帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的軌跡欣賞

1、 帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的軌跡欣賞帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的軌跡欣賞帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動是歷屆高考帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動是歷屆高考的壓軸題，所以研究帶電粒子在復(fù)合場的壓軸題，所以研究帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的求解方法，欣賞帶電粒子在復(fù)中運(yùn)動的求解方法，欣賞帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的軌跡，可以激勵學(xué)生在探合場中運(yùn)動的軌跡，可以激勵學(xué)生在探究中學(xué)會欣賞，在欣賞中促進(jìn)提高。使究中學(xué)會欣賞，在欣賞中促進(jìn)提高。使學(xué)生在享受快樂和欣賞美麗的過程中實(shí)學(xué)生在享受快樂和欣賞美麗的過程中實(shí)現(xiàn)人生的目標(biāo)?，F(xiàn)人生的目標(biāo)。1一朵梅花一朵梅花例例1如圖所示，兩個共軸的圓筒形金屬如圖所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接

2、地，其上均勻分布著平行于電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫軸線的四條狹縫a、b、c和和d，外筒的外半徑，外筒的外半徑為為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強(qiáng)度的大小為線方向的均勻磁場，磁感強(qiáng)度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場。有沿半徑向外的電場。一質(zhì)量為、帶電量為一質(zhì)量為、帶電量為q的粒子，從緊的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫靠內(nèi)筒且正對狹縫a的的S點(diǎn)出發(fā)，初速為零。點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時間的運(yùn)動之后恰好如果該粒子經(jīng)過一段時間的運(yùn)

3、動之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電壓，則兩電極之間的電壓U應(yīng)應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個裝置在真空中）是多少？（不計(jì)重力，整個裝置在真空中）圖圖3審題：帶電粒子從審題：帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進(jìn)入而進(jìn)入磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動。磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動。粒子再回到粒子再回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過狹縫點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過狹縫d只要穿過了只要穿過了d，粒子就會在電場力作用下，粒子就會在電場力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場區(qū)，

4、重新進(jìn)入磁場區(qū)，然后粒子以同樣方式然后粒子以同樣方式經(jīng)過經(jīng)過Cb，再回到，再回到S點(diǎn)。點(diǎn)。解析：如圖所示，設(shè)粒子進(jìn)入磁場區(qū)的速度大小為解析：如圖所示，設(shè)粒子進(jìn)入磁場區(qū)的速度大小為V V，根據(jù)動能定理，有，根據(jù)動能定理，有設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑為設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑為R，由洛倫茲力公，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有：式和牛頓第二定律，有：由上面分析可知，要回到由上面分析可知，要回到S點(diǎn)，點(diǎn)，粒子從粒子從a到到d必經(jīng)過必經(jīng)過4圓周，所以圓周，所以半徑半徑R必定等于筒的外半徑必定等于筒的外半徑r，即，即R=r由以上各式解得：由以上各式解得：212qUmv2vB q vmR222B qrU

5、mabcdso該粒子運(yùn)動的軌跡構(gòu)成了一朵該粒子運(yùn)動的軌跡構(gòu)成了一朵“四只花辨四只花辨”的的鮮艷的油菜花鮮艷的油菜花 （圖（圖3）。）。該圓筒上平行于軸線均勻分布的若是該圓筒上平行于軸線均勻分布的若是“六六條條 狹縫狹縫”，當(dāng)電壓，當(dāng)電壓時，時， 粒子粒子經(jīng)過一段運(yùn)動后也能回到原經(jīng)過一段運(yùn)動后也能回到原出發(fā)點(diǎn)。出發(fā)點(diǎn)。該運(yùn)動軌跡構(gòu)成了該運(yùn)動軌跡構(gòu)成了 “六六只花辨只花辨”的怒放的梅花（圖的怒放的梅花（圖4）。）。 mrqBU622圖圖4圖圖3。粒子的運(yùn)動軌跡構(gòu)成了粒子的運(yùn)動軌跡構(gòu)成了一朵一朵“n只花辨只花辨”盛開的鮮花。盛開的鮮花。若圓筒上只在若圓筒上只在a處有平行于軸線的狹縫，并且處有平行于軸

6、線的狹縫，并且粒子與圓筒外壁發(fā)生了粒子與圓筒外壁發(fā)生了n次無能量損失和電量損失的碰次無能量損失和電量損失的碰撞后恰能回到原出發(fā)點(diǎn)，則加速電壓，撞后恰能回到原出發(fā)點(diǎn)，則加速電壓， 并且并且粒子運(yùn)動的半徑粒子運(yùn)動的半徑該圓筒上平行于軸線均勻分布的若是該圓筒上平行于軸線均勻分布的若是“n條條狹縫狹縫”，當(dāng)電壓，當(dāng)電壓時時 ,粒子經(jīng)過一段運(yùn)動后粒子經(jīng)過一段運(yùn)動后也能回到原出發(fā)點(diǎn)，并且粒也能回到原出發(fā)點(diǎn)，并且粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑子做勻速圓周運(yùn)動的半徑222tan2nmrqBUnrRtan2221tan2nmrqBU1tannrR圖圖5。該運(yùn)動軌跡也構(gòu)成了一朵該運(yùn)動軌跡也構(gòu)成了一朵“n只花辨只花辨”

7、盛盛開的鮮花（圖開的鮮花（圖5為五次碰撞的情形）。為五次碰撞的情形）。2一座一座“拱橋拱橋”例例2 2如圖所示，在如圖所示，在x x軸上方有垂直于軸上方有垂直于xyxy平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B B，在，在x x軸下軸下方有沿方有沿y y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E E，一，一質(zhì)量為質(zhì)量為m m，電量為，電量為qq的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O O沿沿著著y y軸正方向射出，射出之后，第三次到達(dá)軸正方向射出，射出之后，第三次到達(dá)x x軸時，它與軸時，它與O O點(diǎn)的距離為點(diǎn)的距離為L L，求此時粒子射出時的速度求此時粒子射出時的速度和

8、運(yùn)動的總路程（重力不記）和運(yùn)動的總路程（重力不記）yxo解析：畫出粒子運(yùn)動軌跡如圖所示，形成解析：畫出粒子運(yùn)動軌跡如圖所示，形成“拱橋拱橋”圖圖形。形。由題知粒子軌道半徑由題知粒子軌道半徑 所以由牛頓定律知粒子運(yùn)動速率為所以由牛頓定律知粒子運(yùn)動速率為 對粒子進(jìn)入電場后沿對粒子進(jìn)入電場后沿y軸負(fù)方向做減速運(yùn)動的最大路軸負(fù)方向做減速運(yùn)動的最大路程程y由動能定理知：由動能定理知： 得得所以粒子運(yùn)動的總路程為所以粒子運(yùn)動的總路程為4LR BqRvm212qEym v232qBLymE221162qB LSLmExyy3、一個電風(fēng)扇一個電風(fēng)扇例例3、據(jù)有關(guān)資料介紹，受控?zé)岷司圩兎磻?yīng)裝置、據(jù)有關(guān)資料介紹，

9、受控?zé)岷司圩兎磻?yīng)裝置中有極高的溫度，因而帶電粒子將沒有通常意義中有極高的溫度，因而帶電粒子將沒有通常意義上的容器可裝，而是由磁場約束帶電粒子運(yùn)動將上的容器可裝，而是由磁場約束帶電粒子運(yùn)動將其束縛在某個區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)按下面的簡化條件來討其束縛在某個區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)按下面的簡化條件來討論這個問題，如圖所示，有一個環(huán)形區(qū)論這個問題，如圖所示，有一個環(huán)形區(qū)域，其截域，其截面內(nèi)半徑為面內(nèi)半徑為 ，外半徑為，外半徑為R2=1.0m，區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0 T，被束，被束縛粒子的荷質(zhì)比為縛粒子的荷質(zhì)比為133Rmqm(1)若中空區(qū)域中的

10、帶電粒子沿環(huán)的半徑方向射若中空區(qū)域中的帶電粒子沿環(huán)的半徑方向射入磁場，求帶電粒子不能穿越磁場外邊界的最入磁場，求帶電粒子不能穿越磁場外邊界的最大速度大速度v0. (2)若中空區(qū)域中的帶電粒子以（若中空區(qū)域中的帶電粒子以（1)中的最大速中的最大速度度v0沿圓環(huán)半徑方向射入磁場，求帶電粒子從沿圓環(huán)半徑方向射入磁場，求帶電粒子從進(jìn)入磁場開始到第一次回到該點(diǎn)所需要的時間進(jìn)入磁場開始到第一次回到該點(diǎn)所需要的時間t。解析解析: :設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的最大半徑為設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的最大半徑為r r，則，則軌跡如圖，由幾何關(guān)系得軌跡如圖，由幾何關(guān)系得則則 ， 故帶電粒子進(jìn)入磁場繞圓故帶電粒子進(jìn)入磁

11、場繞圓O 轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過3600 （1800一一600）=2400又回到中空部分粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，故粒子又回到中空部分粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，故粒子從從P點(diǎn)進(jìn)入磁場到第一次回到點(diǎn)進(jìn)入磁場到第一次回到P點(diǎn)時，粒子在磁場中運(yùn)動時間點(diǎn)時，粒子在磁場中運(yùn)動時間為為粒子在中空部分運(yùn)動時間為粒子在中空部分運(yùn)動時間為 粒子運(yùn)動的總時間為粒子運(yùn)動的總時間為0mvrBq222221122,2RRRrRr rR704103qBrmvsm,3arctan30 ,603pop12433mtTBq1206Rtv112064RmtttBqv圖圖154、一朵葵花、一朵葵花 例例4據(jù)有關(guān)資料介紹，受控?zé)岷司圩兎磻?yīng)裝置中據(jù)有關(guān)

12、資料介紹，受控?zé)岷司圩兎磻?yīng)裝置中有級高的溫度，因而帶電粒子將沒有通常意義上的有級高的溫度，因而帶電粒子將沒有通常意義上的容器可裝，托卡馬克裝置是一種利用磁約束來實(shí)現(xiàn)容器可裝，托卡馬克裝置是一種利用磁約束來實(shí)現(xiàn)受控核聚變的環(huán)形容器，由磁場將高溫、高密等離受控核聚變的環(huán)形容器，由磁場將高溫、高密等離子體約束在有限的范圍內(nèi)，現(xiàn)按下面的簡化條件來子體約束在有限的范圍內(nèi)，現(xiàn)按下面的簡化條件來討論這個問題，如圖所示，有一個環(huán)形區(qū)域，其截討論這個問題，如圖所示，有一個環(huán)形區(qū)域，其截面內(nèi)半徑為面內(nèi)半徑為R1=a，外半徑為，外半徑為R2=(2-1)a,環(huán)形區(qū)域內(nèi)有垂環(huán)形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁直紙面向

13、外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為感應(yīng)強(qiáng)度為B。被磁場圍住的中心區(qū)域?yàn)榉磻?yīng)區(qū)，反應(yīng)區(qū)內(nèi)質(zhì)量被磁場圍住的中心區(qū)域?yàn)榉磻?yīng)區(qū)，反應(yīng)區(qū)內(nèi)質(zhì)量為為m，電量為，電量為q的帶電粒子，若帶電粒子由反應(yīng)區(qū)的帶電粒子，若帶電粒子由反應(yīng)區(qū)沿各個不同射入磁場區(qū)域，不計(jì)帶電粒子重力和沿各個不同射入磁場區(qū)域，不計(jì)帶電粒子重力和運(yùn)動過程中的相互作用，則；運(yùn)動過程中的相互作用，則；1、要求所有帶電粒子均不能穿過磁場外界，允許、要求所有帶電粒子均不能穿過磁場外界，允許帶電粒子速度的最大值帶電粒子速度的最大值m多大？多大？2、若一帶電粒子以上述最大速度從邊界上某點(diǎn)沿、若一帶電粒子以上述最大速度從邊界上某點(diǎn)沿圓環(huán)半徑方向垂直射入磁場，圓環(huán)

14、半徑方向垂直射入磁場，求帶電粒子從進(jìn)入磁場開始求帶電粒子從進(jìn)入磁場開始到第一次回到出發(fā)點(diǎn)所用的到第一次回到出發(fā)點(diǎn)所用的時間時間t.解：（解：（1 1）由圓周切線方向進(jìn)入磁場的粒子最易穿越磁場，）由圓周切線方向進(jìn)入磁場的粒子最易穿越磁場，臨界時有臨界時有 如圖，由如圖，由 得得（2）則則 即即 每次進(jìn)入磁場轉(zhuǎn)過圓心角為每次進(jìn)入磁場轉(zhuǎn)過圓心角為225225運(yùn)動時間為運(yùn)動時間為在反應(yīng)區(qū)內(nèi)運(yùn)動一次在反應(yīng)區(qū)內(nèi)運(yùn)動一次總時間為總時間為21()2mRRr2mmmmvBqvr21()2mBq RRvm1tan21rRtan212451225253604mmtBqBq1122124()mRmRtvBq RR12

15、1016( 21)88mmtttBqBq?r5、一枚銅錢、一枚銅錢例例6、如圖所示為圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場、如圖所示為圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向、方向垂直紙面向里垂直紙面向里,邊界跟邊界跟y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O。O點(diǎn)處有一放射點(diǎn)處有一放射源，沿紙面向各個方向射出速率均為源，沿紙面向各個方向射出速率均為v的某種帶電的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半經(jīng)是圓粒子，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半經(jīng)是圓形磁場區(qū)域半徑的兩倍。已知該帶電粒子的質(zhì)量為形磁場區(qū)域半徑的兩倍。已知該帶電粒子的質(zhì)量為m、電荷量為、電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力。，不考慮帶電粒子的重

16、力。1、推導(dǎo)帶電粒子在磁場空間作圓周運(yùn)動的軌道半徑；、推導(dǎo)帶電粒子在磁場空間作圓周運(yùn)動的軌道半徑；2、求帶電粒子通過磁場空間的最大偏角；、求帶電粒子通過磁場空間的最大偏角；3、沿磁場邊界放置絕緣彈性擋板，使粒子與擋板碰撞后以原、沿磁場邊界放置絕緣彈性擋板，使粒子與擋板碰撞后以原速率彈回，且其電荷量保持不變。若從速率彈回，且其電荷量保持不變。若從O點(diǎn)沿點(diǎn)沿x軸正方向射入軸正方向射入磁場的粒子速度的已減小為磁場的粒子速度的已減小為v2，求該粒子第一次回到，求該粒子第一次回到O點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)經(jīng)歷的時間。歷的時間。XYO解解:(1)帶電粒子在磁場后，受帶電粒子在磁場后，受洛侖磁力作洛侖磁力作用，由牛頓第二定律

17、得用，由牛頓第二定律得;（2)設(shè)粒子飛出和進(jìn)入磁場的速度方向夾設(shè)粒子飛出和進(jìn)入磁場的速度方向夾角為角為則則 x x是粒子在磁場中軌是粒子在磁場中軌跡的兩端點(diǎn)的直線距離，跡的兩端點(diǎn)的直線距離，x x最大值為最大值為2R 2R 。對應(yīng)的就是對應(yīng)的就是的最大值。且的最大值。且2R=r2R=r所以所以2vBqvmrmvrBqsin22xrmaxmax1sin,6022RroXYO（3)當(dāng)粒子速度減小為當(dāng)粒子速度減小為 時，粒子在磁場中作時，粒子在磁場中作圓周運(yùn)動的半徑為圓周運(yùn)動的半徑為 故粒子轉(zhuǎn)過四分之一圓周，對應(yīng)圓心角為故粒子轉(zhuǎn)過四分之一圓周，對應(yīng)圓心角為90時與時與邊界相撞回，由對稱性知，粒子經(jīng)過

18、四個這樣的邊界相撞回，由對稱性知，粒子經(jīng)過四個這樣的過程第一次回到過程第一次回到O點(diǎn)，亦即經(jīng)歷時間為一個周期點(diǎn)，亦即經(jīng)歷時間為一個周期粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期所以從所以從O點(diǎn)沿點(diǎn)沿x軸正方向射出的軸正方向射出的粒子第一次回到粒子第一次回到O點(diǎn)經(jīng)歷的時間點(diǎn)經(jīng)歷的時間是是 其軌跡為一枚銅錢其軌跡為一枚銅錢2v12mvrRqB2 mTBq2 mtBqyxo6、一滴水珠、一滴水珠例例6、如圖所示，真空中分布著有界的勻強(qiáng)電、如圖所示，真空中分布著有界的勻強(qiáng)電場和兩個均垂直于紙面，但方向相反的勻強(qiáng)磁場，場和兩個均垂直于紙面，但方向相反的勻強(qiáng)磁場，電場的寬度為電場的寬

19、度為L，電場強(qiáng)度為，電場強(qiáng)度為E，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度都為度都為B，且右邊磁場范圍足夠大一帶正電粒子，且右邊磁場范圍足夠大一帶正電粒子質(zhì)量為質(zhì)量為m，電荷量為，電荷量為q，從，從A點(diǎn)由靜止釋放經(jīng)電場加點(diǎn)由靜止釋放經(jīng)電場加速后進(jìn)入磁場，穿過中間磁場進(jìn)入右邊磁場后能按速后進(jìn)入磁場，穿過中間磁場進(jìn)入右邊磁場后能按某一路徑再返回某一路徑再返回A點(diǎn)而重復(fù)上述過程，不計(jì)粒子重點(diǎn)而重復(fù)上述過程，不計(jì)粒子重力，求：力，求：（1）粒子進(jìn)入磁場的速率）粒子進(jìn)入磁場的速率v；（2）中間磁場的寬度）中間磁場的寬度d（3）求粒子從）求粒子從A點(diǎn)出發(fā)到第點(diǎn)出發(fā)到第一次回到一次回到A點(diǎn)所經(jīng)歷的時間點(diǎn)所經(jīng)歷的時間

20、t。（2 2）粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，半徑都是）粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，半徑都是R R，且：且：解（解（1 1）由動能定理，有：）由動能定理，有： 得粒子進(jìn)入磁場的速度為得粒子進(jìn)入磁場的速度為由幾何關(guān)系可知：由幾何關(guān)系可知：則：中間磁場寬度則：中間磁場寬度（3 3）在電場中）在電場中在中間磁場中運(yùn)動時間在中間磁場中運(yùn)動時間在右側(cè)磁場中運(yùn)動時間在右側(cè)磁場中運(yùn)動時間則粒子第一次回到則粒子第一次回到O O點(diǎn)的所用時間為點(diǎn)的所用時間為。例例7（18分）如圖所示，兩個同心圓是磁場的理想邊界，內(nèi)分）如圖所示，兩個同心圓是磁場的理想邊界，內(nèi)圓半徑為圓半徑為R，外圓半徑為，外圓半徑為 R，磁場方向

21、垂直于紙面向里，內(nèi)，磁場方向垂直于紙面向里，內(nèi)外圓之間環(huán)形區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度為外圓之間環(huán)形區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，內(nèi)圓的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，內(nèi)圓的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B/3。t=0時一個質(zhì)量為時一個質(zhì)量為m，帶，帶q電量的離子（不計(jì)重電量的離子（不計(jì)重力力），從內(nèi)圓），從內(nèi)圓上的上的A點(diǎn)沿半徑方向飛進(jìn)環(huán)形磁場，剛好沒有飛出磁場。點(diǎn)沿半徑方向飛進(jìn)環(huán)形磁場，剛好沒有飛出磁場。（1）求離子速度大小）求離子速度大小（2）離子自）離子自A點(diǎn)射出后在兩個磁場點(diǎn)射出后在兩個磁場間不斷地飛進(jìn)飛出，從間不斷地飛進(jìn)飛出，從t=0開始經(jīng)過開始經(jīng)過多長時間第一次回到多長時間第一次回到A點(diǎn)？點(diǎn)？（3）從）從t=0開始到離子第二次回到開始到離

22、子第二次回到A點(diǎn)，離子在內(nèi)圓磁場中運(yùn)點(diǎn)，離子在內(nèi)圓磁場中運(yùn)動的時間共為多少？動的時間共為多少？37、一個美麗的吸頂燈罩、一個美麗的吸頂燈罩O2r1r2例例8、如圖所示，半徑分別為、如圖所示，半徑分別為a、b的兩同心虛線的兩同心虛線圓所圍空間分別存在電場和磁場，中心圓所圍空間分別存在電場和磁場，中心O處固定處固定一個半徑很?。珊雎裕┑慕饘偾颍谛A空間一個半徑很?。珊雎裕┑慕饘偾?，在小圓空間內(nèi)存在沿半徑向內(nèi)的輻向電場，小圓周與金屬球內(nèi)存在沿半徑向內(nèi)的輻向電場，小圓周與金屬球間電勢差為間電勢差為U，兩圓之間的空間存在垂直于紙面，兩圓之間的空間存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，設(shè)有一個帶負(fù)電的粒子從

23、金屬向里的勻強(qiáng)磁場，設(shè)有一個帶負(fù)電的粒子從金屬球表面沿球表面沿x軸方向以很小的初速度逸出，軸方向以很小的初速度逸出，粒子質(zhì)量為粒子質(zhì)量為m，電量為，電量為q，（不計(jì)，（不計(jì)粒子重力，忽略粒子初速度）求：粒子重力，忽略粒子初速度）求：Obx ya（1）粒子到達(dá)小圓周上時的速度為多大？）粒子到達(dá)小圓周上時的速度為多大？（2）粒子以（）粒子以（1）中的速度進(jìn)入兩圓間的磁場中，）中的速度進(jìn)入兩圓間的磁場中，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超過某一臨界值時，粒子將不能到當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超過某一臨界值時，粒子將不能到達(dá)大圓周，求此最小值達(dá)大圓周，求此最小值B。（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度取（）若磁感應(yīng)強(qiáng)度?。?）中最小值，且）中最小值，且

24、b（1）a，要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方，要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出發(fā)點(diǎn)，粒子需經(jīng)過多少次回旋？并求向回到原出發(fā)點(diǎn)，粒子需經(jīng)過多少次回旋？并求粒子在磁場中運(yùn)動的時間。（設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的時間。（設(shè)粒子與金屬球正碰后電量不變且粒子與金屬球正碰后電量不變且能以原速率原路返回）能以原速率原路返回）Obx ya （3）圖中）圖中 tan= ，即，即=45 則粒子在磁場中轉(zhuǎn)過則粒子在磁場中轉(zhuǎn)過=270，然后沿半徑，然后沿半徑進(jìn)入電場減速到達(dá)金屬球表面，再經(jīng)電場加進(jìn)入電場減速到達(dá)金屬球表面，再經(jīng)電場加速原路返回磁場，如此重復(fù)恰好經(jīng)過速原路返回磁場，如此重復(fù)恰好經(jīng)過4個回旋個回旋后，沿

25、與原出射方向相反的方向回到原出發(fā)點(diǎn)。后，沿與原出射方向相反的方向回到原出發(fā)點(diǎn)。 因?yàn)橐驗(yàn)?粒子在磁場中運(yùn)動時間為粒子在磁場中運(yùn)動時間為 解；（解；（1）粒子在電場中加速，）粒子在電場中加速，根據(jù)動定律得：根據(jù)動定律得： v= （2）粒子進(jìn)入磁場后，受洛倫茲力周運(yùn)做勻速圓動，）粒子進(jìn)入磁場后，受洛倫茲力周運(yùn)做勻速圓動， 則有要使粒子不能到達(dá)大圓周，其最大的圓半徑為軌跡圓與則有要使粒子不能到達(dá)大圓周，其最大的圓半徑為軌跡圓與大圓周相切，如圖，則有大圓周相切，如圖，則有 所以所以 聯(lián)立解得聯(lián)立解得mqU22mv21qU rvmqBv2rbra22qmUabbB22221222ababarBqmT2b

26、abr2222233()442bamtTbqU8 8、一沿拋物線（或直線）上升的氣泡、一沿拋物線（或直線）上升的氣泡例例9 9、如圖所示，在、如圖所示，在xoyxoy的平面內(nèi)加有空間分布均勻、大小隨的平面內(nèi)加有空間分布均勻、大小隨時間周期性變化的電場和磁場，變化規(guī)律如乙圖所示（規(guī)定時間周期性變化的電場和磁場，變化規(guī)律如乙圖所示（規(guī)定豎直向上為電場強(qiáng)度的正方向，垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度豎直向上為電場強(qiáng)度的正方向，垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向）。在的正方向）。在t=0t=0時刻，質(zhì)量為時刻，質(zhì)量為m m、電荷量為、電荷量為q q的帶正電粒的帶正電粒子自坐標(biāo)原點(diǎn)子自坐標(biāo)原點(diǎn)O O處以處以0=2m

27、/s的速度沿的速度沿x軸正方向水平射出。軸正方向水平射出。已知電場強(qiáng)度已知電場強(qiáng)度， 磁感應(yīng)度磁感應(yīng)度 ，不計(jì)粒子重力。，不計(jì)粒子重力。求：求： （1）1s末粒子速度的大小和方向；末粒子速度的大小和方向； （2）1s2s內(nèi)，粒子在磁場中做內(nèi)，粒子在磁場中做 圓周運(yùn)動的半徑和周期；圓周運(yùn)動的半徑和周期； （3）畫出）畫出04s內(nèi)粒子的運(yùn)動軌跡內(nèi)粒子的運(yùn)動軌跡示意圖（要求：體現(xiàn)粒子運(yùn)動特點(diǎn)）；示意圖（要求：體現(xiàn)粒子運(yùn)動特點(diǎn)）； （4）(2n-1)s2ns（n=1,2,3,）n內(nèi)粒子運(yùn)動至最高點(diǎn)的位置坐標(biāo)。內(nèi)粒子運(yùn)動至最高點(diǎn)的位置坐標(biāo)。2 mEq02 mBq（1）在）在01s內(nèi)，粒子在電場力作用下內(nèi)

28、，粒子在電場力作用下,帶電粒子在帶電粒子在x方向上做勻速運(yùn)動方向上做勻速運(yùn)動Y方向做勻加速運(yùn)動方向做勻加速運(yùn)動1s末粒子的速度末粒子的速度V1與水平方向的夾角與水平方向的夾角,則則代入數(shù)據(jù)解得代入數(shù)據(jù)解得(2) 在在1s2s內(nèi)，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，內(nèi)，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律由牛頓第二定律 得得 m粒子做圓周運(yùn)動的周期粒子做圓周運(yùn)動的周期（3）粒子運(yùn)動軌跡如圖所示）粒子運(yùn)動軌跡如圖所示 （4分）分）oyx123oyx123帶電粒子在（帶電粒子在（2n-1）s2ns（n=1,2,3）內(nèi)做圓周運(yùn)動）內(nèi)做圓周運(yùn)動的軌跡如圖所示的軌跡如圖所示半徑半徑 m此時粒子的速度為此時粒子的速度

29、為（4）（）（2n-1）s末粒子的坐標(biāo)為末粒子的坐標(biāo)為最高點(diǎn)最高點(diǎn)G的位置坐標(biāo)為的位置坐標(biāo)為兩塊足夠大的平行金屬極板水平放置，極板間加兩塊足夠大的平行金屬極板水平放置，極板間加有空間分布均勻、大小隨時間周期性變化的電場有空間分布均勻、大小隨時間周期性變化的電場和磁場，變化規(guī)律分別如圖和磁場，變化規(guī)律分別如圖1、圖、圖2所示所示(規(guī)定垂規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向)。在。在t=0。時。時刻由負(fù)極板釋放一個初速度為零的帶負(fù)電的粒子刻由負(fù)極板釋放一個初速度為零的帶負(fù)電的粒子(不計(jì)重力不計(jì)重力)。若電場強(qiáng)度。若電場強(qiáng)度E0、磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度B0、粒、粒子的比

30、荷子的比荷 均已知，均已知，且，且， 兩板間距兩板間距h=mq解法一：解法一：(1)設(shè)粒子在設(shè)粒子在oto時間內(nèi)運(yùn)動的位移大小為時間內(nèi)運(yùn)動的位移大小為s1 (1)(l)求位子在求位子在0t0時間內(nèi)的位移大小與極板間距時間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值。的比值。(2)求粒子在極板間做求粒子在極板間做圓周運(yùn)動的最大半徑圓周運(yùn)動的最大半徑（用（用h表示）。表示）。(3)若板間電場強(qiáng)度若板間電場強(qiáng)度E隨時間的變化仍如圖隨時間的變化仍如圖l所示所示，磁場的變化改為如圖，磁場的變化改為如圖3所示試畫出粒子在板所示試畫出粒子在板間運(yùn)動的軌跡圖（不必寫計(jì)算過程）。間運(yùn)動的軌跡圖（不必寫計(jì)算過程）。2121at

31、s mqEa 又已知又已知聯(lián)立聯(lián)立式解得式解得由于由于s1+s2十十R2h，粒子恰好又完成一個周期的圓周運(yùn)動。，粒子恰好又完成一個周期的圓周運(yùn)動。在在4t。5t。時間內(nèi)，粒子運(yùn)動到正極板。時間內(nèi)，粒子運(yùn)動到正極板 (如圖如圖l所示所示)。因。因此粒子運(yùn)動的最大半徑此粒子運(yùn)動的最大半徑(2)粒子在粒子在to2to時間內(nèi)只受洛倫茲力作用且速度與磁場方時間內(nèi)只受洛倫茲力作用且速度與磁場方向垂直，所以粒子做勻速圓周運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動速度大小為向垂直，所以粒子做勻速圓周運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動速度大小為v1，軌道半徑為軌道半徑為R1，周期為，周期為T，則，則 (4) (5)聯(lián)立聯(lián)立式式 得得 又又 即粒子在即粒子在t。2

32、t0時間內(nèi)恰好完成一個周期的圓周運(yùn)動。在時間內(nèi)恰好完成一個周期的圓周運(yùn)動。在2t。3t0時間內(nèi)，粒子做初速度為時間內(nèi)，粒子做初速度為v1的勻加速直線運(yùn)動，設(shè)位的勻加速直線運(yùn)動，設(shè)位移大小為移大小為s2 解得解得 由于由于s1+s2h，所以粒子在，所以粒子在3to4to時間內(nèi)繼續(xù)做勻速圓周時間內(nèi)繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)速度大小為運(yùn)動，設(shè)速度大小為v2，半徑為，半徑為R2 v2=v1+at0 12101RmvBqv51hRhs53222202RmvBqv522hR(3)粒子在板間運(yùn)動的軌跡如圖粒子在板間運(yùn)動的軌跡如圖2所示。所示。顯然顯然 s2+R2hs3(1)粒子在粒子在0t0時間內(nèi)的位移大小與極

33、板間距時間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值的比值 解法二：由題意可知，電磁場的周期為解法二：由題意可知，電磁場的周期為2t0，前半周期粒子，前半周期粒子受電場作用做勻加速直線運(yùn)動加速度大小為受電場作用做勻加速直線運(yùn)動加速度大小為 方向向上方向向上 后半周期粒子受磁場作用做勻速圓周運(yùn)動，周期為后半周期粒子受磁場作用做勻速圓周運(yùn)動，周期為T粒子恰好完成一次勻速圓周運(yùn)動。至第粒子恰好完成一次勻速圓周運(yùn)動。至第n個周期末，粒子位個周期末，粒子位移大小為移大小為sn 由以上各式得由以上各式得 粒子速度大小為粒子速度大小為 粒子做圓周運(yùn)動的半徑為粒子做圓周運(yùn)動的半徑為 解得解得 mqEa 002tqBmT2

34、0)(21ntasnhnRn5511hs(2)粒子在極板聞做圓周運(yùn)動的最大半徑粒子在極板聞做圓周運(yùn)動的最大半徑(3)粒子在板間運(yùn)動的軌跡圖見解法一中的圖粒子在板間運(yùn)動的軌跡圖見解法一中的圖2。圖圖6、圖、圖6所示：由光滑絕緣壁圍成的正方形（邊長所示：由光滑絕緣壁圍成的正方形（邊長為為a）勻強(qiáng)磁場區(qū)域的磁感強(qiáng)度為）勻強(qiáng)磁場區(qū)域的磁感強(qiáng)度為B，質(zhì)量為，質(zhì)量為m、電、電量為量為q的正粒子垂直于磁場方向和邊界從下邊界正中的正粒子垂直于磁場方向和邊界從下邊界正中央的央的A孔射入該磁場中，粒子碰撞時無能量和電量孔射入該磁場中，粒子碰撞時無能量和電量損失，不計(jì)粒子重力和碰撞時間，粒子運(yùn)動半徑小損失，不計(jì)粒子

35、重力和碰撞時間，粒子運(yùn)動半徑小于于a，要使粒子仍能從，要使粒子仍能從A孔射出，求粒子的入射速度孔射出，求粒子的入射速度和粒子在磁場中的運(yùn)動時間？和粒子在磁場中的運(yùn)動時間？ RvmqvB2qBmT23 , 2 , 14nnrLnmqBLv43 , 2 , 1n3 , 2 , 12422/nqBmnvbnTt圖圖7 設(shè)粒子運(yùn)動半徑為設(shè)粒子運(yùn)動半徑為R,，則，則 運(yùn)動周期運(yùn)動周期 粒子能從粒子能從A孔射出，則粒子的運(yùn)動軌跡有兩種典型：孔射出，則粒子的運(yùn)動軌跡有兩種典型： 圖圖7所示情形所示情形 則則 求得粒子的入射速度求得粒子的入射速度（）磁場中的運(yùn)動時間磁場中的運(yùn)動時間其粒子運(yùn)動的軌跡給成了其粒子

36、運(yùn)動的軌跡給成了一幅美麗的窗簾一幅美麗的窗簾。3 , 2 , 1122nRnLmnqBLv1223 , 2 , 1n3 , 2 , 114214nqBmnTnt圖圖8 圖圖8所示情形所示情形 則則 求得粒子的入射速度求得粒子的入射速度磁場中的運(yùn)動時間磁場中的運(yùn)動時間該粒子運(yùn)動的軌跡該粒子運(yùn)動的軌跡繪成了繪成了一塊漂亮的磁磚一塊漂亮的磁磚。10、一串、一串“葡萄葡萄”例例5 如圖（甲）所示，兩塊水平放置的平行金屬板，如圖（甲）所示，兩塊水平放置的平行金屬板，板長板長L=1.4m,板距板距d=30cm。兩板間有。兩板間有B=1.25T,垂垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場。在兩板上加如圖（乙）直于紙面向里的

37、勻強(qiáng)磁場。在兩板上加如圖（乙）所示的脈沖電壓。在所示的脈沖電壓。在t=0時，質(zhì)量時，質(zhì)量m=210-15kg，電量為電量為q=110-10C的正離子，以速度為的正離子，以速度為4103m/s從兩板中間水平射入。試求：粒子在板從兩板中間水平射入。試求：粒子在板間做什么運(yùn)動？畫出其軌跡。間做什么運(yùn)動？畫出其軌跡。解析解析 在第一個在第一個1010-4-4s s內(nèi)，電場內(nèi)，電場, ,磁場同時存在，離子磁場同時存在，離子受電場力，洛侖茲力分別為受電場力，洛侖茲力分別為F F電電=qE= =qE= 10-7N,方向由左手定則知向上，粒子做勻速直線運(yùn)動。方向由左手定則知向上，粒子做勻速直線運(yùn)動。位移位移s

38、=vt=0.4m. 第二個第二個10-4s內(nèi)，只有磁場，離子內(nèi)，只有磁場，離子做勻速圓周運(yùn)動，做勻速圓周運(yùn)動，r= =6.410-2m,不會碰板，時間不會碰板，時間T= =110-4s，即正巧在，即正巧在無電場時離子轉(zhuǎn)滿一周。易知以后重復(fù)上述運(yùn)動，無電場時離子轉(zhuǎn)滿一周。易知以后重復(fù)上述運(yùn)動，故軌跡如圖所示，形成故軌跡如圖所示，形成“葡萄串葡萄串”圖形圖形5dqUBqmv04dqBm12解析解析 粒子重新回到粒子重新回到O O點(diǎn)時其運(yùn)動軌道如圖所示點(diǎn)時其運(yùn)動軌道如圖所示, ,形成一形成一”心臟心臟”圖形圖形. .由圖可知，粒子在由圖可知，粒子在B B1 1中運(yùn)中運(yùn)動時間動時間 粒子在粒子在B1中

39、的運(yùn)動時間為中的運(yùn)動時間為1111、一顆、一顆“心臟心臟”例例2 2如圖所示如圖所示, ,以以abab為分界面的兩個勻強(qiáng)磁場為分界面的兩個勻強(qiáng)磁場, ,方方向均垂直于紙面向里向均垂直于紙面向里, ,其磁感應(yīng)強(qiáng)度其磁感應(yīng)強(qiáng)度B B1 1=2B=2B2 2, ,現(xiàn)有現(xiàn)有一質(zhì)量為一質(zhì)量為m,m,帶電量為帶電量為+q+q的粒子的粒子, ,從從O O點(diǎn)沿圖示方點(diǎn)沿圖示方向以速度向以速度v進(jìn)入進(jìn)入B1中中,經(jīng)過時間經(jīng)過時間t=_粒子重新粒子重新回到回到O點(diǎn)點(diǎn)(重力不計(jì)重力不計(jì)) 所以粒子運(yùn)動的總時間所以粒子運(yùn)動的總時間+1112 mtTBq22212mtTB q1212222mmmtttBqB qB q例例7如圖如圖12（a）所示，在平面上）所示，在平面上的范圍內(nèi)有一片稀疏的電子，從的范圍內(nèi)有一片稀疏的電子，從x軸的負(fù)半軸的遠(yuǎn)軸的負(fù)半軸的遠(yuǎn)處以相同的速率處以相同的速率沿沿x軸正向平行地向軸正向平行地向y軸射來試軸射來試設(shè)計(jì)一個磁場區(qū)域，使得設(shè)計(jì)一個磁場區(qū)域，使得 （1）所有電子都能在磁場力作用下通過原點(diǎn)）所有電子都能在磁場力作用下通過原點(diǎn)O； （2）這一片電子最后擴(kuò)展到）這一片電子最后擴(kuò)展到22范圍范圍內(nèi)，繼續(xù)沿內(nèi)，繼續(xù)沿x軸正向平行地以相同的速率向遠(yuǎn)處軸正向平行地以相同的速率向遠(yuǎn)處射出已知電子的電量為、質(zhì)量為，不考