土工數(shù)值分析

1、巖土工程研究所土土 工數(shù)值分析工數(shù)值分析有限元法在巖土工程中的應(yīng)用河海大學(xué)河海大學(xué) 巖土工程研究所巖土工程研究所巖土工程研究所1.1.概述概述 朱伯芳有限單元法原理與應(yīng)用：有限單元法是在六七十年代發(fā)展起來的強有力的數(shù)值分析方法，它使許多復(fù)雜的工程問題迎刃而解，而且由于前后處理技術(shù)的發(fā)展，計算效率非常高，實際應(yīng)用越來越廣泛。有限元（有限元（Finite Element Method Finite Element Method Finite Element Finite Element ModellingModelling - FEM) - FEM) 一、有限元簡介一、有限元簡介 巖土工程研究所1

2、.1.概述概述 有限元方法把系統(tǒng)（結(jié)構(gòu)）看作是由無限多個單元組成的連續(xù)體，在解這一連續(xù)體時將連續(xù)體離散化，然后將物理方程、平衡方程、幾何方程結(jié)合起來，變換為求解線性方程組問題。單元與單元之間只通過結(jié)點連接有限元分析可概括為六個步：有限元基本思想有限元基本思想 yggxyxRRxym(5,6)j(3,4)i(1,2)f(7,8)e1234巖土工程研究所1.1.概述概述 物理方程有限元基本思想有限元基本思想 D平衡方程幾何方程gyxzxzyzyxyzxzzxyzyyzxyxx00zuxwzwywzvyvxvyuxuxzzyzyxyx巖土工程研究所1.1.概述概述 有限元分析可概括為六步：1. 結(jié)構(gòu)

3、的離散化：將分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)劃分成有限個單元體，并在單元體的指定點設(shè)置節(jié)點，把相鄰的單元體在節(jié)點處連接起來組成單元的集合體，以代替原來的結(jié)構(gòu)。一般情況，單元劃分越細則表述變形情況越精確，即越接近實際變形，但計算量越大。2. 選擇位移模式：位移模式，就可導(dǎo)出用節(jié)點位移表示單元內(nèi)任意點位移 有限元基本思想有限元基本思想 yggxyxRRxym(5,6)j(3,4)i(1,2)f(7,8)e1234332211332211,uyxNuyxNuyxNyxuvyxNvyxNvyxNyxv巖土工程研究所1.1.概述概述 3. 建立單元結(jié)點力和結(jié)點位移之間的關(guān)系有限元基本思想有限元基本思想 yggxyxRRxy

4、m(5,6)j(3,4)i(1,2)f(7,8)e1234 B xNyNxNyNyNxNyNxNyNyNxNxNBmmjmjmjiiiji000000 BD eeeKR dxdydzBDBKTe巖土工程研究所1.1.概述概述 4. 計算結(jié)點荷載計算結(jié)點荷載(包括集中力、面力、體積力包括集中力、面力、體積力)5. 集合所有單元的剛度方程，建立整個結(jié)構(gòu)的平衡方程集合所有單元的剛度方程，建立整個結(jié)構(gòu)的平衡方程有限元基本思想有限元基本思想 yggxyxRRxym(5,6)j(3,4)i(1,2)f(7,8)e1234 RK6. 方程組求解方程組求解巖土工程研究所（1）用離散結(jié)構(gòu)代替原結(jié)構(gòu)：離散結(jié)構(gòu)由許

5、多單元體組成，各單元只在結(jié)點處有力的聯(lián)系。（2）荷載簡化到結(jié)點上，R（3）由DK（4）解線性方程組 K=R（5）由位移應(yīng)變應(yīng)力（6）對非線性問題，需重復(fù)（3）-（6）步。 有限元基本步驟有限元基本步驟 dxdydzBDBKTe非線性：材料非線性與幾何非線性巖土工程研究所1.1.概述概述 （1）平面（應(yīng)力、應(yīng)變）有限元：三結(jié)點、四結(jié)點、6結(jié)點、8結(jié)點（2）軸對稱有限元（3）三維有限元有限元類型有限元類型 yggxyxRRxym(5,6)j(3,4)i(1,2)f(7,8)e1234（1）總應(yīng)力法（2）有效應(yīng)力法57624318（a）（b）（c）314625巖土工程研究所二、有限單元法（二、有限單

6、元法（FEMFEM）的優(yōu)點及應(yīng)用情況的優(yōu)點及應(yīng)用情況 可用于非均質(zhì)問題，多層土、多種材料、多區(qū)域；可用于非線性材料，各向異性材料； 可適應(yīng)復(fù)雜邊界條件；可用于各種類型的問題：應(yīng)力變形、滲流、固結(jié)、流變、濕化變形、動力、溫度問題等。 優(yōu)點：缺點：單元形態(tài)對計算結(jié)果影響較大；計算比較復(fù)雜、麻煩；計算模型、參數(shù)對結(jié)果影響大；非連續(xù)性問題困難；巖土工程研究所巖土工程正是存在上述問題，因此，有限元得到了廣泛地應(yīng)用。在水利工程中常見的是土石壩，隨著筑壩技術(shù)的不斷提高，土石壩已經(jīng)向300米級高壩發(fā)展。高土石壩一般不是均質(zhì)壩，如有心墻、砼防滲墻、砼面板，墻、板等的受力與土體變形是聯(lián)系在一起的，相互作用，相互影

7、響，基坑的支護問題，邊坡穩(wěn)定問題，地下洞室，地基基礎(chǔ)，隧道盾構(gòu)施工等。 材料本身不是彈性材料，邊界條件十分復(fù)雜，解析解是不可能的。只有依靠數(shù)值解。 巖土工程研究所對土工建筑物進行有限元分析的目的：了解整個結(jié)構(gòu)的位移場和應(yīng)力場，從而，位移的分布、大小，應(yīng)力集中的部位，塑性區(qū)的大小、范圍，為設(shè)計及采取相應(yīng)措施提供依據(jù)。 穩(wěn)定性實際上是首先得到應(yīng)力位移場，再分析處理。巖土工程研究所例一：砼面板壩例一：砼面板壩 面板是受拉？受壓？（順坡向） 面板哪些部位受壓？ 面板哪些部位受拉？ 砼面板 堆石 上游立視巖土工程研究所例二：土質(zhì)心墻堆石壩例二：土質(zhì)心墻堆石壩 糯扎渡、雙江口拱效應(yīng) 粘土心墻 巖土工程研究

8、所例三：三峽二期圍堰例三：三峽二期圍堰一道？塑性混凝土？ 巖土工程研究所例四：基坑工程例四：基坑工程 開挖問題巖土工程研究所 例五：邊坡工程例五：邊坡工程1、極限平衡法；2、強度折減法巖土工程研究所第二章第二章 土體應(yīng)力計算土體應(yīng)力計算土工有限元需特殊處理的問題：（1）本構(gòu)關(guān)系選用，模型參數(shù)的確定；（2）計算方法：非線性分析方法、特殊問題（單元破壞、濕化、分期施工、接觸問題）的處理。 巖土工程研究所有限元計算分析：總應(yīng)力法和有效應(yīng)力法；都有線彈性和非線性分析之分。對透水性強的地基或土工建筑物，可用總應(yīng)力法進行計算；但由于該法較簡單，也常用于分析飽和粘土的應(yīng)力變形。一般情況下，飽和粘土地基或土工

9、建筑物，較嚴密的方法為有效應(yīng)力法。 巖土工程研究所2.2.非線性分析方法非線性分析方法 （1）用離散結(jié)構(gòu)代替原結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)由許多單元體組成，各單元只在結(jié)點處有力的聯(lián)系。（2）荷載簡化到結(jié)點上，R（3）由 DK（4）解線性方程組 K=R（5）由位移應(yīng)變應(yīng)力（6）對非線性問題，需重復(fù)（3）-（6）步。 一、有限元基本步驟一、有限元基本步驟 dxdydzBDBKTe巖土工程研究所土體在未達到其極限狀態(tài)之前的使用荷載作用下，應(yīng)力水平較低，可以近似當(dāng)作線性彈性體看待。對有些土，即使應(yīng)力水平較低，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也具有明顯非線性，這時，應(yīng)進行非線性分析。對于非線性材料：試驗確定非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，即本構(gòu)關(guān)系

10、 D D 巖土工程研究所應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性表現(xiàn)為有限元中荷載與變形的非線性，R非線性； R R KK 非線性問題包括物理非線性（材料非線性）和幾何非線性（大應(yīng)變）。物理非線性是指土的本構(gòu)關(guān)系是非線性的，而應(yīng)變與位移的關(guān)系是線性的；土體在荷載作用下的位移與其幾何尺度相比很小，因而在求出位移場后，可以用某單元原來的尺寸計算應(yīng)力場。土力學(xué)中大多數(shù)問題屬于物理非線性范疇。幾何非線性表示單元體的幾何性狀的有限變化，將引起位移很大的變化。應(yīng)變與位移的關(guān)系不再是線性的。除非象泥炭或吹填土等的應(yīng)變量達到30以上，否則一般不需要作幾何非線性分析。巖土工程研究所 在有限元計算中，實現(xiàn)這種非線性的方法是迭代法、增量

11、法或增量迭代法。 求解非線性問題的關(guān)鍵在與確定能反映土體變形特性的本構(gòu)關(guān)系，并合理準確地確定模型參數(shù)。 巖土工程研究所迭代是指一系列逼近正確解的遞推計算。每次迭代中，土體受全部荷載的作用，因此，又稱為全量迭代法。 二、迭代法 巖土工程研究所每一步迭代相當(dāng)于進行一次線性分析，即根據(jù)彈模、泊松比（割線方法確定）形成DK解出位移、應(yīng)變、應(yīng)力，再確定新的彈模、泊松比。 L次迭代 （1）L-1 非線性 L-1 （2）EsL、VsLDL （3）KL （4）KLL=R （5）LLL （一）、割線迭代法 R 巖土工程研究所余量迭代法是先將總荷載施加于結(jié)構(gòu)作一次有限元計算，解得的應(yīng)變在非線性關(guān)系上所對應(yīng)的應(yīng)力一

12、般地與外荷載是不平衡的。則從總荷載中扣除計算應(yīng)力所平衡了的那部分荷載，僅將剩余荷載施加于結(jié)構(gòu)作迭代計算。 1、切線迭代； 2、常勁度迭代L次迭代（1）L-1Et、VtDL （2）DLKL （3）L-1FL-1RL-1 （4）DRL=RL-RL-1（5）KDL=DRL （6）DLDLL=L-1+ DL （7） L 由非線性關(guān)系 L （二）、余量迭代法 R R * * 1 1 1 1 dxdyBFTe1巖土工程研究所2、常勁度迭代L次迭代（1）L-1Et、VtDL （2）DLKL （3）L-1FL-1RL-1 （4）DRL=RL-RL-1（5）KDL=DRL （6）DLDLL=L-1+ DL （7

13、） L 由非線性關(guān)系 L （二）、余量迭代法 dxdyBFTe1 O R O R 巖土工程研究所將非線性的關(guān)系用初應(yīng)力0的變化來實現(xiàn)。 （三）、初應(yīng)力迭代法 O -D O O RA1 A2 A3 RR0R0用初應(yīng)力法迭代求解非線性方程組實際上就是設(shè)想有一個初應(yīng)力0，使其非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 與線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 0等效（如圖）。其中， 為彈性應(yīng)力。事實上，前一種關(guān)系式是真實的，而后一種線性關(guān)系式是假想的，只有將0調(diào)整到適當(dāng)值時，兩者才能等效。調(diào)整0使得非線性方程組得到求解的方法即初應(yīng)力迭代法。)(ijijfDDE巖土工程研究所（三）、初應(yīng)力迭代法 0RRK O O RA1 A2 A3 RR0R

14、0 eeeTeTeRkdxdzBdxdzBDBR00 O -D10*LLLD巖土工程研究所將非線性的關(guān)系用初應(yīng)力0的變化來實現(xiàn)。 （三）、初應(yīng)力迭代法 步驟：（L次）(1) 求初應(yīng)力(2) 求 ， (3) 求(4) 由 可求L，從而求出 和 （由非線性的求）(5) 由 求 ， ；(6) 比較 與 ，直至兩者接近，否則，重復(fù)（1）（6） 11*0LLLL0dxdyBFLTeL00eeLLFR00LLRRK0L10*LLLDLdxdyBFLTeL eeLLFRL LLL O -D O O RA1 A2 A3 RR0R010*LLLD巖土工程研究所2、初應(yīng)變法 用初始應(yīng)力0確定初始D1K1， K=R

15、解得111*1D（彈性應(yīng)力）；再根據(jù)1由非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可求得1。 O e A B O 巖土工程研究所2、初應(yīng)變法 步驟：（L次）(1) 求初應(yīng)力(2) 求 ， (3) 求(4) 由 可求L，從而求出 和 （由非線性的求）(5) 由 求 ， ；(6) 比較 與 ，直至兩者接近，否則，重復(fù)（1）（6）。 11*0LLLL0dxdyBFLTeL00eeLLFR00LLRRK0LLLD*LdxdyBFLTeL eeLLFRLLLL 巖土工程研究所前面介紹的方法都是荷載施加到結(jié)構(gòu)，引起應(yīng)力和變形。實際上，對土工結(jié)構(gòu)，除了荷載因素引起結(jié)構(gòu)變形外，溫度、蠕變、濕化（濕陷）等因素也可引起結(jié)構(gòu)的變形。這時，

16、一般采用“初應(yīng)變”法迭代求解結(jié)構(gòu)變形與應(yīng)力場。而把這種非荷載因素引起的結(jié)構(gòu)應(yīng)變稱為“初應(yīng)變”。求初應(yīng)變：如蠕變，要使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生這么大應(yīng)變，應(yīng)施加的荷載： dxdyDBFTe00eeFR000RRK巖土工程研究所1、試驗方法 2、理論方法（如鄧肯張模型） （五）真實應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的確定 O -D巖土工程研究所迭代法困難： 要有全量的關(guān)系（有唯一性）才能進行，不能反映應(yīng)力路徑影響，試驗是在特定的應(yīng)力路徑下進行，曲線不能作為迭代收斂的依據(jù)。再說試驗曲線是軸對稱試樣關(guān)系，與平面、三維情況不同。巖土工程研究所增量法是將全荷載分為若干級微小增量，逐級用有限元法進行計算。對于每一級增量，在計算示（一）基本增量法

17、 荷載分成若干級 三 增量法 O l1 l N N Nl Nl1 ll l R O l1 l M M Ml Ml1 l Rl 巖土工程研究所（一）基本增量法 步驟： （1）L-1DL （2）DLKL （3）KLL= RL （4） （5）求=，=，= 三 增量法 O l1 l N N Nl Nl1 ll l R O l1 l M M Ml Ml1 l Rl 巖土工程研究所（二）中點增量法 對每級荷載先用基本增量作一次試算，得出應(yīng)力后，求該級平均應(yīng)力，用平均應(yīng)力對應(yīng)的E、v作一次修正計算，作為結(jié)果。L級增量的步驟： (1)(5)同基本增量法 (6)L=(L-1+L)/2 (7)LDLKL (8)K

18、LL=RL (9)由 (10)=，=，= l O Nl l l-1 Nl-1 Dl R O Ml Ml-1 Kl R Rl-1 巖土工程研究所(三)增量迭代法對每一級增量,用某一種迭代法計算多次,直至收斂?？捎贸哦鹊?也可將中點增量法重復(fù)多次。 巖土工程研究所四、彈塑性計算 用增量法計算 關(guān)鍵先要判斷加、卸載 加載Dep 卸載D 1判別所依據(jù)的應(yīng)力狀態(tài) （1）依據(jù)前一級到本級的變化 依據(jù)前一級初始應(yīng)力變化到本級初始應(yīng)力，實際上依據(jù)前級初始與終了兩個應(yīng)力狀態(tài)來判別（可用基本增量法）。 （2）依據(jù)本級初始與終了應(yīng)力狀態(tài)的變化 必須先作一次試算，近似確定本級終了應(yīng)力狀態(tài)，才可確定正式計算用加載

19、公式還是卸載公式。（中點增量法） 巖土工程研究所 2由應(yīng)力狀態(tài)變化確定加、卸載存在三種可能： （1）在屈服面以內(nèi) 用D （2）在屈服面以外 用Dep （3）由以內(nèi)到以外 a.對整個當(dāng)前荷載增量，對該單元都用Dep b.將其分成兩段，分別用D和Dep BFD FEDep A B C c D E F G 巖土工程研究所 B：0 E：=0+ BF： BE： = 可以利用三個狀態(tài)的屈服函數(shù)；來確定 EBF 0DD )()()()(BEBFffff已知）（）（當(dāng)前的屈服函數(shù)，0)(HFffFF)()()()(0BEBfffHFF：=0+ 巖土工程研究所3中點增量法彈塑性計算 對某一級荷載增量 （1）由初

20、始應(yīng)力狀態(tài)作一次彈性計算 （2）判別 是加載還是卸載？ （3）作第二次計算 卸載，用D 全加載， 部分加載 （ 1擠壓，甚至達4.0。 K01.0uiCE1600800巖土工程研究所 （二）群樁1.簡化為二維問題 樁 板樁 2.半解析元法在y向用級數(shù)展開，以反映材料的變化和應(yīng)力、變形的變化及xz向有限元數(shù)值解。3.三維有限元法單元、結(jié)點太多：群樁承臺模擬：變剛度隨著計算機容量、速度的提高，也不成問題。 DLnAEE 巖土工程研究所 五、土壩浸水變形五、土壩浸水變形 蓄水對壩的作用：（1）水壓力作用于心墻，面力或滲流力（2）浮托力作用于上游壩殼（3）濕化變形土顆粒重新調(diào)整位置，體積縮小 巖土工程

21、研究所 1、 濕化試驗（1）直接法（單線法）：干 濕（對于給定的應(yīng)力狀態(tài)）優(yōu)點：反映了由干到濕的過程對變形的影響。缺點：不能反映應(yīng)力路徑的影響，試驗工作量大； 由 和 轉(zhuǎn)為應(yīng)變分量還要作假定； 軸對稱試樣的濕化變形與平面應(yīng)變有差異。 ),(31faD),(31fvDaDvD巖土工程研究所 （2）間接法（雙線法）：分別作干樣和濕樣的變形試驗。干： 確定鄧肯模型參數(shù)濕： 確定鄧肯模型參數(shù)假定濕化變形缺點：作了上假定，沒有反映濕化過程。這一假定不一定合理，也許宜作修正。目前看來，大部分試驗資料表明，這樣得到的濕化變形偏??；優(yōu)點：試驗工作量小；不必進行總應(yīng)變與應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)換。 va31va31 干濕

22、巖土工程研究所 2、計算（1）假定結(jié)點位移限制，求應(yīng)力改變量用直接試驗資料（單線法）由用間接法 分成若干增量濕D wwwDDDD31 n dD wwDww wD假定應(yīng)變同干態(tài)，則用濕態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得到的應(yīng)力比原小需將主應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換為各應(yīng)變分量，還需假定中主應(yīng)變增量巖土工程研究所 DDTi將主應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換為各應(yīng)變分量 zxzxzxzyzyzyyxyxyxzzzyyyxxxnnmmllnnmmllnnmmllnmlnmlnmlT222222222222222222yzxyzxyxDl11zxxyyzxyDl112111xyyxzDl212121zxzyxyzyzxyzxyxzxyyzxDlx，ly

23、, lz 分別為1與x,y,z軸的方向余弦?guī)r土工程研究所 （2）相應(yīng)結(jié)點力：（3）將 與浮力、水壓力對應(yīng)的R相加，作為外載，解有限元方程得：（4）得結(jié)果應(yīng)力 DdxdyBFTewRF wRD DDD巖土工程研究所六、單元破壞的處理六、單元破壞的處理為什么要應(yīng)力修正？修正原則：莫爾庫侖破壞準則 巖土工程研究所六、單元破壞的處理六、單元破壞的處理三維有限元計算中的應(yīng)力修正：1、修正原則：莫爾庫侖破壞準則；2、修正方法：(1)、假定修正前后大主應(yīng)力不變，同時假定b (23)/ (13)或u (22 13)/ (13)不變，主應(yīng)力方向不變；1*= 1 ；莫爾庫侖準則 3* ； b 2* x 、y、 z

24、、xy、 yz 、 xz l1、m1、n1、 l2、m2、n2 、 l3、m3、n3x * 、y * 、 z * 、xy * 、 yz * 、 xz *(2)、假定修正前后 (13)/2不變，同時假定b (23)/ (13)或u (22 213)/ (13)不變，主應(yīng)力方向不變；巖土工程研究所 p x z z x xz 六、單元破壞的處理六、單元破壞的處理1.拉裂破壞 令（1）假定 ，且主應(yīng)力方向不變03p3或0311311313131112xyzx巖土工程研究所 六、單元破壞的處理六、單元破壞的處理（2）假定 不變，且主應(yīng)力方向不變令 z31xzazxaa121xyxz巖土工程研究所 2.剪

25、切破壞（1）假定 不變，且主應(yīng)力方向不變zzx3131cos2sin22xzxzzx巖土工程研究所 （2）假定 不變，且主應(yīng)力方向不變令z31sincossin2xzzcaaxzzxa應(yīng)力遷移問題： D DDdxdyBRt巖土工程研究所5 5 固結(jié)有限元固結(jié)有限元 （一）Biot固結(jié)方程1.平衡方程 fTxyyxT00 u uMu 011M D w fuMwDTT巖土工程研究所 2.連續(xù)性方程 0uktNwv wMMTTv ukwtMNwT巖土工程研究所 （二）有限元方程1.平衡方程 etFdxdyB eTTFdxdyuBdxdyB eeTeTFdxdyNMBdxdyBDB eNw eeBNw eNu uMu eeeFkk巖土工程研究所 2.連續(xù)加權(quán)余量法取近似解近似解代入分式，不為0，出現(xiàn)余量。令余量乘以其中權(quán)函數(shù)后，在單元內(nèi)積分為0，可作出 應(yīng)服從的關(guān)系式，取權(quán)函數(shù)為Ni（x,y）。miixyxNw1,yiimimiywyxNw,11miiiuyxNu1, eNwiiuw、 e0Ndxdyukwt