第5章-1 曲線擬合(線性最小二乘法)

1、曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法1.曲線擬合的意思曲線擬合的意思YXy=ax+b.y=ax+b y=ax2+bx+c就是未知函數(shù)的就是未知函數(shù)的擬合曲線擬合曲線。y=ax2+bx+c觀測(cè)值與擬合曲線值誤差的平方和為最小。觀測(cè)值與擬合曲線值誤差的平方和為最小。yi y0 y1 y2 y3 y4 觀測(cè)值觀測(cè)值yi y0 y1 y2 y3 y4 擬合曲線值擬合曲線值 2最小二乘法原理最小二乘法原理 誤差平方和表達(dá)公式：誤差平方和表達(dá)公式：Q=(yi-yi)2i=1n 3:擬合擬合1次曲線次曲線y=ax+b因?yàn)橐驗(yàn)閥=ax+b 所以所以 Q= (axi+b-yi) 2根據(jù)最小二乘原理，為使根據(jù)

2、最小二乘原理，為使Q有最小值，應(yīng)滿足如下式子：有最小值，應(yīng)滿足如下式子：Qa=0b=0Qa xi2 +b xi= xi yi a xi+bn= yi最后得到：最后得到：根據(jù)公式：根據(jù)公式：Q=(yi-yi)2i=1n 分析：分析：誤差平方和表達(dá)公式：誤差平方和表達(dá)公式：因?yàn)橐驗(yàn)閥=ax2+bx+c 所以所以 Q= (axi2+bxi+c -yi) 2又根據(jù)：又根據(jù)：Q分別對(duì)分別對(duì)a、b、c求偏導(dǎo)值為求偏導(dǎo)值為0,最后求得公式為：最后求得公式為：Q=(yi-yi)2xi4 a + xi3 b + xi2 c = xi 2yi xi3 a + xi2 b + xi c = xi yi xi2 a

3、+ xi b +n c = yi 4:擬合擬合2次曲線次曲線y=ax2+bx+c 例例1：設(shè)給定的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下，求線性擬合函數(shù)設(shè)給定的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下，求線性擬合函數(shù) y=ax+b。xi 1 2 3 4 5yi 0 2 2 5 4 a xi2 +b xi= xi yi a xi+bn= yi解：解：xi平方和為平方和為:55 xi和為和為:15 xi乘乘yi和為和為:50 yi和為和為:13代入公式，得到方程組為：代入公式，得到方程組為：55a+15b=5015a+5b=13解得：解得：a=1.1 b=-0.7所以：線性擬合曲線函數(shù)為：所以：線性擬合曲線函數(shù)為：y=1.1x-0.7 例例2：試用二

4、次曲線試用二次曲線 y=ax2+bx+c 擬合下列數(shù)據(jù)擬合下列數(shù)據(jù):xi -3 -2 -1 0 1 2 3 Yi 4 2 3 0 -1 -2 -5 求得方程組為：求得方程組為：196a +28c=-7 28b =-3928a +7c=1解得：解得：b =-39/28 a=-11/84 c=2/3 擬合曲線為：擬合曲線為：y=(-11x2-117x+56)/84xy1.611.631.6 1.671.641.63 1.611.661.591.681.581.64 1.661.631.7 1.671.661.64 1.69 1.62 1.71 1.63根據(jù)左側(cè)數(shù)據(jù)求擬合曲線函數(shù)：根據(jù)左側(cè)數(shù)據(jù)求擬合

5、曲線函數(shù)：y=ax+b a xi2 +b xi= xi yi a xi+bn= yi求所需系數(shù)，得到方程：求所需系數(shù)，得到方程：29.139a+17.9b=29.707617.9a+11b=18.25通過(guò)全選主元高斯消去求得：通過(guò)全選主元高斯消去求得： a=0.912605 b=0.174034所以線性擬合曲線函數(shù)為：所以線性擬合曲線函數(shù)為：y=0.912605x+0.174034 根據(jù)下列數(shù)據(jù)求擬合曲線函數(shù)：根據(jù)下列數(shù)據(jù)求擬合曲線函數(shù)：y=ax2+b x 19 25 31 38 44y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8xi4 a + xi2 b = xi 2yixi2 a +

6、 n b = yi Y=0.050035x2+0.9725797277699a+5327b=369321.55327a+5b=271.4課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：設(shè)給定的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下，求線性擬合函設(shè)給定的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下，求線性擬合函數(shù)數(shù) y=ax2+bx+c。xi 1 2 3 4 yi 0 2 2 5答案：答案：求得方程組為：求得方程組為：354a+100b +30c=106100a+30b+10c=3030a+10b+4c=9解得：解得：a=0.25 b=0.25 c=-0.25擬合曲線為：擬合曲線為：y=0.25x2+0.25x-0.25課堂練習(xí)設(shè)給定觀測(cè)數(shù)據(jù)如下，求線性擬合函數(shù)y=ax2+bx+c上題答案 Xi4和354 Xi3和100 Xi2和=30 Xi和10 Xiyi和30 Yi和9 N