第6章向量空間ppt課件

1、第第6章章 向量空間向量空間6.1 6.1 向量空間的定義和例子向量空間的定義和例子6.2 6.2 子空間子空間6.3 6.3 向量的線性相關(guān)向量的線性相關(guān)6.4 6.4 基和維數(shù)基和維數(shù)6.5 6.5 坐坐 標(biāo)標(biāo)6.6 6.6 向量空間的同構(gòu)向量空間的同構(gòu)6.7 6.7 矩陣的秩矩陣的秩 齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間 向量空間向量空間Vector Spaces又稱線性空間又稱線性空間Linear Spaces. 本章的特點(diǎn)及要求：本章的特點(diǎn)及要求： 向量空間是線性代數(shù)的最根本的、最重要的概念之一，向量空間是線性代數(shù)的最根本的、最重要的概念之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的內(nèi)容是進(jìn)一

2、步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的內(nèi)容. 向量空間產(chǎn)生有著豐富的數(shù)學(xué)背景，又在許多領(lǐng)域包向量空間產(chǎn)生有著豐富的數(shù)學(xué)背景，又在許多領(lǐng)域包括數(shù)學(xué)本身中有著廣泛的運(yùn)用，例如：線性方程組解括數(shù)學(xué)本身中有著廣泛的運(yùn)用，例如：線性方程組解的構(gòu)造的構(gòu)造. 向量空間是我們遇到的第一籠統(tǒng)的代數(shù)系統(tǒng)向量空間是我們遇到的第一籠統(tǒng)的代數(shù)系統(tǒng).所謂代數(shù)所謂代數(shù)系統(tǒng)，就是帶有運(yùn)算的集合系統(tǒng)，就是帶有運(yùn)算的集合.6.16.1向量空間的定義和例子向量空間的定義和例子 一、引例定義產(chǎn)生的背景 m nF表示上表示上mn矩陣的集合，矩陣的集合，回想一下回想一下 m nF上所可以施行的運(yùn)算教材上所可以施行的運(yùn)算教材P182：只需：只需加法和數(shù)乘兩種，

3、并且滿足加法和數(shù)乘兩種，并且滿足(教材教材P183)： A+B=B+A (A+B)+C= A+( B+C) OA=A A+(-A)=O a(A+B)= aA+Ab (a+b)B=a B +Bb (ab)A=a(b)A 還有一個(gè)顯而易見的：還有一個(gè)顯而易見的： 8. 1AA 涉及兩個(gè)集合其中一個(gè)集合涉及兩個(gè)集合其中一個(gè)集合. 涉及兩種運(yùn)算什么樣的運(yùn)算？涉及兩種運(yùn)算什么樣的運(yùn)算？. 滿足滿足8條運(yùn)算性質(zhì)條運(yùn)算性質(zhì).二、二、 向量空間的定義籠統(tǒng)出的數(shù)學(xué)本質(zhì)向量空間的定義籠統(tǒng)出的數(shù)學(xué)本質(zhì)(m1) .)()(FbabVaVab，(m2) .)(aVaUVUa(m3) .)bUaUUba（(m4) 1u=

4、 u 對一切對一切u屬于屬于V. 三、進(jìn)一步的例子三、進(jìn)一步的例子加深定義的了解加深定義的了解m nF是數(shù)域是數(shù)域F上的向量空間，稱為矩陣上的向量空間，稱為矩陣 空間空間. . 1 11,nnFF統(tǒng)稱為元向量空間，一致用符號統(tǒng)稱為元向量空間，一致用符號 nF表示表示. 2 nR是解析幾何的坐標(biāo)平面、坐標(biāo)空間的推行它是常是解析幾何的坐標(biāo)平面、坐標(biāo)空間的推行它是常 用的一類用的一類. (c1) f(x)+g(x) Fx, 任給f(x),g(x) Fx. (c2) af(x) Fx，任給 aF，f(x) Fx. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任給任給f(x),g(x)

5、Fx. (a2) f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+ g(x) +h(x) , 任給f(x),g(x),h(x) Fx. (a3) 0向量就是零多項(xiàng)式向量就是零多項(xiàng)式. (a4) f(x)的負(fù)向量為的負(fù)向量為- f(x).(m1) ()abf(x)= (a bf(x). (m2) af(x)+g(x)= af(x)+ ag(x). (m3) ()abf(x)= af(x)+ bf(x). (m4) 1 f(x)= f(x). 注注2：這個(gè)例子闡明向量空間與：這個(gè)例子闡明向量空間與F有關(guān)有關(guān)., , , kabab k aaa bRkRR證明證明 關(guān)于給定的運(yùn)算構(gòu)成關(guān)于給定的運(yùn)算構(gòu)成R上

6、的向量空間上的向量空間. 注注3：運(yùn)算可以是通常的，可以重新定義的：運(yùn)算可以是通常的，可以重新定義的.注注4：向量空間與運(yùn)算有關(guān)：向量空間與運(yùn)算有關(guān).注注5：證明向量空間需求：證明向量空間需求10條性質(zhì)，其中：條性質(zhì)，其中：8條是驗(yàn)證，條是驗(yàn)證，2條需求解方程求出零向量與負(fù)向量條需求解方程求出零向量與負(fù)向量. 2R上定義加法和數(shù)乘：上定義加法和數(shù)乘： 2( , )( , )(,)(1)( , )(,)2a bc dac bdack kka bka kba證明證明 2R關(guān)于給定運(yùn)算構(gòu)成關(guān)于給定運(yùn)算構(gòu)成R上的向量空間上的向量空間. 四、簡單性質(zhì)1 零向量零向量0是獨(dú)一的是獨(dú)一的.2 一個(gè)向量一個(gè)向

7、量v的負(fù)向量是獨(dú)一的，用的負(fù)向量是獨(dú)一的，用- v表示表示.3 0v0， a00. 4a(-v)= a)(aVV. 000VaaV，或56.2 6.2 子空間子空間學(xué)習(xí)目的學(xué)習(xí)目的 1了解并掌握子空間的概念了解并掌握子空間的概念.2掌握子空間的判別方法，熟習(xí)幾種常見的掌握子空間的判別方法，熟習(xí)幾種常見的子空間子空間.3掌握子空間的交與和的概念掌握子空間的交與和的概念.一、子空間的概念一、子空間的概念1、定義：設(shè)、定義：設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，上一個(gè)向量空間，W是是V 的一的一個(gè)非空子集個(gè)非空子集. 1假設(shè)假設(shè)W中恣意兩個(gè)向量的和仍在中恣意兩個(gè)向量的和仍在W內(nèi)，那內(nèi)，那么就說，么就說，

8、W對于對于V的加法是封鎖的的加法是封鎖的. 2假設(shè)對于假設(shè)對于W中恣意向量中恣意向量和數(shù)域和數(shù)域F中恣意數(shù)中恣意數(shù)a，a仍在仍在W內(nèi)，那么就說，內(nèi)，那么就說，W 對于標(biāo)量與向量的乘對于標(biāo)量與向量的乘法是封鎖的法是封鎖的.2、定理：設(shè)設(shè)W是數(shù)域是數(shù)域F上向量空間上向量空間V的一個(gè)非空子集的一個(gè)非空子集.假設(shè)假設(shè)W 對對于于V 的加法以及標(biāo)量與向量乘法是封鎖的，那么本的加法以及標(biāo)量與向量乘法是封鎖的，那么本身也作成上一個(gè)向量空間身也作成上一個(gè)向量空間. 3、定義：、定義：令令W是數(shù)域是數(shù)域F上向量空間上向量空間V的一個(gè)非空子集的一個(gè)非空子集.假設(shè)假設(shè)W 對于對于V 的加法以及標(biāo)量與向量的乘法來說是

9、封鎖的，的加法以及標(biāo)量與向量的乘法來說是封鎖的，那么就稱那么就稱W是是V 的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間. 注：注：V的一個(gè)子空間也是的一個(gè)子空間也是F上一個(gè)向量空間，并且上一個(gè)向量空間，并且一定含有一定含有V的零向量。的零向量。例：例： 向量空間向量空間V總是它本身的一個(gè)子空間。另一方面，單總是它本身的一個(gè)子空間。另一方面，單獨(dú)一個(gè)零向量所成的集合獨(dú)一個(gè)零向量所成的集合0顯然對于顯然對于V的加法和標(biāo)的加法和標(biāo)量與向量的乘法是封鎖，因此也是量與向量的乘法是封鎖，因此也是V的一個(gè)子空間，的一個(gè)子空間，稱為零空間。稱為零空間。 注：一個(gè)向量空間注：一個(gè)向量空間V本身和零空間叫做本身和零空間叫做V的平凡子

10、空的平凡子空間。間。V的非平凡子空間叫做的非平凡子空間叫做V的真子空間。的真子空間。 例：例： 是不是是不是 的的子空間？子空間？ 是不是是不是 的子空間？的子空間？, 0| )()(時(shí)jiaFMaAUijnij)(FMn0| )(AFMAWn)(FMn解解 U中的矩陣是上三角形矩陣，顯然中的矩陣是上三角形矩陣，顯然U為向量空間為向量空間 的非空子集。又中的非空子集。又中 的運(yùn)算的運(yùn)算是矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法，而兩是矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法，而兩個(gè)上三角形的和仍是一個(gè)上三角形矩陣，個(gè)上三角形的和仍是一個(gè)上三角形矩陣，一個(gè)數(shù)與一個(gè)上三角形矩陣的乘積仍是一個(gè)數(shù)與一個(gè)上三角形矩陣的乘積仍是上三

11、角形矩陣，所以，由子空間的定義上三角形矩陣，所以，由子空間的定義 ，U是是 的的 一個(gè)子空間。一個(gè)子空間。)(FMn)(FMn)(FMn 不是不是 的子空間，由的子空間，由于于n階單位矩陣階單位矩陣I及及 I W，但，但0| )(AFMAWn)(FMnWOII)( 在空間在空間V2里，平行于一條固定直線的一切里，平行于一條固定直線的一切向量空間作成向量空間作成V2的一個(gè)子空間。在間間的一個(gè)子空間。在間間V3里，平里，平行于一條固定直線或一張固定平面的一切向量分別行于一條固定直線或一張固定平面的一切向量分別作成作成V3的子空間。的子空間。例：例：例：nF中一切形如中一切形如Fin),0 ,(12

12、1的向量作成的向量作成 的一個(gè)子空間。的一個(gè)子空間。 nF例：例： F x中次數(shù)不超越一個(gè)給定的整數(shù)中次數(shù)不超越一個(gè)給定的整數(shù)n的多項(xiàng)式全體連的多項(xiàng)式全體連同零多項(xiàng)式一同作成同零多項(xiàng)式一同作成F x的一個(gè)子空間。的一個(gè)子空間。 例：例：閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上一切可微分函數(shù)作成上一切可微分函數(shù)作成C a,b的一個(gè)子空的一個(gè)子空間。間。例：例： 設(shè)設(shè)FaaAijijnm),( (1) 把滿足把滿足AX = 0的解的解X表示為表示為 ，nxxxX21顯然顯然 。并記。并記AX = 0的解集為的解集為 nFX 0|0 ,AXFXVnA證明證明 是向量空間是向量空間 的一個(gè)子空間。的一個(gè)子空間。0 , A

13、VnF(2) 記記AX = 的解集為的解集為 能能否也是否也是 的一個(gè)字空間？這里的一個(gè)字空間？這里,|AnAVAXFXVnF0,nF證明證明 ：1首先，首先， nF0000，且，且A0 = 0，所以，所以， 。 0 , AV其次，假設(shè)其次，假設(shè) 那么那么 所以所以 ，對于任何，對于任何 。故。故 對于對于 的兩種的兩種運(yùn)算封鎖，運(yùn)算封鎖， 是向量空間是向量空間 的一個(gè)子空間。的一個(gè)子空間。,210,21nAFXXVXX即, 0, 021AXAX且, 0)(2121AXAXXXA0,21AVXX,0,AVXFa0,),()(AVaXAXaaXA即有0,AVnF0,AVnF4、定理：、定理：向量

14、空間向量空間W的一個(gè)非空子集的一個(gè)非空子集W是是V的一個(gè)子空間，的一個(gè)子空間，要且只需對于恣意要且只需對于恣意a,bF和恣意和恣意,W，都有，都有 a+bW 2可以知道，在可以知道，在0 的時(shí)候，的時(shí)候， 不一定是不一定是 的的子空間。由于對任何子空間。由于對任何 ，都有，都有A (X + Y) = AX +AY =+，故，故 對對 的加法不封鎖。的加法不封鎖。,AVnF,AVYX,AVnF 二、子空間的交與和二、子空間的交與和1、設(shè)、設(shè)W1，W2是向量空間是向量空間V的二個(gè)子空間，那么它的二個(gè)子空間，那么它們的交們的交W1W2也是也是V的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間.2、普通，設(shè)、普通，設(shè) Wi

15、是向量空間是向量空間V的一組子空間個(gè)數(shù)的一組子空間個(gè)數(shù)可以有限，也可以無限可以有限，也可以無限.那么那么 也是也是V的一個(gè)子的一個(gè)子空間空間.iiW3、注：二個(gè)子空間、注：二個(gè)子空間W1與與W2 的并集，普通說來不是的并集，普通說來不是子空間子空間121211224|,WWWW、考慮：由于由于0W1，0W2，所以，所以0=0+0W1+W2，因，因此此W1+W2。設(shè)。設(shè)a, bF, ,W1+W2, 那么那么, 由于由于W1,W2都是子空間都是子空間,所以所以 , ,于是于是2221112121,WW111Wba222Wba2122112121)()()()(WWbabababa這就證明了這就證明

16、了W1+W2是是V的子空間的子空間,這個(gè)子空間叫做這個(gè)子空間叫做W1與與W2 的和的和. 6.3向量的線性相關(guān)一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布6.3.1 線性組合與線性表示線性組合與線性表示6.3.2 線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān)6.3.3 向量組等價(jià)向量組等價(jià)6.3.4 向量組的極大線性無關(guān)組向量組的極大線性無關(guān)組二、教學(xué)目的二、教學(xué)目的 1準(zhǔn)確了解和掌握向量的線性相關(guān)性概念及判別準(zhǔn)確了解和掌握向量的線性相關(guān)性概念及判別 2了解向量組的等價(jià)及極大無關(guān)組的概念了解向量組的等價(jià)及極大無關(guān)組的概念3掌握向量的線性相關(guān)性證明及極大無關(guān)組求法掌握向量的線性相關(guān)性證明及極大無關(guān)組求法 三、重點(diǎn)、難點(diǎn)三、

17、重點(diǎn)、難點(diǎn) 線性相關(guān)性無關(guān)、向量組的極大線性無關(guān)組等概線性相關(guān)性無關(guān)、向量組的極大線性無關(guān)組等概念，交換定理的證明念，交換定理的證明6.3.1 線性組合與線性表示定義定義1 設(shè)設(shè) 是向量空間是向量空間V的的r個(gè)向量，個(gè)向量， 是數(shù)域是數(shù)域F中恣意中恣意r個(gè)數(shù)個(gè)數(shù). 我們把和我們把和r,2112,ra aarraaa2211叫做向量叫做向量 的一個(gè)向量組合的一個(gè)向量組合.r,21假設(shè)假設(shè)V 中某一向量中某一向量可以表示成向量可以表示成向量 的的線性組合，我們也說線性組合，我們也說可以由可以由 線性表示線性表示.r,21r,21零向量顯然可以由恣意一組向量零向量顯然可以由恣意一組向量 線性線性表示

18、，由于表示，由于r,21r0000216.3.2 線性相關(guān)與線性無關(guān)定義定義2 設(shè)設(shè) 是向量空間是向量空間V的的r個(gè)向量。假設(shè)存在個(gè)向量。假設(shè)存在F中不全為零的數(shù)中不全為零的數(shù) 使得使得r,21raaa,21102211rraaa那么就說那么就說 線性相關(guān)線性相關(guān).r,21假設(shè)不存在假設(shè)不存在F中不全為零的數(shù)中不全為零的數(shù) 使得等式使得等式1成立，換句話說，等式成立，換句話說，等式1僅當(dāng)僅當(dāng) 時(shí)才成立，那么就說，向量時(shí)才成立，那么就說，向量 線性無關(guān)線性無關(guān).raaa,21021raaar,21例1 令令F是恣意一個(gè)數(shù)域。是恣意一個(gè)數(shù)域。 中向量中向量3F 1=1,2,3， 2=2,4,6，

19、3=3,5,-4線線性相關(guān)。性相關(guān)。例2 判別判別 的向量的向量3F 1=1,-2,3， 2=2,1,0， 3=1,-7,9能能否線性相關(guān)。否線性相關(guān)。例3 在向量空間在向量空間F x里，對于恣意非負(fù)整數(shù)里，對于恣意非負(fù)整數(shù) n , 1nxx 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 命題6.3.1 向量組向量組 中每一個(gè)向量中每一個(gè)向量 都可以由這都可以由這一組向量線性表示一組向量線性表示. ,21ri命題6.3.2 假設(shè)向量假設(shè)向量可以由可以由 線性表示，而每一線性表示，而每一個(gè)又都可以由個(gè)又都可以由 線性表示，那么線性表示，那么可以可以由由 線性表示線性表示.r,21is,21s,21命題6.3.3 假設(shè)向

20、量組假設(shè)向量組 線性無關(guān)線性無關(guān),那么它的恣意那么它的恣意一部分也線性無關(guān)一部分也線性無關(guān).一個(gè)等價(jià)的提法是一個(gè)等價(jià)的提法是:假設(shè)向量組假設(shè)向量組 有一部分向量線性相關(guān)有一部分向量線性相關(guān),那么整個(gè)向那么整個(gè)向量組量組 也線性相關(guān)也線性相關(guān).,21r,21r,21r命題6.3.4 設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無關(guān)線性無關(guān),而而 線性相關(guān)線性相關(guān).那么那么一定可以由一定可以由 線性表示線性表示.,21r,21rr,21定理 6.3.5 向量向量 線性相關(guān)線性相關(guān),必要且只需其中必要且只需其中某一個(gè)向量是其他向量的線性組合某一個(gè)向量是其他向量的線性組合.) 2(,21rr6.3.3 向量組等價(jià)定義定義3

21、 設(shè)設(shè) 和和 是向量空間是向量空間V的兩個(gè)的兩個(gè)向量組向量組,假設(shè)每一個(gè)假設(shè)每一個(gè) 都可以由都可以由 線性表示線性表示,而每一而每一 也可以由也可以由 線性表示線性表示, 那么就說那么就說這兩個(gè)向量組等價(jià)這兩個(gè)向量組等價(jià).,21r,.,21nin,.,21ir,21例例4 向量組向量組 1=(1,2,3), 2=(1,0,2)與向量組與向量組 1=(3,4,8), 2=(2,2,5), 3=(0,2,1)等價(jià)等價(jià).等價(jià)的概念顯然具有傳送性等價(jià)的概念顯然具有傳送性:假設(shè)假設(shè) 與與 等價(jià)等價(jià),而后者又與而后者又與 等價(jià)等價(jià), 那那么么 與與 等價(jià)等價(jià).,21s,.,21n,.,21i,21s,.,

22、21i定理6.3.6 (交換定理設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無關(guān)線性無關(guān),并且每一并且每一 都都 可以由向量組可以由向量組,21rr,.,21n線性表示線性表示,那么那么rs, 并且必要時(shí)可以對并且必要時(shí)可以對 中中向量重新編號向量重新編號,使得用使得用 交換交換后所得的向量后所得的向量 與與 等價(jià)等價(jià). r,21n,.,21,121srr,.,21n,.,21n推論推論6.3.7 兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組含有一樣個(gè)數(shù)的向量。兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組含有一樣個(gè)數(shù)的向量。6.3.4 向量組的極大線性無關(guān)組(1) 線性無關(guān)；線性無關(guān)；,.,21inii定義定義4 向量組向量組 的一部分向量組的一部分

23、向量組 叫做一個(gè)極大線性無關(guān)部分組簡稱極大無關(guān)組，叫做一個(gè)極大線性無關(guān)部分組簡稱極大無關(guān)組，假設(shè)假設(shè) ,21n，,.,21inii(2)每一每一 ，j = 1, n,都可以由都可以由 線性表示。線性表示。j,.,21inii例5看看F3的向量組的向量組)0 , 1 , 1 (),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (321在這里在這里 線性無關(guān)，而線性無關(guān)，而 ,所以所以 是一個(gè)極大無關(guān)組。另一方面，容易看是一個(gè)極大無關(guān)組。另一方面，容易看出，出， ， 也是向量組也是向量組 的極的極大無關(guān)組。大無關(guān)組。,21213,21,31,32,321推論推論6.3.8 等價(jià)的向量組的極大無關(guān)組含

24、有一樣個(gè)數(shù)的向量等價(jià)的向量組的極大無關(guān)組含有一樣個(gè)數(shù)的向量.特別，一個(gè)向量組的恣意兩個(gè)極大無關(guān)組含有一樣特別，一個(gè)向量組的恣意兩個(gè)極大無關(guān)組含有一樣個(gè)數(shù)的向量。個(gè)數(shù)的向量。 6.4 基和維數(shù) 一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布6.4.1 子空間的生成元子空間的生成元6.4.2向量空間的基與維數(shù)向量空間的基與維數(shù)6.4.3 維數(shù)定理維數(shù)定理6.4.4余子空間與子空間的直和余子空間與子空間的直和二、教學(xué)目的二、教學(xué)目的 1掌握有限維向量空間基與維數(shù)的概念及其求法掌握有限維向量空間基與維數(shù)的概念及其求法2了解基在向量空間實(shí)際中所起的作用了解基在向量空間實(shí)際中所起的作用三、重點(diǎn)、難點(diǎn)三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 基和維數(shù)的概

25、念及求法、維數(shù)定理基和維數(shù)的概念及求法、維數(shù)定理 6.4.1 子空間的生成元設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上的一個(gè)向量空間上的一個(gè)向量空間. 思索思索 的一切線性組合所成的集合。這個(gè)集合顯然不空，的一切線性組合所成的集合。這個(gè)集合顯然不空，由于零向量屬于這個(gè)集合由于零向量屬于這個(gè)集合.其次其次,設(shè)設(shè)n,21nnnnbbbaaa22112211,那么對于恣意那么對于恣意Fba,nnnbbaabbaabbaaba222111仍是仍是 的一個(gè)線性組合的一個(gè)線性組合,因此因此, 的一切線的一切線性組協(xié)作成性組協(xié)作成V的一個(gè)子間的一個(gè)子間.n,21這子空間叫做由這子空間叫做由 所生成的子空間所生成的子空間,并且并

26、且用符號用符號 表示表示,向量向量 叫叫做這個(gè)子空間的一組生成元做這個(gè)子空間的一組生成元.n,21),(21nLn,21例1看看 如下的如下的n個(gè)向量個(gè)向量:nF, 2 , 1,0 , 0 , 1 , 0 , 0nii這里除這里除 第第 i 位置是位置是1外外,其他位置的元素都是零其他位置的元素都是零. 令令inaaa,21是是 中恣意一個(gè)向量。我們有中恣意一個(gè)向量。我們有nF.2211nnaaa因此因此, , 而而 是是 的一的一組生成元組生成元.nLFn,21n,21nF例2F X在里在里,由多項(xiàng)式由多項(xiàng)式 所生成的子空間是所生成的子空間是nxx, 1 .|, 110FaxaxaaxxLi

27、nnn就是就是F上一切次數(shù)上一切次數(shù)n不超越的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式所不超越的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式所生成的子空間生成的子空間.設(shè)設(shè) 是向量組是向量組 的一個(gè)極大的一個(gè)極大無關(guān)組無關(guān)組.由命題由命題6.3.2,子空間子空間 的每的每一個(gè)向量都可以由一個(gè)向量都可以由 線性表示線性表示.另一方另一方面，面， 的恣意一個(gè)線性組合自然是的恣意一個(gè)線性組合自然是 中的向量中的向量. riii,21n,21nL,21riii,21riii,21nL,21定理6.4.1 設(shè)設(shè) 是向量空間是向量空間V 的一組不全為零的向的一組不全為零的向量量,而而 是它的一個(gè)極大無關(guān)組是它的一個(gè)極大無關(guān)組.那么那么n,21niii,

28、21riiinLL,2121根據(jù)這個(gè)定理根據(jù)這個(gè)定理,假設(shè)子空間假設(shè)子空間 不等于不等于零子空間零子空間, 那么它總可以由一個(gè)線性無關(guān)的生成元那么它總可以由一個(gè)線性無關(guān)的生成元生成生成.nL,216.4.2 向量空間的基定義定義1 設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)向量空間上一個(gè)向量空間.V中滿足以下兩個(gè)條件中滿足以下兩個(gè)條件的向量組的向量組 叫做叫做V的一個(gè)基的一個(gè)基:n,211 線性無關(guān)；線性無關(guān)； n,212V的每一個(gè)向量都可以由的每一個(gè)向量都可以由 線性線性表示表示.n,21根據(jù)這個(gè)定義，向量空間根據(jù)這個(gè)定義，向量空間V的一個(gè)基就是的一個(gè)基就是V的一個(gè)組的一個(gè)組線性無關(guān)的生成元。線性無關(guān)的生成

29、元。例3 由例由例1可得，可得， 中向量組中向量組 是是 的一組的一組生成元。顯然這組向量是線性無關(guān)的，因此生成元。顯然這組向量是線性無關(guān)的，因此 是是 的一個(gè)基。這個(gè)基叫做的規(guī)范的一個(gè)基。這個(gè)基叫做的規(guī)范基?；?。nFnFn,21n,21nF例4 在空間在空間 里，恣意兩個(gè)不共的向量里，恣意兩個(gè)不共的向量 都構(gòu)成都構(gòu)成一個(gè)基；在一個(gè)基；在 里，恣意三個(gè)不共面的向量里，恣意三個(gè)不共面的向量 都構(gòu)成一個(gè)基。都構(gòu)成一個(gè)基。2V21,3V321,定義 一個(gè)向量空間的基所含向量的個(gè)數(shù)叫做的維數(shù)一個(gè)向量空間的基所含向量的個(gè)數(shù)叫做的維數(shù)零空間的維數(shù)定義為零空間的維數(shù)定義為空間的維數(shù)記作空間的維數(shù)記作dim這

30、樣，空間這樣，空間的維數(shù)是；的維數(shù)是；的維數(shù)；的維數(shù)；n的的維數(shù)是維數(shù)是n；上一切；上一切mn矩陣所成的向量空間是維矩陣所成的向量空間是維數(shù)是數(shù)是mn假設(shè)一個(gè)向量空間不能由有限個(gè)向量生成，那么它假設(shè)一個(gè)向量空間不能由有限個(gè)向量生成，那么它自然也不能由有限個(gè)線性無關(guān)的向量生成在這一自然也不能由有限個(gè)線性無關(guān)的向量生成在這一情況，就說這個(gè)向量空間是無限維的情況，就說這個(gè)向量空間是無限維的定理. 例例5 x作為上向量空間，不是有限生成的，因作為上向量空間，不是有限生成的，因此是無限維的此是無限維的.設(shè)設(shè) 是向量空間的一個(gè)基那么的是向量空間的一個(gè)基那么的每一個(gè)向量可以獨(dú)一地被表成基向量每一個(gè)向量可以獨(dú)

31、一地被表成基向量 的線性組合的線性組合,21nnaaa,21定理.3 n維向量空間中恣意多于維向量空間中恣意多于n個(gè)向量一定線性相關(guān)個(gè)向量一定線性相關(guān) 定理. 設(shè)設(shè) 是是n維向量空間中一組線性無關(guān)的維向量空間中一組線性無關(guān)的向量那么總可以添加向量那么總可以添加 n r 個(gè)向量個(gè)向量 ，使，使得得 作為的一個(gè)基特別，作為的一個(gè)基特別，n維向量空間中恣意維向量空間中恣意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可以取作個(gè)線性無關(guān)的向量都可以取作基基iaaa,21nraa,1,11nrr6.4.3 維數(shù)定理定理定理. 設(shè)設(shè)和和都是數(shù)域上向量空間的有限維子都是數(shù)域上向量空間的有限維子空間那么空間那么也是有限維的，并且也是有

32、限維的，并且dimdimdimdim6.4.4 余子空間與子空間的直和定理定理. 6 設(shè)向量空間設(shè)向量空間V是子空間是子空間W與與W的直和的直和 . 那么那么V中中每一向量每一向量 可以獨(dú)一地表成可以獨(dú)一地表成 W W 定理 6.4.7 n 維向量空間維向量空間V的恣意一個(gè)子空間的恣意一個(gè)子空間W都有余子空間都有余子空間 , 假設(shè)假設(shè)W是是W的一個(gè)余子空間的一個(gè)余子空間 , 那么那么dimV = dimW + dimW.6.5 坐 標(biāo)一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布6.5.1 坐標(biāo)的概念及其意義坐標(biāo)的概念及其意義6.5.2 過渡矩陣過渡矩陣6.5.3坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式二、教學(xué)目的二、教學(xué)目的 1

33、.了解向量空間中坐標(biāo)的概念及其意義了解向量空間中坐標(biāo)的概念及其意義.2.掌握坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣的概念及性質(zhì)掌握坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣的概念及性質(zhì).三、重點(diǎn)、難點(diǎn)三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣 6.5.1 坐標(biāo)的概念及其意義定義定義1 設(shè)設(shè) ， 是是V的一個(gè)基的一個(gè)基ndimV F, ,Vn,21nnnnxxxxxx221121 ,F),( V那么那么 稱為稱為 關(guān)于基關(guān)于基 的坐標(biāo)的坐標(biāo).nnxxxF),(21n,21nnnnxxxxxx21212211,例1 的向量的向量 關(guān)于規(guī)范基的坐標(biāo)就是關(guān)于規(guī)范基的坐標(biāo)就是 nFnaaa,21例2 的向量的向量 關(guān)于規(guī)

34、范關(guān)于規(guī)范基基 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 . 關(guān)于關(guān)于基基 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 xnF nnxaxaxaaxf2210nxxx, 12naaaa,210 xfncxcxcx , , , 12 !,! 2,21ncfcfcfcfn，這里，這里c F. 例3 的向量的向量 關(guān)于規(guī)范基關(guān)于規(guī)范基 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 .32F222111 cbacbaA23222113,1211,EEEEEE222111,cbacba),(2211nnyxyxyxi 關(guān)于基關(guān)于基 的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；n,21ii 關(guān)于基關(guān)于基 的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；an,21),(21naxaxax，這里，這里a F . 注：向量的坐標(biāo)依賴于基的

35、選擇，即同一向量關(guān)注：向量的坐標(biāo)依賴于基的選擇，即同一向量關(guān)于不同基的坐標(biāo)普通是不同的于不同基的坐標(biāo)普通是不同的 .設(shè)設(shè) 關(guān)于基關(guān)于基 的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是和和 ，那么，那么n,21),(21nxxx),(21nyyy,6.5.2 過渡矩陣定義定義2 設(shè)設(shè) ， 、 是是V的兩個(gè)基，假設(shè)關(guān)于基的兩個(gè)基，假設(shè)關(guān)于基 的坐標(biāo)的坐標(biāo)是是 ，那么矩陣，那么矩陣ndimV F, ,Vn,21n,21n,21nkaaankkk, 2 , 1,21nnnnnnaaaaaaaaa212222111211叫做基叫做基 到基到基 的過渡矩陣的過渡矩陣n,21n,21T,2121nn1基基 到基到基 的過渡矩陣的

36、過渡矩陣是是T，那么基，那么基 到基到基 的過的過渡矩陣是渡矩陣是n,21n,21n,21n,21-1T設(shè)設(shè) ， ，那么，那么 T,2121nnH,2121nn2基基 到基到基 的過渡矩陣的過渡矩陣是，即是，即n,21n,21T,2121nn ，即，即 。1TH ， ，所以，所以HT,2121nnTH,2121nnITHHT基基 到基到基 的過渡矩陣是，的過渡矩陣是，即即n,21n,21H,2121nnTH,2121nnn,21那么那么 。所以基。所以基 到基到基 的過渡矩陣是的過渡矩陣是TH TH,2121nnn,21n,21例4 思索中思索中 以下兩組向量：以下兩組向量： 3R1 , 3

37、, 2 ,1 , 1 , 1 ,2 , 1 , 33211 , 0 , 2 ,3 , 2 , 1 ,1 , 1 , 1321證明：證明： 和和 都是的基求出由都是的基求出由基基 到基到基 的過渡矩陣。的過渡矩陣。321 , ,321 , ,321 , ,321 , ,證明：易知證明：易知 ，這里，這里 是是 的規(guī)范基。所以的規(guī)范基。所以 。因此，由基。因此，由基 到到 的過渡矩陣是的過渡矩陣是A,321321B,321321321 , ,3RBA,-1321321321,321,07214213119613102121121111755321BA 6.5.3 坐標(biāo)變換公式定理定理6. 5. 2

38、 設(shè)設(shè) 關(guān)于基關(guān)于基 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 ，即，即n,21),(21nxxx 關(guān)于基關(guān)于基 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 ，即，即n,21),(21nyyynnnnxxxxxx21212211,(1)nnnnyyyyyy21212211,(2)基基 到基到基 的過渡矩陣是的過渡矩陣是T，即，即n,21n,21T,2121nn(3)由由2和和3得得 nnyyy2121T,(4)比較比較1和和4得得 nnyyyxxx2121T例5 取取 的兩個(gè)彼此正交的單位向量的兩個(gè)彼此正交的單位向量 ,它們作成它們作成 的一個(gè)基令分別是由旋轉(zhuǎn)角的一個(gè)基令分別是由旋轉(zhuǎn)角所得的向量那么所得的向量那么 也是也是 的一個(gè)基的一個(gè)基

39、到到 的過渡矩陣的過渡矩陣是是2V2V21,21,2V,21,21cossinsincos212211xxxxxx這正是平面解析幾何里這正是平面解析幾何里,旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的坐標(biāo)變換公旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的坐標(biāo)變換公式式例例6 思索思索 的向量的向量3R1 , 5 , 2, 1 , 0 , 1,3 , 1 , 2321證明：證明： 構(gòu)成構(gòu)成 的一個(gè)基，并且求出向量的一個(gè)基，并且求出向量 (4,12,6)關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)321 , ,3R易知易知 ,6124,6124321321A,321321，這里，這里1- 1 35- 0 12- 1- 2A所以所以 ，向量，向量(4,12,6)關(guān)于這個(gè)關(guān)于

40、這個(gè)基基 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 6124A,1321321 , ,6124A1證明：證明：6.6向量空間的同構(gòu) 一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布6.6.1 同構(gòu)映射同構(gòu)映射6.6.2 同構(gòu)映射的性質(zhì)同構(gòu)映射的性質(zhì)6.6.3向量空間的同構(gòu)向量空間的同構(gòu)二、教學(xué)目的二、教學(xué)目的 1.了解向量空間同構(gòu)的概念、性質(zhì)及重要意義了解向量空間同構(gòu)的概念、性質(zhì)及重要意義.2.掌握有限維向量空間同構(gòu)的充要條件掌握有限維向量空間同構(gòu)的充要條件. 三、重點(diǎn)、難點(diǎn)三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 向量空間同構(gòu)的概念，同構(gòu)的判別向量空間同構(gòu)的概念，同構(gòu)的判別.6.6.1 同構(gòu)映射定義定義1 設(shè)設(shè) 、 是兩個(gè)向量空間。是兩個(gè)向量空間。V 到到W的一個(gè)

41、映射的一個(gè)映射 f 叫做一個(gè)同構(gòu)映射，假設(shè)叫做一個(gè)同構(gòu)映射，假設(shè)F ,VF ,Wif 是是V到到W的雙射；的雙射；ii ； fffV ,iii . afafaV , F6.6.2 同構(gòu)映射的性質(zhì)同構(gòu)映射的性質(zhì)1. 設(shè)設(shè)f 是是V 到到W 的同構(gòu)映射，那么的同構(gòu)映射，那么 是是W 到到V 的同的同構(gòu)映射。構(gòu)映射。1fi i 00 fiiii ffViiiiii bfafbafbaV , , F ,ivivn , ,21線性相關(guān)線性相關(guān))( ,), (),(21nfff線性相關(guān)線性相關(guān). .3. 設(shè)設(shè) 、 是兩個(gè)向量空間，是兩個(gè)向量空間， 是是V的基，的基，f 是是V到到W的同構(gòu)映射，那么的同構(gòu)映

42、射，那么 是是W的基的基.F ,VF ,Wn , ,21)( ,), (),(21nfff2. 設(shè)設(shè) f 是是V到到W的同構(gòu)映射，那么的同構(gòu)映射，那么6.6.3 向量空間的同構(gòu)假設(shè)兩個(gè)向量空間假設(shè)兩個(gè)向量空間 與與 之間可以建立一個(gè)之間可以建立一個(gè)同構(gòu)映射同構(gòu)映射,那么就說那么就說 與與 同構(gòu)同構(gòu),記作記作 .F ,VF ,WF ,VF ,WF W,F V,定理定理1 設(shè)設(shè) ，那么，那么 。ndimV F, ,VnFV 定理定理2 向量空間的同構(gòu)是一個(gè)等價(jià)關(guān)系向量空間的同構(gòu)是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.定理定理3 mnmndimW F, ,WdimV F, ,V67 矩陣的秩 齊次線性方程組的解空間一、內(nèi)容

43、分布一、內(nèi)容分布6.7.1矩陣的行空間與列空間矩陣的行空間與列空間6.7.2線性方程組的解的構(gòu)造線性方程組的解的構(gòu)造二、教學(xué)目的二、教學(xué)目的 1掌握矩陣的秩和它的行空間、列空間維數(shù)之間的關(guān)掌握矩陣的秩和它的行空間、列空間維數(shù)之間的關(guān)系系2準(zhǔn)確地確定齊次線性方程組解空間維數(shù)準(zhǔn)確地確定齊次線性方程組解空間維數(shù)3熟練地求出齊次線性方程組根底解系及非齊次線性熟練地求出齊次線性方程組根底解系及非齊次線性方程式組的恣意解方程式組的恣意解三、重點(diǎn)、難點(diǎn)三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 齊次線性方程組的根底解系，次線性方程組的根底解齊次線性方程組的根底解系，次線性方程組的根底解系與全部解的關(guān)系系與全部解的關(guān)系.6.7.1 矩陣

44、的行空間與列空間設(shè)給了數(shù)域設(shè)給了數(shù)域F上一個(gè)上一個(gè)mn矩陣矩陣 A212222111211mnmmnnaaaaaaaaa1矩陣矩陣A的每一行可以看成的每一行可以看成 的一個(gè)向量，叫做的一個(gè)向量，叫做A的行向量令的行向量令 表示表示A的行向量，這里，的行向量，這里， 由由A的的n個(gè)列向量個(gè)列向量 所生成的所生成的 的子空間的子空間 叫做矩陣叫做矩陣A的行空間的行空間nFnFm , ,21miaaainiii , , 2 , 1, , , ,21m , ,21) , ,(L21mmmnmmnnaaaaaaaaa21212222111211 A2矩陣矩陣A的每一列可以看成的每一列可以看成 的一個(gè)向量

45、，叫做的一個(gè)向量，叫做A的列向量。令的列向量。令 表示表示A的列向量，這里，的列向量，這里， 由由A的的n個(gè)列向量所生個(gè)列向量所生成的成的 的子空間的子空間 叫做叫做A的列空間的列空間mFn , ,21niaaamjjjj , , 2 , 1, , , ,21mF) , ,(L21nnmnmmnnaaaaaaaaa , , , A21212222111211注：當(dāng)注：當(dāng)mn時(shí)，矩陣時(shí)，矩陣A的行空間和列空間是的行空間和列空間是不同的向量空間的子空間不同的向量空間的子空間3設(shè)設(shè) ，且，且 ，那，那么么nnmmnmFQ,FP,FA0| , 0|QPiPA與與A有一樣的行空間有一樣的行空間iiAQ與

46、與A有一樣的列空間有一樣的列空間證：證：mmmmmmmmnmmnnmmmmmmpppppppppaaaaaaaaappppppppp212122221112112122221112112122221112110 PA 1mmmmmmmmmmppppppppp21221122221211212111 mmmmmmmeeeeeeeee212122221112111 - 0 PAPA2mmmmmmmmmmeeeeeeeeee21221122221211212111 ，所以它們生成，所以它們生成 的同一子空間。的同一子空間。 , , , ,2121mmnF4. 一個(gè)矩陣的行空間的維數(shù)等于列空間的維數(shù)，等一個(gè)矩陣的行空間的維數(shù)等于列空間的維數(shù)，等于這個(gè)矩陣的秩于這個(gè)矩陣的秩給定給定 ，秩，秩A = r ，無妨設(shè)，無妨設(shè) nmFA0 1111rrrraaaa，那么存在，那么存在0| , 0| ,FQ,FPQPnnmm，使得，使得0 00 IPAQr1 -Q0 00 IPAr0 00 IPAQ1 -r由于這一現(xiàn)實(shí)，我們也把一個(gè)矩陣的秩定義為它的行由于這一現(xiàn)實(shí)，