數(shù)值計(jì)算：微分方程求解

1、第五章第五章 常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */ 考慮考慮一階一階常微分方程的常微分方程的初值問題初值問題 /* Initial-Value Problem */: 0)(,),(yaybaxyxfdxdy只要只要 f (x, y) 在在a, b R1 上連續(xù)，且關(guān)于上連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足滿足 Lipschitz 條件條件，即存在與即存在與 x, y 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù) L 使使對任意定義在對任意定義在 a, b 上的上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，則上述都成立，

2、則上述IVP存存在唯一解在唯一解。| ),(),(|2121yyLyxfyxf 本章的任務(wù)：計(jì)算出解函數(shù)本章的任務(wù)：計(jì)算出解函數(shù) y(x) 在一系列節(jié)點(diǎn)在一系列節(jié)點(diǎn) a = x0 x1 xn= b 處的近似值處的近似值 。 ),., 1()(Nnxyynn 建立常微分方程數(shù)值方法的基本思想建立常微分方程數(shù)值方法的基本思想 微分方程數(shù)值解法，其實(shí)是求出方程的解微分方程數(shù)值解法，其實(shí)是求出方程的解 在一系在一系列離散點(diǎn)上的近似值。則微分方程數(shù)值解的基本思想是：列離散點(diǎn)上的近似值。則微分方程數(shù)值解的基本思想是：求解區(qū)間和方程離散化。求解區(qū)間和方程離散化。)(xy 將求解區(qū)間將求解區(qū)間 離散化離散化,

3、 ,是在是在 上插入一系列的分上插入一系列的分點(diǎn)點(diǎn) , ,使使bxxxxxaNnn .110 ba, ba, kx，求解區(qū)間離散化求解區(qū)間離散化 記記 稱為步長，一般取稱為步長，一般取hn = h 稱為等步長節(jié)點(diǎn)稱為等步長節(jié)點(diǎn) 。)1,.,1 , 0(1 Nnxxhnnnnhxxn 0),.,2, 1 ,0(Nn Nabh (常數(shù)常數(shù)),節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)為 mnxxnmdxxyxfxyxy)(,()()()(00yxy 然后將上式右端采用第四章介紹的數(shù)值積分離散化，然后將上式右端采用第四章介紹的數(shù)值積分離散化，從而獲得原初值問題的一個離散差分格式。從而獲得原初值問題的一個離散差分格式。將微分方程離散

4、化將微分方程離散化 將微分方程離散化，通常有下述方法：將微分方程離散化，通常有下述方法：（1 1）差商逼近法差商逼近法 即是用適當(dāng)?shù)牟钌瘫平鼘?dǎo)數(shù)值。即是用適當(dāng)?shù)牟钌瘫平鼘?dǎo)數(shù)值。（2 2）數(shù)值積分法數(shù)值積分法 基本思想是先將問題轉(zhuǎn)化為積分方程基本思想是先將問題轉(zhuǎn)化為積分方程（3）Taylor展開法展開法 見后面的敘述。見后面的敘述。1 歐拉方法歐拉方法 /* Eulers Method */ 歐拉公式：歐拉公式：x0 x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)向前差商近似導(dǎo)數(shù)hxyxyxy)()()(010 ),()()()(000001yxfhyxyhxyxy 1y記為記為)1,., 0(),(1 Nnyxfhyy

5、nnnn亦稱為亦稱為歐拉折線法歐拉折線法 /* Eulers polygonal arc method*/ 1)0(2yyxyy)10( x例例. . 求初值問題求初值問題解解：本題的：本題的Euler公式的具體形式為公式的具體形式為)(nnnnnyxyhyy21 1 Eulers Method1.73211.78481.01.41421.43510.51.67331.71780.91.24161.35820.41.61251.64980.81.26491.27740.31.54921.58030.71.18321.19180.21.48321.50900.61.09541.10000.1nx

6、nxnyny)(nxy)(nxy 如果說表格仍不夠直觀的話，我們用如果說表格仍不夠直觀的話，我們用MatlabMatlab做出積分曲做出積分曲線與近似值的圖，如下：線與近似值的圖，如下：取步長取步長h=0.1=0.1。我們將計(jì)算結(jié)果與其解析解的精確值一同。我們將計(jì)算結(jié)果與其解析解的精確值一同列在下表中，其中列在下表中，其中 是節(jié)點(diǎn)，是節(jié)點(diǎn)， 是節(jié)點(diǎn)上的近似值，是節(jié)點(diǎn)上的近似值，是精確值，結(jié)果見下表：是精確值，結(jié)果見下表：nynx)(nxy1 Eulers Method 從圖中可以看出，灰色連續(xù)的曲線就是初值問題的解析解從圖中可以看出，灰色連續(xù)的曲線就是初值問題的解析解 的曲線。而紅色的星點(diǎn)便是

7、數(shù)值解。在圖上似乎的曲線。而紅色的星點(diǎn)便是數(shù)值解。在圖上似乎數(shù)值解與曲線的偏差不是很大，但不要忘記這只是在數(shù)值解與曲線的偏差不是很大，但不要忘記這只是在0 0到到1 1范圍范圍內(nèi)的。通過后面用其他方法解本題，大家便會發(fā)現(xiàn)內(nèi)的。通過后面用其他方法解本題，大家便會發(fā)現(xiàn)EulerEuler方法誤方法誤差其實(shí)是很大的。差其實(shí)是很大的。xy21MatlabMatlab作圖顯示作圖顯示1 Eulers Method1 Eulers Method 隱式歐拉法隱式歐拉法 /* implicit Euler method */向后差商近似導(dǎo)數(shù)向后差商近似導(dǎo)數(shù)hxyxyxy)()()(011 x0 x1)(,()

8、(1101xyxfhyxy ),( y1( fh11.0,1 Nnxn yynnn) 由于未知數(shù)由于未知數(shù) yn+1 同時出現(xiàn)在等式的兩邊，同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為不能直接得到，故稱為隱式隱式 /* implicit */ 歐拉公式，而前者稱歐拉公式，而前者稱為為顯式顯式 /* explicit */ 歐拉公式。歐拉公式。一般先用顯式計(jì)算一個初值，再一般先用顯式計(jì)算一個初值，再迭代迭代求解。即求解。即),()0(1nnnnyxhfyy ),()(11)1(1knnnknyxhfyy ,2,1 ,0 k如果迭代過程收斂，則某步后如果迭代過程收斂，則某步后 就可以作為就可以作為

9、，從而進(jìn)行，從而進(jìn)行下一步的計(jì)算。下一步的計(jì)算。)(1kny 1 ny 梯形方法的平均化思想梯形方法的平均化思想可以借助幾何直觀說明，同可以借助幾何直觀說明，同Euler方法的圖，見右：方法的圖，見右：1 Eulers Method 梯形公式梯形公式 /* trapezoid formula */ 顯、隱式兩種算法的顯、隱式兩種算法的平均平均)1,., 0(),(),(2111 Nnyxfyxfhyynnnnnn 兩步歐拉公式兩步歐拉公式 /* midpoint formula */中心差商近似導(dǎo)數(shù)中心差商近似導(dǎo)數(shù)hxyxyxy2)()()(021 x0 x2x1)(,(2)()(1102xy

10、xfhxyxy 1,., 1),(211 NnyxfhyynnnnnPABnx1nxQ需要需要2個初值個初值 y0和和 y1來啟動遞推來啟動遞推過程，這樣的算法稱為過程，這樣的算法稱為兩步法兩步法 /* double-step method */，而前面的三種算法都是，而前面的三種算法都是單步法單步法 /* single-step method */。1 nP 改進(jìn)歐拉法改進(jìn)歐拉法 /* modified Eulers method */Step 1: 先用先用顯式顯式歐拉公式作歐拉公式作預(yù)測預(yù)測，算出，算出),(1nnnnyxfhyy Step 2: 再將再將 代入代入隱式隱式梯形公式的右邊

11、作梯形公式的右邊作校正校正，得到，得到1 ny),(),(2111 nnnnnnyxfyxfhyy注：注：此法亦稱為此法亦稱為預(yù)測預(yù)測-校正法校正法 /* predictor-corrector method */。可以證明該算法具有可以證明該算法具有 2 階精度，同時可以看到它是個階精度，同時可以看到它是個單單步步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單簡單。后面將。后面將看到，它的看到，它的穩(wěn)定性高穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。于顯式歐拉法。 )1,., 0(),(,),(211 Nnyxfhyxfyxfhyynnnnnnnn1 Eulers Method)(21)

12、,(, ),(11cpnpnncnnnpyyyyxhfyyyxhfyy 解解：改進(jìn)的：改進(jìn)的Euler公式為公式為 )()()(cpnpnpncnnnnpyyyyxyhyyyxyhyy212211例例 作為比較，我們?nèi)杂米鳛楸容^，我們?nèi)杂肊uler法中的那個例子。法中的那個例子。 1)0(2yyxyy)10( x1.73211.73791.01.67331.67820.91.61251.61530.81.54921.55250.71.48321.48600.61.41421.41640.51.34161.34340.41.26491.26620.31.18321.18410.21.09541.

13、09590.1nxny)(nxy我們?nèi)匀〔介L我們?nèi)匀〔介Lh=0.1=0.1，計(jì)算結(jié)果，計(jì)算結(jié)果見右表：見右表：1 Eulers MethodMatlab作圖顯示作圖顯示 從表和圖可以看出，改進(jìn)的從表和圖可以看出，改進(jìn)的Euler法的精度提高了法的精度提高了不少。不少。1 Eulers Method初值問題的單步法可用一般形式表示為初值問題的單步法可用一般形式表示為: : 局部截?cái)嗾`差和方法的階局部截?cái)嗾`差和方法的階),(11hyyxhyynnnnn 稱為增量函數(shù)稱為增量函數(shù) ),(),(111 nnnnnyxfhyyx 隱式歐拉法有隱式歐拉法有例如例如對歐拉法有對歐拉法有 ， ),(),(nn

14、nnyxfhyx 含有含有 時，方法是時，方法是隱式隱式的，的， 不含有不含有 時，方法是時，方法是顯式顯式的。的。1 ny 1 ny 從從 開始計(jì)算，如果考慮每一步產(chǎn)生的誤差，直到開始計(jì)算，如果考慮每一步產(chǎn)生的誤差，直到 則有誤差則有誤差 ，稱為該方法在，稱為該方法在 的的整體截?cái)嗾`整體截?cái)嗾`差，差，分析和求得整體截?cái)嗾`差是復(fù)雜的。為此，我們僅考分析和求得整體截?cái)嗾`差是復(fù)雜的。為此，我們僅考慮從慮從 到到 的局部情況，并假設(shè)的局部情況，并假設(shè) 之前的計(jì)算沒有誤之前的計(jì)算沒有誤差，即差，即 , ,下面給出單步法的下面給出單步法的局部截?cái)嗑植拷財(cái)嗾`差概念。誤差概念。nnnyxye )(0 xnx

15、nxnx1 nxnx)(nnxyy 1 Eulers Method即即 在假設(shè)在假設(shè) yn = y(xn)，即第，即第n 步計(jì)算是精確的前提下，考步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差慮的截?cái)嗾`差 Tn+1= y(xn+1) yn+1 稱為稱為局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差 /* local truncation error */。定義定義若某算法的局部截?cái)嗾`差為若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該算法有，則稱該算法有p 階精度。階精度。 歐拉法的局部截?cái)嗾`差：歐拉法的局部截?cái)嗾`差：),()()()()()(321112nnnnhnnnnnyxhfyhOxyxyhxyyxyT )()(322

16、hOxynh 歐拉法具有歐拉法具有 1 階精度。階精度。Tn+1 的的主項(xiàng)主項(xiàng)/* leading term */為顯式單步法的為顯式單步法的局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差。),(,()()(11hxyxhxyxyTnnnnn 定義定義 設(shè)設(shè) 是初值問題的準(zhǔn)確解，稱是初值問題的準(zhǔn)確解，稱)(xy即兩步歐拉公式具有即兩步歐拉公式具有 2 階精度。階精度。)()(3111hOyxyTnnn 兩步兩步歐拉法的局部截?cái)嗾`差：歐拉法的局部截?cái)嗾`差：1 Eulers Method11111)()4)(3)2)()1 nnnnnnnnnyxyTxxyxyxyy比比較較處處展展開開；在在將將準(zhǔn)準(zhǔn)確確解解）處處展展開

17、開；在在將將差差分分解解；作作局局部部化化假假設(shè)設(shè)，即即設(shè)設(shè)：求求局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差的的步步驟驟)()(2)()()()()(2)()(,()()(322321111hxyhhxyhxyhhxyhxyhxyxhfxyxyTnnnnnnnnnn 例例 求隱式歐拉格式求隱式歐拉格式 的的局部截?cái)嗾`差。局部截?cái)嗾`差。),(111 nnnnyxhfyyTn+1 的的主項(xiàng)主項(xiàng)/* leading term */具有具有 1 階精度。階精度。例例 求梯形格式求梯形格式 的的局部局部截?cái)嗾`差。截?cái)嗾`差。),(),(2111 nnnnnnyxfyxfhyy以上定義對隱式單步法也是適用的。以上定義對隱式單

18、步法也是適用的。)()(12)()(2)()()(2)(!3)(2)()()(2)()(434232111hxyhhxyhxyhxyxyhxyhxyhxyhxyxyhxyxyTnnnnnnnnnnnnn 具有具有 2 階精度。階精度。Tn+1 的的主項(xiàng)主項(xiàng)/* leading term */ Hey! Isnt the leading term of the local truncation error of Eulers method ? Seems that we can make a good use of it )(22ihxy 1 Eulers Method方方 法法 1 Euler

19、s Method顯式歐拉顯式歐拉隱式歐拉隱式歐拉梯形公式梯形公式兩步歐拉公式兩步歐拉公式簡單簡單精度低精度低穩(wěn)定性最好穩(wěn)定性最好精度低精度低, 計(jì)算量大計(jì)算量大精度提高精度提高計(jì)算量大計(jì)算量大精度提高精度提高, 顯式顯式多一個初值多一個初值, 可能影響精度可能影響精度 Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages? Do you think it possible? Well, call me greedy OK, lets make it possible.顯然，

20、顯然， , , 是在點(diǎn)是在點(diǎn) , , 處的斜率。以上公式用到處的斜率。以上公式用到的是兩個點(diǎn)的斜率的加權(quán)平均，它為構(gòu)造算法提供了新的是兩個點(diǎn)的斜率的加權(quán)平均，它為構(gòu)造算法提供了新的途徑。的途徑。Runge-Kutta方法就是這種思想的體現(xiàn)和發(fā)展。方法就是這種思想的體現(xiàn)和發(fā)展。1k2knx1nx2 龍格龍格 - 庫塔法庫塔法 /* Runge-Kutta Method */建立高精度的單步遞推格式。建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的單步遞推法的基本思想基本思想是從是從 ( xn , yn ) 點(diǎn)出發(fā)，以點(diǎn)出發(fā)，以某一某一斜率斜率沿直線達(dá)到沿直線達(dá)到 ( xn+1 , yn+1 ) 點(diǎn)。歐拉法

21、及其各種變形點(diǎn)。歐拉法及其各種變形所能達(dá)到的最高精度為所能達(dá)到的最高精度為2階階。 考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫為：考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫為：),(),(2121121211hKyhxfKyxfKKKhyynnnnnn 斜率斜率一定取一定取K1、 K2 的的平均值平均值嗎？嗎？步長一定是一個步長一定是一個h 嗎？嗎？2 Runge-Kutta Method)(,()()(),(),()()(111 yhfxyxyxxyhxyxynnnnnn 2 Runge-Kutta Method首先希望能確定系數(shù)首先希望能確定系數(shù) 1、 2、p，使得到的算法格式有，使得到的算法格式有2階階精度，即

22、在精度，即在 的前提假設(shè)下，使得的前提假設(shè)下，使得 )()(3111hOyxyTnnn )(nnxyy Step 1: 將將 K2 在在 ( xn , yn ) 點(diǎn)作點(diǎn)作 Taylor 展開展開)(),(),(),(),(2112hOyxfphKyxphfyxfphKyphxfKnnynnxnnnn )()()(2hOxyphxynn Step 2: 將將 K2 代入第代入第1式，得到式，得到 )()()()()()()()(322212211hOxyphxyhyhOxyphxyxyhyynnnnnnnn 將改進(jìn)歐拉法推廣為：將改進(jìn)歐拉法推廣為：),(),(12122111phKyphxfKy

23、xfKKKhyynnnnnn 121 10 p),(),(),(),(),(),()(yxfyxfyxfdxdyyxfyxfyxfdxdxyyxyx 2 Runge-Kutta MethodStep 3: 將將 yn+1 與與 y( xn+1 ) 在在 xn 點(diǎn)的點(diǎn)的泰勒泰勒展開作比較展開作比較)()()()(322211hOxyphxyhyynnnn )()(2)()()(321hOxyhxyhxyxynnnn 要求要求 ，則必須有：，則必須有：)()(3111hOyxyTnnn 21,1221 p 這里有這里有 個未知個未知數(shù)，數(shù)， 個方程。個方程。32存在存在無窮多個解無窮多個解。所有滿

24、足上式的格式統(tǒng)稱為。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格階龍格 - 庫庫塔格式塔格式。21, 121 p注意到，注意到， 就是改進(jìn)的歐拉法。就是改進(jìn)的歐拉法。 Q: 為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？),(1nnyxfk . Liiinnkhyy11 )(,(232131333kakahcyhcxfknn 其中其中 , , 均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似。的步驟與前面相似。 11 Lii 111ijija1 ic),(11 ijjijininikahcyhcxfkLi, 3 , 2 ),(1222hkcyhcxfknn

25、 Runge-Kutta方法的一般形式方法的一般形式2 Runge-Kutta Method2 Runge-Kutta Method 最常用為四級最常用為四級4階階經(jīng)典龍格經(jīng)典龍格-庫塔法庫塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：),(),(),(),()22(34222312221432161hKyhxfKKyxfKKyxfKyxfKKKKKyynnhnhnhnhnnnhnn 1)0(2yyxyy) 10( x我們?nèi)杂们懊娴睦觼砜纯此碾A我們?nèi)杂们懊娴睦觼砜纯此碾ARunge-Kutta方法的效果。方法的效果。解解: : 對于本題，經(jīng)典的四對于本題，經(jīng)典

26、的四階階Runge-Kutta方法具有以下形式：方法具有以下形式： 334223112143211)(22222222)22(6hkyhxhkykkhyhxkhykkhyhxkhykyxykkkkkhyynnnnnnnnnnnnnn2 Runge-Kutta Method1.73211.73211.01.61251.61250.81.48321.48330.61.34161.34170.41.18321.18320.2nxny)(nxy 這里，我們?nèi)〔介L這里，我們?nèi)〔介Lh= =0.2，下面是計(jì)算結(jié)果，下面是計(jì)算結(jié)果（符號的意義同前）（符號的意義同前） 從上圖可以看出，每一個數(shù)值解都從上圖可以看

27、出，每一個數(shù)值解都“準(zhǔn)確準(zhǔn)確”的落的落在了在了真實(shí)解真實(shí)解的曲線上。與改進(jìn)的的曲線上。與改進(jìn)的Euler法所做出來的圖法所做出來的圖比較，似乎精確性沒有很明顯的提高，但是不要忘了比較，似乎精確性沒有很明顯的提高，但是不要忘了在在用用Runge-Kutta方法時，我們?nèi)〉牟介L是方法時，我們?nèi)〉牟介L是h=0.2=0.2。實(shí)。實(shí)際上，際上，Runge-Kutta方法的精確性是方法的精確性是要高很多要高很多。2 Runge-Kutta MethodMatlab作圖2 Runge-Kutta Method注：注： 龍格龍格-庫塔法庫塔法的主要運(yùn)算在于計(jì)算的主要運(yùn)算在于計(jì)算 Ki 的值，即計(jì)算的值，即計(jì)算

28、 f 的的值。值。Butcher 于于1965年給出了計(jì)算量與可達(dá)到的最高精年給出了計(jì)算量與可達(dá)到的最高精度階數(shù)的關(guān)系：度階數(shù)的關(guān)系：753可達(dá)到的最高精度可達(dá)到的最高精度642每步須算每步須算Ki 的個數(shù)的個數(shù))(2hO)(3hO)(4hO)(5hO)(6hO)(4hO)(2nhO8n 由于龍格由于龍格-庫塔法的導(dǎo)出基于泰勒展開，故精度主要受庫塔法的導(dǎo)出基于泰勒展開，故精度主要受解函數(shù)的光滑性影響。對于光滑性不太好的解，最好解函數(shù)的光滑性影響。對于光滑性不太好的解，最好采用采用低階算法低階算法而將步長而將步長h 取小取小。HW: p.152-153 #2, # 3, # 43 收斂性與穩(wěn)定性

29、收斂性與穩(wěn)定性 /* Convergency and Stability */ 收斂性收斂性 /* Convergency */定義定義 若某算法對于任意固定的若某算法對于任意固定的 x = xn= x0 + n h，當(dāng)，當(dāng) h0 ( 同時同時 n ) 時有時有 yn y( xn )，則稱該算法是，則稱該算法是收斂收斂的。的。 例：例：就初值問題就初值問題 考察歐拉顯式格式的收斂性。考察歐拉顯式格式的收斂性。 0)0(yyyy 解：解：該問題的精確解為該問題的精確解為 xeyxy 0)( 歐拉公式為歐拉公式為nnnnyhyhyy)1 (1 0)1 (yhynn 對任意固定的對任意固定的 x =

30、 xn = n h ，有，有nnxhhxnhyhyy )1()1(/10/0 )(0nxxyeyn ehhh /10)1(lim3 Convergency and Stability注：注：1、判斷顯式單步格式的收斂性，歸結(jié)為驗(yàn)證、判斷顯式單步格式的收斂性，歸結(jié)為驗(yàn)證增量函數(shù)增量函數(shù) 是否滿足是否滿足Lipschitz 條件。條件。 2、單步格式的整體截?cái)嗾`差由初值誤差及局部截?cái)嗾`差決定，單步格式的整體截?cái)嗾`差由初值誤差及局部截?cái)嗾`差決定，整整體截?cái)嗾`差體截?cái)嗾`差比比局部截?cái)嗾`差的階數(shù)局部截?cái)嗾`差的階數(shù)低一階低一階。 3、要構(gòu)造、要構(gòu)造高精度高精度的計(jì)算方法，只需設(shè)法的計(jì)算方法，只需設(shè)法提高局

31、部截?cái)嗾`差的階提高局部截?cái)嗾`差的階即即可?？?。 （2）微分方程的初值是精確的）微分方程的初值是精確的. 。)()(pnnnhyxye 對于一個對于一個p 階的顯式單步法，若滿足如下條件階的顯式單步法，若滿足如下條件定理定理（1）增量函數(shù)）增量函數(shù) 關(guān)于關(guān)于y 滿足滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)條件，即存在常數(shù) 0 L，使，使 RyyyyLhyxhyx ,),(),( 成立；成立；3 Convergency and Stability更詳細(xì)的請參看教材更詳細(xì)的請參看教材p137則該方法收斂，其整體截?cái)嗾`差為則該方法收斂，其整體截?cái)嗾`差為:3 Convergency and Stabili

32、ty 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 /* Stability */例：例：考察初值問題考察初值問題 在區(qū)間在區(qū)間0, 0.5上的解。上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解。 1)0()(30)(yxyxy0.00.10.20.30.40.5精確解精確解改進(jìn)歐拉法改進(jìn)歐拉法 歐歐拉隱式拉隱式歐拉顯式歐拉顯式 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) xixey30 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000 101 3.2000 101 1.00002.5000 10 1 6.2500 10 21.5625 10 23.9063 10 39.7656 10 41.00002.50006.25001.5626 1013.9063 1019.7656 1011.00004.9787 10 22.4788 10 31.2341 10 46.1442 10 63.0590 10 7What is wrong ?! An Engineer complains: Ma