流體力學(xué)(熱能)第5章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ).

1、第七章第七章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)本章討論三元流動(dòng)，主要內(nèi)容是有關(guān)流體運(yùn)動(dòng)的基本概念和基本原理，本章討論三元流動(dòng)，主要內(nèi)容是有關(guān)流體運(yùn)動(dòng)的基本概念和基本原理，以及不可壓縮流體流動(dòng)的基本方程。以及不可壓縮流體流動(dòng)的基本方程。積分形式的基本方程用于解決控制面上的流動(dòng)參數(shù)問(wèn)題。積分形式的基本方程用于解決控制面上的流動(dòng)參數(shù)問(wèn)題。微分方程可用于解決流微分方程可用于解決流 動(dòng)參數(shù)在流場(chǎng)中的分布問(wèn)題。動(dòng)參數(shù)在流場(chǎng)中的分布問(wèn)題。 平移運(yùn)動(dòng) 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 線變形、 變形運(yùn)動(dòng) 角變形dxABDCEFMuyuxdy7-1 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析一、運(yùn)動(dòng)形式一、運(yùn)動(dòng)形式1、流體微團(tuán)、

2、流體微團(tuán)：指體積微小，隨流體一起運(yùn)動(dòng)的一團(tuán)流體物質(zhì)。與流體質(zhì)點(diǎn)不：指體積微小，隨流體一起運(yùn)動(dòng)的一團(tuán)流體物質(zhì)。與流體質(zhì)點(diǎn)不同，雖體積微小，但包含無(wú)數(shù)個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)。各質(zhì)點(diǎn)間存在著相對(duì)位置的變化。同，雖體積微小，但包含無(wú)數(shù)個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)。各質(zhì)點(diǎn)間存在著相對(duì)位置的變化。2、基本運(yùn)動(dòng)形式、基本運(yùn)動(dòng)形式二、運(yùn)動(dòng)分析二、運(yùn)動(dòng)分析 以二元流動(dòng)的情況為例，研究幾種以二元流動(dòng)的情況為例，研究幾種 基本運(yùn)動(dòng)形式的速度表達(dá)式?；具\(yùn)動(dòng)形式的速度表達(dá)式。 如圖，方形流動(dòng)微團(tuán)如圖，方形流動(dòng)微團(tuán)xuMABCD2dxxuuxxyu2dxxuuyy2dyyuuxx2dyyuuyy2dxxuuxx2dxxuuyy2dyyuuxx2dy

3、yuuyyxuyuzu各側(cè)邊中點(diǎn)各側(cè)邊中點(diǎn)A、B、C、D的流速分量分別為的流速分量分別為1、平移運(yùn)動(dòng)速度、平移運(yùn)動(dòng)速度2、線變形速度、線變形速度xudxdtdxdtxuxxxX方向線變形速度方向線變形速度dxxuxA、C兩點(diǎn)速度差值：兩點(diǎn)速度差值：差值為正，發(fā)生伸長(zhǎng)變形差值為正，發(fā)生伸長(zhǎng)變形。xuxxyuyyzuzzABDCEFM)(21)(21)(21zuyuxuzuyuxuyzxzxyxyz222zyxzyxkji大小xzy3、旋轉(zhuǎn)角速度、旋轉(zhuǎn)角速度 逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正 對(duì)角線對(duì)角線EMF的旋轉(zhuǎn)角速度定義為的旋轉(zhuǎn)角速度定義為 整個(gè)流體微團(tuán)在整個(gè)流體微團(tuán)在oxy平面上的旋轉(zhuǎn)角速度。平面上的

4、旋轉(zhuǎn)角速度。方向：右手定則方向：右手定則)(21)(21yuxuyuxuxuxuxyxyyzyz)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx4、角變形速度、角變形速度z直角邊直角邊AMC（或（或BMD）與對(duì)角線）與對(duì)角線EMF的夾角的變形速度定義的夾角的變形速度定義為流體微團(tuán)的角變形速度，記為為流體微團(tuán)的角變形速度，記為 ，表示在，表示在xoy平面上的角變形速度。平面上的角變形速度。三元流動(dòng)：三元流動(dòng)：的下標(biāo)表示發(fā)生角變形的所在平面的法線方向。的下標(biāo)表示發(fā)生角變形的所在平面的法線方向。三、亥姆霍茲速度分解定理三、亥姆霍茲速度分解定理 （了解）（了解）設(shè)流體微團(tuán)內(nèi)某點(diǎn)設(shè)流體

5、微團(tuán)內(nèi)某點(diǎn)M0(x,y,z),速度為速度為 、 、 ，則鄰邊則鄰邊M0的另一點(diǎn)的另一點(diǎn)M (x+dx,y+dy,z+dz)的速度為的速度為 展開(kāi)展開(kāi) .，變換整理得，變換整理得 0 xu0yu0zuxxxduuu0yyyduuu0zzzduuu0 xdudzdydxdzdyuuyzxyzxx0dxdzdydxdzuuzxyzxyy0dydxdzdydxuuxyzxyzz0平移旋轉(zhuǎn)線變形角變形0yu0 xu0zu0MMkjizyx2zuyuyzxxuzuzxyyuxuxyztzyx,2渦量場(chǎng)xzy7-2 有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)0zyxxyz無(wú)旋流動(dòng)：無(wú)旋流動(dòng)： （詳見(jiàn)第（詳見(jiàn)第8章）章）有旋流動(dòng)有旋流

6、動(dòng) ： 、 、 至少有一個(gè)不等于零。至少有一個(gè)不等于零。 渦量：渦量： 渦線，渦線方程，渦量連續(xù)性方程渦線，渦線方程，渦量連續(xù)性方程 渦通量：斯托克斯方程，湯姆遜定理渦通量：斯托克斯方程，湯姆遜定理1、渦量、渦量u0zyxzyx0)(u ：哈米爾頓算子，矢性微分算子zyxdzdydx3、渦線，、渦線， 渦線方程渦線方程 渦線：表示某一瞬時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角速度向量方向的曲線。渦線：表示某一瞬時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角速度向量方向的曲線。2、渦量連續(xù)性微分方程、渦量連續(xù)性微分方程二、渦通量二、渦通量 渦量在渦量在 投影為投影為 ，則，則 為渦通量。為渦通量。nndAAn1、定義：、定義：A1A2Anndxdy

7、dzdxdydzdAAdJAzAyAxAnA對(duì)有旋轉(zhuǎn)流動(dòng)，在同一瞬間，通過(guò)同一渦管的各截面的渦通量相等。對(duì)有旋轉(zhuǎn)流動(dòng)，在同一瞬間，通過(guò)同一渦管的各截面的渦通量相等。dAdAAnAn21dzudyudxusduzysxsdAdAdAdAdxdyyuxudzdxxuzudydzzuyudzudyudxuAnzzyyxAxAxyzxyzzysx2、渦通量的計(jì)算、渦通量的計(jì)算 （1）速度環(huán)量：流速沿封閉曲線）速度環(huán)量：流速沿封閉曲線s的積分。的積分。s正向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?。正向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?。斯托克斯公式：斯托克斯公式：AsJ0dtdn s為流場(chǎng)中任意封閉曲線為流場(chǎng)中任意封閉曲線 A是是S所圍成的曲面所圍成

8、的曲面 是曲面是曲面A的外法線單位向量。的外法線單位向量。結(jié)論：沿任意封閉曲線結(jié)論：沿任意封閉曲線S的速度環(huán)量等于通過(guò)以該曲線的速度環(huán)量等于通過(guò)以該曲線為邊界的曲面為邊界的曲面A的渦通量。的渦通量。斯托克斯定理斯托克斯定理（2）湯姆遜定理）湯姆遜定理 （了解）（了解） 在理想流體的渦量場(chǎng)中，如果質(zhì)量力具有單值的勢(shì)函數(shù)，那么沿在理想流體的渦量場(chǎng)中，如果質(zhì)量力具有單值的勢(shì)函數(shù)，那么沿由流體質(zhì)點(diǎn)所組成的封閉曲線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變。即：由流體質(zhì)點(diǎn)所組成的封閉曲線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變。即：推論：質(zhì)量力具有單值勢(shì)函數(shù)的理想流體的流動(dòng)，如果在某一推論：質(zhì)量力具有單值勢(shì)函數(shù)的理想流體的流動(dòng)，如果在某一時(shí)

9、刻是有旋流，那么此前、此后也是有旋流。如果為無(wú)旋流，時(shí)刻是有旋流，那么此前、此后也是有旋流。如果為無(wú)旋流，那么此前、此后也是無(wú)旋流。那么此前、此后也是無(wú)旋流。自學(xué)：自學(xué)：P186例例7-20zuyuxuzyxdxdydzdtxudydzdtdxxuudydzdtdxxuuxxxxx)2()2(7-3 不可壓縮流體連續(xù)性微分方程不可壓縮流體連續(xù)性微分方程凈流體體積凈流體體積=流出流入流出流入2、分析推導(dǎo)：微元分析法、分析推導(dǎo)：微元分析法 依據(jù)質(zhì)量守恒定律，取微小平行六面體，中心依據(jù)質(zhì)量守恒定律，取微小平行六面體，中心M（x,y,z)， ux、uy、uz， x方向，方向，dt時(shí)間時(shí)間0zururu

10、ruzrr（柱面坐標(biāo)形式）（柱面坐標(biāo)形式）1、方程：、方程：同理同理y方向：方向：dxdydzdtyuyz方向：方向：dxdydzdtzuz根據(jù)不可壓縮連續(xù)性條件，根據(jù)不可壓縮連續(xù)性條件，dt時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，x、y、z方向方向 流出流出- -流入流入=000)(zuyuxudxdydzdtzuyuxuzyxzyx0zurururuzrrcossinsincossincosuuuuuuzzryrxryrxcossinsincosyxyxruuuuuu柱面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)換算關(guān)系：柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)換算關(guān)系：190 圖圖7-73、應(yīng)用、應(yīng)用（1）方程對(duì)恒定流、非恒流都適用，是

11、判斷流動(dòng)連續(xù)性的條件。）方程對(duì)恒定流、非恒流都適用，是判斷流動(dòng)連續(xù)性的條件。（2）是以后運(yùn)動(dòng)微分方程求解的一個(gè)條件。）是以后運(yùn)動(dòng)微分方程求解的一個(gè)條件。例例1：p1907-6例例2：判斷下列流場(chǎng)是否滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程：判斷下列流場(chǎng)是否滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程（1） （2）解：解： 滿足。滿足。22)2(xyyuxxyuyx2sin212cos2rurrur02cos412cos212cos222rrzurururuzrr（3）此式給出了流體通過(guò)某固定點(diǎn)時(shí)，流體的三個(gè)速度分量之間的關(guān)系。）此式給出了流體通過(guò)某固定點(diǎn)時(shí)，流體的三個(gè)速度分量之間的關(guān)系。表明對(duì)不可壓縮流體，單位時(shí)間內(nèi)流入

12、與流出某空間點(diǎn)的流體體積之差為表明對(duì)不可壓縮流體，單位時(shí)間內(nèi)流入與流出某空間點(diǎn)的流體體積之差為零，即體積（質(zhì)量）守恒。零，即體積（質(zhì)量）守恒。xzxyxxp,zzzyzxp,yzyyyxp,3個(gè)壓應(yīng)力6個(gè)切應(yīng)力xzxxpxyxyz7-4 粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程 納維納維斯托克斯方程斯托克斯方程一、粘性流體的內(nèi)應(yīng)力一、粘性流體的內(nèi)應(yīng)力粘性流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受表面應(yīng)力包括法向應(yīng)力和切應(yīng)力。粘性流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受表面應(yīng)力包括法向應(yīng)力和切應(yīng)力。流場(chǎng)內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力可表示為流場(chǎng)內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力可表示為二、以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程（根據(jù)牛頓第二定律）二、以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程（根據(jù)牛頓第二定

13、律）dtduzyxpXxzxyxxx11dtduxzypYyxyzyyy11dtduyxzpZzyzxzzz11（7-4-1）討論討論：加上連續(xù)性方程，：加上連續(xù)性方程，4個(gè)方程，個(gè)方程，12個(gè)未知量，無(wú)法求解。個(gè)未知量，無(wú)法求解。需找其它關(guān)系式，這些其它關(guān)系即是應(yīng)力與變形速度的關(guān)系。需找其它關(guān)系式，這些其它關(guān)系即是應(yīng)力與變形速度的關(guān)系。dtdxuyudtdyxz21、切應(yīng)力與角變形速度的關(guān)系、切應(yīng)力與角變形速度的關(guān)系因此三元流動(dòng)的牛頓內(nèi)摩擦定律可以寫成如下形式：因此三元流動(dòng)的牛頓內(nèi)摩擦定律可以寫成如下形式：由牛頓內(nèi)摩擦定律：由牛頓內(nèi)摩擦定律：xoy平面上平面上:三、應(yīng)力與變形速度的關(guān)系三、應(yīng)

14、力與變形速度的關(guān)系)()()(zuyuzuxuxuyuyzyzzyxzxzzxyxyxxy式（式（7-5-1）式（式（7-5-1） 即廣義牛頓摩擦定律，使式（即廣義牛頓摩擦定律，使式（7-4-1）中的）中的12個(gè)未知數(shù)消去個(gè)未知數(shù)消去6個(gè)。個(gè)。2、法向應(yīng)力和線變形速度的關(guān)系、法向應(yīng)力和線變形速度的關(guān)系 在流體微團(tuán)的法線方向上的線變形速度，使法向應(yīng)力（壓應(yīng)力）的大在流體微團(tuán)的法線方向上的線變形速度，使法向應(yīng)力（壓應(yīng)力）的大小與理想流體相比有所改變，產(chǎn)生附加壓應(yīng)力。小與理想流體相比有所改變，產(chǎn)生附加壓應(yīng)力。可以證明，對(duì)于不可壓縮流體，附加法應(yīng)力與線變形速度的關(guān)系可以證明，對(duì)于不可壓縮流體，附加法應(yīng)

15、力與線變形速度的關(guān)系:zuyuxuzzzyyyxxx222)(31zzyyxxppppzuppyuppxuppztzzytyyxtxx222（1）(7-5-3)（2）平均壓應(yīng)力）平均壓應(yīng)力定義點(diǎn)壓強(qiáng)定義點(diǎn)壓強(qiáng)：(7-5-4)式中，式中， 、 、 表示法向應(yīng)力，表示法向應(yīng)力， 表示壓強(qiáng)，表示壓強(qiáng)， 表示理想流體壓強(qiáng)。表示理想流體壓強(qiáng)。xxpyypzzpptp（3）)(32)(31zuyuxupppppzyxtzzyyxx(7-5-5)代入（代入（7-5-4）（4）)(322)(322)(322zuyuxuzuppzuyuxuyuppzuyuxuxuppzyxzzzzyxyyyzyxxxx（7-5

16、-6）tzzyyxxpppp0zuyuxuzyx0),(zyxuuzyuu0zuyuxuzyxtzzyyxxpppp a）對(duì)于理想流體）對(duì)于理想流體b）不可壓縮流體）不可壓縮流體c ） 對(duì)于均勻流對(duì)于均勻流 流速沿流線是常數(shù)流速沿流線是常數(shù)d ）對(duì)于粘性流體方程）對(duì)于粘性流體方程 、 、 三個(gè)未知數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)三個(gè)未知數(shù)變?yōu)橐粋€(gè) ，原則上方程已可求解，原則上方程已可求解了。了。 xxpyypzzpp（7-5-6）式討論：）式討論：tpp 四、四、 N-S方程方程把（把（7-5-1）式和（）式和（7-5-6）式代入（）式代入（7-4-1）式，消去應(yīng)力）式，消去應(yīng)力對(duì)不可壓縮流體有對(duì)不可壓縮流體有 代

17、入得代入得展開(kāi)展開(kāi) 當(dāng)?shù)丶铀俣犬?dāng)?shù)丶铀俣?位移加速度位移加速度0zuyuxuzyxdtduzuyuxuzpZdtduzuyuxuypYdtduzuyuxuxpXzzzzyyyyxxxx)(1)(1)(1222222222222222222zuuyuuxuutudtduxzxyxxxx（7-6-1）zuuyuuxuutuzuyuxuzpZzuuyuuxuutuzuyuxuypYzuuyuuxuutuzuyuxuxpXzzzyzxzzzzyzyyyxyyyyxzxyxxxxxx)(1)(1)(1222222222222222222（7-6-3）1、N-S方程方程柱坐標(biāo)系：柱坐標(biāo)系：P1977-6-

18、4式式2、討論：、討論：（1）與連續(xù)性方程聯(lián)立，）與連續(xù)性方程聯(lián)立，4個(gè)未知數(shù)、個(gè)未知數(shù)、4個(gè)方程，原則上可求解速個(gè)方程，原則上可求解速度分量和壓強(qiáng)。度分量和壓強(qiáng)。 N-S方程是不可壓縮流體最普遍的運(yùn)動(dòng)微分方程。方程是不可壓縮流體最普遍的運(yùn)動(dòng)微分方程。（2）二階非線性非齊次的偏微分方程組，難以求出精確解。只對(duì)）二階非線性非齊次的偏微分方程組，難以求出精確解。只對(duì)一些較簡(jiǎn)單的情況求出精確解。大多數(shù)問(wèn)題是借助計(jì)算機(jī)技術(shù)求一些較簡(jiǎn)單的情況求出精確解。大多數(shù)問(wèn)題是借助計(jì)算機(jī)技術(shù)求出近似解。出近似解。 P198例例7-7 自學(xué)自學(xué)例：已知流速場(chǎng)例：已知流速場(chǎng) 試求試求t=0.5時(shí)空間點(diǎn)（時(shí)空間點(diǎn)（2,5

19、,3）處的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度。）處的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度。 解：解：0,zyxuxztuyztu5 .1922txzyzzuuyuuxuutuaxzxyxxxx25.1722tyzxzzuuyuuxuutuayzyyyxyy0zuuyuuxuutuazzzyzxzz04.26222zyxaaaa0zuuyuuxuutuzpZzuuyuuxuutuypYzuuyuuxuutuxpXzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx1110zyxuuu010101zpZypYxpX7-5 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程及其積分理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程及其積分分析分析N-S方程方程1、理想流體、理想流體（7-7-1）2、靜止時(shí)

20、、靜止時(shí)得流體平衡微分方程（得流體平衡微分方程（2-7-1a）3、變換（、變換（7-7-1）式，在方程中第一式的加速度項(xiàng)加）式，在方程中第一式的加速度項(xiàng)加 之后，之后，整理得：整理得： 同理變換第二式、第三式，得：同理變換第二式、第三式，得： （7-7-2）恒定流：恒定流： ，并設(shè)質(zhì)量力有勢(shì)函數(shù)，并設(shè)質(zhì)量力有勢(shì)函數(shù)W，則，則zuuyuuxzxy,)(2)2(12yzzyxuuuxtuxpX)(2)2(1)(2)2(1)(2)2(1222xyyxzzxxzyyzzyxuuuztuzpZuuuytuypYuuuxtuxpX0tututuzyxzyzyuuupWx2)2(2 分別乘以分別乘以dx、d

21、y、dz，相加得，相加得若若 ， ，則，則 ，理想恒定流能量方程。，理想恒定流能量方程。xzxzuuupWy2)2(2yxyxuuupWz2)2(2dzuudyuudxuuupWdyxyxxzxzzyzy222)2(2zyxzyxuuudzdydxupWd2)2(2gzW0)2(2upWdconst22gupz所以所以 是導(dǎo)出理想恒定流能量方程的條件。是導(dǎo)出理想恒定流能量方程的條件。行列式等于零，則任一行全等于零或任兩行成比例。行列式等于零，則任一行全等于零或任兩行成比例。討論：討論：（1） 流體靜止。流體靜止。（2） 流線方程流線方程同一條流線上同一條流線上 （3） 無(wú)旋流無(wú)旋流 無(wú)旋流空間

22、各點(diǎn)，處處滿足能量方程。無(wú)旋流空間各點(diǎn)，處處滿足能量方程。（4） 渦線方程渦線方程 渦線上滿足理想流體能量方程。渦線上滿足理想流體能量方程。0zyxzyxuuudzdydx0, 0, 0zyxuuuzyxudzudyudxcgupz22元流能量方程0, 0, 0zyxzyxdzdydx（5） 螺旋流動(dòng)螺旋流動(dòng) （渦線與流線相重合）（渦線與流線相重合）螺旋流動(dòng)中，全部流動(dòng)均滿足理想流體能量方程。螺旋流動(dòng)中，全部流動(dòng)均滿足理想流體能量方程。 kuuuzzyyxx7-6 流體運(yùn)動(dòng)的初始條件和邊界條件流體運(yùn)動(dòng)的初始條件和邊界條件解二階偏微分方程，需確定方程的定解條件（初始條件和邊界條件）。解二階偏微分

23、方程，需確定方程的定解條件（初始條件和邊界條件）。目前，計(jì)算流體力學(xué)已廣泛應(yīng)用于解決工程中的流動(dòng)問(wèn)題，如何正確目前，計(jì)算流體力學(xué)已廣泛應(yīng)用于解決工程中的流動(dòng)問(wèn)題，如何正確合理給出初始條件和邊界條件尤為重要。具體條件依賴于具體的流動(dòng)。合理給出初始條件和邊界條件尤為重要。具體條件依賴于具體的流動(dòng)。以粘性不可壓縮流體流動(dòng)為例以粘性不可壓縮流體流動(dòng)為例1、初始條件、初始條件zyxutzyxuuxxx,00若恒定流動(dòng)，不必給出。若恒定流動(dòng)，不必給出。2、邊界條件、邊界條件邊界包括固體壁面，兩種流體介質(zhì)的分界面，管道的出入口等。邊界包括固體壁面，兩種流體介質(zhì)的分界面，管道的出入口等。（1）固體壁面靜止）固體壁面靜止0),(fzyxuuu固壁無(wú)滑移條件固壁無(wú)滑移條件（2）不同液體的分界面）不同液體的分界面 ， 兩側(cè)液體的速度、壓強(qiáng)保持連續(xù)