天津外國語大學《線性代數(shù)》課件-第三章 矩陣的運算

1、線性代數(shù)之三天津外國語大學大學 計控學院線性代數(shù)之三矩陣的概念由 mn 個數(shù) aijC i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) 排成 m 行 n 列的方陣形式 用括號括起來：. . . . .a1n . . .a1 1a12a21a22. . .am1am2. . . . .a2n. . .amn稱為 m 行 n 列矩陣 或 m n 矩陣 簡稱矩陣。數(shù) aij 稱為矩陣的元。線性代數(shù)之三矩陣的小歷史矩陣是線性代數(shù)這門課的核心概念。英國十九世紀數(shù)學家 Arthur Cayley 千 1858 年首次引入矩陣。Figure : Authur Cayley (1821

2、1895)線性代數(shù)之三矩陣的符號表示和若干特殊矩陣的定義用大寫字母表示矩陣：A、B。用元的一般形式表示矩陣：(aij)、(bij)。指出矩陣階數(shù)的表示方法：(aij)mn、Bmn。方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣。又稱 n 階矩陣C n 階方陣) 。實C 復) 矩陣：所有元都是實C 復) 數(shù)。 n 維行向量：1 n 矩陣。元又稱為分量。 n 維列向量：n 1 矩陣。元又稱為分量。線性代數(shù)之三矩陣的相等兩個矩陣 A = (aij)mn 和 B = (bij)pq 相等 記為 A = B 如果m = p 且 n = q。對所有的 i = 1, . . . , m 及 j = 1, . . . , n 都

3、有aij = bij,例如：142563132= 4 5 6 .0 0 0線性代數(shù)之三矩陣的相等矩陣和數(shù)談不上相等。A = 5 必定是錯誤的式子。例外：當 A 是一個一階矩陣 即 A = (a) 時 為了書寫方便 可以寫 A = a 這個式子。即補充定義：A = a 含義是 A 為一階矩陣 且唯一元等千 a。線性代數(shù)之三矩陣的加法兩個 m n 矩陣 A = (aij) 和 B = (bij) A 與 B相加 記為 A + B 亦即 A 與 B 的和定義為A + B = a11 + b11. . .a1n + b1n a + b. . .a + b2n2n. . . . . . . . .am1

4、 + bm1a12 + b122121a22 + b22. . .am2 + bm2amn + bmn.線性代數(shù)之三矩陣的加法類似千數(shù)的加法 矩陣的加法成立交換律：A + B = B + A。設 A = (aij)mn B = (bij)mn 則A + B =a + b1111. . . . .a + b1n1n. . . . . . .am1 + bm1amn + bmnb + a1111=. . . . .b + a1n1n. . . . . . .bm1 + am1bmn + amn線性代數(shù)之三矩陣的加法=b1 1bm1mn+. . . . . . . . . . . . bb1n a1

5、 1m1mna1n . . . . . . . . . a. . . a=B + A.這就證明了矩陣加法的交換律。矩陣的加法還成立結合律：(A + B) + C = A + (B + C).線性代數(shù)之三矩陣的加法零矩陣：每一個元都是 0 的 m n 矩陣。記為：0mn 或 0。遇到 0 要根據(jù)上下文區(qū)分數(shù) 0 或矩陣 0。對一切矩陣 A 都有：A + 0 = 0 + A = A。對任一矩陣 A = (aij)mn A 的負矩陣 記為 A 定義為 a11. . . a1n A = . . . . . . . am1. . . amn顯然對任一矩陣 A 都有 A + ( A) = 0。 A B 定

6、義為 A + ( B)。線性代數(shù)之三矩陣的數(shù)量乘法a1 1am1 . . . . . . . . .amn=是一個數(shù) A = (aij)為一m n矩陣。與矩陣A的乘積 也稱為數(shù)量乘積。記為A或A。定義為 定義 1n11. . .aa. . .a1n . . . . . . . am1. . . amnmn.設A = (aij)mn 1A = 1(aij)mn = (1 aij)mn = (aij)mn = A.線性代數(shù)之三矩陣的數(shù)量乘法類似的 可以證明以下公式：1A = A.(A) = ()A. (A + B) = A + B.( + )A = A + A.注意：這些公式形式上與過去公式很象

7、但含義完全不同。線性代數(shù)之三矩陣的乘法矩陣乘法是線性代數(shù)中最核心的定義。設矩陣A = (aij)mn B = (bij)ns 則A與B的乘積 記為AB 定義為AB = (cij)ms,cij = ai1b1j + + ainbnj.左邊矩陣A的列數(shù)必須等千右邊矩陣B的行數(shù)。AB得到的矩陣行數(shù)等千左邊矩陣A的行數(shù), 列數(shù)等千右邊矩陣B的 列數(shù)。乘法的法則是左邊矩陣的第i行和右邊矩陣的第j列的對應元素相 乘再相加 就得到乘積矩陣的第i行第j列元素。線性代數(shù)之三矩陣的乘法計算：010a110 0a31aa333441aa43440 1a12a13a140 1 0 0a21a22a23a240a320

8、 0 0 1aa42結果是交換了(aij)矩陣的第1行與第3行。線性代數(shù)之三矩陣的乘法考慮如下一組式子 如何利用矩陣乘法簡化表示： y1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxny2 = a21x1 + a22x2 + + a2nxn. . .ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn附：所謂方程組 只不過上式左邊的y1,., ym都取為常數(shù)。線性代數(shù)之三矩陣的乘法定義以下向量和矩陣：y1 .y2Y = ym. . .a11. . .a1n . . . . . . .am1amnx1.xna21a2nx2A = . . .X = 注意 Y是m維列向量 X是n維列向量。則

9、上式可表示為Y = AX。反之 若Y, A, X均按上面定義 則Y = AX即表示前面式子。線性代數(shù)之三矩陣的乘法又若有： z1 = b11y1 + b12y2 + + b1nymz2 = b21y1 + b22y2 + + b2nym. . .zs = bs1y1 + bs2y2 + + bsnym即Z = BY 其中Y前面已定義 Z和B類似定義。使用代入法 易知每個zi都可以寫成x1,., xn的一次齊式。zi的表達式究竟是什么？線性代數(shù)之三矩陣的乘法Z = BY = B(AX).到此處仍不知道系數(shù)是多少。矩陣乘法成立結合律：設A = (aij)sn B = (bij)nm C = (ci

10、j)mr 則(AB)C = A(BC).設AB = V = (vij)sm BC = W = (wij)nr。j=1nmk=1vik = aijbjkwjl = bjkckl線性代數(shù)之三矩陣的乘法mmnik klij jk根據(jù)矩陣乘法定義 (AB)C的第i行第l列的元為： v c =a bcm n kl = a b cij jk kla wak=1k=1 j=1k=1 j=1根據(jù)矩陣乘法定義 A(BC)的第i行第l列的元為： nnmn m ij jl = = b ca b cijjk klij jk klj=1j=1k=1j=1 k=1因為雙重加號可以交換次序 所以以上兩式相等。即(AB)C和

11、A(BC)的每個對應元都相等 故(AB)C = A(BC)。線性代數(shù)之三矩陣的乘法所以Z = B(AX) = (BA)X 即系數(shù)是兩個矩陣B與A的乘積。矩陣乘法 交換律不成立。存在A, B AB = BA。 矩陣乘法 削去律不成立：AB = AC B = C。 矩陣乘法 分配律成立：A(B + C) = AB + AC(B + C)A = BA + CA結合律：(AB) = (A)B = A(B)。線性代數(shù)之三矩陣的乘法.yY = AX mm1 1ax + + axmn n回到前一組式子：y1 a11x1 + + a1nxn =. . .a1 1 . . . . .a1n x1a11 . .

12、. . . . . axam1mnnam1 =x + +.a1n amnx.1.n最后一個式子是常用的公式。線性代數(shù)之三矩陣的乘法類似的有：（） a11x1. . . xm. . . . .a1n . . . . . . .am1amn=x1 （a11. . . a1n） + + xm （am1. . .amn）文字描述為：行向量左乘矩陣得到矩陣行向量的線性組合；列向量右乘矩陣得到矩陣列向量的線性組合。C 線性組合稍后定義)線性代數(shù)之三矩陣的乘法考慮以下矩陣乘積的第i列：a1 1am1a1n b11. . . . . . . . . . . . . .amnbn1ansb1 s. . . .

13、. . . . .該第i列寫成向量形式為：a11bi1 + + a1nbni.am1bi1 + + amnbni=11a. . .a1n b1iam1. . . amnbni. . . . . . . .線性代數(shù)之三矩陣的乘法寫成矩陣形式 設：B = （1. . .s）其中i(i = 1, . . . , s)為列向量。則有：AB = A （1. . . s） = （A1. . . As）這也是一個很常用的公式。線性代數(shù)之三矩陣的乘法a1 1 . . . . . . . . .a1n am1. . .amnB 的第i行為：（ai1. . .ain）B。設i = （ai1. . .ain） i

14、= 1, . . . , m。mB =11 B.m B線性代數(shù)之三矩陣的乘法n階單位方陣 記為En 或簡記為E 稱單位矩陣。定義為：nE = 10 0. . .01. . .0. . . . . . . . . . . .00. . .1對任意m n矩陣Amn 都有：EmA = AEn = A.也就是說 單位矩陣E類似千數(shù)1。線性代數(shù)之三矩陣的乘法設A為n階方陣 則有限個A連續(xù)相乘有定義。矩陣A的n次幕符號為An 定義為：A0 = E,Ak+1 = Ak A.設k, l都為自然數(shù) 則有：Ak Al = Ak+l但下式不一定成立：(Ak)l = Akl.(AB)k = AkBk.線性代數(shù)之三矩陣

15、多項式設()為如下多項式：() = amm + am 1m 1 + + a1 + a0則定義(A)為：(A) = amAm + am 1Am 1 + + a1A + a0E.稱為矩陣A的多項式。線性代數(shù)之三矩陣多項式同一矩陣的兩個多項式相乘可交換：(A)(A) = (A)(A).先證(A)與Ai相乘的情形。(A)如前。(A) A = amAm + + a1A + a0E Ai=amAm Ai + + a1A Ai + a0E Ai=Ai amAm + + Ai a1A + Ai a0E=Ai amAm + + a1A + a0E = Ai(A).線性代數(shù)之三矩陣多項式再證兩個矩陣多項式相乘。設

16、() = bnn + + b1 + b0 (A)(A) = (A)bnAn + + b1A + b0E= (A) bnAn + + (A) b1A + (A) b0E= bnAn (A) + + b1A (A) + b0E (A)= bnAn + + b1A + b0E (A)= (A)(A).線性代數(shù)之三矩陣乘積的行列式考慮兩個行列式的乘積 我們證明：a11. . . a1n b11. . . b1n11 11. . .1an11. . .ann11bn1. . . . . . . . . . . . .1 11bnn11=11a11an1. . .annbn1 a1nb11. . . .

17、. . . . . . . . . .b1n1. . . . . . .bnn11線性代數(shù)之三矩陣乘積的行列式an1左式= 1a111. . .1 111. . . a1n. . . . .0. . . . . . . . . ann0b11. . . . . . . . . . .1bn1. . .01. . .101bnnb1n1. . .111再利用行列式的性質 將上式中的a全部消為0。利用左下部分的1 將一行的適當倍數(shù)加到前n行中的某一行上。千是：線性代數(shù)之三矩陣乘積的行列式11 11. . .c1n10. . .0c11. . .1 . . . . . . . . . . . . .110. . .0cn1. . .左式= 1b11. . . . . . . 1 bn1. . .cnn1b1n1. . .1bnn1其中 cij為