概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第四章 隨機變量的數(shù)字特征2

1、第二節(jié) 方差引例引例 甲、乙兩射手各打了10發(fā)子彈，每發(fā)子彈 擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲 10, 6, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 5, 10乙 8, 7, 9, 10, 9, 8, 7, 9, 8, 9問哪一個射手的技術(shù)比較穩(wěn)定？解解 首先比較平均環(huán)數(shù)甲 = 8.4,乙 = 8.4方差概念的引入方差概念的引入有六個不同數(shù)據(jù)僅有四個不同數(shù)據(jù)再比較穩(wěn)定程度4 .30)4 . 85()4 . 86()4 . 87()4 . 88()4 . 89(2)4 . 810(4222222甲：乙：44. 6)4 . 87(2)4 . 88(3)4 . 89(4)4 . 810(2222乙比甲技術(shù)穩(wěn)定進

2、一步比較平均偏離平均值的程度甲)4 . 85()4 . 86()4 . 87()4 . 88()4 . 89(2)4 . 810(4101222222乙)4 . 87(2)4 . 88(3)4 . 89(4)4 . 810(101222204.3644. 0612)(kkkpXEx412)(kkkpXEx描述隨機變量的取值與平均值的偏離程度的兩個描述隨機變量的取值與平均值的偏離程度的兩個常用的數(shù)字特征是方差與標準差。常用的數(shù)字特征是方差與標準差。 方差與標準差方差與標準差隨機變量的每一取值與平均值都有離差隨機變量的每一取值與平均值都有離差,XE X欲考察隨機變量的取值與平均值的偏離程度，我們考

3、慮求欲考察隨機變量的取值與平均值的偏離程度，我們考慮求平均離差，但平均離差，但0E XE XE XE X不能反映偏離程度，問題是因為不能反映偏離程度，問題是因為 是有正有負的，是有正有負的，XE X為避免正負相抵消，又方便數(shù)學處理，我們轉(zhuǎn)而求：為避免正負相抵消，又方便數(shù)學處理，我們轉(zhuǎn)而求：2EXE X記作記作2D Xvar XX或或 或或稱為隨機變量稱為隨機變量 X 的的方差。方差。進一步地，為使描述偏離程度的指標的量綱與隨機變量進一步地，為使描述偏離程度的指標的量綱與隨機變量相一致，我們引入相一致，我們引入均方差均方差（或稱（或稱標準差標準差）：）：D XX或或 記作：記作：一維一維隨機變量

4、的隨機變量的方差方差設(shè)設(shè)離散離散隨機變量隨機變量X的概率分布為的概率分布為()kkP Xxp1, 2, ,k 2()() kkkD Xpxn 離散型離散型n 連續(xù)型連續(xù)型2()()( )D Xxf x dx設(shè)設(shè)連續(xù)連續(xù)隨機變量隨機變量X的分布密度為的分布密度為 f (x)()E X 方差的計算公式方差的計算公式22()() ()D XE XE XProof.2()() D XEXE X222() () E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X()()EXxfx dx方差的計算步驟方差的計算步驟Step 1: 計算期望計算期望 E(X)

5、1 12 2 ( )k kkkkE Xpxp xp xp xStep 2: 計算計算 E(X2)22()( )E Xx f x dx222221 12 2 ) (k kkkkE Xpxp xp xp xStep 3: 計算計算 D(X)22()() ()D XE XE X離散型離散型 連續(xù)型連續(xù)型 離散型離散型 連續(xù)型連續(xù)型 21123123311010101010XP例例1 設(shè)設(shè) X 的分布密度如下：求的分布密度如下：求,E XD X解：解：12331211230.81010101010E X 222222123312112331010101010E X 22230.82.36D XE XE

6、 X例例2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 的概率密度為：的概率密度為： 1cos ,220,xxp x其它其它求：求：D X解：解：221cos02E Xxxdx22222021coscos2E Xxxdxxxdx22222000sinsin2 sinx dxxxxxdx222220002cos2cos2cos44xdxxxxdx22202 sin244x224D X二維隨機變量的方差二維隨機變量的方差n (X,Y)(X,Y)為二維離散型隨機變量為二維離散型隨機變量(, )(),( )D X YD XD Y22( )( )( )iiiijiijD XxE XP XxxE Xp22( )( )( )

7、( )( , ),XDXx E Xf xdxx E Xf x ydxdy n (X,Y)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量為二維連續(xù)型隨機變量22( )( )( )jjjijjjiD YyE YP YyyE Yp22( )( )( )( )( , )YDYy EYf y dxy EYf x y dxdy 例例3 設(shè)隨機變量（設(shè)隨機變量（X，Y）的分布密度是：的分布密度是：3,20,xf x y01xxyx 別處別處求：求：D XY解：解：120302xxE XYdxx ydy12232032xxE X Ydxx y dy1133600017xx ydxx dx10.14297D XY 132003

8、xdxx y dy 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) 0D C （1）設(shè)）設(shè) C 是一常數(shù)，則是一常數(shù)，則（2）設(shè)）設(shè) C 是一常數(shù)，是一常數(shù)，X 是一隨機變量，則是一隨機變量，則2,D CXC D XD XCD X2D aXba D X由此：若由此：若 是常數(shù)，有是常數(shù)，有, a b（3）當隨機變量）當隨機變量 X 與與 Y 相互獨立時，有相互獨立時，有 D XYD XD Y慎用之！慎用之！是加號！是加號！()()( )D XYD XD Y,X Y相互獨立時相互獨立時n 當隨機變量當隨機變量222222222()() () (2) ()( ) () ()() ( ) ()( )D XYE XYE XYE

9、 XXYYE XE YE XE XE YE YD XD YX與與Y獨立獨立)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD例例4 設(shè)設(shè)110,24,E XD X求求243EX解：解：22434343EXDXEX21643D XE X由由110E X 由由24D X 9,E X 4,D X 224316 44 931585EX 兩點分布的方差兩點分布的方差()E Xp222()10(1)E Xppp222()()()D XE XE XpppqXP0 11-p pn 分布律分布律n 方差方差D(X) = p qq=1-pq=1-p二項分布的方差二項分布的方差I(lǐng)f X B ( n, p ) ,

10、then D ( X ) = n p ( 1- p )D(X)=npqn 分布律分布律n 方差方差(1)kknknP XkCpp X B ( n, p )22()(1)E Xn npnp()E Xnp22()() ()(1)D XE XE Xnppnpq泊松分布的方差泊松分布的方差I(lǐng)f ( ),XPthen ()D X方差和期望方差和期望值相等？！值相等？！n 分布律分布律n 方差方差()!kP Xkek()E X22()E X22()() ()D XE XE X1()()2E Xab1()0axbfxba 其其 它它均勻分布的方差均勻分布的方差n 分布密度分布密度n 方差方差2322 2 (

11、)3()3bbaaxxaabbE Xdxbaba2221()()()()12D XE XE Xba 21()()12D Xba0( )00 xexf xx指數(shù)分布的方差指數(shù)分布的方差1()E Xn 分布密度分布密度n 方差方差 222 2()bxaE Xxedx22222112)()()(XEXEXD21()D X正態(tài)分布的方差正態(tài)分布的方差n 分布密度分布密度n 方差方差222)(21)(xexf2( ,)XN ()E X2()D X2()D X2( ,)XN 常見分布及其期望和方差列表常見分布及其期望和方差列表 分布名稱分布名稱 數(shù)學期望數(shù)學期望E（X） 方差方差D（X） 0-1分布分布

12、二項分布二項分布 泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 指數(shù)分布指數(shù)分布 ppqnpnpq2ab2()12ba1221例例6 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從區(qū)間服從區(qū)間 上的均勻分布，上的均勻分布，, a b20,48., .E XD Xa b求求解：由解：由220,48212baabE XD X8,32ab得得例例5 一條生產(chǎn)線上產(chǎn)品的次品率為一條生產(chǎn)線上產(chǎn)品的次品率為 0.1， 若當天生產(chǎn)的產(chǎn)品若當天生產(chǎn)的產(chǎn)品是是 400 件，求其中所含次品數(shù)件，求其中所含次品數(shù) X 的數(shù)學期望與標準差。的數(shù)學期望與標準差。解：解： 由題意，由題意，400, 0.1XB400 0.1 0.

13、9366D X400 0.140E X 所以所以 某地出產(chǎn)的某品種的蘋果的總量某地出產(chǎn)的某品種的蘋果的總量X X服從正態(tài)分服從正態(tài)分布。若布。若E(X)=148, D(X)=16E(X)=148, D(X)=162 2. .寫出寫出X X的分布律和概的分布律和概率密度，并用積分表示率密度，并用積分表示(135)P X 2(148,16 )XN22(148) /2 161( )16 2xf xe22135(148) /2 161(135)16 2xP Xedx練習題：練習題：1. 設(shè)設(shè) 取值取值 若若, ,a b 0.4,1.8,PaE 20.96, .a b求求2. 設(shè)設(shè) X 與與 Y 相互獨

14、立，且相互獨立，且1,E XD X 0.5,E YD Y求求2,2.E XYD XY3. 若若 ，求，求 的分布。的分布。2,XN XY1. 設(shè)設(shè) 取值取值 若若, ,a b 0.4,1.8,PaE 20.96, .a b求求解：解： 0.40.61.8Eab 222EE2220.40.61.80.96ab得兩組解：得兩組解： 及及30.612.6aabb2. 設(shè)設(shè) X 與與 Y 相互獨立，且相互獨立，且1,E XD X 0.5E YD Y求求2,2.E XYD XY 221 2 0.50E XYE XE Y 解：解： 2414 0.252D XYD XD Y 3. 若若 ，求，求 的分布。的

15、分布。2,XN XY解：因為解：因為服從正態(tài)分布的隨機變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布的隨機變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布。又又 1XE YEE X10E X 211XD YDD X所以，所以，0,1YN第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 在二維隨機變量（在二維隨機變量（X,Y)的情形，的情形，EX，DX，EY，DY這些數(shù)字特征只反映了這些數(shù)字特征只反映了X和和Y各自取值的集中位各自取值的集中位置及與均值的離散程度。對二維隨機變量，我們置及與均值的離散程度。對二維隨機變量，我們還希望知道它們之間的聯(lián)系，下面引進還希望知道它們之間的聯(lián)系，下面引進協(xié)方差協(xié)方差和和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系

16、數(shù)來刻畫來刻畫X和和Y的這種關(guān)系。的這種關(guān)系。n 當隨機變量當隨機變量X與與Y 獨立時，必有獨立時，必有()( )0EXE XYE Yn 反之，當反之，當()( )0EXE XYE YX與與Y 獨立？獨立？另外，是否任意另外，是否任意X X與與Y Y，都有，都有()( )0EXE XYE Y？協(xié)方差的定義協(xié)方差的定義()cov( ), ) EXE XYE YX Y而當而當D(X)，D(Y)大于零時，大于零時，X與與Y的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)cov(, )()( )XYX YD XD Y設(shè)（設(shè)（X,Y）為二維隨機變量，若）為二維隨機變量，若()( )EXE XYE Ycov(,)X Y存在，則稱它為隨機變量存在，則稱它為隨機變量X與與Y的的協(xié)方差協(xié)方差，記為，記為或或XY cov(,)()( )() X XEXE XXE XD Xcov( , )( )( )( ) Y YEYE YYE YD Yn 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì)cov(, )cov( ,)X YY Xcov(,)cov(, )aX bYabX Y1212cov(, )cov(, )cov(, )XXYX YXY()()( )2cov(, )D XYD XD YX