立體幾何中的向量方法空間中的距離問題學(xué)習(xí)教案

1、立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法(fngf)空間中的空間中的距離問題距離問題第一頁，共17頁。la u 0a u ； u v .ukv l a u aku； uv. 0vu 第1頁/共17頁第二頁，共17頁。),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標(biāo)兩個(gè)不共線的找出（求出）平面內(nèi)的00,) 3(bnanzyx方程組的關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立個(gè)解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(向量(xingling)法求法向量(xingling)的步驟：第2頁/共17頁第三頁，共17頁。外積(wi j)法求法向量的步驟：),(),()1(

2、222111zyxbzyxa向量的坐標(biāo)兩個(gè)不共線的找出（求出）平面內(nèi)的)2(利用行列式求解(3)n就是平面的一個(gè)法向量21yyjn21xxiba21zzk21xx,21zz21xx21yy,21zz21yycaM cbaddb第3頁/共17頁第四頁，共17頁。;/)1(.22,1111111CDABCABCBACAABBABEDCBAABC平平面面證證明明：中中點(diǎn)點(diǎn)，的的分分別別是是中中，如如圖圖，直直棱棱柱柱 xyz2013年全國(qun u)新課標(biāo)卷 18題第4頁/共17頁第五頁，共17頁。用空間向量解決(jiju)立體幾何問題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表

3、示問題中涉及(shj)的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算(yn sun)，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形）第5頁/共17頁第六頁，共17頁?？臻g(kngjin)“距離”問題1. 空間(kngjin)兩點(diǎn)之間的距離 根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，利用公式 或 (其中 ) ，可將兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為求向量模長問題2aa222zyxa),(zyxa第6頁/共17頁第七頁，共17頁。 例1：如圖1，一個(gè)(y )結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為

4、端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD圖1解：如圖1，設(shè) BADADAAAB， 11 6011DAABAA化為向量(xingling)問題依據(jù)向量的加法(jif)法則，11AAADABAC 進(jìn)行向量運(yùn)算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以6|1 AC回到圖形問題這個(gè)晶體的對角線 的長是棱長的 倍。1AC6第7頁/共17頁第八頁，共17頁。思考(sko)：教材P106（1）本題(bnt)中四棱柱的對角線B

5、D1的長與棱長有什么關(guān)系？ （2）如果一個(gè)四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點(diǎn)(dngdin)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于 , 那么有這個(gè)四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎? A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其中其中分析:分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，設(shè)設(shè)11 AAADABAC 則由則由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即ax cos631 這個(gè)四棱柱的對角線的長可以確定棱長。第8頁/共17頁第九頁，共17頁。（3）本題的晶體中相對的兩個(gè)平面之間的距離

6、是多少？ 設(shè)AB=1 （提示：求兩個(gè)平行(pngxng)平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）A1B1C1D1ABCDH 分析(fnx)：面面距離點(diǎn)面距離(jl). 11HACHAA于于點(diǎn)點(diǎn)平平面面點(diǎn)點(diǎn)作作過過 解：. 1的的距距離離為為所所求求相相對對兩兩個(gè)個(gè)面面之之間間則則HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC. 160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離是。 36問題

7、：如何求直線A1B1到平面ABCD的距離？第9頁/共17頁第十頁，共17頁。 n A P O 2、向量法求點(diǎn)到平面(pngmin)的距離：第10頁/共17頁第十一頁，共17頁。DABCGFExyz分析:用幾何法做相當(dāng)困難, 注意到坐標(biāo)系建立后各點(diǎn)坐標(biāo)容易得出,又因?yàn)榍簏c(diǎn)到平面的距離可以(ky)用法向量來計(jì)算,而法向量總是可以(ky)快速算出.例2: 如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別(fnbi)是AB、AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD，且GC2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離.E(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG |BE|2 11.11ndn B(2,0,0)E n202022(

8、,)( 4, 4, 12)422224 第11頁/共17頁第十二頁，共17頁。EFEAA AAF 解：22()EFEAA AAF 2222()EAA AAFEA A AEA AFA A AF 當(dāng)E,F在公垂線同一側(cè)時(shí)取負(fù)號當(dāng)d等于(dngy)0是即為“余弦定理”,AAEA AAAF =-（或），AFEA, 22222lEAA AAFEA AF 2222cosmdnmn 2222cosdlmnmn 第12頁/共17頁第十三頁，共17頁。 nabCDABCD為a,b的公垂線則|nABnCD A，B分別(fnbi)在直線a,b上已知a,b是異面直線，n為的法向量3. 異面直線(zhxin)間的距離

9、即 間的距離可轉(zhuǎn)化為向量 在n上的射影長，21,llCD第13頁/共17頁第十四頁，共17頁。1111013.4,2,90 ,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例 已知：直三棱柱的側(cè)棱底面中為的中點(diǎn)。求與的距離。zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解：如圖建立坐標(biāo)系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC則的公垂線的方向向量為設(shè)).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即04220zyxyx取x=1,則y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在兩直線上各取點(diǎn).332|1nACndBAEC的距離與EA1B1第14頁/共17頁第十五頁，共17頁。APDCBMNzxy解：如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )2aaaa2a第15頁/共17頁第十六頁，共17頁。 1、E為平