第三章扭轉(zhuǎn)

1、第第 三章三章扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)返回返回3 31 1 概述概述3 33 3（2 2） 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖3 32 2（3 3） 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)3 34 4 圓軸在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強度條件強度條件3 35 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度條件剛度條件3 36 6 密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形3 37 7 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)的受力特點的受力特點 ：在桿件的兩端作用兩個大小相等、：在桿件的兩端作用兩個大小相等、轉(zhuǎn)向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶。轉(zhuǎn)向相反、且作用平面垂直于桿

2、件軸線的力偶。機器的傳動軸、水輪發(fā)電機的主軸、石油鉆機中的鉆桿、橋梁機器的傳動軸、水輪發(fā)電機的主軸、石油鉆機中的鉆桿、橋梁及廠房等空間結(jié)構(gòu)中的某些構(gòu)件等，扭轉(zhuǎn)是其主要變形之一。及廠房等空間結(jié)構(gòu)中的某些構(gòu)件等，扭轉(zhuǎn)是其主要變形之一。 3 - 1 概概 述述扭轉(zhuǎn)受力簡圖扭轉(zhuǎn)受力簡圖扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)的變形特點的變形特點：桿件的任意橫截面都發(fā)生繞桿件的任意橫截面都發(fā)生繞桿件軸線的相對轉(zhuǎn)動。桿件軸線的相對轉(zhuǎn)動。mm 一，一， 薄壁筒扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力薄壁筒扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力用截面法求任一橫截面用截面法求任一橫截面 nn 上的內(nèi)力上的內(nèi)力mmlnn32 (3) 薄壁筒的扭轉(zhuǎn)薄壁筒的扭轉(zhuǎn)mnnmmlnnMn橫截面上的應(yīng)力只能是橫截

3、面上的應(yīng)力只能是 。薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時其任一橫截面薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時其任一橫截面 n-n 上的內(nèi)力為扭矩，記作上的內(nèi)力為扭矩，記作 Mn。mm預先在圓筒的表面畫上預先在圓筒的表面畫上等間距的縱向線和圓周等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的線，從而形成一系列的正方格子。正方格子。觀察到的現(xiàn)象觀察到的現(xiàn)象試驗試驗所有的圓周線都保持不變；所有的圓周線都保持不變；所有的縱向線都傾斜了一個相同的角度。所有的縱向線都傾斜了一個相同的角度。mm設(shè)想設(shè)想薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)后，橫截面保薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)后，橫截面保持為形狀，大小均無改變的持為形狀，大小均無改變的平面，相鄰兩橫截面繞圓筒平面，相鄰兩橫截面繞圓筒軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。

4、軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。mmABCD圓筒兩端截面之間相對圓筒兩端截面之間相對轉(zhuǎn)動的角位移，稱為轉(zhuǎn)動的角位移，稱為，用，用 表示。表示。圓筒表面上每個格子的圓筒表面上每個格子的直角的改變量直角的改變量，稱為，稱為。用。用 表示表示 。圓周各點處剪應(yīng)力的方向于圓周相切，且數(shù)值相等。近似的認圓周各點處剪應(yīng)力的方向于圓周相切，且數(shù)值相等。近似的認為沿壁厚方向各點處剪應(yīng)力的數(shù)值無變化。為沿壁厚方向各點處剪應(yīng)力的數(shù)值無變化。mmABCDdxtABCD mnnxr推導公式推導公式由上述分析，就可得出薄壁筒扭轉(zhuǎn)時，橫截面上任一點處由上述分析，就可得出薄壁筒扭轉(zhuǎn)時，橫截面上任一點處的剪應(yīng)力的剪應(yīng)力 都是相等的，而其方

5、向于圓周相切。都是相等的，而其方向于圓周相切。dAMt)r(rdArrdAnAA 2r 為薄壁圓筒平均半徑為薄壁圓筒平均半徑mnnxrdAMntr2M2n上式為薄壁筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上剪應(yīng)力的計算公式上式為薄壁筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上剪應(yīng)力的計算公式mnnxrdAMn薄壁筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力均勻分布，與半徑垂直，指向薄壁筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力均勻分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。Mnxydydzabdzdxc0y (1) 在單元體左，右面（桿的橫截面）在單元體左，右面（桿的橫截面）上只有剪應(yīng)力，其方向于上只有剪應(yīng)力，其方向于 y 軸平行。軸平行?？芍瑑蓚?cè)面的內(nèi)力元素可知，兩

6、側(cè)面的內(nèi)力元素 dy dz 大小相等，方向相反，將組大小相等，方向相反，將組成一個力偶。成一個力偶。二，二， 剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理由平衡方程由平衡方程( dy dz) dx其矩為其矩為0 x0 MZ(2) 要滿足平衡方程要滿足平衡方程xydydzabdzdxc在單元體的上，下兩平面上必有在單元體的上，下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對大小相等，指向相反的一對內(nèi)力元素內(nèi)力元素dxdz 它們組成的力偶，其矩為它們組成的力偶，其矩為dz)dxdy(xydydzabdzdxc此力偶矩與前一力偶矩此力偶矩與前一力偶矩數(shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得數(shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得dz)dxdy( d

7、y dz) dxxydydzabdzdxc：單元體兩個相互垂直平面上單元體兩個相互垂直平面上的剪應(yīng)力同時存在，且大小的剪應(yīng)力同時存在，且大小相等，都指相（或背離）該相等，都指相（或背離）該兩平面的交線。兩平面的交線。xydydzabdzdxc單元體平面上只有剪應(yīng)力單元體平面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力，則稱該單元體而無正應(yīng)力，則稱該單元體為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。xydydzabdzdxc式中，式中， r 為薄壁圓筒的外半徑為薄壁圓筒的外半徑mmABCDllrlrtg三，剪切胡克定律三，剪切胡克定律由圖所示的幾何關(guān)系得到由圖所示的幾何關(guān)系得到mmABCDl薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 試驗

8、發(fā)現(xiàn)，試驗發(fā)現(xiàn)，當外力偶當外力偶 m 在某一范圍內(nèi)在某一范圍內(nèi)時，時， 與與 m （在數(shù)值上等（在數(shù)值上等于于 Mn ）成正比）成正比 MnooGtrMn22lr從從 Mn與與 之間的線性關(guān)系，之間的線性關(guān)系，可推出可推出 與與 間的線性關(guān)系。間的線性關(guān)系。該式稱為材料的該式稱為材料的 G 稱為材料的稱為材料的 剪切彈性模量剪切彈性模量 。其單位是。其單位是 Pa。剪切胡克定律只有在剪應(yīng)力不超過材料的剪切屈服剪切胡克定律只有在剪應(yīng)力不超過材料的剪切屈服 S極限時才適用。即材料在線彈性范圍內(nèi)工作。極限時才適用。即材料在線彈性范圍內(nèi)工作。G)1 (2EGdxdydzxyzabd四，等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的

9、應(yīng)變能四，等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能1，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能假設(shè)單元體左側(cè)固定，假設(shè)單元體左側(cè)固定，因此變形后右側(cè)將向下因此變形后右側(cè)將向下移動移動 dx。 dx因為變形很小，所以在變形過因為變形很小，所以在變形過程中，認為上，下兩面上的外程中，認為上，下兩面上的外力將不作功力將不作功。只有右側(cè)面的外只有右側(cè)面的外力力 ( dydz) 對相應(yīng)的位移對相應(yīng)的位移 dx 作作了功了功。dxdydzxyzabd dx 當材料在線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作時，當材料在線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作時，上述力與位移成正比，因此，單上述力與位移成正比，因此，單元體上外力所作的功為元體上外力所作的功為)(2

10、1)(21dxdydzdxdydzdW21dxdydzdWdVdWdVdUu 比能為比能為dxdydzxyzabd dx將將 = G 代如上式得代如上式得GGu222221 u思考題：指出下面圖形的剪應(yīng)變思考題：指出下面圖形的剪應(yīng)變 2 剪應(yīng)變?yōu)榧魬?yīng)變?yōu)榧魬?yīng)變?yōu)榧魬?yīng)變?yōu)?33（2） 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖從動輪從動輪主動輪主動輪從動輪從動輪nm2m1m31, 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩從動輪從動輪主動輪主動輪從動輪從動輪nm2m1m3一傳動軸，轉(zhuǎn)速為一傳動軸，轉(zhuǎn)速為 n轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/min ，軸傳遞的功率由主動輪輸入，軸傳遞的功率由主動輪輸入，然后由從動輪輸出

11、。若通過某一輪所傳遞的功率為然后由從動輪輸出。若通過某一輪所傳遞的功率為 Nk千瓦（千瓦（KW)，則作用在該輪上的外力偶矩則作用在該輪上的外力偶矩 m 可按以下方法求得可按以下方法求得。N 軸的轉(zhuǎn)速軸的轉(zhuǎn)速 ( r/min ) (kW).(559mKNnN.mK).(7mKNnPm (PS)nnmmxmx在在nn截面處假想將軸截面處假想將軸截開取左側(cè)為研究對象截開取左側(cè)為研究對象分析圖示圓軸任一橫截面分析圖示圓軸任一橫截面 nn上的內(nèi)力。仍用上的內(nèi)力。仍用 截面法截面法。11，扭矩和扭矩圖，扭矩和扭矩圖nnmmxmxMn橫截面上的內(nèi)力應(yīng)是一個橫截面上的內(nèi)力應(yīng)是一個力偶稱為該橫截面上力偶稱為該橫

12、截面上 扭矩扭矩0mxmMnmxMn取右側(cè)為研究對象取右側(cè)為研究對象其扭矩與取左側(cè)為研究對象其扭矩與取左側(cè)為研究對象數(shù)值相同但轉(zhuǎn)向相反。數(shù)值相同但轉(zhuǎn)向相反。mxnnmmxMnmxMn右手螺旋法則：當力偶矩矢的右手螺旋法則：當力偶矩矢的指向背離截面時扭矩為正，指向背離截面時扭矩為正，反之為負。反之為負。扭矩符號的規(guī)定扭矩符號的規(guī)定+用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置，用垂直于用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標表示橫截面上的扭矩，從而繪制出表示桿軸線的坐標表示橫截面上的扭矩，從而繪制出表示扭矩與截面位置關(guān)系的圖線，扭矩與截面位置關(guān)系的圖線，稱為扭矩圖。稱為扭矩圖。 m4A

13、BCDm1m2m3n例題例題：一傳動軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速：一傳動軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速 n = 300/min ，主動輪輸入的，主動輪輸入的功率為有功率為有N1 = 500 kW 。若不計軸承摩擦所耗的功率，若不計軸承摩擦所耗的功率，三個從動輪輸出的功率分別為三個從動輪輸出的功率分別為N2 = 150 kW 、N3 = 150 kW及及N4 = 200 kW。試做扭矩圖。試做扭矩圖。解解:計算外力偶矩計算外力偶矩mkNm.9 .151mkNmkN.m.mm.37.6784432ABCDm1m2m3m4ABCDm1m2m3n0,0232MmmmnxABCDm1m3m4m222計算計算 CA 段內(nèi)任橫一

14、截面段內(nèi)任橫一截面 2-2 截面上的扭矩截面上的扭矩 。假設(shè)。假設(shè) M 2為正值。為正值。mkNmmMn56.9)(322結(jié)果為負號，說明結(jié)果為負號，說明M n2 應(yīng)是負值扭矩應(yīng)是負值扭矩BCxm2m3Mn2由平衡方程由平衡方程(-)ABCDm1m3m4m2同理，在同理，在 BC 段內(nèi)段內(nèi)mKN.-m-Mn78421在在 AD 段內(nèi)段內(nèi)mKN.mMn376431133m4Mn3m2Mn1注意：若假設(shè)扭矩為正值，則扭矩的實際符號與計算符號注意：若假設(shè)扭矩為正值，則扭矩的實際符號與計算符號相同。相同。mkNMn56.92mKNMn.78.41mKNMn.37.63mKNMn56. 9max+4.7

15、89.566.37從圖可見，最大扭矩從圖可見，最大扭矩在在 CA段內(nèi)。段內(nèi)。ABCDm1m2m3m4作出扭矩圖作出扭矩圖34 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強度條件強度條件預先在圓桿的表面畫上預先在圓桿的表面畫上等間距的縱向線和圓周線等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子。從而形成一系列的正方格子。1 . 橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力 試驗：試驗：mm 等直圓桿扭轉(zhuǎn)變形后，等直圓桿扭轉(zhuǎn)變形后，所有的圓周線都繞桿件的軸線所有的圓周線都繞桿件的軸線相對旋轉(zhuǎn)了一個角度相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，圓周線的圓周線的形狀和大小均未改變形狀和大小均未改變; 觀察到的現(xiàn)象：觀察到的現(xiàn)象： 在變形

16、微小的情況下，所有在變形微小的情況下，所有的縱向線則傾斜了一個相同的的縱向線則傾斜了一個相同的角度角度 ：扭轉(zhuǎn)變形中，圓軸的橫截面象剛性平面一樣扭轉(zhuǎn)變形中，圓軸的橫截面象剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度。繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度。mmaabAO1O2MnMndxDbD幾何方面幾何方面傾角傾角 是橫截面圓周上任一是橫截面圓周上任一點點A 處的剪應(yīng)變處的剪應(yīng)變 , d 是是bb截面相對于截面相對于aa截面象截面象剛性平面一樣繞桿軸轉(zhuǎn)動的剛性平面一樣繞桿軸轉(zhuǎn)動的一個角度。（一個角度。（相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角）d推導公式：推導公式：aabAO1O2MnMndxDbDd作一條與軸線平形且作一條與軸線平形且距離

17、為距離為 的縱向線的縱向線 EG?？v向線縱向線 EG 也傾斜了也傾斜了一個角度一個角度 是橫截面半徑上任一點是橫截面半徑上任一點E 處的剪應(yīng)變處的剪應(yīng)變GEGdxdEGGGtgdxd此時式說明此時式說明 ：同一半徑：同一半徑 圓周上各點剪應(yīng)變圓周上各點剪應(yīng)變 均相均相同同 ，且其值與，且其值與 成正比。成正比。 aabAO1O2MnMndxDbDdGEG物理方面物理方面由剪切胡克定律由剪切胡克定律GdxdGG同一圓周上各點剪應(yīng)力同一圓周上各點剪應(yīng)力 均相同均相同 ，且其值與，且其值與 成正比成正比 ， 垂直與半徑。垂直與半徑。aabAO1O2MnMndxDbDdGEG靜力學方面靜力學方面整個橫

18、截面上的內(nèi)力元素整個橫截面上的內(nèi)力元素 的合力必等于零，并組成的合力必等于零，并組成一個力偶這就是橫截面上的一個力偶這就是橫截面上的扭矩。扭矩。roMndAdAMdAdxdGnAMdAnAroMndAdAdxdGGPAIdA2MdAdxdGnA2GIMdxdPnIMpndxdGGGIMdxdPnroMndAdA上式為圓軸在扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點處的剪應(yīng)力計算公式上式為圓軸在扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點處的剪應(yīng)力計算公式ApdAI2稱為橫截面對圓心的稱為橫截面對圓心的 極慣性矩極慣性矩式中：式中：Mn 為橫截面上的扭矩；為橫截面上的扭矩； 為求應(yīng)力的點到圓心的距離：為求應(yīng)力的點到圓心的距離：IMpnroM

19、n(1) 橫截面周邊各點處，剪應(yīng)橫截面周邊各點處，剪應(yīng)力將達到最大值。圓心處的力將達到最大值。圓心處的剪應(yīng)力為零。剪應(yīng)力與剪應(yīng)力為零。剪應(yīng)力與 成成正比。且垂直于半徑。指向正比。且垂直于半徑。指向與與 Mn 的轉(zhuǎn)向一致。分布圖的轉(zhuǎn)向一致。分布圖如圖如圖 所示。所示。說明：說明：IMpnmaxmaxIWpnnnPnPnWMIMIMmaxmaxmaxWn 稱作抗扭截面系數(shù)，單位為稱作抗扭截面系數(shù)，單位為 mm3 或或 m3。roMnmaxdAIAP2抗扭截面抗扭截面模量模量公式公式11， 極慣性矩及抗扭截面模量極慣性矩及抗扭截面模量極慣性矩公式極慣性矩公式maxIWpnmaxIWpndo實心圓截面

20、實心圓截面 )(2ddAddAIAP23242ddAIAP16232234maxddddIIWPPtDdod空心圓截面空心圓截面其中其中DdddAIAAP322)-1 (32324444D)d-D()1 (16232)(24344maxDDdDDIIWPPtDdo空心圓截面上的應(yīng)力分布空心圓截面上的應(yīng)力分布MnIMpn 圓軸扭轉(zhuǎn)時圓軸扭轉(zhuǎn)時，桿內(nèi)各點均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。其強桿內(nèi)各點均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。其強度條件應(yīng)該是橫截面上的最大工作剪應(yīng)力度條件應(yīng)該是橫截面上的最大工作剪應(yīng)力 max 不超過材不超過材料的許用剪應(yīng)力料的許用剪應(yīng)力 。111，圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件，圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件一，強度

21、條件一，強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時的最大工作剪應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的最大工作剪應(yīng)力 max 發(fā)生在最大扭矩所在發(fā)生在最大扭矩所在橫截面（危險截面）的周邊上的任一點處（危險點）橫截面（危險截面）的周邊上的任一點處（危險點） ，maxmaxWMnn 根據(jù)上述條件，可以解決三個方面的問題根據(jù)上述條件，可以解決三個方面的問題 （1）強度校核）強度校核（2）截面設(shè)計）截面設(shè)計 （3）確定許可荷載）確定許可荷載強度條件為強度條件為 例題例題： 圖示階梯圓軸，圖示階梯圓軸，AB段的直徑段的直徑d1 =120 mm ，BC段的直徑段的直徑 d2 = 100 mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩為。扭轉(zhuǎn)力偶矩為 mA = 22 kN.m， mB

22、 = 36 kN.m ， mC =14 kN.m 。已知材料的許用剪應(yīng)力。已知材料的許用剪應(yīng)力 = 80MPa，試，試校核該軸的強度。校核該軸的強度。 ABCmAmBmCABCmAmBmC解解：作軸的扭矩圖作軸的扭矩圖+2214mA = 22 kN。m，mB = 36 kN。mmC =14 kN。m 84.6416)12. 0(1022163331111max1MPadMWMnn3 .7116)1 . 0(1014163332222max2MPadMWMnn因此，該軸滿足強度要求。因此，該軸滿足強度要求。ABCmAmBmC+2214分別校核兩段軸的強度分別校核兩段軸的強度 例題例題 ：實心圓軸

23、：實心圓軸和空心圓軸和空心圓軸（圖（圖a、b）材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩）材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩 m 和長度和長度 l 均相等，最大剪應(yīng)力也相等。若空心圓軸的內(nèi)外徑之比均相等，最大剪應(yīng)力也相等。若空心圓軸的內(nèi)外徑之比為為 = 0.8 ，試求空心圓截面的外徑和實心圓截面直徑之比及兩軸，試求空心圓截面的外徑和實心圓截面直徑之比及兩軸的重量比。的重量比。ld2D2ld1(a)(b)解：設(shè)實心圓截面直徑為解：設(shè)實心圓截面直徑為d1，空心圓截面的內(nèi)、外徑分別空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為為 d2、 D2 ; 又扭轉(zhuǎn)力偶矩又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，相等，則兩軸的扭矩也相等，設(shè)為設(shè)為 Mn 。ld2D2ld1(a)

24、(b)2max1max已知：已知：21ttWW有有22max11maxtntnWMWM 21tntnWMWM ld2D2ld1(a)(b)16)1(164322311DWdWtt16)1(1643231Dd因此因此194.18 .0113412dD解得解得ld2D2ld1(a)(b)兩軸材料、長度均相等同，故兩軸的重量比等于兩軸的兩軸材料、長度均相等同，故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面積之比橫截面積之比，512. 0)8 . 01 (194. 1)1 (4)(4222122221222212dDddDAA 在最大剪應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸在最大剪應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸輕，即

25、節(jié)省材料。輕，即節(jié)省材料。例題例題：圖示空心圓軸外徑：圖示空心圓軸外徑D=100mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑d=80mm，m1=6KN.m，m2=4KN.m，材料的剪切彈性模量，材料的剪切彈性模量G=80GPa。(1) 畫軸的扭矩圖畫軸的扭矩圖(2) 求軸的最大剪應(yīng)力，并指出其位置求軸的最大剪應(yīng)力，并指出其位置m1m2ABCll(1) 畫軸的扭矩圖畫軸的扭矩圖m1m2ABCllBC段：段：1m2CMn1Mn1+m2=0(-)2m2Cm1BMn2Mn2+m2-m1=0Mn2 =2KN.m AB段：段：(+)4KN.m-+2KN.mMn1 = -4KN.m最大扭矩發(fā)生在最大扭矩發(fā)生在BC段段Mnmax=4KN

26、.m(2) 求軸的最大剪應(yīng)力，求軸的最大剪應(yīng)力，并指出其位置并指出其位置m1m2ABCllMPaDMWMntn5 .34)1 (1643maxmaxmax max最大剪應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上最大剪應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上，且垂直于半徑。，且垂直于半徑。（1）圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是用相對扭轉(zhuǎn)角）圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是用相對扭轉(zhuǎn)角 來度量的來度量的35 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度條件剛度條件GIMdxdpn是計算等直圓桿相對扭轉(zhuǎn)角的依據(jù)。是計算等直圓桿相對扭轉(zhuǎn)角的依據(jù)。1，扭轉(zhuǎn)時的變形，扭轉(zhuǎn)時的變形GIMdxdpndxGIMdlpnl其中其中 d 代表相距為代表相距為 dx 的兩橫截面間的相對扭

27、轉(zhuǎn)角。的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角。長為長為 l 的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角 可按下式計算可按下式計算dxGIMdlpnl對于同一材料制成的等直圓軸（對于同一材料制成的等直圓軸（G ，Ip 為常量），當為常量），當只在兩端受一對外力偶作用時（只在兩端受一對外力偶作用時（ Mn 為常量為常量 ） ，從上，從上式可得式可得PnGIlMGIP 稱作稱作 抗扭剛度抗扭剛度)(mradGIMdxdPn（2）單位長度扭轉(zhuǎn)角）單位長度扭轉(zhuǎn)角在扭轉(zhuǎn)問題中，通常限制最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角在扭轉(zhuǎn)問題中，通常限制最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角 max 不不超過許可超過許可扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 。max 稱作許

28、可稱作許可單位長度扭轉(zhuǎn)角。單位長度扭轉(zhuǎn)角。11，剛度條件，剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度條件是圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度條件是)(maxmaxmradGIMPn )(1800maxmaxmGIMPn例題例題 ：圖示傳動軸系鋼制實心圓截面軸：圖示傳動軸系鋼制實心圓截面軸。 距離分別為距離分別為 lAB = 300 mm 和和 lAC = 500 mm。軸的直徑。軸的直徑d = 70 mm ，鋼的剪變模量為，鋼的剪變模量為 G = 80 GPa。試求截面。試求截面 C 對截面對截面 B 的對扭轉(zhuǎn)角。的對扭轉(zhuǎn)角。， m2 = 955 Nm ， m3 = 637 N m。截面截面 A與截面與截面 B、C之間的之間的已

29、知已知： m1 =1592 N mm1m2m3lABlACBCA12m1m2m3lABlACBCA12 解法解法1 ：假設(shè)：假設(shè) A截面不動，先分別計算截面截面不動，先分別計算截面 B、C 對截對截 面面 A 的相對扭轉(zhuǎn)角的相對扭轉(zhuǎn)角AB 和和AC 。ABradGIlMPABnAB34911052. 107. 03210803 . 0955與與m2轉(zhuǎn)向同轉(zhuǎn)向同m1m2m3lABlACBCA12 ABm1m2m3lABlACBCA12 radGIlMPACnAC34921069.107.03210805.0637與與m3轉(zhuǎn)向同轉(zhuǎn)向同ACAB截面截面 C 對截面對截面 B 的相對扭轉(zhuǎn)角的相對扭轉(zhuǎn)角

30、 BC 為為rad.ABACBC41071轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)向與 m3 相同相同m1m2m3lABlACBCA12 ACABABCm11BCGIlmPABBABC11解法解法 2 ：設(shè)截面：設(shè)截面 B固定不動固定不動，先分別計算先分別計算m1、m3 單獨單獨作用下截面作用下截面 C 對截面對截面 B 的的相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角 BC1 和和BC2，然后疊加，即采用然后疊加，即采用疊加法疊加法。m1單獨作用下截面單獨作用下截面 C 對截面對截面 B 的相對扭轉(zhuǎn)角的相對扭轉(zhuǎn)角 BC1 21BCBCBC IGllmPACABBC)( 32rad10714- .ABCm32BCGIlmPAB1 IGllmPACA

31、B)( 3轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)向與m3同同m3 單獨作用下截面單獨作用下截面 C 對對截面截面 B 的相對扭轉(zhuǎn)角的相對扭轉(zhuǎn)角BC2，C 截面對截面截面對截面 B 的相對的相對扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角m1ABClABlAC解法解法 3 ：設(shè)截面：設(shè)截面 B 固定不動固定不動BAACBCm3CmACmAC = - m3GIlmGIlmPACPACACAC3m2m2Am3mABmAB = m2GIlmGIlmPABPABABBA2m1ABClABlACBAACBCm3CmACGIlmGIlmPACPACACAC3m2m2Am3mABGIlmGIlmPABPABABBA2BAACBCGIlmGIlmPABPAC23rad10

32、7 . 14轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)向與 m3 同同例題例題 ： 某汽車的主傳動軸某汽車的主傳動軸 是用是用 40 號鋼的電焊鋼管制成，號鋼的電焊鋼管制成，鋼管外徑鋼管外徑D=76mm，壁厚，壁厚t=2.5mm，軸傳遞的轉(zhuǎn)矩，軸傳遞的轉(zhuǎn)矩m=1.98KNm,材料的許用剪應(yīng)力材料的許用剪應(yīng)力 = 100MPa，剪變模量為剪變模量為 G = 80GPa ，軸的軸的許可許可扭角扭角 = 2 /m 。試校核軸的。試校核軸的強度和剛度。強度和剛度。DdtmmDdtmm解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩KNmmMn98. 1軸的內(nèi)，外徑之比軸的內(nèi)，外徑之比934. 02DtDDdmmDIWpn341

33、006. 22mmDIP45441082. 732)1 (Ddtmm由由81.11800maxmaxmGIMPn1 .96maxmaxMPaWMnn由由 MPadMn1 .96163maxmax將空心軸改為同一材料的實心軸，仍使將空心軸改為同一材料的實心軸，仍使 max=96.1MPad=47.2mm實心軸的直徑為實心軸的直徑為實心軸的截面面積為實心軸的截面面積為mmdA1749422實實空心軸的截面面積為空心軸的截面面積為mmA5774)7176(222空空兩軸材料、長度均相等同，故兩軸的重量比等于兩軸的兩軸材料、長度均相等同，故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面積之比橫截面積之比，512. 0)

34、8 . 01 (194. 1)1 (4)(4222122221222212dDddDAA 在最大剪應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸在最大剪應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸輕，即節(jié)省材料。輕，即節(jié)省材料。例例 題題： 軸上有三個齒輪。軸的轉(zhuǎn)速為軸上有三個齒輪。軸的轉(zhuǎn)速為 n=183.5r/min , G=80GPa.齒輪齒輪 2 的傳動功率的傳動功率 P2=0.756KW，齒輪，齒輪4 的傳動功率的傳動功率 P4=2.98K W。軸的軸的 =40MPa， =1.50/m。設(shè)計軸的直徑。設(shè)計軸的直徑。m2m3m4m2m3m4mNm3 .392mNm1554畫軸的扭矩圖畫軸的扭矩圖+-39.3N

35、.m155N.mmNMn155max+-39.3N.m155N.m 163maxmaxmaxDMWMnnn由強度條件由強度條件mD02720. 由剛度條件由剛度條件 180321804maxmaxmaxDGMGIMnPnmD02970. 取取 D=30mmmNMn155max例題例題：圓軸如圖所示。已知：圓軸如圖所示。已知d1=75mm，d2=110mm。 材料的許用剪應(yīng)力材料的許用剪應(yīng)力 =40MPa，軸的，軸的許用單位扭轉(zhuǎn)角許用單位扭轉(zhuǎn)角 =0. 8/m，剪切彈性模量剪切彈性模量G=80GPa。 試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強度和剛度。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強度和剛度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3K

36、N.md2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m解：畫扭矩圖解：畫扭矩圖+8KN.m3KN.m.)( MPad213016108WT233t22d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m.)( MPad23616103WT133t111d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m. mGITP4018000222. mGITP69018000111例題例題：圖示等直桿，已知直徑：圖示等直桿，已知直徑d=40mm，a=400mm， 材料的彈性模量材料的彈性模量G=80GPa， DB=1。試求：。試求：(1) AD桿的最大剪應(yīng)力；桿的最大剪應(yīng)力；(2

37、) 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 CA。aa2am2m3mABCD解：畫扭矩圖解：畫扭矩圖aa2am2m3mABCD+m2m3m計算外力偶矩計算外力偶矩m DB= CB+ DC=1011802 )(GImaGImaPPm=292KN.m(1) AD桿的最大剪應(yīng)力桿的最大剪應(yīng)力Tmax= 3mMPaWTt769.maxmax aa2am2m3mABCD+m2m3m(2) 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 CA CA= BA+ CB3321802300.)( GIamGIamPP例題例題：圖：圖 示一長為示一長為 l 的組合桿，由不同材料的實心的組合桿，由不同材料的實心圓截面桿和空心圓截面桿組成，內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)圓截面桿和空

38、心圓截面桿組成，內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作，其抗扭剛度工作，其抗扭剛度 GaIPa ，GbIPb 。當此組合桿的兩端各自固定。當此組合桿的兩端各自固定在剛性板上，并在剛性板處受一對矩為在剛性板上，并在剛性板處受一對矩為 m 的扭轉(zhuǎn)力偶的作的扭轉(zhuǎn)力偶的作用。試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩用。試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩。mmlAB解：列平衡方程解：列平衡方程0 mxmmmba 這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題mmmlABmbma變形相容條件是，內(nèi)，外變形相容條件是，內(nèi)，外桿的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相同。桿的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相同。變形幾何方程是變形幾何方程是bamba mmlABmbma物理關(guān)系是物

39、理關(guān)系是IGlmPaaaa IGlmPbbbb 代如變形幾何方程，得代如變形幾何方程，得補充方程補充方程mIGIGmbPbbPaaa mba mmlABmbma聯(lián)立平衡方程和補充方聯(lián)立平衡方程和補充方程程，解得：解得：mba mmlABmbmamIGIGIGmPbbPaaPaaa mIGIGIGmPbbPaaPbbb 36 密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形一，彈簧絲內(nèi)的應(yīng)力一，彈簧絲內(nèi)的應(yīng)力密圈螺旋彈簧，它受軸向拉（壓）力作用。設(shè)彈簧圈的密圈螺旋彈簧，它受軸向拉（壓）力作用。設(shè)彈簧圈的平均半徑為平均半徑為 R，簧絲的直徑為，簧絲的直徑為 d，材料的剪變模量為，材料的剪變模量為

40、G。彈簧圈的有效圈數(shù)為彈簧圈的有效圈數(shù)為 n，試在彈簧的斜度，試在彈簧的斜度 5，且，且簧圈簧圈的直徑比簧絲的直徑大得多的情況下的直徑比簧絲的直徑大得多的情況下，推導這種彈簧的推導這種彈簧的應(yīng)力與變形的計算公式應(yīng)力與變形的計算公式(a)PRdP50 近似地認為簧絲橫截面與彈近似地認為簧絲橫截面與彈簧軸線（力簧軸線（力P）在同一平面）在同一平面d D可以略去簧桿曲率的影響可以略去簧桿曲率的影響解：先用截面法求得簧解：先用截面法求得簧桿橫截面上的內(nèi)力桿橫截面上的內(nèi)力。將桿的斜度它視為零度將桿的斜度它視為零度。簧桿的橫截面上有兩個簧桿的橫截面上有兩個內(nèi)力分量即內(nèi)力分量即( a)RdPPQT( b)Q

41、MnPPPPRMn（扭矩）（扭矩）PQ（剪力）（剪力）與剪力對應(yīng)的剪應(yīng)力，按與剪力對應(yīng)的剪應(yīng)力，按實用計算方法，可認為均實用計算方法，可認為均勻分布在橫截面勻分布在橫截面PRMn（扭矩）（扭矩）PQ（剪力）（剪力）( a)RdPPQT( b)QMnPPPdPAQ214 ( a)RdPPQT( b)QMnPPPd與扭矩對應(yīng)的簧絲橫與扭矩對應(yīng)的簧絲橫截面上最大剪應(yīng)力為截面上最大剪應(yīng)力為163max2dPRWMnndPR316( a)RdPPQT( b)QMnPPPdA163max2dPRWMnndPR316( a)RdPPQT( b)QMnPPPdA在靠近軸線的內(nèi)側(cè)點在靠近軸線的內(nèi)側(cè)點A處，總應(yīng)力達到最大值處，總應(yīng)力達到最大值( a)RdPPQT( b)QMnPPPd總應(yīng)力最大值為總應(yīng)力最大值為) 14(163max21maxRddPR當當14Rd時，時，dPR3max16( a)RdPPQT( b)QMnPPP可略去剪力的影響可略去剪力的影響163maxdPR彈簧的強度條件為彈簧的強度條件為( a)RdPPQT( b)QMnPPP163maxdPRK彈簧的強度條件為彈簧的強度條件為( a)RdPPQT( b)QMnPPP若若 d 與與 2R 之比