數(shù)學(xué)必修1講義

1、高一數(shù)學(xué)第一章 集合一、集合有關(guān)概念1.集合的含義： 2.集合的中元素的三個(gè)特性： 3.集合的表示：A= 有 法和 法 。如：A=我校的籃球隊(duì)員，B=太平洋,大西洋，C=xÎR| x-3>2注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R4、集合的分類：(1) 有限集 含有 個(gè)元素的集合；(2) 無(wú)限集 含有 個(gè)元素的集合；(3) 空集 元素的集合。例：x|x2=5二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集注意：有兩種可能：（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。另外規(guī)定：空集是 的子集。反之: 集合A不包

2、含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A真子集:如果 那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)規(guī)定:空集是任何非空集合的真子集。有n個(gè)元素的集合，含有 個(gè)子集， 個(gè)真子集性質(zhì)：如果 AÍB, BÍC ,那么 A C； 如果AÍB 同時(shí) BÍA 那么A B2“相等”關(guān)系：A=B 如：(55，且55，則5=5)實(shí)例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等”三、集合的運(yùn)算運(yùn)算類型交 集并 集補(bǔ) 集定 義由 的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB即AB=x|xA，且xB由 的元素所組成的集合，叫做A,B的并集

3、記作：AB即AB =x|xA，或xB)設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中A的補(bǔ)集（或余集）SA記作，即CSA=韋恩圖示SA性 質(zhì)AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB= Cu(AB)A (CuA)= A (CuA)= 記住這個(gè)結(jié)論： 例1：設(shè)例2：若集合，且，求的值。例3：已知集合,且,求的取值范圍。鞏固一下：請(qǐng)?jiān)?0分鐘內(nèi)完成下列各題：1.若集合中的元素是的三邊長(zhǎng)，則一定不是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形2.下列四個(gè)集合中，是空集的是（ ）A BC DABC3.下列表示圖形中的陰影部分

4、的是（ ）ABCD 4.方程組的解集是（ ）A B C D。 5.設(shè)集合，則集合（ ） A B C D 6.設(shè)集合,且，則的取值范圍是 。第一章（2） 函數(shù)及其表示1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有 的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的 ； y叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的 注意：1定義域：能使函數(shù)式 的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2

5、)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零；(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合（取交集）.(6)指數(shù)為零底不可以等于零， (7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.2值域 :函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域求函數(shù)的值域應(yīng)先考慮其定義域，常用方法有：配方法，換元法，圖像法，單調(diào)性法等。2.區(qū)間：3.函數(shù)的表示方法：解析法，列表法，圖像法求函數(shù)解析式的常見(jiàn)方法：待定系數(shù)法，換元法，消參法；4映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)

6、于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f（對(duì)應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”對(duì)于映射f：AB來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿足：(1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。（4）若集合A中有個(gè)元素，集合B中有個(gè)元素，則可構(gòu)成的映射 有個(gè)，5.分段函數(shù) (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集例1：設(shè)函數(shù)

7、的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi) _ 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是 例2：已知，若，則的值是（ ）A B或 C，或 D例3：已知函數(shù)，求函數(shù)，的解析式已知函數(shù)滿足，則= 。1.函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)數(shù)目是（ ）A B C或 D或2.函數(shù)滿足則常數(shù)等于（ ）A B C D3已知，那么等于（ ）A B C D4已知函數(shù)定義域是，則的定義域是（ ）A B. C. D. 5.函數(shù)的圖象是（ ）6. 函數(shù)的值域是（ ）A B C D 7.求下列函數(shù)的值域（1） （2） （3）8.設(shè)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí),求在R上的解析式。第一章（3） 函數(shù)的基本性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)定義：設(shè)函數(shù)y

8、=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)子區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)/ f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增/減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增/減區(qū)間.（2） 圖象的特點(diǎn)在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是 的，減函數(shù)的圖象從左到右是 的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法： 任取 x1，x2D，且x1<x2； 作差 f(x1)f(x2)； 變形 （通常是因式分解和配方）； 定號(hào) （即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）； 下結(jié)論 （指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）(B)

9、圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律是：“ ”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集,應(yīng)使用逗號(hào)隔開(kāi)。2函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）定義：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x) /f(x)= f(x)，那么f(x)就叫做偶/奇函數(shù)（2）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于 對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于 對(duì)稱（3）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于 對(duì)稱；確定f(x)與f(x)的關(guān)

10、系；作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1來(lái)判定; (3)借助函數(shù)的圖象判定 .例1：若函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是 .若函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)例2：已知函數(shù)對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，證明：（1）函數(shù)是上的減函數(shù)； （2）函數(shù)

11、是奇函數(shù)。 例3：若是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?，且在上是減函數(shù)，試比較的大小。例4：設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若?dāng)時(shí)， 的圖象如右圖,則不等式的解是 1.設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)在上一定是（ ）A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)。2.已知在區(qū)間上是增函數(shù)，則的范圍是（ ）A. B. C. D.3.已知其中為常數(shù)，若，則的值等于( )A B C D4.函數(shù),則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)f(x)圖象上的是（ ）A B C D4.函數(shù)的值域?yàn)椋?）A B C D5.設(shè)是奇函數(shù)，在是增函數(shù)，又，則的解集是 6.已知為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，那么時(shí)， .7.判斷下列函數(shù)的奇偶性（1） （2）

12、（3）第二章 基本初等函數(shù)（1）一、指數(shù)函數(shù)1根式的概念：一般地，如果 ，那么叫做的次方根，其中>1，且*u 負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是 。當(dāng)是奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：u 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0， 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 3實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1） (2) (3) 二、對(duì)數(shù)函數(shù)1對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果 ，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作： （ 底數(shù)， 真數(shù)， 對(duì)數(shù)式）說(shuō)明： 注意底數(shù)的限制，且； ； 注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式:兩個(gè)重要對(duì)數(shù)： 常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù) ； ； 自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) ；u 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化冪值 真數(shù)

13、 N b 底數(shù) 指數(shù) 對(duì)數(shù)2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，且，那么：(1) (2) (3) 注意：負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)；，換底公式： （，且；，且；）利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1）； （2）； (3)例1：已知函數(shù) 例2：計(jì)算：例3：求函數(shù)的值域.例4：已知，,試比較與的大小。1.若函數(shù)的圖象過(guò)兩點(diǎn)和，則( )A B C D2.化簡(jiǎn)得（ ）A. B. C. D.3.設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么（ ） A、 B、 C、D、4.下列是各式錯(cuò)誤的是（ ） A、 B、 C、 D、全錯(cuò)5.若，則m為（ ） A、B、C、D、6.方程的解是 。7.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的范圍為_(kāi)。第二章 基本初等函數(shù)（2）（一）指數(shù)

14、函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1定義域 R定義域 R值域y0值域y0在R上單調(diào)遞 在R上單調(diào)遞 非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn) 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn) 注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，則；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)，總有；（二）對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是 注意： 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如

15、：， 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：，且2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<1定義域x0定義域x0值域?yàn)镽值域?yàn)镽在R上遞 在R上遞 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn) 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn) （三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn) ；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是 函數(shù)特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是 函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地

16、逼近軸正半軸例1：已知在上是的減函數(shù)，求的取值范圍。 例2：已知，判斷的奇偶性； 證明1. 已知a>0，a0，函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是 ( )2.若，則的表達(dá)式為（ ）A B C D3.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有幾個(gè)（ ） A B C D4.函數(shù)( )A. 是偶函數(shù)，在區(qū)間 上單調(diào)遞增 B. 是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減C. 是奇函數(shù)，在區(qū)間 上單調(diào)遞增 D是奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減5.函數(shù)上的最大值和最小值之和為，則的值為（ ）A B C D6.若,則( )A B C D9.若函數(shù)是奇函數(shù)，則為_(kāi)。牛刀小試之高考1 A B C D2下列函數(shù)中,在區(qū)間上為增函數(shù)的是ABC

17、D3 設(shè)函數(shù)集合 則為 AB(0,1)C(-1,1)D4 下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的為ABCD5 函數(shù)的圖象可能是 6 函數(shù)的定義域?yàn)锳BC D7 下列函數(shù)為偶函數(shù)的是ABCD8設(shè)集合,集合是函數(shù)的定義域;則 A B C D9下列函數(shù)中,與函數(shù)y=定義域相同的函數(shù)為Ay=By=Cy=xexD10.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則 A. B. .11.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，若，則 A. B. C. D. 12. 已知函數(shù)若有則的取值范圍為 A B C D13.若函數(shù)為奇函數(shù)，則a= A B C D114.（2010天津）設(shè)，則 15. （2011湖南） 已知為奇函數(shù)

18、， 16方程的解是_.17已知函數(shù),若,則_.18.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi).19.已知函數(shù)，則第三章 函數(shù)及其應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的_。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程_，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的_即：方程有_函數(shù)的圖象與軸有_函數(shù)有_3、函數(shù)零點(diǎn)的求法： （代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根； （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)4、基本初等函數(shù)的零點(diǎn)：正比例函數(shù)有_個(gè)零點(diǎn)。反比例函數(shù)有_個(gè)零點(diǎn)。一次函數(shù)有_個(gè)零點(diǎn)。二次函數(shù)（1），有_個(gè)零點(diǎn)（2），有_個(gè)零點(diǎn)（3），有_個(gè)零點(diǎn)指數(shù)函數(shù)有_個(gè)

19、零點(diǎn)。對(duì)數(shù)函數(shù)有_個(gè)零點(diǎn).冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有_個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有_個(gè)零點(diǎn)。5、非基本初等函數(shù)（不可直接求出零點(diǎn)的較復(fù)雜的函數(shù)），函數(shù)先把轉(zhuǎn)化成，再把復(fù)雜的函數(shù)拆分成兩個(gè)我們常見(jiàn)的函數(shù)（為基本初等函數(shù)），這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。6、選擇題判斷區(qū)間上是否含有零點(diǎn)，只需滿足。7、確定零點(diǎn)在某區(qū)間個(gè)數(shù)是唯一的條件是:在區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間上單調(diào)。8、函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)：從“數(shù)”的角度看：即是使的實(shí)數(shù)；從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點(diǎn)通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點(diǎn)通常稱為變號(hào)零點(diǎn)9、二分法的定義對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足_的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做_10、給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟：（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度；（2）求區(qū)間，的中點(diǎn)；（3）計(jì)算：若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；（4