào)下的不同性能，這種變化規(guī)律可以在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。性能，這種變化規(guī)律可以在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。 因此，頻率特性可定義為：因此，頻率特性可定義為： 線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)的頻率當(dāng)輸入信號(hào)的頻率在在0的范圍內(nèi)連續(xù)變的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)的幅值比與相位差化時(shí)，系統(tǒng)

14、輸出與輸入信號(hào)的幅值比與相位差隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。率特性。 頻率特性可以反映出系統(tǒng)對(duì)不同頻率的輸頻率特性可以反映出系統(tǒng)對(duì)不同頻率的輸入信號(hào)的跟蹤能力，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有入信號(hào)的跟蹤能力，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。 A（）反映幅值比隨頻率而變化的規(guī)律，稱為幅頻）反映幅值比隨頻率而變化的規(guī)律，稱為幅頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在幅值特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在幅值上是放大（上是放大（A1）還是衰減（）還是衰減（A1）。）。 而而 （）反映相

15、位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相）反映相位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在相位上是超前（位上是超前（ 0）還是滯后（）還是滯后（ 0）。）。 系統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，系統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，并且強(qiáng)調(diào)頻率并且強(qiáng)調(diào)頻率是一個(gè)變量。是一個(gè)變量。對(duì)于上例所舉的一階電路，對(duì)于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達(dá)其幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式分別為：式分別為：A（）= （）= -arctanT2211+TRC圖圖5-1 RC網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=(

16、s)= 110Ts+=(s)U(s)Ui二、頻率特性的表示方法二、頻率特性的表示方法 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個(gè)正弦信號(hào)對(duì)于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個(gè)正弦信號(hào) r（t）=Rsint時(shí)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為時(shí)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為Css（t）= A()Rsin（t+ （） 由于輸入、輸出信號(hào)均為正弦信號(hào)，因此可以利用電路理論將其由于輸入、輸出信號(hào)均為正弦信號(hào)，因此可以利用電路理論將其表示為復(fù)數(shù)形式，即輸入信號(hào)為表示為復(fù)數(shù)形式，即輸入信號(hào)為Rej0，輸出信號(hào)為，輸出信號(hào)為A()Rej 。則輸入輸出之比為則輸入輸出之比為 )(j0)(je)(Re)Re(A Aj 可見(jiàn)，輸入輸出的復(fù)數(shù)比恰好表示了系統(tǒng)

17、的頻率特可見(jiàn)，輸入輸出的復(fù)數(shù)比恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達(dá)式。性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達(dá)式。 若用一個(gè)復(fù)數(shù)若用一個(gè)復(fù)數(shù)G（j）來(lái)表示，則有）來(lái)表示，則有 G（j）= G（j） ejG（j）=A（）ej 指數(shù)表示法指數(shù)表示法 G（j）=A() () 幅角表示法幅角表示法 G（j）就是頻率特性通用的表示形式，是就是頻率特性通用的表示形式，是的函數(shù)。的函數(shù)。 當(dāng)當(dāng)是一個(gè)特定的值時(shí)，可以在復(fù)平面上用一個(gè)是一個(gè)特定的值時(shí)，可以在復(fù)平面上用一個(gè)向量去表示向量去表示G（j）。向量的長(zhǎng)度為）。向量的長(zhǎng)度為A()，向量與，向量與正實(shí)軸之間的夾角為正實(shí)軸

18、之間的夾角為 ()，并規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎⒁?guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，即相角超前；?guī)定順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)，即相角滯后。即相角超前；規(guī)定順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)，即相角滯后?？捎蓤D可由圖5.3表示。表示。另外還可以將向量分解為實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分，即另外還可以將向量分解為實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分，即G（j）=R（）+I（） R（）稱為實(shí)頻特性，稱為實(shí)頻特性，I（）稱為虛頻特性。由復(fù)變函數(shù)理論可知：）稱為虛頻特性。由復(fù)變函數(shù)理論可知：)()()(22IRA)()(arctan)(RI)(cos)()(AR)(sin)()(AI圖圖5-3 頻率特性在頻率特性在 復(fù)平面上的表示復(fù)平面上的表示 并且并且A()與與R（）為）為的偶函

19、數(shù)，的偶函數(shù)， ()與與I（）是）是的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。以上函數(shù)都是以上函數(shù)都是的函數(shù)，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律。的函數(shù)，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律。使用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用廣泛。使用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用廣泛。三、頻率特性的實(shí)驗(yàn)求取方法三、頻率特性的實(shí)驗(yàn)求取方法 向待求元件或系統(tǒng)輸入一個(gè)頻率可變的正弦信號(hào)向待求元件或系統(tǒng)輸入一個(gè)頻率可變的正弦信號(hào) r（t）=Rsint 在在0的范圍內(nèi)不斷改變的范圍內(nèi)不斷改變的取值，并測(cè)量與每一個(gè)的取值，并測(cè)量與每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出值對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 Css（t）= A()

20、Rsin（t+ （） 測(cè)量并記錄相應(yīng)的輸入輸出幅值比與相角差。根據(jù)所測(cè)量并記錄相應(yīng)的輸入輸出幅值比與相角差。根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制出幅值比與相角差隨得數(shù)據(jù)繪制出幅值比與相角差隨的變化曲線，并據(jù)的變化曲線，并據(jù)此求出元件或系統(tǒng)的幅頻特性此求出元件或系統(tǒng)的幅頻特性A()與相頻特性與相頻特性 （）的表達(dá)式，便可求出完整的頻率特性表達(dá)式。的表達(dá)式，便可求出完整的頻率特性表達(dá)式。5.1.3由傳遞函數(shù)求取頻率特性由傳遞函數(shù)求取頻率特性 實(shí)際上，由于微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性描述系實(shí)際上，由于微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性描述系統(tǒng)各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，都是控制系統(tǒng)統(tǒng)各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，都是控

21、制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。和微分方程與傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)模型。和微分方程與傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數(shù)通換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數(shù)通過(guò)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換得到，這種求取方法稱為解析法。過(guò)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換得到，這種求取方法稱為解析法。 輸出信號(hào)的拉氏變換為輸出信號(hào)的拉氏變換為C（s）= = = ).(s+p)(s+p(s+pN(s)n21j)-j)(s+(sRj)-(sK+j)+(sK+)p+(sK+.+p+sK+p+sKc-cnn2211對(duì)輸出求拉氏反變換可得對(duì)輸出求拉氏反變換可得為簡(jiǎn)化分析，假定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負(fù)實(shí)根。輸入信號(hào)為為簡(jiǎn)化分析，假

22、定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負(fù)實(shí)根。輸入信號(hào)為r(t)=Rsint設(shè)設(shè)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)D(s)N(s).(s+p)(s+p(s+pN(s)n21= 系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為指數(shù)瞬態(tài)分量，系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為指數(shù)瞬態(tài)分量，對(duì)應(yīng)特征根為單根時(shí)的響應(yīng)；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，對(duì)應(yīng)特征根為單根時(shí)的響應(yīng)；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，它取決于輸入信號(hào)的形式。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)它取決于輸入信號(hào)的形式。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)所有的特征根的實(shí)部均為負(fù)，瞬態(tài)分量必將隨時(shí)間趨所有的特征根的實(shí)部均為負(fù)，瞬態(tài)分量必將隨時(shí)間趨于無(wú)窮大而衰減到零。因此，系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號(hào)的穩(wěn)于無(wú)窮大而

23、衰減到零。因此，系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量為：態(tài)分量為：)()()(2121tjctjctpntptpeKeKeKeKeKtcn css(t) =Kce-jt+K-cejt 系數(shù)系數(shù)Kc和和K-c可由留數(shù)定理確定可由留數(shù)定理確定 可以求出Css(t)= A()Rsint+ () 并有 A( ()= | G（s）| s=j =| G（j）| ( ()=G（j） 而輸入信號(hào)為而輸入信號(hào)為r(t)=Rsint因此，因此，A( ()為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅頻特性表達(dá)式頻特性表達(dá)式 ( ()為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的相頻特為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，

24、為系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式性表達(dá)式系統(tǒng)的頻率特性為系統(tǒng)的頻率特性為 G（j）= G（s）|s=j= = A( ()ej j 由以上可推得一個(gè)十分重要的結(jié)論：系統(tǒng)的頻率特性由以上可推得一個(gè)十分重要的結(jié)論：系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）將將j代替其中的代替其中的s而得到。而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s =+j。當(dāng)。當(dāng)=0時(shí)，時(shí)，s = j。所以。所以G（j）就是）就是=0時(shí)的時(shí)的G（s）。）。即當(dāng)即當(dāng)傳遞函數(shù)的復(fù)變量傳遞函數(shù)的復(fù)變量s用用j代替時(shí)，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特代替時(shí)，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法?？梢?/p>

25、用圖性，這就是求取頻率特性的解析法?？梢杂脠D5-4表示為表示為線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G（s） G（jj）= = G（s）|s=j = = A( ()ej j RsintA()Rsint+ ()圖圖5-4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)求取頻率特性示意圖由系統(tǒng)傳遞函數(shù)求取頻率特性示意圖A( ()是幅頻特性，是幅頻特性， 是相頻特性是相頻特性因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以避開(kāi)時(shí)域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計(jì)算，直接避開(kāi)時(shí)域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計(jì)算，直接利用頻率特性的物理意義簡(jiǎn)化求解過(guò)程。利用頻率特性的物理意義

26、簡(jiǎn)化求解過(guò)程。例例5.1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)輸入信號(hào)為當(dāng)輸入信號(hào)為r（t）=sin2t時(shí)，求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。時(shí)，求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。11)(ssGk解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2111111)(ssss系統(tǒng)的頻率特性為系統(tǒng)的頻率特性為 21)()(jsGjGjs 幅頻特性幅頻特性為為 41)(2A相頻特性相頻特性為為 2arctan)(利用頻率特性的概念，利用頻率特性的概念，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為為 )(2sin)()(tAtc將將=2=2代入得：代入得： 452sin81)(ttc 輸出表達(dá)式說(shuō)明該系統(tǒng)對(duì)此

27、輸入信號(hào)在幅值上衰減，同時(shí)響應(yīng)輸出表達(dá)式說(shuō)明該系統(tǒng)對(duì)此輸入信號(hào)在幅值上衰減，同時(shí)響應(yīng)在時(shí)間上有滯后。在時(shí)間上有滯后。5.1.4小結(jié)小結(jié)一、頻率特性的物理意義一、頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率在在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，則系統(tǒng)輸出與輸入信的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，則系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系號(hào)的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性統(tǒng)的性能，才是頻率特性 。2.頻率特性反映

28、系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。3. 頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲(chǔ)能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤容、電感、彈簧等儲(chǔ)能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號(hào)的頻率有關(guān)。輸入，而與輸入信號(hào)的頻率有關(guān)。4.頻率特性表征系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的跟蹤能力，頻率特性表征系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的跟蹤能力，一般有一般有“低通濾波低通濾波”與與“相位滯后相位滯后”作用。作用。二、頻率特性的數(shù)學(xué)意義二、頻率特性的數(shù)學(xué)意義頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)

29、學(xué)模型頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學(xué)模型,與微分方程、與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換，如圖傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換，如圖5-5所示。所示。 微分方程微分方程（以（以t為變量）為變量） 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)（以（以s為變量）為變量） 頻率特性頻率特性（以（以為變量）為變量） 圖圖5-5 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系sdtdjs 以上三種數(shù)學(xué)模型以不同的數(shù)學(xué)形式表達(dá)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)，以上三種數(shù)學(xué)模型以不同的數(shù)學(xué)形式表達(dá)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學(xué)模型。最常用的數(shù)

30、學(xué)模型。三、頻率特性的應(yīng)用三、頻率特性的應(yīng)用 1頻率特性包含了系統(tǒng)或元件的全部動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，是系統(tǒng)在頻頻率特性包含了系統(tǒng)或元件的全部動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，是系統(tǒng)在頻域中的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用它分析、研究控制系統(tǒng)性能的方法稱為頻率域中的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用它分析、研究控制系統(tǒng)性能的方法稱為頻率特性分析法。特性分析法。2頻率特性為使用實(shí)驗(yàn)法求取未知系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型提供了頻率特性為使用實(shí)驗(yàn)法求取未知系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型提供了切實(shí)可行的辦法。但有關(guān)頻率特性的推導(dǎo)是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)切實(shí)可行的辦法。但有關(guān)頻率特性的推導(dǎo)是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)行的，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就不能觀測(cè)到系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量，因而行的，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定

31、，就不能觀測(cè)到系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量，因而無(wú)法使用實(shí)驗(yàn)法求取系統(tǒng)的頻率特性。無(wú)法使用實(shí)驗(yàn)法求取系統(tǒng)的頻率特性。 雖然頻率特性的概念是從穩(wěn)定系統(tǒng)推導(dǎo)出來(lái)的，但我們知道，雖然頻率特性的概念是從穩(wěn)定系統(tǒng)推導(dǎo)出來(lái)的，但我們知道，系統(tǒng)的輸出總是由兩個(gè)分量組成的，其穩(wěn)態(tài)分量并不依賴于系統(tǒng)的系統(tǒng)的輸出總是由兩個(gè)分量組成的，其穩(wěn)態(tài)分量并不依賴于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)（與系統(tǒng)的穩(wěn)定性無(wú)關(guān)），主要取決于輸入信號(hào)。因此，結(jié)構(gòu)參數(shù)（與系統(tǒng)的穩(wěn)定性無(wú)關(guān)），主要取決于輸入信號(hào)。因此，從理論上講，穩(wěn)態(tài)分量總是可以從系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)中分離出來(lái)。所從理論上講，穩(wěn)態(tài)分量總是可以從系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)中分離出來(lái)。所以頻率特性的定義可以推廣為：線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與正以頻率特性的定義可以推廣為：線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與正弦輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比。也就是說(shuō)，不論系統(tǒng)穩(wěn)定與否，其頻率特性弦輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比。也就是說(shuō)，不論系統(tǒng)穩(wěn)定與否，其頻率特性總是存在的?？偸谴嬖诘摹?由傅立葉變換可知，輸入信號(hào)可以分解為一系列不同頻率諧波由傅立葉變換可知，輸入信號(hào)可以分解為一系列不同頻率諧波的迭加。根據(jù)頻率特性的物理意義，的迭加。根據(jù)頻率特