《勾股定理》教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

1、勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)與反思福建省福州市第二十四中學(xué)林艷群一、概述勾股定理是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章第18.1 節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容. 本課需要學(xué)生經(jīng)歷勾股定理的證明過程，理解并掌握勾股定理，能夠簡(jiǎn)單地運(yùn)用勾股定理由直角三角形的任意兩邊求得第三邊.勾股定理在平面幾何中占有非常重要的地位，無論其內(nèi)容本身還是其證明方法，都蘊(yùn)涵著深刻的數(shù)學(xué)思想，古往今來，很多數(shù)學(xué)家熱衷于研究這一定理，迄今已有800 多種證明方法 . 因此，本內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)及思維能力的培養(yǎng)均有重要作用.二、學(xué)習(xí)目標(biāo)分析1、知識(shí)與技能了解勾股定理的文化背景, 體驗(yàn)勾股定理的探索過程.理解并掌握勾股定理，能夠熟

2、練地運(yùn)用勾股定理由直角三角形的任意兩邊求得第三邊.通過收集信息、處理信息，發(fā)展自主學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)能力2、過程與方法經(jīng)歷勾股定理的證明過程，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合及面積割補(bǔ)法等數(shù)學(xué)思想方法, 增強(qiáng)邏輯思維能力 .3、情感態(tài)度價(jià)值觀通過對(duì)勾股定理歷史的了解, 感受數(shù)學(xué)文化, 激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.在探究活動(dòng)中, 體驗(yàn)解決問題方法的多樣性, 培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神. 學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的證明及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：1. 勾股定理內(nèi)容的再發(fā)現(xiàn)；2. 勾股定理的邏輯論證.三、學(xué)習(xí)者特征分析1 學(xué)生是福建省福州市第二十四中的初二的學(xué)生；2 學(xué)生對(duì)多媒體大屏幕環(huán)境下的課堂環(huán)境非常熟悉，對(duì)數(shù)學(xué)上常用的幾

3、何畫板有些了解；3 .學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和參與意識(shí)較強(qiáng)，善于提問，敢于發(fā)表自己的見解，對(duì)自己動(dòng)手的活動(dòng)興趣很高；4 .學(xué)生已經(jīng)接觸過三角形的很多性質(zhì)，掌握情況較好；5 .學(xué)生已經(jīng)接觸過幾何圖形的面積割補(bǔ)法.四、教學(xué)策略的選擇與設(shè)計(jì)為提高課堂教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、終身學(xué)習(xí)的意識(shí)和能力，教師提出“數(shù)學(xué)問 題創(chuàng)新教學(xué)法”，在日常教學(xué)中注重學(xué)生課前自主學(xué)習(xí)，為課堂教學(xué)做好充分的心理及知識(shí) 準(zhǔn)備；課堂上，教師更注重學(xué)生對(duì)自主學(xué)習(xí)成果的交流與反饋，提倡學(xué)生大膽提出自己的觀點(diǎn)，大膽發(fā)問，放手讓學(xué)生在討論、思辯中學(xué)習(xí)新知.因此，參與本課課堂教學(xué)的學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和參與意識(shí)較強(qiáng)，善于提問，敢于發(fā)表自己的見解

4、.本課依托“數(shù)學(xué)問題創(chuàng)新教學(xué)法”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).五、資源(1)教師設(shè)計(jì)一份能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的預(yù)習(xí)報(bào)告；(2)學(xué)生借助課本、相關(guān)書籍或現(xiàn)代信息途徑(如網(wǎng)絡(luò))等工具完成預(yù)習(xí)報(bào)告；(3)教師自制的多媒體課件；(4)上課環(huán)境為多媒體大屏幕環(huán)境六、教學(xué)流程圖七、教學(xué)過程1 .創(chuàng)設(shè)情境，提出猜想：?jiǎn)栴}1:把一根長12厘米的細(xì)繩折出一個(gè)整數(shù)邊長的三角形，有多少種折法？其中直 角三角形有幾個(gè)？其三邊長多少？經(jīng)過了課前自主學(xué)習(xí)和小組討論，這個(gè)問題很快便有了結(jié)論.課前自主學(xué)習(xí)給了學(xué)生充分思考的余地，同時(shí)節(jié)約了課堂上的寶貴時(shí)間問題2:猜想直角三角形三邊長有怎樣的數(shù)量關(guān)系？有了前面的討論基礎(chǔ)，答案比較一致，集中在

5、以下兩點(diǎn)：(1)直角三角形中任意兩邊之和大于第三邊；(2)直角三角形的最長邊的平方等于兩條直角邊的平方之和；教師在巡視時(shí)也發(fā)現(xiàn)有一、兩個(gè)同學(xué)認(rèn)為其三邊長度成等差數(shù)列，在小組其他同學(xué)的舉例說明之下也改變了觀點(diǎn) .2 .結(jié)合實(shí)例，描述關(guān)系：?jiǎn)栴}3:你找到的其他直角三角形三邊長多少？是否符合你的猜想？試由此總結(jié)直角三 角形三邊長的數(shù)量關(guān)系.問題4:請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言描述你的猜想 .數(shù)學(xué)語言是世界上最優(yōu)美、精練、跨越民族與國界的語言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué) 語言的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，把它作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目的之一在把文字語言數(shù)學(xué)化的過程中，直角三角形三邊長的數(shù)量關(guān)系出現(xiàn)了三種表述形式：設(shè)直角三角形三邊長分別為a、b

6、、c,則:(1) /A=90°(2) /B=90°(3) /C=902 u22.a = bc ；b2 ;c2a2；c2 =a2 b2.對(duì)這個(gè)問題的討論讓學(xué)生們不再盲目的記憶公式，而是真正理解了這一數(shù)量關(guān)系，當(dāng)然,這一關(guān)系的正確性還有待驗(yàn)證 .3.合作交流，論證定理：?jiǎn)栴}5:什么是勾股定理？如何證明勾股定理？猜想畢竟只是猜想，雖然同學(xué)們把猜想的數(shù)學(xué)關(guān)系式應(yīng)用于他們找到的每一個(gè)直角三角形都成立，但缺少了邏輯推理，它就不能稱為“定理”,因此，論證定理是本節(jié)課最重要的內(nèi)容.這次的小組討論時(shí)間較長，是為了讓每個(gè)組員都能有充足的時(shí)間發(fā)表并傾聽各種論 證方法.有了這樣一個(gè)初步學(xué)習(xí)的過程，

7、幾種典型的證明方法浮出水面，大部分同學(xué)對(duì)這些 論證方法已有粗淺的了解，為后面的學(xué)習(xí)做了鋪墊，降低了部分后進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知難度，也 因此課堂上同學(xué)們的發(fā)言有了一定的水準(zhǔn)，使這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行地比較順利小組代表1：勾股定理是描述直角三角形三邊關(guān)系的，即直角三角形中斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和.已知：在 Rt ABC中，/ C=90° ,三邊長分別 a、b、c求證：c2 = a2 , b2.（以上由學(xué)生口述，教師板書）小組代表2：我們小組的證明方法是根據(jù)正方形的面積得到的， （學(xué)生通過實(shí)物投影儀投影出圖形二，并邊板書邊講解如下：證明：設(shè)四邊形 ABCM邊長是a+ b的正方形，在它的

8、四條邊上順次取點(diǎn) E、F、G H (如圖二)使 AE=BF=CG=DH=b則 設(shè) EH= c, AE=BF=CG=DH=bZ A=Z B=Z C=Z D=90 , AH=BE=CF=DG=a AAEIH ABFEi ACGF DHGEH=EF=FG=GH=,c/AEHW EFB /AEH廿 BEF=90 ,即 / HEF=90一四邊形EFGH1邊長為c的正方形；1c由面積公式可以得到：(a b)2 =4 ab c2,2AH=BE=CF=?G=<a| | &IIB J p a C(圖二)a2 2ab b2 =2ab c2, 222a b = c .小組代表3:我們小組的證明方法也是

9、根據(jù)正方形面積割補(bǔ)得到的, （他上講臺(tái)演示圖形）如圖三，四邊形 ABCM邊長是c的正方形，可以證出四邊形為（b -a）的正方形；EFGH邊長由面積公式可以得到:2c =4a2 2ab b2 = 2ab c2,222a b = c .12ab (b - a) 2只是圖形畫法不同,（圖三）小組代表4:事實(shí)上，上面兩種證明可以說是一種：把圖一的四個(gè)小直角三角形沿它們 的斜邊翻折180。，剛好拼成圖二，因此我們小組認(rèn)為這兩種證明方法是統(tǒng)一的.同學(xué)們對(duì)這一提法很感興趣，一時(shí)議論紛紛.教師表揚(yáng)了這個(gè)小組，并提議課后制作折紙驗(yàn)證他們提出的觀點(diǎn)，同時(shí)也指出雖然兩種圖形可以相互轉(zhuǎn)化，但因?yàn)槊娣e求法略有不 同，應(yīng)

10、該算兩種方法.DB小組代表5：我們小組還找到了一種更簡(jiǎn)單的證明方法，也是利用面積，但不是正方形（上講臺(tái)演示）如圖四，四邊形 ABCD一個(gè)上底長a、下底長b ,直角腰 長a+b的直角梯形，在 BC上取點(diǎn)E,使BE=b,則CE=a ,設(shè)由面同學(xué)們認(rèn)可了這個(gè)方法,你們能不能介紹一下是怎么發(fā)現(xiàn)AE=c,可以證明4ADE是一個(gè)腰長為c的等腰直角三角形, 積公式得到：1 1 . 1 .（a - b）（a b） ab ab222恒等變形得：a2 b2=c2這個(gè)圖形引起了全班同學(xué)的關(guān)注，在驗(yàn)證圖形的可行性后, 同時(shí)對(duì)其出處表現(xiàn)出興趣.教師：這種證明方法簡(jiǎn)潔明了，老師也是第一次看到， 它的？小組代表6:得意笑答

11、：這種方法是一位美國前總統(tǒng)發(fā)現(xiàn)的.（全班一片“哦”聲響起，等安靜下來后，他接著介紹）我在網(wǎng)上看到19世紀(jì)美國有個(gè)總統(tǒng) J.A.Garfield ，他在當(dāng)總統(tǒng)前兩年發(fā)現(xiàn)了這種證明方法并發(fā)表在雜志上，后來很多選民就因?yàn)檫@個(gè)原因投了他的票.這個(gè)我沒有預(yù)料到的插曲帶給同學(xué)們的影響不言而喻，也再次把課堂氣氛推向高潮.就在學(xué)生們津津樂道于“證明幾何定理也能為當(dāng)選總統(tǒng)拉選票”時(shí)，我認(rèn)為，勾股定理的教 育意義可以發(fā)揮作用了 .教師：好，我們用三種方法論證了勾股定理，三種方法都圍繞著面積割補(bǔ)進(jìn)行現(xiàn)在誰能講講，為什么我們把直角三角形三邊的這種數(shù)量關(guān)系叫做“勾股定理”？小組代表7:勾股定理是我國古代數(shù)學(xué)家最早發(fā)現(xiàn)的

12、.我國古代數(shù)學(xué)書上把直角三角形的三邊分別稱為“勾、股、弦” ，在很早的數(shù)學(xué)記載上 就出現(xiàn)了勾3股4弦5,它就是指直角三角形的斜邊平方等于兩直角邊的平方和，因此稱之 為勾股定理.教師：那么在國外有相同的定理嗎？小組代表8:有，叫畢達(dá)哥拉斯定理，不過，他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理比我們晚了1千多年.4 .歸納總結(jié)，暢談收獲：小組代表9:勾股定理是描述直角三角形三邊特有的關(guān)系的定理，內(nèi)容是：直角三角形 中斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和.表示成數(shù)學(xué)語言是：2221. /A=90 a2 =b2 c2;- 2222. / B=90 b =c a ; 2223. / C=90 - c = a b .小組代表10：運(yùn)用

13、勾股定理可以求直角三角形的三邊長，比如：已知直角三角形的兩條直角邊為5和12,可以求出斜邊的平方為 52 +122 ,因此斜邊為5 +122 =13.小組代表11：在用勾股定理求邊長時(shí)要求算術(shù)平方根（黑板板書）4. / a=90a=. b2c2;5. /B=90°b=. c2a2;6. /C=90c=. a2b2.小組代表12:用勾股定理求直角邊長時(shí)要用斜邊的平方減去已知直角邊的平方，比如,已知直角三角形中，/ C=90° , c = 13, b = 5,可以求出a = J132 -52 =12.小組代表13：勾股定理是我國古代數(shù)學(xué)家最早發(fā)現(xiàn)的，說明我國古代在數(shù)學(xué)方面是比

14、較發(fā)達(dá)的，現(xiàn)在有點(diǎn)落后了，但我們肯定會(huì)趕上去的， 不久的將來我們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展會(huì) 超過美國.（同學(xué)們笑了）小組代表14:還有，學(xué)好數(shù)學(xué)可以為美國總統(tǒng)拉選票，我們也要好好學(xué).以上小結(jié)與評(píng)價(jià)來自于學(xué)生，平時(shí)的教學(xué)中學(xué)生們常有驚人之語，這更讓我堅(jiān)信：學(xué)生們的潛力是非凡的，只要給他們一個(gè)空間，他們會(huì)越飛越高、越遠(yuǎn) 5 .課外拓展遷移創(chuàng)新：（1）課本P80練習(xí)；（2）預(yù)習(xí)報(bào)告：請(qǐng)收集應(yīng)用勾股定理解決問題的例子，并總結(jié)勾股定理主要應(yīng)用于那 些方面？八、總結(jié)與評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的評(píng)價(jià)教師的教學(xué)反思1 .全體學(xué)生在動(dòng)口、動(dòng)腦、動(dòng)手中參與教學(xué)全過程 非常好（） 很好（）一般（）2 .學(xué)生能提出學(xué)習(xí)和研究的問題，

15、并且通過合作探究努力 解決問題非常好（）很好（）一般（）3 .學(xué)生思維活躍，積極主動(dòng)發(fā)言非常好（）很好（）一般（）4 .學(xué)生間交往是多向的，學(xué)生是否積極參與小組討論，發(fā) 表自己的見解，評(píng)論別人發(fā)言非常好（）很好（）一般（）5 .學(xué)生在學(xué)習(xí)中有愉悅的體驗(yàn)，每一名學(xué)生是否都有不同 程度的收獲非常好（）很好（）一般（）6 .后進(jìn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)技能的掌握程度非常好（）很好（）一般（）7 .學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課還存在的問題：8 .學(xué)生存在問題的解決方法：1 .內(nèi)容的安排與目標(biāo)的制定是否 恰當(dāng)？2 .教法的安排是否恰當(dāng)？3 .目標(biāo)完成情況如何？4 .成功的地方5 .不足與問題：6 .想法：九、教學(xué)反思現(xiàn)代認(rèn)知

16、理論認(rèn)為：知識(shí)存在的形態(tài)有顯性和隱性兩種，隱性知識(shí)必須在真實(shí)的情景及實(shí)踐過程中被發(fā)現(xiàn).因此學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定要注重自主性.本節(jié)課我通過讓學(xué)生折三角形切實(shí)感受到直角三角形與其他三角形相比較的特殊性，引出直角三角形除了 “任意兩邊之和大于第三邊”外，三邊還具備更特殊的數(shù)量關(guān)系，激發(fā)了學(xué)生的求知欲 前射教學(xué)法注重學(xué)生課前自主學(xué)習(xí)，給了學(xué)生充分的自主學(xué)習(xí)時(shí)間，讓學(xué)生的思考不再受課堂時(shí)間的束縛；而預(yù)習(xí)報(bào)告又使他們的思考不會(huì)太偏離將學(xué)知識(shí)點(diǎn)；課前學(xué)習(xí)也不受學(xué)習(xí)工具的束縛，可供學(xué)生們學(xué)習(xí)的資料豐富了，當(dāng)然興趣也更濃了.學(xué)生們找到的證明方法五花八門，有一些我也未曾見過 .他們未見得都能理解這些方法，但這種收集本身就是一種 學(xué)習(xí)體驗(yàn).還有一些學(xué)生下載了勾股定理的教學(xué)案例給我，在這方面，我也有收獲有了課前的大量準(zhǔn)備，課堂上的小組討論就是濃縮的精華了，而全班交流反饋的內(nèi)容更加精練、豐富，在這種學(xué)習(xí)方式中， 教師的作用似乎轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)導(dǎo)演或解說員，講臺(tái)讓給了 學(xué)生.這種角色的轉(zhuǎn)變是在平時(shí)的教學(xué)中一點(diǎn)點(diǎn)進(jìn)行的，因?yàn)檫@種轉(zhuǎn)變，學(xué)生們確實(shí)學(xué)會(huì)了思考、提問，不再對(duì)教師和課本唯命是從.相應(yīng)的，我的教學(xué)難度加大了，課堂上他們突如其來的問題經(jīng)常是我意料不到的，這對(duì)我的課堂駕馭能力是一種挑戰(zhàn).我努力而欣喜地提高自己，盡力趕在學(xué)生們前