數(shù)學(xué)時空漫談

1、數(shù)學(xué)時空漫談數(shù)學(xué)時空漫談福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院鐘懷杰鐘懷杰1一一. .從陶哲軒從陶哲軒(1975(1975) )獲獲20062006年菲爾茲獎?wù)f起年菲爾茲獎?wù)f起v中華民族有數(shù)學(xué)稟賦的新例證；中華民族有數(shù)學(xué)稟賦的新例證；v吳文俊先生稱歐幾里德的吳文俊先生稱歐幾里德的幾何原本幾何原本( 300多年多年) 和中國漢代和中國漢代( 200多年多年)的的九章算術(shù)九章算術(shù)是人類數(shù)學(xué)思是人類數(shù)學(xué)思想的兩大源泉想的兩大源泉(東西方文明的交相輝映東西方文明的交相輝映)；v微積分理論的創(chuàng)建者之一萊布尼茲微積分理論的創(chuàng)建者之一萊布尼茲(1646-1716)在親在親手創(chuàng)建羅馬

2、、柏林、維也納、彼得堡等（數(shù)學(xué)）科學(xué)院手創(chuàng)建羅馬、柏林、維也納、彼得堡等（數(shù)學(xué)）科學(xué)院的前后，曾寫信建議康熙皇帝在北京建立的前后，曾寫信建議康熙皇帝在北京建立(數(shù)學(xué)數(shù)學(xué))科學(xué)院；科學(xué)院；2v陶哲軒現(xiàn)象陶哲軒現(xiàn)象 給華夏子孫的啟迪。給華夏子孫的啟迪。v數(shù)學(xué)教育者的沉思；數(shù)學(xué)教育者的沉思；v學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)者的啟迪：學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)者的啟迪：（1）答采訪者曰：）答采訪者曰：“數(shù)學(xué)好玩兒、有趣。數(shù)學(xué)好玩兒、有趣?！薄拔疫€在做我的研究，我面對的新難題并不因為獲獎就魔法我還在做我的研究，我面對的新難題并不因為獲獎就魔法般地自動得到解決。般地自動得到解決?！保?）謙虛合作的為人風(fēng)范。）謙虛合作的為人風(fēng)范。10

3、0多篇發(fā)表的論文中有多篇發(fā)表的論文中有30多篇是與他人合作。多篇是與他人合作。“他們幫我從這他們幫我從這個領(lǐng)域進入那個領(lǐng)域時，我總是非常地開心個領(lǐng)域進入那個領(lǐng)域時，我總是非常地開心”、“他從來沒有和他從來沒有和別人爭執(zhí)過，他想的都是怎么開開心心地和別人合作，而不是別人爭執(zhí)過，他想的都是怎么開開心心地和別人合作，而不是互相指責(zé)、爭權(quán)奪利互相指責(zé)、爭權(quán)奪利” 、“他就像莫扎特，數(shù)學(xué)就像從他腦子里他就像莫扎特，數(shù)學(xué)就像從他腦子里流出來一樣，不過他可沒有莫扎特的人格問題，大家都非常喜歡流出來一樣，不過他可沒有莫扎特的人格問題，大家都非常喜歡他他”。3 陶哲軒的數(shù)學(xué)興趣和成就橫跨了多個數(shù)學(xué)分陶哲軒的數(shù)學(xué)

4、興趣和成就橫跨了多個數(shù)學(xué)分支。在數(shù)論研究的新突破中他和英國的格林合支。在數(shù)論研究的新突破中他和英國的格林合作，證明存在任意長的素數(shù)等差數(shù)列。作，證明存在任意長的素數(shù)等差數(shù)列。 v無限現(xiàn)代數(shù)學(xué)時空觀的基石；無限現(xiàn)代數(shù)學(xué)時空觀的基石；v素數(shù)無窮多精妙絕倫的簡單證明方法素數(shù)無窮多精妙絕倫的簡單證明方法v伽利略的難題與康托爾伽利略的難題與康托爾(Cantor)的回答；的回答；v希爾伯特的旅館。希爾伯特的旅館。4二二. .認識當代數(shù)學(xué)的特點，更積極主動地學(xué)好數(shù)學(xué)認識當代數(shù)學(xué)的特點，更積極主動地學(xué)好數(shù)學(xué) v世界數(shù)學(xué)年的口號：數(shù)學(xué)是人類發(fā)展的關(guān)鍵；世界數(shù)學(xué)年的口號：數(shù)學(xué)是人類發(fā)展的關(guān)鍵；v高中數(shù)學(xué)新課標數(shù)學(xué)

5、的定義：高中數(shù)學(xué)新課標數(shù)學(xué)的定義：數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具；和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具；v當代數(shù)學(xué)是凌駕于各門科學(xué)之上的科學(xué)：為人類近現(xiàn)當代數(shù)學(xué)是凌駕于各門科學(xué)之上的科學(xué)：為人類近現(xiàn)代史上發(fā)生過的重大科學(xué)技術(shù)革命的全部進程所證實。代史上發(fā)生過的重大科學(xué)技術(shù)革命的全部進程所證實。v錢學(xué)森多次表明：應(yīng)該把數(shù)學(xué)從自然科學(xué)中分離出來，錢學(xué)森多次表明：應(yīng)該把數(shù)學(xué)從自然科學(xué)中分離出來，成為與自然科學(xué)、社會科學(xué)并列的學(xué)科門類。成為與自然科學(xué)、社會科學(xué)并列的學(xué)科門類。5v社會發(fā)展與數(shù)學(xué)進步社會發(fā)展與數(shù)學(xué)進步從國家安全、醫(yī)學(xué)技術(shù)到計算機軟件、通訊和投資從國家安全、醫(yī)

6、學(xué)技術(shù)到計算機軟件、通訊和投資決策，當今世界日益依賴于數(shù)學(xué)科學(xué)。不論是在證券決策，當今世界日益依賴于數(shù)學(xué)科學(xué)。不論是在證券交易所里，還是在裝配線上，越來越多的美國工人感交易所里，還是在裝配線上，越來越多的美國工人感到若不具備數(shù)學(xué)技能就無法開展工作。沒有強大的數(shù)到若不具備數(shù)學(xué)技能就無法開展工作。沒有強大的數(shù)學(xué)科學(xué)資源，美國將不能保持其工業(yè)和商業(yè)優(yōu)勢。學(xué)科學(xué)資源，美國將不能保持其工業(yè)和商業(yè)優(yōu)勢。v-美國國家科學(xué)基金委員會美國國家科學(xué)基金委員會1998報告報告6v20世紀世紀50年代開始，特別是計算機技術(shù)開始日漸成年代開始，特別是計算機技術(shù)開始日漸成熟的熟的70年代以后，數(shù)學(xué)在社會的各個領(lǐng)域，在科學(xué)

7、年代以后，數(shù)學(xué)在社會的各個領(lǐng)域，在科學(xué)和技術(shù)的各個方面的影響和應(yīng)用日益廣泛和深入，和技術(shù)的各個方面的影響和應(yīng)用日益廣泛和深入，以至于數(shù)學(xué)成為我們須臾不可離開的工具，同時數(shù)以至于數(shù)學(xué)成為我們須臾不可離開的工具，同時數(shù)學(xué)又是現(xiàn)代高技術(shù)的核心，任何數(shù)字化工程本質(zhì)都學(xué)又是現(xiàn)代高技術(shù)的核心，任何數(shù)字化工程本質(zhì)都是數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)本身也是高技術(shù)。是數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)本身也是高技術(shù)。 因而國內(nèi)外大學(xué)的許多數(shù)學(xué)系都與計算機系合稱數(shù)因而國內(nèi)外大學(xué)的許多數(shù)學(xué)系都與計算機系合稱數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)與信息學(xué)院等。學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)與信息學(xué)院等。 7v數(shù)學(xué)是從數(shù)數(shù)、測量等人類生活的實際需要數(shù)學(xué)是從數(shù)數(shù)、測量等人類生活

8、的實際需要中發(fā)展起來的。中發(fā)展起來的。 v在計算機產(chǎn)生以前，數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要是通過在計算機產(chǎn)生以前，數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要是通過間接的方式。間接的方式。 v20世紀數(shù)學(xué)的進步是空前的（主要是在應(yīng)用世紀數(shù)學(xué)的進步是空前的（主要是在應(yīng)用領(lǐng)域），特別是最近領(lǐng)域），特別是最近50年，可以說是數(shù)學(xué)發(fā)年，可以說是數(shù)學(xué)發(fā)展的黃金時代。展的黃金時代。 v數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)在20世紀最后世紀最后50年的進步有三個主要方年的進步有三個主要方面。面。 8v（1）科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是以計算機為代）科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是以計算機為代表的信息技術(shù)的發(fā)展，使數(shù)學(xué)從科學(xué)技術(shù)的表的信息技術(shù)的發(fā)展，使數(shù)學(xué)從科學(xué)技術(shù)的幕后走到了前臺，數(shù)學(xué)在許多領(lǐng)

9、域中已經(jīng)成幕后走到了前臺，數(shù)學(xué)在許多領(lǐng)域中已經(jīng)成了一項技術(shù)。了一項技術(shù)。v1998年抗洪斗爭年抗洪斗爭“有限元素法有限元素法”；v數(shù)字化電視數(shù)字化電視小波技術(shù)；小波技術(shù)；v漢字激光照排和方正集團，數(shù)學(xué)的成功。漢字激光照排和方正集團，數(shù)學(xué)的成功。v現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，特別是計算機信息技術(shù)的發(fā)展，使現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，特別是計算機信息技術(shù)的發(fā)展，使數(shù)學(xué)的作用日益顯現(xiàn)，更是改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀，使數(shù)學(xué)的作用日益顯現(xiàn)，更是改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀，使得我們對數(shù)學(xué)的認識從得我們對數(shù)學(xué)的認識從“思維的體操思維的體操”、“科學(xué)的科學(xué)的語言語言”，進一步為，進一步為“數(shù)學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)技術(shù)”。數(shù)學(xué)已經(jīng)開始從。數(shù)學(xué)已經(jīng)開始從科學(xué)技術(shù)的幕后走

10、到了前臺?？茖W(xué)技術(shù)的幕后走到了前臺。 9v（2）隨著社會經(jīng)濟和文化的發(fā)展，定量化研究使各個）隨著社會經(jīng)濟和文化的發(fā)展，定量化研究使各個學(xué)科對數(shù)學(xué)依賴程度越來越大，數(shù)學(xué)可以在各個學(xué)科，學(xué)科對數(shù)學(xué)依賴程度越來越大，數(shù)學(xué)可以在各個學(xué)科，包括社會科學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域中找到應(yīng)用。數(shù)學(xué)對社會、包括社會科學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域中找到應(yīng)用。數(shù)學(xué)對社會、經(jīng)濟及科學(xué)推動作用前所未有地得到人們一致的肯定。經(jīng)濟及科學(xué)推動作用前所未有地得到人們一致的肯定。v過去：數(shù)學(xué)思想來自物理學(xué)，如牛頓的微積分來源就是過去：數(shù)學(xué)思想來自物理學(xué)，如牛頓的微積分來源就是力學(xué)。近代：數(shù)學(xué)為物理學(xué)提供了支持：相對論。力學(xué)。近代：數(shù)學(xué)為物理學(xué)提供了支

11、持：相對論。v化學(xué)、醫(yī)學(xué)領(lǐng)域以前是與數(shù)學(xué)不發(fā)生聯(lián)系的，但是在化學(xué)、醫(yī)學(xué)領(lǐng)域以前是與數(shù)學(xué)不發(fā)生聯(lián)系的，但是在20世紀的后半葉，卻在數(shù)學(xué)技術(shù)的幫助下，創(chuàng)造了奇跡。世紀的后半葉，卻在數(shù)學(xué)技術(shù)的幫助下，創(chuàng)造了奇跡。v社會科學(xué)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)也是頻頻出現(xiàn)。自從社會科學(xué)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)也是頻頻出現(xiàn)。自從1969年開年開始頒發(fā)諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎以來，數(shù)學(xué)家獲獎的比例居高下。始頒發(fā)諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎以來，數(shù)學(xué)家獲獎的比例居高下。v在考古學(xué)、歷史學(xué)和語言學(xué)的研究中，數(shù)學(xué)也不斷有所在考古學(xué)、歷史學(xué)和語言學(xué)的研究中，數(shù)學(xué)也不斷有所貢獻。貢獻。10v醫(yī)學(xué)：醫(yī)學(xué)：X線層析攝影術(shù)線層析攝影術(shù)(CT) ，核心是古典分析中的，核心是古典分析

12、中的積分變換方法積分變換方法拉東變換，以及計算機技術(shù)。拉東變換，以及計算機技術(shù)。 v從從1969年起開始頒發(fā)的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎，與數(shù)學(xué)有年起開始頒發(fā)的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎，與數(shù)學(xué)有關(guān)的工作占了很大一部分。關(guān)的工作占了很大一部分。v經(jīng)濟是一種社會現(xiàn)象，經(jīng)濟過程十分復(fù)雜，現(xiàn)在數(shù)經(jīng)濟是一種社會現(xiàn)象，經(jīng)濟過程十分復(fù)雜，現(xiàn)在數(shù)學(xué)只能解決其中一部分問題。但是正是由于數(shù)學(xué)的學(xué)只能解決其中一部分問題。但是正是由于數(shù)學(xué)的介入，使經(jīng)濟學(xué)從藝術(shù)變成了科學(xué)。數(shù)學(xué)在現(xiàn)代經(jīng)介入，使經(jīng)濟學(xué)從藝術(shù)變成了科學(xué)。數(shù)學(xué)在現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)的研究中已經(jīng)成為必備的工具和手段。濟學(xué)、金融學(xué)的研究中已經(jīng)成為必備的工具和手段。 11v1972年，一

13、般經(jīng)濟平衡理論和福利理論做出開拓性年，一般經(jīng)濟平衡理論和福利理論做出開拓性貢獻。貢獻。v1975年，線性規(guī)劃方法，為資源最優(yōu)調(diào)撥做出貢獻。年，線性規(guī)劃方法，為資源最優(yōu)調(diào)撥做出貢獻。v1980年，經(jīng)濟計量模型的建立和應(yīng)用。年，經(jīng)濟計量模型的建立和應(yīng)用。v1983年，運用抽象分析和純數(shù)學(xué)模型證明了市場價年，運用抽象分析和純數(shù)學(xué)模型證明了市場價格格“一般平衡理論的存在一般平衡理論的存在”。v1990年，利用數(shù)學(xué)建立了證券組合投資和資本資產(chǎn)年，利用數(shù)學(xué)建立了證券組合投資和資本資產(chǎn)定價理論。定價理論。v1995年，對策平衡模型在經(jīng)濟中的應(yīng)用。年，對策平衡模型在經(jīng)濟中的應(yīng)用。v1997年，著名的期權(quán)定價公

14、式。年，著名的期權(quán)定價公式。12v（3）數(shù)學(xué)本身的發(fā)展同樣受益于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的）數(shù)學(xué)本身的發(fā)展同樣受益于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。計算機的普及使得計算（或者成為算法）這一發(fā)展。計算機的普及使得計算（或者成為算法）這一古老的數(shù)學(xué)分支重新煥發(fā)了生命的活力。同時數(shù)學(xué)理古老的數(shù)學(xué)分支重新煥發(fā)了生命的活力。同時數(shù)學(xué)理論的證明在計算機上的實現(xiàn)，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)機械證明這論的證明在計算機上的實現(xiàn)，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)機械證明這一數(shù)學(xué)研究的全新領(lǐng)域。一數(shù)學(xué)研究的全新領(lǐng)域。v第一，電子計算機促進了算法和數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。第一，電子計算機促進了算法和數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。 計算速度仍然不夠快，改進算法。氣象預(yù)報，但計算速度仍然不夠快，改進算法

15、。氣象預(yù)報，但貨郎擔問題貨郎擔問題 ?電子計算機延伸了人腦的工能，混沌理論、分形幾電子計算機延伸了人腦的工能，混沌理論、分形幾何、孤立子解、小波分析等數(shù)學(xué)熱點，隨著計算機的何、孤立子解、小波分析等數(shù)學(xué)熱點，隨著計算機的發(fā)展而不斷產(chǎn)生新的成果，并推動了數(shù)學(xué)的應(yīng)用。發(fā)展而不斷產(chǎn)生新的成果，并推動了數(shù)學(xué)的應(yīng)用。13v第二，機器證明和數(shù)學(xué)實驗。第二，機器證明和數(shù)學(xué)實驗。 機器證明：四色問題，初等幾何證明。機器證明：四色問題，初等幾何證明。 數(shù)學(xué)實驗：核試驗；軍事演習(xí)；波音數(shù)學(xué)實驗：核試驗；軍事演習(xí)；波音777.v錢學(xué)森：錢學(xué)森：“數(shù)學(xué)的發(fā)展關(guān)系到整個科學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)的發(fā)展關(guān)系到整個科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，而科學(xué)技

16、術(shù)是第一生產(chǎn)力，所以數(shù)的發(fā)展，而科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力，所以數(shù)學(xué)的發(fā)展是一件國家大事學(xué)的發(fā)展是一件國家大事”。 v吳文?。簠俏目。骸?1世紀是對制數(shù)權(quán)的爭奪，那個世紀是對制數(shù)權(quán)的爭奪，那個國家的數(shù)學(xué)高人一等，那個國家便可爭霸天國家的數(shù)學(xué)高人一等，那個國家便可爭霸天下下”14無處不用數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)無處不用v從從“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”到到“數(shù)字化地球數(shù)字化地球”、“數(shù)字化電數(shù)字化電視視” 、“數(shù)字福建數(shù)字福建” 、“數(shù)字時代數(shù)字時代”。v陳景潤、華羅庚搞的數(shù)論，曾經(jīng)被人譽為陳景潤、華羅庚搞的數(shù)論，曾經(jīng)被人譽為“最純粹的最純粹的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)”。山東大學(xué)的數(shù)論專家們培養(yǎng)出世界一流的破。山東大學(xué)的數(shù)論專家們培養(yǎng)出世

17、界一流的破譯密碼群體，中國出現(xiàn)了世界一流的密碼譯密碼群體，中國出現(xiàn)了世界一流的密碼“超女超女”。v哈代的故事：哈代的故事：Hardy-Weinberg定律的意義遠遠超出定律的意義遠遠超出了群體遺傳學(xué)研究的本身。證明了從超越時空的意義了群體遺傳學(xué)研究的本身。證明了從超越時空的意義上說，只有還不會用的數(shù)學(xué)，沒有無用的數(shù)學(xué)。上說，只有還不會用的數(shù)學(xué)，沒有無用的數(shù)學(xué)。v數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的超越時空性到了當時不予承認，無法數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的超越時空性到了當時不予承認，無法承認的地步，比愛恩斯坦的相對論不幸得多。例如非承認的地步，比愛恩斯坦的相對論不幸得多。例如非歐幾何，伽羅華理論等。歐幾何，伽羅華理論等。15 1

18、998年初，美國總統(tǒng)和副總統(tǒng)等數(shù)百位政要人物年初，美國總統(tǒng)和副總統(tǒng)等數(shù)百位政要人物聆聽當代著名物理學(xué)家霍金聆聽當代著名物理學(xué)家霍金(HawKing Stenphen 1942-)講科學(xué)的未來。當時副總統(tǒng)戈爾還提是否承認第五種講科學(xué)的未來。當時副總統(tǒng)戈爾還提是否承認第五種力的問題。戈爾上臺伊始就提出信息高速公路的設(shè)想，力的問題。戈爾上臺伊始就提出信息高速公路的設(shè)想，沒幾年就成了現(xiàn)實。政治領(lǐng)袖能對科學(xué)和技術(shù)如此關(guān)系沒幾年就成了現(xiàn)實。政治領(lǐng)袖能對科學(xué)和技術(shù)如此關(guān)系和了解，代表了未來社會的走向。和了解，代表了未來社會的走向。16三三. .漫談漫談“無限無限”1.無限意識無限意識v任何人都有無限意識。任

19、何人都有無限意識。v詩人說：詩人說：“夕陽無限好，只是近黃昏夕陽無限好，只是近黃昏”、“無邊落木無邊落木瀟瀟下瀟瀟下” 、“前不見古人，后不見來者；念天地之前不見古人，后不見來者；念天地之悠悠，獨愴然而涕下悠悠，獨愴然而涕下”。v我們常說：無限感慨、無限悲哀、無限感激，我們常說：無限感慨、無限悲哀、無限感激， “N多多”，“沒完沒了沒完沒了”。v哲學(xué)家說：宇宙是無限的，哲學(xué)家說：宇宙是無限的，“把有限的生命，投入到把有限的生命，投入到無限的為人民服務(wù)中去無限的為人民服務(wù)中去” 172.中學(xué)生接受無限，但是到了大學(xué)未必真懂中學(xué)生接受無限，但是到了大學(xué)未必真懂“無限無限”。v自然數(shù)是無限的自然數(shù)是

20、無限的，N是一個無限集開始正面進攻無限。是一個無限集開始正面進攻無限。v 是無限循環(huán)小數(shù)，是無限循環(huán)小數(shù)， 和和 是無限不循環(huán)小數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù) v小學(xué)生就會計算平行四邊形的面積。課本里寫：小學(xué)生就會計算平行四邊形的面積。課本里寫：“兩條直線，兩條直線，如果無限延長永遠不相交，成為彼此平行如果無限延長永遠不相交，成為彼此平行”。v問題，何謂問題，何謂“無限延長？無限延長？”做不到，就無法檢驗。做不到，就無法檢驗。 答：答：“潛在的無限潛在的無限”。永遠是現(xiàn)在進行時，每一步都在做，。永遠是現(xiàn)在進行時，每一步都在做，但永遠不會結(jié)束。只能靠人的直覺想象而完成的數(shù)學(xué)思維活動。但永遠不會結(jié)束。只能靠人

21、的直覺想象而完成的數(shù)學(xué)思維活動。人腦具有很強的思維能動性，人人能憑直覺把握這種人腦具有很強的思維能動性，人人能憑直覺把握這種“潛無限潛無限”。您聽說過因為不懂無限延長而數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生嗎？您聽說過因為不懂無限延長而數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生嗎？ 13218 但是，較起真來，認識無限可真的不簡單。但是，較起真來，認識無限可真的不簡單。問題：問題：0.9999991嗎？嗎？一次大學(xué)生調(diào)查的結(jié)果：一次大學(xué)生調(diào)查的結(jié)果：意見意見A:永遠小于永遠小于1，只不過極限等于，只不過極限等于1罷了。罷了。意見意見B:等于等于1。極限可以達到不能停留在潛無。極限可以達到不能停留在潛無限的認識上。限的認識上。結(jié)論：結(jié)論：現(xiàn)代

22、數(shù)學(xué)的靈魂就是正確認識現(xiàn)代數(shù)學(xué)的靈魂就是正確認識“無限無限”，而正確認識無限就是超越時空。而正確認識無限就是超越時空。19v不僅數(shù)學(xué)的成果超越時空。不僅數(shù)學(xué)的成果超越時空。v而且數(shù)學(xué)的方法超越時空，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心而且數(shù)學(xué)的方法超越時空，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心研究對象之一就是研究對象之一就是無限維空間無限維空間。v數(shù)學(xué)的三次所謂數(shù)學(xué)的三次所謂“危機危機”都直接與都直接與“無限無限”的認識有關(guān)。的認識有關(guān)。20兩者兩者“一樣多一樣多”的定義的定義 現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠基人，集合論的創(chuàng)建者，德國數(shù)學(xué)家康托爾現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠基人，集合論的創(chuàng)建者，德國數(shù)學(xué)家康托爾（Cantor G.F. 1845-1918）的定義：）的定義：

23、 如果兩個集合如果兩個集合A和和B的元素之間能建立起一個一對一的的元素之間能建立起一個一對一的對應(yīng)關(guān)系，就說對應(yīng)關(guān)系，就說A和和B的元素一樣多，或者說的元素一樣多，或者說A和和B有相同的有相同的勢（基數(shù)），記作勢（基數(shù)），記作A B。也稱。也稱A與與B對等。對等。v完全平方數(shù)和自然數(shù)完全平方數(shù)和自然數(shù)“一樣多一樣多”.v奇數(shù)和自然數(shù)奇數(shù)和自然數(shù)“一樣多一樣多”。 和自然數(shù)對等的集合稱為可數(shù)無限集，簡稱可數(shù)集。和自然數(shù)對等的集合稱為可數(shù)無限集，簡稱可數(shù)集。那那么還有無限集與有限集的如下有趣的特性：么還有無限集與有限集的如下有趣的特性：v一個有限集和一個可數(shù)集的并集還是可數(shù)集。一個有限集和一個可數(shù)

24、集的并集還是可數(shù)集。v兩個（有限個）可數(shù)集的并集還是可數(shù)集。兩個（有限個）可數(shù)集的并集還是可數(shù)集。 21 分數(shù)排隊-有理數(shù)集是可數(shù)集 在數(shù)軸上，整數(shù)稀稀落落，分數(shù)密密麻麻。在在數(shù)軸上，整數(shù)稀稀落落，分數(shù)密密麻麻。在3和和4之間，之間，4和和5之間，之間，n和和n+1之間，就沒有整數(shù)了?？稍谌我鈨蓚€分之間，就沒有整數(shù)了。可在任意兩個分數(shù)數(shù)ab之間，總還有分數(shù)，例如（之間，總還有分數(shù)，例如（ab）/2就是。就是。 這么說，似乎分數(shù)比整數(shù)多。其實這么說，似乎分數(shù)比整數(shù)多。其實分數(shù)不過和整數(shù)一樣多。分數(shù)不過和整數(shù)一樣多。 要證明分數(shù)和整數(shù)一樣多，根據(jù)上面康托爾的定義，只要要證明分數(shù)和整數(shù)一樣多，根據(jù)上

25、面康托爾的定義，只要能把他們排成一排：第一個，第二個，能把他們排成一排：第一個，第二個，排成了隊，就能排成了隊，就能和自然數(shù)一一對應(yīng)（對等）。這就證明了分數(shù)是可數(shù)集，進和自然數(shù)一一對應(yīng)（對等）。這就證明了分數(shù)是可數(shù)集，進而證明了有理數(shù)是可數(shù)集。而證明了有理數(shù)是可數(shù)集。22 斜回形針排隊法斜回形針排隊法 有理數(shù)是可數(shù)集有理數(shù)是可數(shù)集0712635412133214155223724334925354257374354523 對角線法對角線法- -實數(shù)比有理數(shù)多實數(shù)比有理數(shù)多 要證明實數(shù)比有理數(shù)多并不難。要證明實數(shù)比有理數(shù)多并不難。 用反證法。假如有人聲稱實數(shù)和自然數(shù)一樣多，也就是用反證法。假如有

26、人聲稱實數(shù)和自然數(shù)一樣多，也就是他能把所有實數(shù)排成一隊：他能把所有實數(shù)排成一隊：123 ,naaaa 我們馬上就能夠推出矛盾。因為每個實數(shù)都可以寫成一個整數(shù)我們馬上就能夠推出矛盾。因為每個實數(shù)都可以寫成一個整數(shù)加上一個無窮小數(shù)：加上一個無窮小數(shù)：123111111232222212333333aNxxxaNxxxaNxxx24 現(xiàn)在我們構(gòu)造一個實數(shù)：現(xiàn)在我們構(gòu)造一個實數(shù)：1231211220.nnnnAy y yyyxyxyx使 與 不同，與不同，與不同。nnnnnnxyxy比如說：當=9時,讓=8;當9時,讓=9。 現(xiàn)在問，現(xiàn)在問，A是隊伍中的第幾個？誰也不是！是隊伍中的第幾個？誰也不是！這就推出了矛盾。這就推出了矛盾。25 超弦理論超弦理論 超越現(xiàn)有時空的理論。超越現(xiàn)有時空的理論。 超越愛恩斯坦的新統(tǒng)一理論。超越愛恩斯坦的新統(tǒng)一理論。 包羅萬象的世界理論的宇宙探秘。包羅萬象的世界理論的宇宙探秘。 1996年年8月月22日，人民日報，光明日報發(fā)表文章：日，人民日報，光明日報發(fā)表文章： “美國科學(xué)家認為美國科學(xué)家認為物理學(xué)領(lǐng)域第三次革命最重要的標物理學(xué)領(lǐng)域第三次革命最重要的標 標志是一種全新的理論標志是一種全新的理論 弦理論的提出。弦理論的提出?！?6弦理論玄嗎？ 弦理論要回答：物質(zhì)世界的本質(zhì)是什么？弦理論要回答：物質(zhì)世界的本質(zhì)是什么？